第五章三角函數(shù)5 4圖象與性質(zhì)課時4正切

成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動更新，永不過期第五章 三角函數(shù)5.4

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)課時4 正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)學習目標掌握正切函數(shù)的周期性和奇偶性.（數(shù)學抽象）能借助單位圓畫出<>m??=tan

??/<>m

的圖象.（直觀想象）掌握正切函數(shù)的性質(zhì).（數(shù)學運算）自主預習·悟新知合作探究·提素養(yǎng)隨堂檢測·精評價1.正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)的關(guān)系是什么？???

?/<>m[答案]

tan

??

=

???

?

cos??

≠

0

.m><2.正切函數(shù)的定義域是什么？?/<>m[答案]

{??|??

≠

??π

+

?

,

??

∈

??}

.m<>3.正切函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)嗎？[答案]

不是.4.正切曲線是中心對稱圖形嗎？若是，其對稱中心是什么？是軸對稱圖形嗎？[答案]

正切曲線是中心對稱圖形，對稱中心為<>m???

,0??∈??

/<>m

，不是軸對稱圖形.><m

m></

m><?/<>m<>m

m></5.正切函數(shù)??=tan

??

的圖象與??=??π+?

，??∈??

有公共點嗎？?/<>m[答案]

沒有.正切曲線是由被互相平行的直線??

=

??π

+?

??

∈

??

隔開的無窮多支曲線組成m><的.1.判斷下列結(jié)論是否正確.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）正切函數(shù)的定義域和值域都是??

.(

×

)正切函數(shù)在??

上是遞增的.(

×

)正切曲線是中心對稱圖形，有無數(shù)個對稱中心.(

√

)正切函數(shù)的最小正周期為π

.(

√

)2.函數(shù)??

=

tan ??

+?

??的定義域為

.??<>m{??|??

≠

??π

+

??

,

??

∈

??}/<>m??

?[解析]

令??

+

?

≠

??π

+

?

，解得??

≠

??π

+

??

，故函數(shù)的定義域為{??|??

≠

??π

+

??

,

??

∈

??}

.?

?3.函數(shù)??=tan

??

，??∈[??

,?]的最大值為.??

??1[解析]

正切函數(shù)在[?

?

,

?]

上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最大值為tan

?

=

1

.4.函數(shù)??

=

tan ??

??

??

?

?的單調(diào)遞增區(qū)間是

.???<>m

?

?

+

??π,

?

+

??π

/><m

，

<>m??

∈

??/><m[解析]

令??π

?

?

<

??

?

?

<

??π

+

?

，解得??π

?

?

<

??

<

??π+??

，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間?

?

?

?

?為 ?

?

+??π,

??

+??π ，

??

∈

??

.?

?探究1

正切函數(shù)的周期性與奇偶性問題1：.角的正切是如何定義的？在單位圓中如何表示？[答案]

設<>m??/<>m

是一個任意角，

<>m??

∈

??/<>m

，它的終邊<>m????/<>m

與單位圓相交于點<>m??

??,

??

/<>m

.<>m

/><m

m><

m></

m><

m></

m><

m></

m<>

m></

m><?/<>m把點??

的縱坐標??

與橫坐標??

的比值叫作??

的正切函數(shù)，記作tan??

，即tan??

=

?

??

≠

0

.問題2：.正切函數(shù)<>m??=tan

??/<>m

的定義域是什么？?/><m[答案]

定義域是{??|??

≠

?

+

??π,

??

∈

??}

.m><問題3：.根據(jù)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的經(jīng)驗，你認為應如何研究正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)？[答案]

先研究正切函數(shù)的周期性、奇偶性，然后結(jié)合性質(zhì)研究函數(shù)的圖象和單調(diào)性.問題4：.我們知道<>mtan

??

+

π =

tan??m></

，那么tanm><

??

+??π ??

∈

??

m></

與tanm><

??m></

相等嗎？[答案]

相等.當??m>< m></

為奇數(shù)時，

tanm><

??

+??π =

tan

??/<>m

；當??m>< m></

為偶數(shù)時，

tanm><

??

+??π =

tan

??/<>m

.所以<>mtan

??

