歷年全國卷高考數(shù)學(xué)真題匯編(解析版)

1、全國卷歷年高考真題匯編三角21 （2017全國I卷9題）已知曲線 Ci：y=cosx, C2 : y=sin .2x+w |,則下面結(jié)論正確的3是（）A .把Ci上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的位長(zhǎng)度，得到曲線C2B.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的單位長(zhǎng)度，得到曲線 C2C.把Ci上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的位長(zhǎng)度，得到曲線C2D .把Ci上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移11倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移22倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移兀人個(gè)i2（個(gè)單兀人個(gè)i2單位長(zhǎng)度，得到曲線 C2【答案】D(【解析】C1:

2、 y =cosx , C2：y=sin .2x -首先曲線G、C2統(tǒng)一為一三角函數(shù)名，可將Ci ：y =cosx用誘導(dǎo)公式處理.,71 兀） .，兀 、，y =cosx =cos J +- - J=sin x+- |.橫坐標(biāo)變換需將 6 =i 變成 CO = 2 ,f n Ci上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短它原來1f 1rl c 1rl即丫=$所！*2y=sin!2x =sin2!x，,2.2.42 i 2 兀i 1 冗y y =sin . 2x + =sin2 .x+一I 3 ) I 3/注意切的系數(shù)，在右平移需將 8=2提到括號(hào)外面，這時(shí) x +平移至x +-, 43根據(jù)“左加右減”原則，“ x +”至

3、ij “ x +”需加上,即再向左平移 43i2i22 （20i7全國I卷i7題）4ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c,已知 ABC2的面積為.3sin A（i）求 sin B sin C ；（2）若 6cos BcosC =i , a =3 ,求 ABC 的周長(zhǎng).【解析】 本題主要考查三角函數(shù)及其變換，正弦定理，余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用.a2i(i) ABC 面積 S=.且 S=bcsinA3sinA2bcsinA3sin A 22 32 Aa =bcsin A2232.由正弦te理得 sin A =sin Bsin Csin A , 22由 sin A #0 得 s

4、in BsinC =.32_1(2)由(1)得 sin Bsin C = , cosBcosC =36A +B +C =兀八八八i 1:cos A =cos(Tt-B -C 尸一 cos(B +C 尸sin BsinC-cosB cosC =-又AJ0,乃3 .1：A=60> sin A= , cosA=一 22由余弦定理得a2 =b2 +c2 -bc =9aa由正弦te理得 b= sin B , c= sin Csin Asin A2 . a . 一 . bc =z sinBsinC =8sin2 A由得b+c=J33:a +b +c =3 + 必,即 ABC 周長(zhǎng)為 3 + J333

5、. （2017 新課標(biāo)全國n卷理 17）17. （12分）2 BABC的內(nèi)角A, B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知sin（A+C） =8sin .求cos B（2）若 a+c=6 , AABC 面積為 2,求 b.【命題意圖】本題考查三角恒等變形，解三角形.【試題分析】在第（I）中，利用三角形內(nèi)角和定理可知A + C =n - B ,將-2 B- 一 一.2 BsinA+C）=8sin轉(zhuǎn)化為角B的方程，思維方向有兩個(gè)：利用降哥公式化簡(jiǎn) sin 一,22.22B 結(jié)合sin B+cos B=1求出cosB；利用二倍角公式，化簡(jiǎn) sinB=8sin 一，兩邊約去2B 一 BsinB ,求得tan

6、 B,進(jìn)而求得cosB.在第（n）中，利用（I）中結(jié)論，利用勾股定理和22面積公式求出a+c、ac,從而求出b .（I）【基本解法1】B由題設(shè)及 A + B +C =n,sin B =8sin2 一,故2sin B =4( 1-cosB)上式兩邊平方，整理得17cos2B-32cosB+15=0, 一一15斛得 cosB=1 （舍去），cosB=一 17【基本解法2】2 B ,_.B B _ . 2 B , B 一由題設(shè)及 A + B +C = n,sin B = 8sin ，所以 2sin cos =8sin ，又 sin # 0 , 222222 B15171 - tan 一 2 cosB

