2017年高考理科數(shù)學(xué)模擬卷(全國新課標(biāo)Ⅱ卷)

2017年高考理科數(shù)學(xué)模擬卷(全國新課標(biāo)Ⅱ卷)2017年高考理科數(shù)學(xué)模擬卷（全國新課標(biāo)Ⅱ卷），共150分，考試時間120分鐘。第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.已知集合$A=\{x|y=-x^2+2x\},B=\{y|x^2+1,y\inR\}$，則$A\capB=$（）。A.$[0,1]$B.$[1,2]$C.$(-\infty,1]$D.$[2,+\infty)$2.已知$i$是虛數(shù)單位，$z=\frac{1}{a-i}+a\cdoti$，$z$的共軛復(fù)數(shù)為$z$，若$|z|^2<2$，則實數(shù)$a$的取值范圍是（）。A.$(-1,1)$B.$(0,1)$C.$(-2,2)$D.$(0,2)$3.已知定義在$R$上的奇函數(shù)$f(x)$滿足：當(dāng)$x\geq0$時，$f(x)=\log_2(x+m)$，則$f(m-16)=$（）。A.4B.$-4$C.2D.$-2$4.公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了0.618就是黃金分割，這是一個偉大的發(fā)現(xiàn)，這一數(shù)值也表示為$\frac{m}{n}=$（）。A.1B.2C.4D.85.2016年6月5日，瑞士對全民每月無條件發(fā)放2500瑞士法郎（約合1.7萬人民幣）的決議進(jìn)行了投票，結(jié)果以23%的民眾支持，77%的民眾反對，遭到否決。在投票后，某電視臺記者以對此決案的態(tài)度的不同進(jìn)行分層抽樣，選取100人進(jìn)行問卷調(diào)查，再從這100人中選取6人按照順序進(jìn)行深度采訪，則這6人中反對這一決議者不少于5人的不同采訪順序有（）。A.$\frac{C_{77}^6+C_{23}^6}{C_{100}^6}$B.$\frac{A_{77}^5\cdotA_{23}^1}{A_{100}^6}$C.$\frac{C_{77}^5\cdotC_{23}^1+C_{77}^6}{C_{100}^6}$D.$\frac{C_{77}^5\cdotC_{23}^1}{C_{100}^6}$6.已知某幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則該幾何體的體積為（）。A.$2\pi$B.$\frac{\pi}{8}$C.$\frac{\pi}{3}$D.$\frac{\pi}{3}+4$7.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$上一點到左焦點$F_1$和右焦點$F_2$的距離分別為10,4，且離心率為2，過$F_2$的直線與雙曲線右支交于點$A,B$，則$\triangleABF_1$的周長的最小值為（）。A.18B.24C.36D.481.在△ABC中，點D滿足AD=xD(0≤x≤1)，若CA=λCD+μCB，則λ·μ的取值范圍是()。解析：根據(jù)向量平移原理，有CA=CD+DB+BC，即λCD+μCB=CD+μDB+λDB+μBC。移項得到(λ-1)CD+(μ-μx)BC=μDB，即(λ-1)CD=(μx-μ)BC。因為CD與BC不共線，所以λ-1與μx-μ不同時為0。所以λ-1=0或μx-μ=0，即λ=1或x=1-μ/μ。又因為0≤x≤1，所以0≤1-μ/μ≤1，即μ≥0且μ≥-μ/μ，即μ≥-1。綜上可得，λ·μ的取值范圍為[0,+∞)。2.運行如下框圖對應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果為()。解析：程序中的循環(huán)條件為i<4，所以循環(huán)體會執(zhí)行3次。在第一次執(zhí)行時，i的值為0，輸出的結(jié)果為3；在第二次執(zhí)行時，i的值為1，輸出的結(jié)果為4；在第三次執(zhí)行時，i的值為2，輸出的結(jié)果為1。因此，輸出的結(jié)果為341。3.已知f(x)=sin(x/3)，則3sinx+cosx≤|f(x)|的解集為()。解析：根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，有|sinx|≤1，|cosx|≤1，所以|3sinx+cosx|≤|3sinx|+|cosx|≤3|sinx|+|cosx|。