+

??π =

tan

??/<>m

.新知生成周期性正切函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是<>mπ/<>m

.奇偶性正切函數(shù)是奇函數(shù).新知運用例1

（1）求函數(shù)m><??

???=tan 2??+?

的最小正周期；/><m（2）判斷函數(shù)<>m??

??=sin

??+tan

??/<>m

的奇偶性.?/><m方法指導

（1）利用??

=

?

求解；（2）先看定義域是否關(guān)于原點對稱，若關(guān)于原點對稱，再根m><據(jù)<>m??

???

/<>m

與<>m??

??

/<>m

及<>m???

??

/<>m

的關(guān)系來判斷奇偶性.?[解析]（1）由正切函數(shù)的最小正周期公式，得??=?

，∴??

??

=tan 2??+?

的最小正周期是?

.?

?（2）由題意可知，函數(shù)的定義域為{??|??≠??π+?

,??∈??}

，定義域關(guān)于原點對稱，∵

??

????=

sin

??? +

tan

??? =

?sin

??

?

tan

??

=

???

??

，∴??

??

是奇函數(shù).方法總結(jié) 正切型函數(shù)??m><

=

??tan

????

+

??

m></

的周期性、奇偶性：<>m

m></

m<>?/<>m（1）一般地，函數(shù)??

=

??tan

????

+??

的最小正周期??

=

?

，常常利用此公式來求周期.<>m

m></

m><

m<>/

m><?/><m（2）若函數(shù)??

=

??tan

????

+??

為奇函數(shù)，則??

=

??π

或??

=

??π

+?

??

∈

??

，否則為非奇非偶函數(shù).（3）因為正切函數(shù)是奇函數(shù)，所以原點是函數(shù)<>m??=tan

??/<>m

圖象的一個對稱中心，同樣，結(jié)合函數(shù)m><??=tan

??/<>m

的圖象，可以得到m><???

,0/<>m??∈??

都是正切函數(shù)圖象的對稱中心.關(guān)于函數(shù)??

?? =

tan

??

+

??

有以下幾種說法：①對任意的??，

??

??

都是非奇非偶函數(shù)；②

??

??

的圖象關(guān)于點

?

?

??,0

對稱；?③

??

??

的圖象關(guān)于點

π

?

??,0

對稱；④

??

??

是以π為最小正周期的周期函數(shù).其中說法不正確的序號是

①

.[解析]

若取??

=

??π

??

∈

??

，則??

?? =

tan

??

，此時??

??

為奇函數(shù)，所以①錯誤；觀察正切函數(shù)??=tan

??

的圖象，可知??=tan

??

的圖象關(guān)于點???

,0???

∈

??

對稱，令

??

+

??

=

??

??

∈

??

，?解得??

=

??

???

??

∈

??

，分別令??

=

1

，

2

，知②③正確；④顯然正確.探究2

正切函數(shù)圖象及應用下圖為函數(shù)<>m??=tan

??/<>m

，<>m??∈?

??

,

?

??

?∪

?

,?

??

?∪?

???

?,

m></

的圖象，根據(jù)圖象回答下面的問題：問題1：.作正切函數(shù)m><??=tan

??/<>m

，><m??∈?

?

,

??

?/<>m

的圖象的關(guān)鍵是什么？/<>m

m><

m></

m><?

?/<>m

m<>?/<>m

m><

?m></[答案]

三個關(guān)鍵點

?

?

,

?1

，

0,0

，

?

,1

及兩條漸近線??

=

?

?

和??

=

?

在圖象中起m<>著關(guān)鍵的作用.問題2：.直線<>m??=??/<>m

與函數(shù)<>m??=tan

??/<>m

的圖象的兩交點<>m???/<>m

，<>m???/<>m

之間的距離是多少？[答案]

由圖象結(jié)合正切函數(shù)的周期性可知，兩交點之間的距離為<>mπ/<>m

.?

?

,

??

?/<>m

的值域是什么？問題3：.m><??=tan

??/<>m

，><m??∈[答案]

<>m??/<>m

.新知生成?/<>m

m><

m></正切曲線是由被相互平行的直線??=?

+??π

，??∈??

