【解析】2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)1.2矩形的性質(zhì)與判定（培優(yōu)卷）

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2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)1.2矩形的性質(zhì)與判定（培優(yōu)卷）

一、選擇題

1．（2022九上·五華期中）如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別從點(diǎn)B和點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蜓鼐匦蜛BCD的邊運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的速度分別為3cm/s和2cm/s，當(dāng)四邊形ABPQ初次為矩形時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（）秒．

A．2B．3C．4D．5

2．（2022九上·福州開(kāi)學(xué)考）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．AC＝4，∠AOD＝120°，則BC的長(zhǎng)為（）

A．4B．4C．2D．2

3．（2022九上·福州開(kāi)學(xué)考）如圖，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，E為BC上一點(diǎn)，DE平分∠AEC，則CE的長(zhǎng)為（）

A．1B．2C．3D．4

4．（2022九上·開(kāi)學(xué)考）如下圖，邊長(zhǎng)為、的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為16，面積為12，則的值為（）

A．28B．96C．192D．200

5．（2022九上·福州開(kāi)學(xué)考）矩形與矩形如圖放置，點(diǎn)、、共線，點(diǎn)、、共線，連接，取的中點(diǎn)，連接若，，則（）

A．B．C．D．

6．（2022九上·猇亭開(kāi)學(xué)考）如圖，將長(zhǎng)方形紙片折疊，使邊落在對(duì)角線上，折痕為，且點(diǎn)落在對(duì)角線處．若，，則的長(zhǎng)為

A．B．3C．1D．

7．（2022九上·舟山開(kāi)學(xué)考）如圖，在中，點(diǎn)、、分別為邊、、的中點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)、、、，點(diǎn)是與的交點(diǎn)，下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（）

的周長(zhǎng)是周長(zhǎng)的一半；與互相平分；③如果，那么點(diǎn)到四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；④如果，那么點(diǎn)到四邊形四條邊的距離相等．

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

8．（2022九上·南寧開(kāi)學(xué)考）如圖，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，MP⊥CD于點(diǎn)P，MQ⊥BC于點(diǎn)Q，則PQ的最小值是（）

A．B．3C．D．

9．（2022九上·黃岡開(kāi)學(xué)考）AC，BD是的兩條對(duì)角線，如果添加一個(gè)條件，使為矩形，那么這個(gè)條件可以是（）

A．B．C．D．

10．（2022九上·興化開(kāi)學(xué)考）在平行四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝4，當(dāng)平行四邊形ABCD的面積最大時(shí)，①BD＝5；②∠A+∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD．以上4個(gè)結(jié)論中正確的有（）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④

二、填空題

11．（2022九上·晉江期末）如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，點(diǎn)E、F在矩形ABCD的邊AB、AD上運(yùn)動(dòng)，將△AEF沿EF折疊，使點(diǎn)A′在BC邊上，當(dāng)折痕EF移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A′在BC邊上也隨之移動(dòng).則A′C的取值范圍為.

12．（2022九上·福田期中）如圖所示．在矩形中，，則度．

13．（2022九上·黃岡開(kāi)學(xué)考）如圖，在矩形中，，點(diǎn)、分別在邊、上，連接、若四邊形是菱形，則等于．

14．（2023九上·南昌月考）如圖所示，已知矩形中，，現(xiàn)將邊繞它的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)另一端點(diǎn)恰好落在邊所在直線的點(diǎn)E處時(shí)，線段的長(zhǎng)度為

15．（2023九上·東區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，點(diǎn)E為射線DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿直線AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線上時(shí)，則DE的長(zhǎng)為．

三、解答題

16．（2023九上·河北期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得.