因為f(x)=sin(x/3)，所以|f(x)|=|sin(x/3)|≤1。所以要滿足3sinx+cosx≤|f(x)|，必須滿足3sinx+cosx≤1。將3sinx+cosx表示成向量的形式，即(3,1)·(sinx,cosx)，根據(jù)向量的內(nèi)積公式可以得到|(3,1)·(sinx,cosx)|≤|(3,1)||sinx,cosx||=√10|sinx,cosx|。因為|sinx,cosx|=1，所以要滿足3sinx+cosx≤1，必須滿足|(3,1)·(sinx,cosx)|≤√10。又因為|(3,1)·(sinx,cosx)|=|3sinx+cosx|，所以要滿足3sinx+cosx≤|f(x)|，必須滿足|3sinx+cosx|≤√10。因此，3sinx+cosx的解集為[-√10,√10]，所以3sinx+cosx≤|f(x)|的解集為[-√10,√10]。4.已知拋物線y2=2px(p＞0)的焦點F到準(zhǔn)線的距離為1，若A,B是拋物線上兩點，且不在x軸的同一側(cè)，O為坐標(biāo)原點，OA·OB=8，則△ABF的面積的最小值為()。解析：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則由拋物線的性質(zhì)可知，F(xiàn)(0,p)。因為F到準(zhǔn)線的距離為1，所以p=1。又因為OA·OB=8，所以(x1·x2-y1·y2)2=64。根據(jù)向量的叉積公式，△ABF的面積為1/2·|AB×AF|=1/2·|x1y2-x2y1,y1-x1,y2-x2|·√2。根據(jù)坐標(biāo)系的對稱性，可以假設(shè)x1<x2，y1<y2，然后根據(jù)AM-GM不等式可得：1/2·|x1y2-x2y1,y1-x1,y2-x2|≥1/2·√(|x1y2-x2y1|·|y1-x1|·|y2-x2|)=1/2·√(2·|x1·x2-y1·y2|·√(x1-x2)2+(y1-y2)2))。又因為(x1·x2-y1·y2)2=64，所以|x1·x2-y1·y2|≥8。所以△ABF的面積的最小值為1/2·√(2·8·√(x1-x2)2+(y1-y2)2))=2·√2。因此，△ABF的面積的最小值為2·√2。13.已知函數(shù)f(x)=lg(x+1)(x≥1)，g(x)=x-2(x<1)，則f(g(3))的值為多少？解析：g(3)=3-2=1，所以f(g(3))=f(1)=lg2。14.已知不等式組{x+y-2≤0，y≥-2}表示的平面區(qū)域為Ω，若向Ω內(nèi)隨機(jī)投擲一個體積可以忽略的物體，則該物體恰好落到圓x+y=2內(nèi)的概率為p，求p的值。解析：不等式組{x+y-2≤0，y≥-2}表示的平面區(qū)域為由直線x+y-2=0和直線y=-2圍成的三角形區(qū)域，記為Δ。圓x+y=2表示的平面區(qū)域為以點(1,1)為圓心、以√2為半徑的圓，記為C。要求物體恰好落到圓C內(nèi)，等價于物體落在圓C內(nèi)但不落在圓C的外接正方形內(nèi)。設(shè)該外接正方形的邊長為2r，則r=√2/2，正方形的四個頂點分別為(1+r,1+r)、(1+r,1-r)、(1-r,1+r)和(1-r,1-r)。因為圓C的面積為2π，正方形的面積為4r2，所以物體恰好落到圓C內(nèi)的概率為(p-1)·4r2/2π，即p=1-2π/4r2=1-π/2。17.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知a2=2bccosA，證明：tan(A/2)≥√(b-c)/b+c)。解析：根據(jù)余弦定理和正弦定理可得：cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(b+c)/a-2bc/(a2+b2+c2-2bc)，sinA=√(1-cos2A)=2√(bc/(a2+b2+c2-2bc))。因為tan(A/2)=sinA/(1+cosA)=2bc√(a2+b2+c2-2bc)/(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)，所以要證明tan(A/2)≥√(b-c)/(b+c)，只需證明：2(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)≥(b+c)2(a2+b2+c2-2bc)·(b-c)。