7、 二zr2 B1 tan 一 258-14(n )由 cosB=彳寸 sin B 故 Smbc = acsin B ac1717 A 217一一 一- 17又 S必BC =2 ,則 ac = 2由余弦定理及a + c = 6得222b =a c -2accosB =(a+c)2 -2ac(1 cosB)1715= 36-2(1)217所以b=2【知識(shí)拓展】解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，命題大多放在解答題的第一題，主要利用三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理、三角形面積公式等知識(shí)解題，解題時(shí)要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”“角轉(zhuǎn)邊”，另外要注意a+c,ac,a2+c2三者的關(guān)系，這樣的題目 小

8、而活，備受老師和學(xué)生的歡迎.4(2017全國卷3理)17. (12分)MBC 的內(nèi)角 A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c,已知 sin A + J3cos A=0 , a=2j7, b = 2.(1)求 c；(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且 AD _LAC ,求 ABD的面積.【解析】(1)由sinA+。3cosA=0得2sin kA + 3J=0,即 A + =kMk -Z 又 A= 0,支 3Tt由余弦定理 a2 =b2 +c22bc cos A .又a =2v'7,b =2,cos A = -'代入并整理得22(c+1 ) =25,故 c =4.(2) . AC =2

9、,BC =2"7, AB =4 ,222由余弦定理cosC =a b c 2ab AC _L AD ,即AACD為直角三角形,則 AC =CDcosC ,得 CD =".由勾股定理AD一 2支 又A=, 31& ABD=-AD2AB sin； =73.5 (2017全國卷文1) 14,兀已知 a (0,-) ,tan 2i，兀、a,=2 cos (：-)='4JIsin :tan =二2=cos：=2= sin : = 2cos，又sin2 .：. 1 cos2 ： =12.55.5cos二= 5(cos： sin： )=9010(法二)cos(-)=2 (

10、cos：s 二 sin 二) 422 cos1 .一 -.+ sinacosa .又丁 tana2sin 二 cos ;二sin : cos is tan 工 _22 一 ,21 sin ，“ cos : tan ，“ 12.cos I冗<ot4冗 冗< 一”故8sL嚕6. (2017全國卷2文)3.函數(shù)f(x)=sin(2x+ )的最小正周期為3A. 4冗B.2冗 C.71D.【解析】【考點(diǎn)】由題意正弦函數(shù)周期,故選C.【名師點(diǎn)睛】函數(shù) y =Asin(«x +9)+B(A A0曲>0)的性質(zhì)(1) ymax=A+B, ymin =AB.(2)周期 T =2

11、63;.,一 兀 ._(3)由6x+邛=,+k Mk u Z )求對(duì)稱軸(4) 由 一一十2k TtEcox +邛 E +2k Mk w Z) 求 增 區(qū) 間； 由 22Tt3+2kTt<©x+cP <+2k Xk uZ )求減區(qū)間；227 （ 2017 全國卷 2 文）13.函數(shù) f （ x：2 5x）s 映最大值為【答案】5【解析】/（幻"+1 =下【考點(diǎn)】三角函教有界性【名師點(diǎn)睛】通過配角公式把三角函數(shù)化為J-二月$口工十切十3的形式再借助三角函數(shù)圖象研究性質(zhì), 解題時(shí)注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征.一般可利用csin x-bcosxy/a* + b*求最

12、值.8 （ 2017全國卷2文）16. MBC的內(nèi)角A, B,C的對(duì)邊分別為a,b,c ,若2bc cos B = a cosC + ccos A,貝U B =3【解析1由正弦定理可得）工2 sin cos = sin JcosC +sin Ccos J = sini J + C） = sin B => cos 5 =； n B =三【考點(diǎn)】正弦定理【名師點(diǎn)睛】解三角形問題,多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化 邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具