（Ⅰ）如圖①，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足軸時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

（Ⅱ）如圖②，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C恰好落在x軸正半軸上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，邊上的一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）

17．（2023九上·海珠期末）如圖是某地下商業(yè)街的入口，數(shù)學(xué)課外興趣小組的同學(xué)打算運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量側(cè)面支架的最高點(diǎn)E到地面的距離EF．經(jīng)測(cè)量，支架的立柱BC與地面垂直，即∠BCA=90°，且BC=1.5m，點(diǎn)F、A、C在同一條水平線上，斜桿AB與水平線AC的夾角∠BAC=30°，支撐桿DE⊥AB于點(diǎn)D，該支架的邊BE與AB的夾角∠EBD=60°，又測(cè)得AD=1m．請(qǐng)你求出該支架的邊BE及頂端E到地面的距離EF的長(zhǎng)度．

18．（2023九上·吉安期末）如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在CB的延長(zhǎng)線上，邊AB與相交于點(diǎn)E．求證：．

19．（2023九上·秦都期末）平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在CD上，CF＝AE，連接BF，AF.

求證：四邊形BFDE是矩形.

20．（2023九上·鐵東期中）如圖，將矩形ABCD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到矩形FECG，點(diǎn)B與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)，點(diǎn)E恰好落在AD邊上，BH⊥CE交于點(diǎn)H，求證：AB＝BH．

答案解析部分

1．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)

【解析】【解答】解；設(shè)最快x秒，四邊形ABPQ成為矩形，由BP=AQ得

3x=20-2x．

解得x=4，

故答案為：C．

【分析】設(shè)最快x秒，根據(jù)題意列出方程3x=20-2x，再求出x的值即可。

2．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)；鄰補(bǔ)角

【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC＝4，

∴OA＝OB＝AC＝2，

又∵∠AOD＝120°，

∴∠AOB＝60°，

∴△AOB是等邊三角形，

∴AB＝OA＝OB＝2．

∴在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，

∴BC＝＝＝2

故答案為：C.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OA＝OB＝AC＝2，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得∠AOB＝60°，推出△AOB是等邊三角形，得到AB＝OA＝OB＝2，然后利用勾股定理可得BC的值.

3．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DEC＝∠ADE，

又∵∠DEC＝∠AED，

∴∠ADE＝∠AED，

∴AE＝AD＝10，

在直角△ABE中，BE＝＝＝8，

∴CE＝BC﹣BE＝AD﹣BE＝10﹣8＝2．

故答案為：B．

【分析】利用矩形的性質(zhì)得AD∥BC，利用平行線的性質(zhì)及角平分線的定義得∠DEC＝∠ADE=∠AED，利用等角對(duì)等邊可求出AE的長(zhǎng)，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)，然后證明CE＝AD﹣BE，代入計(jì)算求出CE的長(zhǎng).

4．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；矩形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：邊長(zhǎng)為a、b的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為16，面積為12，

，，

則

．

故答案為：B.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合題意可得a+b=8，ab=12，然后利用提取公因式法將待求式子分解因式，最后整體代入進(jìn)行計(jì)算.

5．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的性質(zhì)；線段的中點(diǎn)；三角形全等的判定（ASA）

【解析】【解答】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖所示：

四邊形與四邊形都是矩形，

，，，

，，

的中點(diǎn)，

，

在和中，

，

≌．

，，

，

在中，，

.

故答案為：A.

【分析】延長(zhǎng)GH交AD于M點(diǎn)，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得CD=CE=FG=1，BC=EF=CG=3，BE∥AD∥FG，則DG=2，∠HAM=∠HFG，根據(jù)中點(diǎn)的概念可得AH=FH，證明△AMH≌△FGH，得到AM=FG=1，MH=GH，則MD=AD-AM=2，利用勾股定理可得GM，進(jìn)而可得GH.