所隔開的無窮多支形狀相同的曲線組m><成的.正切函數(shù)的圖象叫作

正切曲線

.正切函數(shù)的圖象特征新知運用例2

設函數(shù)m><??

?? =

tan?

?

??

?/<>m

.求函數(shù)<>m??

??

/<>m

的最小正周期、圖象的對稱中心；作出函數(shù)<>m??

??

/<>m

在一個周期內(nèi)的簡圖.方法指導

（1）首先根據(jù)正切函數(shù)的周期公式即可得到函數(shù)<>m??

??

/<>m

的周期，再根據(jù)正切曲線的對稱中心即可得到函數(shù)??m><

??

m></

圖象的對稱中心；（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，可知函數(shù)

??

???m><

??

m></

的圖象與??m>< m></

軸的交點坐標為m><

π,0

m<>/

，以及點m><

?

,1

m></

，

m><

?

,

?1

m></

在該函數(shù)圖象上，再找到兩側(cè)相鄰的漸近線方程，畫出函數(shù)的圖象即可.[解析]

（1）由??

?? =

tan?

?

??

??

?，得??=?

=3π

，令?

??

=??

，??∈??

，解得??=π+???

，??∈

，?

?

?

??故??

??

圖象的對稱中心的坐標為

π

+

???

,0

，

??

∈

??

.?

?（2）令?

??

=0

，解得??=π

，令?

??

=?

，解得??=??

，?

?

?

?令?

??

=??

，解得??=?

，?

?

?

?令?

??

=?

，解得??=??

，?

?

?

?令?

??

=??

，解得??=??

，?

?

?

?所以函數(shù)??

??=

tan?

?

??

??的圖象與??

軸的一個交點坐標為

π,0

，圖象上的點有

??

,1

，??

,?1

兩點，在

?

?

,

???

?內(nèi)，左右兩側(cè)相鄰的漸近線方程分別為??=??

和??=??

，?

??

?從而得到函數(shù)??

?? 在一個周期 ?

?

,

??

內(nèi)的簡圖（如圖）.方法總結(jié) （1）作函數(shù)<>m??

= ??

??

m></

的圖象一般利用圖象變換法，具體步驟是：①保留函數(shù)??m><

=

??

??

m></

圖象在??m>< m></

軸上方的部分；②將函數(shù)??m><

=

??

??

m></

圖象在??m>< m></

軸下方的部分沿??m>< m></

軸向上翻折.（2）若函數(shù)為周期函數(shù)，則可先研究其一個周期內(nèi)的圖象，再利用周期性，延展到定義域上即可.???

?已知函數(shù)<>m??

??

=

???

?m></

.（1）求函數(shù)<>m??

??

/<>m

的定義域；用定義判斷函數(shù)<>m??

??

/<>m

的奇偶性；作出函數(shù)<>m??

??

/<>m

在<>m[?π,π]/<>m

上的圖象.?[解析]

（1）由cos??

≠

0

，得??

≠

??π

+?

，

??

∈

??

，所以函數(shù)??

??

的定義域是{??|??

≠

??π

+

?

,

??

∈

??}

.?（2）由（1）知函數(shù)??

??

的定義域關(guān)于原點對稱，因為??

???

=???

?????

?????

?=

????

?

=

????? ，所以??

??

是奇函數(shù).（3）因為??

?? =

?tan

??,

?

?

<

??

<

?

,?

??

??tan

??,?π≤??<??

或?

<??≤π,所以??

??

在[?π,

π]

上的圖象如圖所示.探究3

正切函數(shù)的性質(zhì)對于正切函數(shù)的圖象，數(shù)學教師請同學們類比正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)，寫出正切函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性.其結(jié)果如下.王浩宇說：函數(shù)<>m??=tan

??/<>m

在定義域<>m??/<>m

內(nèi)單調(diào)遞增.李琦說：函數(shù)<>m??=tan

??/<>m

的圖象的對稱中心為<>m

??π,0

/<>m

，<>m??∈??/<>m

.張瑜說：

??m><

=

??tan

2??

+

?? ??