13、，即根據(jù)條件和所求合理選怪轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.第三步:求結(jié)果9 (2017 全國卷 3 文)4.已知 sin Of -cosot =，則 sin 2c(=()7A.-9B.C.7D.91 解析】sin= 2inctcosffI sin a-cos a -I本題選擇A選項(xiàng)一10 （2017全國卷3文）1 .，、，6.函數(shù) f (x)= -sin( x+- )+cos( x-）的最大值為（6A. 65B. 1C.-5D.由誘導(dǎo)公式可得:i 冗)cos I x 6=cos冗(一 -x 一_23.f J=sin lx 則：fx =-sin lx 5.3sin I x ,35=-sin I

14、x ),3函數(shù)的最大值為65的部分圖像大致為（本題選擇A選項(xiàng).sin x7.函數(shù) y=1+x+2BCD.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，= l+l+sinl = 2+siiilA2,故排除A,C當(dāng)xf+R時(shí)，jTl+孫 故排除B：滿足條件的只有D：敵選D.皿。小冗冗 一1、（2016 全國 I 卷 12 題）已知函數(shù) f （x） =sin（cox+ 中）（切 >0, * <）, x =-為 f （x）的一一Tt一一一一一一冗 5 冗、，、一 1一 一 一，一、，手點(diǎn)，x =為y = f （x）圖像的對(duì)稱軸，且 f （x）在（而，'）單倜，則 金的取大值為（A） 11【答案】B(B)

15、 9(C) 7(D) 5【解析】7T7FjFJT T試題分析：因?yàn)橛?g為/G）的零點(diǎn)，丸=£為丁=/0）圖像的對(duì)稱軸，所以?（£）=-+盯，即4444 41=早7=苧空，所以=4上+1（此M）,又因?yàn)樵冢ㄌ?hào),空）單調(diào)，所以244 田V 8 36 75 JT7T7TT '2jT瞟4三，即國M12,則由的最大值為。故選民30 10122考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)2、（2016全國I卷17題）（本小題滿分12分）ABC 的內(nèi)角 A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c,已知 2cosc(acosB+b cosA)=c.(I)求 C;（II）若c = ", AABC

16、的面積為 正,求 ABC的周長(zhǎng).2【答案】（I） C= -（II）5+百 3【解析】試題分析：<i>利用正弦定理進(jìn)行邊角代換，化簡(jiǎn)即可求角c； （id根據(jù)L他/c=型. 22及C =可得時(shí)=6 .再利用余弦定理可得S +從而可得ABC的周長(zhǎng)為5十g,試題解析：（I）由已知及正弦定理得，2cosc（sin AcosB+sinBcosA ）=sinC ,2cosCsin (A+B 尸 sinC .故 2sin Ccos C =sin C .一口_1 _ 二可信cosC =，所以C =.（H）由已知：，口bsinC二型. 22JF又所以ob = 6.由已知及余弦定理得,o2 + /-N*

17、8sC = 7.故M + V=l3 從而（日+獷=25.所以ZkABC的周長(zhǎng)為5 + 0.考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理及三角形面積公式3、（2015全國 I卷 2 題）sin20° cos10° -con160° sin10° =（A）（B） （C） -1（D） 12222【答案】D【解析】試題分析： 原式=sin20° cos10° +cos20° sin10° =sin30° =1 ,故選 D.2考點(diǎn)：誘導(dǎo)公式；兩角和與差的正余弦公式4、（2015全國I卷8題）函數(shù)f（x）=cos（x+邛）的部分圖像如圖

18、所示，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（A）（錯(cuò)誤！未找到引用源。），k錯(cuò)誤！未找到引用源。（b）（錯(cuò)誤！未找到引用源。），k錯(cuò)誤！未找到引用源。（C）（錯(cuò)誤！未找到引用源。），k錯(cuò)誤！未找到引用源。（D）（錯(cuò)誤！未找到引用源。），k錯(cuò)誤！未找到引用源?！敬鸢浮緿【解析】1 1.二+ 二 一試題分析：由五點(diǎn)作圖知，4 42 ，解得切=幾，中=±，所以f (x) =cos(n x + ”),5. 3二447一 + .二4213令 2kn <nx + <2kn +n ,k w Z ,解得 2k v x v 2k+，k = Z ,故單調(diào)減區(qū)間為444. 13. _(2k, 2k+-)