6．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）

【解析】【解答】解：，，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，

，∠D=90°

，

根據(jù)折疊可得：△D'EC，

∴DC=D'C，DE=D'E，

設(shè)ED=x，則D'E=x，AD'=AC-CD'=2，，

在Rt△AD'E中：，

，

解得：.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB=DC=3，利用勾股定理可得AC=5，根據(jù)折疊可得D′C=DC=3，DE=D′E，設(shè)ED=x，則D′E=x，AD′=2，AE=4-x，然后在Rt△AED′中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

7．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)；三角形的中位線定理

【解析】【解答】解：①∵點(diǎn)D、E、F分別為邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，

，，，

，

∴△DEF的周長(zhǎng)是△ABC周長(zhǎng)的一半，故①正確；

②∵點(diǎn)D、E、F分別為邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，

，，

四邊形ADEF是平行四邊形，

∴AE與DF互相平分，故②正確；

，四邊形ADEF是平行四邊形，

四邊形ADEF是矩形，

，，

點(diǎn)O到四邊形ADEF四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故③正確；

，

，

四邊形ADEF是平行四邊形，

四邊形ADEF是菱形，

，是菱形兩組對(duì)角的平分線，

點(diǎn)O到四邊形ADEF四條邊的距離相等，故④正確．

綜上所述：正確的是①②③④，共4個(gè).

故答案為：D.

【分析】由題意可得DF、DE、EF為△ABC的中位線，則EF=AB，DF=BC，DE=AC，結(jié)合周長(zhǎng)的意義可判斷①；根據(jù)中位線的性質(zhì)可得DE∥AC，EF∥BA，推出四邊形ADEF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可判斷②；由題意可得四邊形ADEF是矩形，則AE=DF，OA=OE=OD=OF，據(jù)此判斷③；易得四邊形ADEF是菱形，則AE、DF是菱形兩組對(duì)角的平分線，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可判斷④.

8．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖，連接CM，

∵M(jìn)P⊥CD于點(diǎn)P，MQ⊥BC于點(diǎn)Q，

∴∠CPM＝∠CQM＝90°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，

∴四邊形PCQM是矩形，

∴PQ＝CM，

由勾股定理得：BD＝＝5，

當(dāng)CM⊥BD時(shí)，CM最小，則PQ最小，

此時(shí)，S△BCD＝BDCM＝BCCD，

∴CM＝＝，

∴PQ的最小值為，

故答案為：A．

【分析】如圖，連接CM，結(jié)合已知根據(jù)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形可得四邊形PCQM是矩形，由矩形的性質(zhì)可得PQ=CM，在直角三角形BCD中，用勾股定理可求得BD的值，根據(jù)垂線段最短可得：當(dāng)CM⊥BD時(shí)，CM最小，則PQ最小，在直角三角形BCD中，用面積法可求得CM的值，即為PQ的最小值.

9．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定；矩形的判定

【解析】【解答】解：A、是鄰邊相等，可得到平行四邊形ABCD是菱形，故此選項(xiàng)不正確；

B、是對(duì)角線相等，可推出平行四邊形ABCD是矩形，故此選項(xiàng)正確；

C、是對(duì)角線互相垂直，可得到平行四邊形ABCD是菱形，故此選項(xiàng)不正確；

D、無(wú)法判斷，故此選項(xiàng)不正確．

故答案為：B.

【分析】根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形及對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，可判斷A、C；根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可判斷B.

10．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵當(dāng)平行四邊形ABCD的面積最大時(shí)，AB⊥BC，

∴平行四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠BCD=90°，BC=AD=4，AC=BD，故④正確；

∴∠BAD+∠BCD=180°，故②正確；

∴BD=，故①正確；

只有矩形ABCD是正方形時(shí)，AC⊥BD，故③錯(cuò)誤；

故答案為：B.

【分析】由當(dāng)平行四邊形ABCD的面積最大時(shí)，AB⊥BC，可判定平行四邊形ABCD是矩形，由矩形的性質(zhì)（矩形的對(duì)邊相等，且四個(gè)內(nèi)角都是90°），可得②④正確，③錯(cuò)誤，由勾股定理（直角三角形兩個(gè)直角邊的平方和等于斜邊的平方）求得BD=5，即可得出答案.

11．【答案】4cm≤A′C≤8cm

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C＝90°，BC＝AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，

當(dāng)點(diǎn)E與B重合時(shí)，A′C最小，

如圖1所示：

此時(shí)BA′＝BA＝6cm，

∴A′C＝BC﹣BA′＝10cm﹣6cm＝4cm；

當(dāng)F與D重合時(shí)，A′C最大，

如圖2所示：

此時(shí)A′D＝AD＝10cm，

∴A′C＝＝8（cm）；

綜上所述：A′C的取值范圍為4cm≤A′C≤8cm.