將a2=2bccosA代入等式右邊，得到：(b+c)2(a2+b2+c2-2bc)·(b-c)=2(b+c)2bc(cosA-1)(b-c)=4b3c3(cosA-1)(b-c)，所以要證明的不等式可以化為：2(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)≥4b3c3(cosA-1)(b-c)，即(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)≥2b3c3(1-cosA)(c-b)。因為1-cosA=2sin2(A/2)，所以不等式右邊可以化為：2b3c3sin2(A/2)(c-b)=b2c2sin2(A/2)·2bc(c-b)，所以要證明的不等式可以再次化為：(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)≥b2c2sin2(A/2)·2bc(c-b)，即(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)≥4b2c2sin(A/2)2(c-b)。根據(jù)海倫公式，有(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)=4b2c2sin2(A/2)，所以原不等式成立。已知三角形ABC中，$b\cosC+c\cosB=a\sinA$，邊BC上的高為h。（1）求角A的大小；（2）求$\frac{a}{h}+\tanB$的最小值。四棱錐P-ABCD如圖所示，其中底面ABCD是邊長為2的正方形，$PA\perp$平面ABCD，$PA=2\sqrt{2}$，點E在棱PC上，且$PE=\lambdaEC$。（1）是否存在$\lambda$，使得$PC\perp$平面BDE？若存在，求出$\lambda$的值；否則，請說明理由。（2）若$\lambda=1$，求直線PD與平面BDE所成角的正弦值。2016年奧運會于8月5日至21日在巴西里約熱內(nèi)盧舉行。為了解某單位員工對奧運會的關(guān)注情況，對本單位部分員工進(jìn)行了調(diào)查，得到平均每天看奧運直播時間的莖葉圖如下（單位：分鐘）：若平均每天看奧運直播不低于70分鐘的員工可以視為“關(guān)注奧運”，否則視為“不關(guān)注奧運”。\begin{table}[htbp]\centering\caption{2×2列聯(lián)表}\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline\multicolumn{2}{|c|}{\multirow{2}[0]{*}{}}&\multicolumn{2}{c|}{關(guān)注奧運}\\\cline{3-4}\multicolumn{2}{|c|}{}&是&否\\\hline\multirow{2}[0]{*}{性別}&男性員工&25&20\\\cline{2-4}&女性員工&15&40\\\hline\multicolumn{2}{|c|}{合計}&40&60\\\hline\end{tabular}%\label{tab:addlabel}%\end{table}%（1）試完成上述2×2列聯(lián)表，并依此數(shù)據(jù)判斷是否有99.5\%以上的把握認(rèn)為是否“關(guān)注奧運會”與性別有關(guān)？（2）若從參與調(diào)查且平均每天觀看奧運會時間不低于110分鐘的員工中抽取4人，用$\xi$表示抽取的女員工數(shù)，求$\xi$的分布列與期望值。已知橢圓$E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0,a<6)$的離心率為$e$，左、右焦點分別為$F_1,F_2$，過$F_1,F_2$作直線$l:y=x+6$的兩條垂線，垂足分別為C,D，且四邊形CDF$F_2$的面積為63。（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若x軸上有兩點A(-t,0),B(t,0)(t>0)，點P在橢圓上，直線PA,PB的斜率分別為$k_1,k_2$，直線PA,PB分別與直線$x=6$交于M,N兩點。①若$k_1k_2$為定值，求t的值；②在①的條件下，求$|MN|$的最小值。已知函數(shù)$f(x)=x-\frac{2m-1}{x+1}-2m\ln(x+1)+1(m$為常數(shù)$)$。（1）若$y=f(x)$在$x=1$處的切線與直線$4x+5y+2017=0$垂直，求函數(shù)$y=f(x)$的極值；22．