數(shù)學212《空間中直線與直線之間的位置關(guān)系》課件

空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系1判斷下列直線的位置關(guān)系:1、豎直的兩條電線桿所在的直線思考:在平面內(nèi)，兩條不重合的直線之間有幾種位置關(guān)系?2、十字路口的兩條路所在的直線3、教室內(nèi)的日光燈管所在的直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線空間的兩直線呢?判斷下列直線的位置關(guān)系:思考:在平面內(nèi)，兩條不重合的直線之間21.空間中兩條直線的位置關(guān)系觀察：觀察教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線,想一想:它們相交嗎?平行嗎?共面嗎?觀察正方體的棱所在直線,回答類似的問題.思考：我們把具有上述特征的兩條直線取個怎樣的名字才好呢？1.空間中兩條直線的位置關(guān)系觀察：觀察教室內(nèi)的日光燈管所在直3lmPml圖1圖2llll空間中兩直線的位置關(guān)系從圖中可見，直線l與m既不相交，也不平行?？臻g中直線之間的這種關(guān)系稱為異面直線。lmPml圖1圖2llll空間中兩直線的位置關(guān)系從圖中可見，4不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。（既不相交也不平行的兩條直線）不同在任何一個平面內(nèi)1、異面直線判斷：直線m和l是異面直線嗎?αβlmml(1)(2),則與是異面直線(3)a,b不同在平面內(nèi),則a與b異面不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。（既不相交也不平5異面直線的畫法:通常用一個或兩個平面來襯托,異面直線不同在任何一個平面的特點異面直線的畫法:通常用一個或兩個平面來襯托,異面直線6這樣表示a、b異面正確嗎？αβba這樣表示a、b異面正確嗎？αβba7想一想,做一做：1.已知M、N分別是長方體的棱C1D1與CC1上的點，那么MN與AB所在的直線是異面直線嗎？想一想,做一做：1.已知M、N分別是長方體的棱C1D1與CC8a,b,c是三條直線,若a,b是異面直線,b,c是異面直線,判斷a,c的位置關(guān)系,并畫圖說明.想一想,做一做：a,b,c是三條直線,若a,b是異面直線,b,c是異面直線92.下圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有幾對？想一想,做一做：HGFEDCBA三對AB與CDAB與GHEF與GH3.2.下圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那10

異面直線的判定定理異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線與是異面直線

異面直線的判定定理異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點11例1.已知空間四邊形ABCD，E、F分別為BC、DA的中點.求證：AE和CF是異面直線ABCDEF證明:所以AE和CF是異面直線例1.已知空間四邊形ABCD，E、F分別為BC、DA的中點.12空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種平行相交異面位置關(guān)系公共點個數(shù)是否共面沒有只有一個沒有共面不共面共面空間中兩條直線的位置關(guān)系空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種平行相交異面位置關(guān)系公共點132.

空間兩平行直線提出問題：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。在空間中，是否有類似的規(guī)律？平行嗎?中,觀察：如圖2.1.2-5,長方體與那么DD'∥

AA'BB'∥AA'2.

空間兩平行直線提出問題：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與14公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。a∥bc∥ba∥c符號表示：設空間中的三條直線分別為a,b,c,若想一想:空間中,如果兩條直線都與第三條直線垂直,是否也有類似的規(guī)律?公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。公理4實質(zhì)上是說15例題示范例1：在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。分析：欲證EFGH是一個平行四邊形只需證EH∥FG且EH＝FGE，F(xiàn)，G，H分別是各邊中點連結(jié)BD,只需證：EH∥BD且EH＝BDFG∥BD且FG＝BDABDEFGHC例題示范例1：在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別16例題示范例1：在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。ABDEFGHC∵EH是△ABD的中位線

∴EH∥BD且EH=BD同理，F(xiàn)G∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一個平行四邊形證明：連結(jié)BD例題示范例1：在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別17變式一：

在例1中，如果再加上條件AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形?