故答案為：4cm≤A′C≤8cm.

【分析】∠C＝90°，BC＝AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，當(dāng)點(diǎn)E與B重合時(shí)，A′C最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)得BA′＝BA＝6cm，進(jìn)而根據(jù)A'C=BC-BA'算出A'C的最小值；當(dāng)F與D重合時(shí)，A′C最大，根據(jù)折疊的性質(zhì)得DA′＝DA＝10cm，根據(jù)勾股定理算出A'C，從而即可得出答案.

12．【答案】120

【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵矩形的對(duì)角線相等，且互相平分，

∴，

∵，

∴，

∴是等邊三角形，

∴，

∴，

故答案為：120．

【分析】根據(jù)題意先求出，再求出是等邊三角形，最后計(jì)算求解即可。

13．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：四邊形MBND是菱形，

．

四邊形ABCD是矩形，

．

設(shè)，，則，、均為正數(shù)．

在中，，即，

解得，

，

．

故答案為：．

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得MD=MB，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠A=90°，設(shè)AB=x，AM=y，則MB=2x-y，在Rt△ABM中，利用勾股定理可得x、y的關(guān)系，由MD=MB可得MD，據(jù)此求解.

14．【答案】或或10

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD=6，AD=BC=10，∠ABC=∠DCB=90°，

當(dāng)AD=AE=10時(shí)，BE=，

∴DE1=，DE2=，

當(dāng)DE=DA=10時(shí)，DE=10，

綜上所述，滿足條件的DE的值為或或．

故答案為：或或10．

【分析】分兩種情況，AD=AE和DE=DA，利用勾股定理分別求解即可。

15．【答案】或10

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）

【解析】【解答】如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在DC上時(shí)，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線QP上，

∵AF=AD=5，AP=4，

∴FP==3，

∴FQ=2，

設(shè)FE=x，則DE=x，QE=4-x，

在Rt△EQF中，（4-x）2+22=x2，所以x=．

如圖②，當(dāng)，所以FQ=點(diǎn)E在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線QP上，易求FP=3，

所以FQ=8，設(shè)DE=x，則FE=x，QE=x-4，在Rt△EQF中，（x-4）2+82=x2，所以x=10，

綜上所述，DE=或10.

【分析】分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)E在DC上時(shí)，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線QP上，②當(dāng)F在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線QP上，據(jù)此分別畫(huà)出圖形，根據(jù)折疊的性質(zhì)及勾股定理進(jìn)行求解即可.

16．【答案】解：（Ⅰ）如圖①中，作軸于H.

∵，

∴，

∴四邊形是矩形，

∴，

∴，

∴

（Ⅱ）如圖②中，作于K.

在中，∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

（Ⅲ）如圖③中，連接PA、AP′，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接DA′交y軸于P′，連接AP′．

由題意PA=AP′，

∴AP′+PD=PA+PD，

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P′重合時(shí)，PA+PD的值最小．

，

∴直線A′D的解析式為，

點(diǎn)P坐標(biāo)

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；軸對(duì)稱的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）證明四邊形ADCH為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出答案即可；

（2）作DK⊥AC于K，在直角三角形ADC中，求出DK和AK的值，解出答案即可；

（3）根據(jù)題意，由軸對(duì)稱的性質(zhì)，結(jié)合兩點(diǎn)之間線段最短，即當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)P'重合時(shí)，可得到PA+PD的最小值，求出直線A'D的解析式即可。

17．【答案】解：過(guò)B作BH⊥EF于點(diǎn)H，∴四邊形BCFH為矩形，BC=HF=1.5m，∠HBA=∠BAC=30°，在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，BC=1.5m，∴AB=3m，∵AD=1m，∴BD=2m，在Rt△EDB中，∵∠EBD=60°，∴∠BED=90°﹣60°=30°，∴EB=2BD=2×2=4m，又∵∠HBA=∠BAC=30°，∴∠EBH=∠EBD﹣∠HBD=30°，∴EH=EB=2m，∴EF=EH+HF=2+1.5=3.5（m）．答：該支架的邊BE為4m，頂端E到地面的距離EF的長(zhǎng)度為3.5m．