19、，k = Z,故選 D. 44考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像與性質(zhì)5、(2015 全國 I 卷 16 題)在平面四邊形 ABCD, /A=/ B=/ C=75 , BC=2 則 AB的取值范圍是【答案】（庭-艮s/6+>/2）【解析】試題分析：如圖所示，延長(zhǎng) BA, CD交于E,平移AD,當(dāng)A與D重合與E點(diǎn)時(shí)，AB最長(zhǎng)，在 BCE中，/ B=/ C=75 , / E=30° , BC=2由正弦定理可得-BC-=-BE,即上得=BET，解得 BE=J6+J2,平移 AD ,當(dāng) D與 C sin /E sin Csin30 sin75重合時(shí)，AB最短，此時(shí)與AB交于F,在4BCF中，/ B=/

20、 BFC=75 , / FCB=30 ,由正弦定理知， 一BF = 一BC-,即一BF：， ，解得 BF=/6-72 ,sin FCB sin BFC sin 30 sin 75所以AB的取值范圍為（石-衣，76+2）考點(diǎn)：正余弦定理；數(shù)形結(jié)合思想,一 一 .-、 一 1 sin ： 一6. (2014 全國 I 卷 8 題)設(shè)(0( (0, ) , P = (0,),且 tana =-,則q n口 冗口 冗口 冗A3 =3 BN：、 C.3：- =-D.2：=3【答案】：Bsin ：1 sin ：【斛析】： tanc( =- ,，sin 口 cosP =cosc(+cosc( sin P0

21、)sin (a _ P)= cosa =sin ：c( |,- - : 一 ,0 : -:-2222，0(P= 0(,即 2ap=，選 B227、(2014全國I卷16題)已知a,b,c分別為AABC的三個(gè)內(nèi)角 A, B,C的對(duì)邊，a =2,且 (2 十b)(sin A -sin B) =(c b)sin C ,則 MBC 面積的最大值為 【答案】：事 【解析】：由 a =2且(2+b)(sin Asin B) = (c b)sin C ,即(a+b)(sin Asin B) = (cb)sin C ,由及正弦定理得：(a+b)(ab) = (c b)c222022/A = 60，b +c 4

22、 = bc222 皿 八 b c - a2bc b +c -a =bc,故 cos A = 4 =b2+c2bc 之 bc , ，S&BC =工 bcsin A W V3,28、(2013全國I卷15題)設(shè)當(dāng)x= 0時(shí)，函數(shù)f(x) = sinx 2cosx取得最大值，則cos 0 =【命題意圖】本題主要考查逆用兩角和與差公式、誘導(dǎo)公式、及簡(jiǎn)單三角函數(shù)的最值問題， 是難題.【解析】: f (x) =sin x -2cos x =回lisinx-量 cosx) 55令 cosP = , sin 中=25，則 f (x) = 75(sin xcos甲+sin 甲 cosx) =V5sin(

23、x +邛)， 551當(dāng) x + 中= 2kn + ,k w z ,即 x=2kn + Q k w z 時(shí)，f (x)取最大值，此時(shí) 22.2 . 50 = 2kn + -Q k w z , cos0 = cos(2kn + -) =sin = 2259、（2013全國I卷17題）（本小題滿分12分）如圖，在 ABC43, / ABC= 90°, AB=/3，BC=1,1若PB=2,求PA；（2）若/APB= 150 °,求 tan Z PBA【解析】（I）由已知得,/ PBC=60o, ./ PBA=3Co,在 PBA中，由余弦定理得21- 1PA =3-2 ,3 cos3

24、042由已 知得，PB= sin ot ,在 pba中，由正弦定理得，3 sin150osin :sin(30o -:),化簡(jiǎn)得，石cosot =4sinc（,【命題意圖】本題主要考查利用正弦定理、余弦定理解 三角形及兩角和與差公式，是容易題.tan .：: = 3 ,tanPBA = -3 ?！?、，、，一一一一10、（2016全國II卷7題）若將函數(shù)y=2sin 2x的圖像向左平移 一個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖 12象的對(duì)稱軸為k兀 兀c_ k(A)x=?3k " )(B)26(C) x=£ -1f(k WZ)(D)k 7t / 二 、 x 二一一k Z212c. cJQ