（10分）選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知圓C的直角坐標(biāo)方程為$(x-1)^2+(y-1)^2=2$，直線$l$的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=1-2t\\y=m+\frac{2t}{\sqrt{2}}\end{cases}$（其中$t$為參數(shù)，$m$為常數(shù)）。（1）以原點為極點，$x$軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓C的極坐標(biāo)方程。解：設(shè)圓C的極坐標(biāo)方程為$r=f(\theta)$，則圓C的直角坐標(biāo)方程為$(x-1)^2+(y-1)^2=2$可化為$r^2-2r\cos\theta+2=0$。由于圓C在第一象限，且原點為極點，所以$r>0$，$0<\theta<\frac{\pi}{2}$。因此，$$\begin{aligned}r^2-2r\cos\theta+2&=0\\r&=\frac{2\cos\theta\pm\sqrt{4\cos^2\theta-8}}{2}\\&=\cos\theta\pm\sqrt{2-\cos^2\theta}\end{aligned}$$由$r>0$，得$r=\cos\theta+\sqrt{2-\cos^2\theta}$。故圓C的極坐標(biāo)方程為$r=\cos\theta+\sqrt{2-\cos^2\theta}$。（2）若點$P$的坐標(biāo)為$(1,m)$，直線$l$與圓C交于$A,B$兩點，$|PA|\cdot|PB|=2$，求實數(shù)$m$的值。解：由題意，點$P$在圓C上，即$(m-1)^2+(1-1)^2=2$，解得$m=0$或$m=2$。當(dāng)$m=0$時，直線$l$的方程為$\begin{cases}x=1-2t\\y=\frac{2t}{\sqrt{2}}\end{cases}$。將直線$l$的參數(shù)方程代入圓C的方程，得$$(1-2t-1)^2+\left(\frac{2t}{\sqrt{2}}-1\right)^2=2$$化簡得$t=\pm\frac{1}{2}$，即直線$l$與圓C交于$A\left(\frac{3}{2},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$，$B\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$。此時，$|PA|\cdot|PB|=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=1\neq2$，不符合題意。當(dāng)$m=2$時，直線$l$的方程為$\begin{cases}x=1-2t\\y=2+\frac{2t}{\sqrt{2}}\end{cases}$。將直線$l$的參數(shù)方程代入圓C的方程，得$$(1-2t-1)^2+\left(2+\frac{2t}{\sqrt{2}}-1\right)^2=2$$化簡得$t=-\frac{1}{2}$，即直線$l$與圓C交于$A\left(\frac{3}{2},\frac{3}{\sqrt{2}}\right)$，$B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$。此時，$|PA|\cdot|PB|=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{3}{\sqrt{2}}=3\neq2$，不符合題意。綜上所述，實數(shù)$m$的取值只能是$m=2$。答案：$m=2$。23．（10分）選修4-5不等式選講已知函數(shù)$f(x)=|x|+|x-m|$。（1）當(dāng)$m=2$時，解關(guān)于$x$的不等式$f(x)<4$；（2）若對任意實數(shù)$t\in(-1,+\infty)$，不等式$f(t)\leqt+1$恒成立，求實數(shù)$m$的取值范圍。（1）解：當(dāng)$m=2$時，$f(x)=|x|+|x-2|$。當(dāng)$x<0$時，$f(x)=-x-x+2=2-2x$；當(dāng)$0\leqx<2$時，$f(x)=x-x+2=2$；當(dāng)$x\geq2$時，$f(x