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】由直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得由于∠BAC=30°，BC=1.5m，所以AB=3m，從而AD=1m，BD=2m。再利用性質(zhì)直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半容易算得EB=2BD=2×2=4m。

在計(jì)算頂端E到地面的距離EF的長(zhǎng)度時(shí)，我們可以做輔助線把EF分為EH和HF兩部分，其中HF等于BC等于1.5m，而EH仍然可用直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半易得EH=EB=2m，最后得到EF的長(zhǎng)度為3.5m

18．【答案】證明：如圖，連接AC，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠ABC＝90°，即．

由旋轉(zhuǎn)，得，

∴．

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【分析】先求出，再求出，最后求解即可。

19．【答案】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴DF∥BE，

∵CF=AE，

∴DF=BE，

∴四邊形BFDE是平行四邊形，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴四邊形BFDE是矩形.

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；矩形的判定

【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB=CD，AB∥CD，結(jié)合CF=AE可推出DF=BE，則四邊形BFDE是平行四邊形，根據(jù)垂直的概念可得∠DEB=90°，然后利用矩形的判定定理進(jìn)行證明.

20．【答案】證明：連接BE，

∵矩形ABCD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到矩形FECG，

∴CB=CE，

∴∠EBC=∠BEC，

又∵AD∥BC，

∴∠EBC=∠BEA，

∴∠BEA=∠BEC，

在△EAB和△EHB中，，

∴△EAB≌△EHB(AAS)，

∴AB=BH．

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【分析】由平行線的性質(zhì)得出∠EBC=∠BEC，再根據(jù)AAS得出△EAB≌△EHB，進(jìn)而得出結(jié)論。

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2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)1.2矩形的性質(zhì)與判定（培優(yōu)卷）

一、選擇題

1．（2022九上·五華期中）如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別從點(diǎn)B和點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蜓鼐匦蜛BCD的邊運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的速度分別為3cm/s和2cm/s，當(dāng)四邊形ABPQ初次為矩形時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（）秒．

A．2B．3C．4D．5

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)

【解析】【解答】解；設(shè)最快x秒，四邊形ABPQ成為矩形，由BP=AQ得

3x=20-2x．

解得x=4，

故答案為：C．

【分析】設(shè)最快x秒，根據(jù)題意列出方程3x=20-2x，再求出x的值即可。

2．（2022九上·福州開(kāi)學(xué)考）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．AC＝4，∠AOD＝120°，則BC的長(zhǎng)為（）

A．4B．4C．2D．2

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)；鄰補(bǔ)角

【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC＝4，

∴OA＝OB＝AC＝2，

又∵∠AOD＝120°，

∴∠AOB＝60°，

∴△AOB是等邊三角形，

∴AB＝OA＝OB＝2．

∴在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，

∴BC＝＝＝2

故答案為：C.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OA＝OB＝AC＝2，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得∠AOB＝60°，推出△AOB是等邊三角形，得到AB＝OA＝OB＝2，然后利用勾股定理可得BC的值.

3．（2022九上·福州開(kāi)學(xué)考）如圖，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，E為BC上一點(diǎn)，DE平分∠AEC，則CE的長(zhǎng)為（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DEC＝∠ADE，

又∵∠DEC＝∠AED，

∴∠ADE＝∠AED，

∴AE＝AD＝10，

在直角△ABE中，BE＝＝＝8，

∴CE＝BC﹣BE＝AD﹣BE＝10﹣8＝2．

故答案為：B．

【分析】利用矩形的性質(zhì)得AD∥BC，利用平行線的性質(zhì)及角平分線的定義得∠DEC＝∠ADE=∠AED，利用等角對(duì)等邊可求出AE的長(zhǎng)，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)，然后證明CE＝AD﹣BE，代入計(jì)算求出CE的長(zhǎng).