EHFGABCD分析：在例題1的基礎(chǔ)上我們只需要證明平行四邊形的兩條鄰邊相等。菱形變式一：

在例1中，如果再加上條件AC=BD，18變式二：空間四面體A--BCD中,E,H分別是AB,AD的中點,F,G分別是CB,CD上的點,且，求證:四邊形ABCD為梯形.ABCDEHFG分析：需要證明四邊形ABCD有一組對邊平行，但不相等。變式二：空間四面體A--BCD中,E,H分別19ＡＢＣＤＥＰＭＮ例3、如圖，Ｐ是△ＡＢＣ所在平面外一點，Ｄ、Ｅ分別是△ＰＡＢ和△ＰＢＣ的重心。求證：ＤＥ∥ＡＣ，ＤＥ＝ＡＣ１３ＡＢＣＤＥＰＭＮ例3、如圖，Ｐ是△ＡＢＣ所在平面外一點，Ｄ、20１、一條直線與兩條異面直線中的一條相交，那么它與另一條之間的位置關(guān)系是（）Ａ、平行Ｂ、相交Ｃ、異面Ｄ、可能平行、可能相交、可能異面２、兩條異面直線指的是（）Ａ、沒有公共點的兩條直線Ｂ、分別位于兩個不同平面的兩條直線Ｃ、某一平面內(nèi)的一條直線和這個平面外的一條直線Ｄ、不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線練習：１、一條直線與兩條異面直線中的一條相交，Ａ、平行Ｂ、相213、下列命題中，其中正確的是（１）若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線互相平行（２）若兩條直線都和第三條直線相交，那么這兩條直線互相平行（３）若兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行（４）若兩條直線都和第三條直線異面，那么這兩條直線互相平行3、下列命題中，其中正確的是（１）若兩條直線沒有公共點，則這223.

等角定理提出問題:在平面上,我們?nèi)菀鬃C明“如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補”。在空間中,結(jié)論是否仍然成立呢?觀察思考：如圖,∠ADC與∠A'D'C'、∠ADC與∠A'B'C'的兩邊分別對應平行，這兩組角的大小關(guān)系如何？3.

等角定理提出問題:在平面上,我們?nèi)菀鬃C明“如果一個角的233.

等角定理定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。3.

等角定理定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么243.

等角定理定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。定理的推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等.3.

等角定理定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么25兩直線的夾角：兩直線相交所成的4個角中,其中不大于

的角叫做兩直線的夾角兩直線的夾角：兩直線相交所成的4個角中,其中不大于26三、兩條異面直線所成的角如圖所示，a，b是兩條異面直線，在空間中任選一點O，過O點分別作a，b的平行線a′和b′，abPa′b′O

則這兩條線所成的銳角θ（或直角），θ稱為異面直線a，b所成的角。？任選Oa′若兩條異面直線所成角為90°，則稱它們互相垂直。異面直線a與b垂直也記作a⊥b異面直線所成角θ的取值范圍：

平移三、兩條異面直線所成的角如圖所示，a，b是兩條異面直線，在空27異面直線所成的角如果兩條異面直線所成的角為直角，就說兩條直線互相垂直，記作a⊥b。異面直線所成的角如果兩條異面直線所成的角為直角，就說兩條直線28例1.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，指出下列各對線段所成的角：

1）AB與CC1；2）A1B1與AC；3)A1B與D1B1。B1CC1ABDA1D11）AB與CC1所成的角=90°2）A1B1與AC所成的角=45°3）A1B與D1B1所成的角=60°※求異面直線所成角的一般步驟:(1)平移作角——作(2)補形說角——證(3)計算求角——求例1.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，指出下列各對線29例2.正四面體ABCD(四個面都是全等的等邊三角形)中,M,N分別是BC和AD的中點,求異面直線AM和CN所成角的余弦值.ABCDMNH解:連結(jié)DM，取DM中點H

連結(jié)NH、CH，則有NH∥AM所以∠CHN為AM和CN所成的角令BC=a(或其補角)例2.正四面體ABCD(四個面都是全等的等邊三角形)中,M,30例3.在空間四邊形ABCD中,對角線AC=10,BD=6,M,N分別為AB,CD的中點,MN=7,求異面直線AC和BD所成的角ABCDMNP∠NPM=1200即異面直線AC和BD所成的角是600解:取AD中點P，連結(jié)MP、NPMP∥BD、NP∥ACMP=3、NP=5∠NPM就是AC和BD所成的角(或其補角)為什么？例3.在空間四邊形ABCD中,對角線AC=10,BD=6,M31例4.長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值。取BB1的中點M，連O1M，則O1MD1B，如圖，連B1D1與A1C1交于O1，于是A1O1M就是異面直線A1C1與BD1所成的角（或其補角）O1MDB1A1D1C1ACB解：為什么？平移法：即根據(jù)定義，以“運動”的觀點，用“平移轉(zhuǎn)化”的方法，使之成為相交直線所成的角。例4.長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2c32補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、長方體等，其目的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系。

BDB1A1D1C1ACF1EFE1例5.長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值。補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、長方體33定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）小結(jié)：3.求異面直線所成的角是把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學