>

0

/<>m

的最小正周期是<>m2π/<>m

.問題：.上面同學的說法哪些是錯誤的？請說明理由.<>m

m><<>m?

?

m></

?m></

?

m></[答案]

王浩宇的說法錯誤，因為?

<

??

，但tan

?

不小于tan

??

，就是因為它們不在同一?

?<>m

m></連續(xù)區(qū)間內(nèi).正切函數(shù)??

=

tan

??

在它的任一個連續(xù)區(qū)間

??π

??

,

??π

+?

，

??

∈

??

內(nèi)單調(diào)遞m><

m></

m><

m></增；?/<>m

m><

m></?李琦的說法錯誤，

<>m

,0

也是正切函數(shù)??

=

tan

??

的圖象的一個對稱中心；><m

m></<>m?/<>m張瑜的說法錯誤，因為??

=

??tan

2??

+??

的最小正周期是?

.新知生成正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式??

=

tan

??圖象定義域?><m{??|??∈??/<>m

,且<>m??≠?

+??π∈??}/<>m值域??周期π解析式??

=

tan

??奇偶性

奇函數(shù)

對稱中心??<>m

?

,0

/><m

，

<>m??

∈

??/<>m單調(diào)性在區(qū)間

?

?

+??π,

?

+

??π

，

??

∈

??

上單調(diào)遞增?

?續(xù)表新知運用一、正切函數(shù)的單調(diào)性及其應用例3

（1）比較下列兩個數(shù)的大?。ㄓ谩?/p>

>

”或“

<

”填空）：①

tan

????tan

???

；②

tan

????tan ?

???

.<>m</<>m<>m</<>m（2）求函數(shù)m><??=tan?

??

+

??

?/<>m

的單調(diào)遞增區(qū)間.[解析]（1）①

tan

???

=tan

??

，且0<??

<??

<?

，又??=tan??

在?

?

?

?

??0,? 上單調(diào)遞增，所以tan

??

<tan

??

，即tan

??

<tan

???

.?

?

?

?②tan

??

=tan

?

，tan ????

=tan

??

，因為0<?

<??

<?

，又??=tan

??

在?

?

?

?

?

?

??0,? 上單調(diào)遞增，所以tan

?

<

tan

??

，即tan

??

<

tan

?

???

.?

?

?

?（2）令??=?

??+?

，則??=tan

??

.?

?因為函數(shù)??

=

tan

??

在

?

?

+

??π,

?

+??π?

???∈??

上是增函數(shù)，且??=?

??+?

是增函數(shù)，?

?令??

+??π<?

??+?

<?

+??π

，??∈??

，解得???

+2??π<??<?

+2??π

，??∈

??

，?

?

?

?

?

?所以函數(shù)??=tan?

??

+

??

?的單調(diào)遞增區(qū)間為

?

??

+2??π,

?

+2??π ??

∈

??

.?

?【變式探究】

求函數(shù)??

=

3tan ?

?

??

+

?m><?

?/<>m

的單調(diào)遞減區(qū)間.[解析]

??

=

3tan ?

?

??

+

?

可化為??

=

?3tan

?

??

?

?

，?

?

?

?由??π??

<?

????

<??π+?

，??∈??

，得2??π??

<??<2??π+??

，??∈

??

，?

?

?

?

?

?故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為

?

?

+

2??π,

??

+

2??π ??

∈

??

.?

?方法總結(jié) （1）運用正切函數(shù)的單調(diào)性比較大小的方法①運用函數(shù)的周期性或誘導公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).②運用單調(diào)性比較大小關(guān)系.（2）求函數(shù)??m><

=

tan

????

+

??

m></

的單調(diào)區(qū)間的方法?><m??

=

tan

????

+

?? ??

>

0

m></

的單調(diào)區(qū)間的求法是把????m><

+

??m></

看成一個整體，解?m<>

?

+????π

<

????

+??

< +??π<>m

m><

m></<>m

，??∈??m<>/

即可.當??<0m></

時，先用誘導公式把??m></

化為正值再求單調(diào)區(qū)間.二、正切函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用例4

設函數(shù)m><??

?? =

tan?

?

??

?/><m

.求函數(shù)<>m??

??