25、平移后圖像表達(dá)式為y =2sin2（ +石,. 兀k冗.冗._ ，=卜兀+1，得對(duì)稱軸萬程：x=-（kZ ）,22 611、（2016 全國II卷9題）若cos E - -4（A）25(B)(C)_7(D)25【解析】Dcossin 2:;兀= cos - -2:22 cos一- -1 =(4)25 ，故選D.12、(2016 全國II卷13題)4 ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,若cosA=,5cosC = 513=1,則 ,21【解析】134 . cos A =53 sin A =- .c 5 cosC =1312 sin C =13'sin B =sin A

26、 C =sin AcosC cosAsin C =6365，由正弦定理得:sin B sin A21解得b市13、（2015全國II卷17題）？ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分/BAC, ?ABD是？ADC面積 的2倍。sin B求應(yīng) 若AD=1' DC4求B-的長(zhǎng).三.解答臆l 17 3 第：RiH函定理定符 sin Z fl AC smZC 一荔-2（!l）國為小二月D:/X%所以占心 乙在AD和A/a'中,由氽張定理知AS' - AET 4- fiDJ - 2AD fiRsWnR AC"二 Ah' + IX'1 - 240 /X.放,A

27、&* + 2A' = J/ID: +2Dt : =<j, t? < 1）如/占-X4C.所以 JU = L14、（2014全國II卷4題）鈍角三角形 ABC的面積是-2 , AB=1, bc=J2 ,則AC=（）A. 5B. . 5C. 2D. 1【答案】B【KS5U解析】111,.2 Saabc = - acsin B = -?V2 ?1?sin B = . sin B =,2222. b=或紅.當(dāng)B=時(shí)，經(jīng)計(jì)算AABE等腰直角三角形，不 符合題意，舍去444-'- B =-使用余弦定理，b2 = a2 + c2 - 2accosB,解得 b = J5.故

28、選 B.415、（2014全國II卷14題）函數(shù)f （x ）=sin（ x + 2中）2sin中cos x +平）的最大值為【答案】1【KS5U解析】二 f （x）= sin（x+2（|）-2sin（|）cos（x+ ,=sin（x+ 昉？cos 3+cos（x+（|）?sin（|）-2sin（|）cos（x+ 3）=sin（x+（|）?cos（|）-cos（x+（|）?sin（|）=sinx <1./.最大值為1.16、（2013全國II卷15題）設(shè)9為第二象限角，若tan G十工，則 ,42si n + co&=.【答案】叵 A【解析】因?yàn)?為第二衰隔角，若二協(xié) 所以角8的鱷

29、邊落在直線J =-,的左惻 一sin 8 *cos日S?由an（ B 一：）工工得皿"十1 = >即口,1.所以在：n 0 一二酬0 =工,則42 1-tanS 2 cos-sta 2皿日7：口白=工 相這兩個(gè)式子平方相想得工x-=-,即三力8-8= 妞. 551考點(diǎn)定位】本小題主要考查兩角和的正切公式、同第三魚函煎的基本關(guān)系式、三角函數(shù)在各個(gè)冢限的符號(hào)口訣等公式的靈活運(yùn)用，屬中檔題17、（2013全國II卷17題）（本小題滿分12分）AB%內(nèi)角 A、B、C的對(duì)邊分別為 a, b, c,已知a=bcosC+csinB。（I ）求 B；（n ）若b=2,求 ABC面積的最大值?！窘馕觥浚↖ ）因先 a-V:o$C-cs：nBi 所以由正死定理海士$uiA-5in3:osC-$CfirUl5：n B-C sioBfOiC即因?yàn)?<nC * :* 所以 tan 8 = 1 . It海 3- - "rf 口 ）由余花定理第 r= a" + c * - lac cos * 即 4 =