4．（2022九上·開(kāi)學(xué)考）如下圖，邊長(zhǎng)為、的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為16，面積為12，則的值為（）

A．28B．96C．192D．200

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；矩形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：邊長(zhǎng)為a、b的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為16，面積為12，

，，

則

．

故答案為：B.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合題意可得a+b=8，ab=12，然后利用提取公因式法將待求式子分解因式，最后整體代入進(jìn)行計(jì)算.

5．（2022九上·福州開(kāi)學(xué)考）矩形與矩形如圖放置，點(diǎn)、、共線，點(diǎn)、、共線，連接，取的中點(diǎn)，連接若，，則（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的性質(zhì)；線段的中點(diǎn)；三角形全等的判定（ASA）

【解析】【解答】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖所示：

四邊形與四邊形都是矩形，

，，，

，，

的中點(diǎn)，

，

在和中，

，

≌．

，，

，

在中，，

.

故答案為：A.

【分析】延長(zhǎng)GH交AD于M點(diǎn)，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得CD=CE=FG=1，BC=EF=CG=3，BE∥AD∥FG，則DG=2，∠HAM=∠HFG，根據(jù)中點(diǎn)的概念可得AH=FH，證明△AMH≌△FGH，得到AM=FG=1，MH=GH，則MD=AD-AM=2，利用勾股定理可得GM，進(jìn)而可得GH.

6．（2022九上·猇亭開(kāi)學(xué)考）如圖，將長(zhǎng)方形紙片折疊，使邊落在對(duì)角線上，折痕為，且點(diǎn)落在對(duì)角線處．若，，則的長(zhǎng)為

A．B．3C．1D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）

【解析】【解答】解：，，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，

，∠D=90°

，

根據(jù)折疊可得：△D'EC，

∴DC=D'C，DE=D'E，

設(shè)ED=x，則D'E=x，AD'=AC-CD'=2，，

在Rt△AD'E中：，

，

解得：.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB=DC=3，利用勾股定理可得AC=5，根據(jù)折疊可得D′C=DC=3，DE=D′E，設(shè)ED=x，則D′E=x，AD′=2，AE=4-x，然后在Rt△AED′中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

7．（2022九上·舟山開(kāi)學(xué)考）如圖，在中，點(diǎn)、、分別為邊、、的中點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)、、、，點(diǎn)是與的交點(diǎn)，下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（）

的周長(zhǎng)是周長(zhǎng)的一半；與互相平分；③如果，那么點(diǎn)到四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；④如果，那么點(diǎn)到四邊形四條邊的距離相等．

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)；三角形的中位線定理

【解析】【解答】解：①∵點(diǎn)D、E、F分別為邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，

，，，

，

∴△DEF的周長(zhǎng)是△ABC周長(zhǎng)的一半，故①正確；

②∵點(diǎn)D、E、F分別為邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，

，，

四邊形ADEF是平行四邊形，

∴AE與DF互相平分，故②正確；

，四邊形ADEF是平行四邊形，

四邊形ADEF是矩形，

，，

點(diǎn)O到四邊形ADEF四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故③正確；

，

，

四邊形ADEF是平行四邊形，

四邊形ADEF是菱形，

，是菱形兩組對(duì)角的平分線，

點(diǎn)O到四邊形ADEF四條邊的距離相等，故④正確．

綜上所述：正確的是①②③④，共4個(gè).

故答案為：D.

【分析】由題意可得DF、DE、EF為△ABC的中位線，則EF=AB，DF=BC，DE=AC，結(jié)合周長(zhǎng)的意義可判斷①；根據(jù)中位線的性質(zhì)可得DE∥AC，EF∥BA，推出四邊形ADEF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可判斷②；由題意可得四邊形ADEF是矩形，則AE=DF，OA=OE=OD=OF，據(jù)此判斷③；易得四邊形ADEF是菱形，則AE、DF是菱形兩組對(duì)角的平分線，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可判斷④.