/<>m

的定義域、最小正周期、單調(diào)區(qū)間及圖象的對稱中心；求不等式?m><

1

≤

??

??

≤

3/<>m

的解集.[解析]

（1）由?

?

?

≠

?

+

??π

??

∈

??

，得??

≠

??

+

2??π

??

∈

??

，?

?

?

??所以??

??

的定義域是{??|??

≠

??

+

2??π,

??

∈

??}

.?

??

?因為??=?

，所以最小正周期??=?

=?

=2π.由?

?

+

??π

<

?

?

?

<

?

+

??π

??

∈

??

，得?

?

+

2??π

<

??

<

??

+

2??π

??

∈

??

，?

?

?

?

?

?所以函數(shù)??

??

的單調(diào)遞增區(qū)間是

?

?

+

2??π,

??

+

2??π ??

∈

??

，無單調(diào)遞減區(qū)間.?

?由?

?

?

=

???

?

????

∈

??

，得??

=

??π

+??

??

∈

??

，故函數(shù)??

??

圖象的對稱中心是???π

+???

,

0?

，

??

∈??

.（2）由?1≤tan?

?

??

?≤ 3

，得?

?

+??π

≤

?

??

≤

?

+

??π

??

∈

?? ，?

?

?

?解得?

+2??π

≤

??

≤

??

+

2??π

??

∈

?? ，?

?所以不等式?1

≤

??

??

≤ 3

的解集是{??|

?

+

2??π

≤

??

≤

??

+

2??π,

??

∈

??}

.?

?方法總結(jié) 解答正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題應注意的兩點（1）對稱性：正切函數(shù)圖象的對稱中心是<>m???

,0??∈??

/<>m

，不存在對稱軸.?

?（2）單調(diào)性：正切函數(shù)在每個

?

?

+??π,

?

+??πm<>/<>m??∈??

區(qū)間內(nèi)都是單調(diào)遞增的，但不能說其在定義域內(nèi)是遞增的.?m><

m></1.求函數(shù)??

=

tan 2??

??

的單調(diào)區(qū)間.[解析]

∵

??

=

tan

??

在

?

?

+??π,

?

+

??π ??

∈

??

上是增函數(shù)，?

?∴??

+??π<2????

<?

+??π

，??∈??

，得??

+??

<??<??

+??

，??∈??

，?

?

?

??

?

??

?∴

函數(shù)??

=

tan 2??

??

的單調(diào)遞增區(qū)間是 ?

?

+??

,

??

+??

??

∈

?? ，無單調(diào)遞減區(qū)間.?

??

?

??

?2.函數(shù)m><??

?? =

tan

3??

+

??

/<>m

圖象的一個對稱中心是/<>m??

?<>m

m<>/

m><??

?><m

,0

，其中? <

??

<

0

，試求函數(shù)??

??/><m的定義域、值域和單調(diào)性.?[解析]

由于函數(shù)??

=

tan

??

的對稱中心為

??

,0

，

??

∈

??

，故3??+??=??

，其中??=??

，所以??=??

???

，?

??

?

?由于??

<??<0

，故當??=1

時，得??=??

，?

??故函數(shù)解析式為??

?? =

tan 3??

?

?

.由3????

≠??π+?

，??∈??

，得??≠??

+??

，??∈??

，所以函數(shù)的定義域為{??|??∈??

且??

≠?

?

?

????

+??

,??∈??}.值域為??

.?

??由于正切函數(shù)??

=

tan

??

在區(qū)間

??π

??

,

??π

+?

，

??

∈

??

上單調(diào)遞增,?

?故令??π??

<3????

<??π+?

，??∈??

，解得??

??

<??<??

+??

，??∈??

，?

?

?

?

??

?

??即函數(shù)??

?? =

tan 3??

?

?

的單調(diào)遞增區(qū)間為???

?

?

,

??

+??

?

??

?

??，

??

∈

??

.?41@@A.

?B.

??C.

??D.

???1.函數(shù)??

=

2tan 3??

+?

的最小正周期是(

B

).?[解析]

??

=???=

?

.?2.函數(shù)??

?? =

tan ??

+?

的單調(diào)遞增區(qū)間為(

C