8．（2022九上·南寧開(kāi)學(xué)考）如圖，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，MP⊥CD于點(diǎn)P，MQ⊥BC于點(diǎn)Q，則PQ的最小值是（）

A．B．3C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖，連接CM，

∵M(jìn)P⊥CD于點(diǎn)P，MQ⊥BC于點(diǎn)Q，

∴∠CPM＝∠CQM＝90°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，

∴四邊形PCQM是矩形，

∴PQ＝CM，

由勾股定理得：BD＝＝5，

當(dāng)CM⊥BD時(shí)，CM最小，則PQ最小，

此時(shí)，S△BCD＝BDCM＝BCCD，

∴CM＝＝，

∴PQ的最小值為，

故答案為：A．

【分析】如圖，連接CM，結(jié)合已知根據(jù)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形可得四邊形PCQM是矩形，由矩形的性質(zhì)可得PQ=CM，在直角三角形BCD中，用勾股定理可求得BD的值，根據(jù)垂線段最短可得：當(dāng)CM⊥BD時(shí)，CM最小，則PQ最小，在直角三角形BCD中，用面積法可求得CM的值，即為PQ的最小值.

9．（2022九上·黃岡開(kāi)學(xué)考）AC，BD是的兩條對(duì)角線，如果添加一個(gè)條件，使為矩形，那么這個(gè)條件可以是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定；矩形的判定

【解析】【解答】解：A、是鄰邊相等，可得到平行四邊形ABCD是菱形，故此選項(xiàng)不正確；

B、是對(duì)角線相等，可推出平行四邊形ABCD是矩形，故此選項(xiàng)正確；

C、是對(duì)角線互相垂直，可得到平行四邊形ABCD是菱形，故此選項(xiàng)不正確；

D、無(wú)法判斷，故此選項(xiàng)不正確．

故答案為：B.

【分析】根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形及對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，可判斷A、C；根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可判斷B.

10．（2022九上·興化開(kāi)學(xué)考）在平行四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝4，當(dāng)平行四邊形ABCD的面積最大時(shí)，①BD＝5；②∠A+∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD．以上4個(gè)結(jié)論中正確的有（）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵當(dāng)平行四邊形ABCD的面積最大時(shí)，AB⊥BC，

∴平行四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠BCD=90°，BC=AD=4，AC=BD，故④正確；

∴∠BAD+∠BCD=180°，故②正確；

∴BD=，故①正確；

只有矩形ABCD是正方形時(shí)，AC⊥BD，故③錯(cuò)誤；

故答案為：B.

【分析】由當(dāng)平行四邊形ABCD的面積最大時(shí)，AB⊥BC，可判定平行四邊形ABCD是矩形，由矩形的性質(zhì)（矩形的對(duì)邊相等，且四個(gè)內(nèi)角都是90°），可得②④正確，③錯(cuò)誤，由勾股定理（直角三角形兩個(gè)直角邊的平方和等于斜邊的平方）求得BD=5，即可得出答案.

二、填空題

11．（2022九上·晉江期末）如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，點(diǎn)E、F在矩形ABCD的邊AB、AD上運(yùn)動(dòng)，將△AEF沿EF折疊，使點(diǎn)A′在BC邊上，當(dāng)折痕EF移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A′在BC邊上也隨之移動(dòng).則A′C的取值范圍為.

【答案】4cm≤A′C≤8cm

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C＝90°，BC＝AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，

當(dāng)點(diǎn)E與B重合時(shí)，A′C最小，

如圖1所示：

此時(shí)BA′＝BA＝6cm，

∴A′C＝BC﹣BA′＝10cm﹣6cm＝4cm；

當(dāng)F與D重合時(shí)，A′C最大，

如圖2所示：

此時(shí)A′D＝AD＝10cm，

∴A′C＝＝8（cm）；

綜上所述：A′C的取值范圍為4cm≤A′C≤8cm.

故答案為：4cm≤A′C≤8cm.

【分析】∠C＝90°，BC＝AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，當(dāng)點(diǎn)E與B重合時(shí)，A′C最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)得BA′＝BA＝6cm，進(jìn)而根據(jù)A'C=BC-BA'算出A'C的最小值；當(dāng)F與D重合時(shí)，A′C最大，根據(jù)折疊的性質(zhì)得DA′＝DA＝10cm，根據(jù)勾股定理算出A'C，從而即可得出答案.

12．（2022九上·福田期中）如圖所示．在矩形中，，則度．

【答案】120

【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵矩形的對(duì)角線相等，且互相平分，

∴，

∵，

∴，

∴是等邊三角形，

∴，

∴，

故答案為：120．

【分析】根據(jù)題意先求出，再求出是等邊三角形，最后計(jì)算求解即可。

13．（2022九上·黃岡開(kāi)學(xué)考）如圖，在矩形中，，點(diǎn)、分別在邊、上，連接、若四邊形是菱形，則等于．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：四邊形MBND是菱形，

．

四邊形ABCD是矩形，

．

設(shè)，，則，、均為正數(shù)．

在中，，即，

解得，

，

．

故答案為：．

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得MD=MB，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠A=90°，設(shè)AB=x，AM=y，則MB=2x-y，在Rt△ABM中，利用勾股定理可得x、y的關(guān)系，由MD=MB可得MD，據(jù)此求解.

14．（2023九上·南昌月考）如圖所示，已知矩形中，，現(xiàn)將邊繞它的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)另一端點(diǎn)恰好落在邊所在直線的點(diǎn)E處時(shí)，線段的長(zhǎng)度為

【答案】或或10

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD=6，AD=BC=10，∠ABC=∠DCB=90°，

當(dāng)AD=AE=10時(shí)，BE=，

∴DE1=，DE2=，

當(dāng)DE=DA=10時(shí)，DE=10，

綜上所述，滿足條件的DE的值為或或．

故答案為：或或10．

【分析】分兩種情況，AD=AE和DE=DA，利用勾股定理分別求解即可。

15．（2023九上·東區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，點(diǎn)E為射線DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿直線AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線上時(shí)，則DE的長(zhǎng)為．

【答案】或10

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）

【解析】【解答】如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在DC上時(shí)，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線QP上，

∵AF=AD=5，AP=4，

∴FP==3，

∴FQ=2，

設(shè)FE=x，則DE=x，QE=4-x，

在Rt△EQF中，（4-x）2+22=x2，所以x=．

如圖②，當(dāng)，所以FQ=點(diǎn)E在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線QP上，易求FP=3，

所以FQ=8，設(shè)DE=x，則FE=x，QE=x-4，在Rt△EQF中，（x-4）2+82=x2，所以x=10，

綜上所述，DE=或10.

【分析】分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)E在DC上時(shí)，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線QP上，②當(dāng)F在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線QP上，據(jù)此分別畫(huà)出圖形，根據(jù)折疊的性質(zhì)及勾股定理進(jìn)行求解即可.

三、解答題

16．（2023九上·河北期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得.

（Ⅰ）如圖①，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足軸時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

（Ⅱ）如圖②，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C恰好落在x軸正半軸上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，邊上的一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）

【答案】解：（Ⅰ）如圖①中，作軸于H.

∵，

∴，

∴四邊形是矩形，

∴，

∴，

∴

（Ⅱ）如圖②中，作于K.

在中，∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

（Ⅲ）如圖③中，連接PA、AP′，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接DA′交y軸于P′，連接AP′．

由題意PA=AP′，

∴AP′+PD=PA+PD，

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P′重合時(shí)，PA+PD的值最小．

，

∴直線A′D的解析式為，

點(diǎn)P坐標(biāo)

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；軸對(duì)稱的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）證明四邊形ADCH為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出答案即可；

（2）作DK⊥AC于K，在直角三角形ADC中，求出DK和AK的值，解出答案即可；

（3）根據(jù)題意，由軸對(duì)稱的性質(zhì)，結(jié)合兩點(diǎn)之間線段最短，即當(dāng)點(diǎn)P和