2022-2023學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

第I卷（選擇題）

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知向量，若，則實(shí)數(shù)()

A.B.C.D.

2.設(shè)是虛數(shù)單位，則()

A.B.C.D.

3.在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以軸的非負(fù)半軸為始邊，終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱若角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則()

A.B.C.D.

4.已知，，則()

A.B.C.D.

5.數(shù)書九章是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，在該書的第五卷“三斜求積”中，提出了由三角形的三邊直接求三角形面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)一為從隅，開(kāi)平方得積”把以上這段文字寫成公式，就是其中為三角形面積，為小斜，為中斜，為大斜在中，若，，，則的面積等于()

A.B.C.D.

6.已知，是兩條不重合直線，，是兩個(gè)不重合平面，則下列說(shuō)法正確的是()

A.若，，則

B.若，，則

C.若，，，則

D.若，，，則

7.將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)若位于函數(shù)的圖象上，則()

A.，的最小值為B.，的最小值為

C.，的最小值為D.，的最小值為

8.如圖，在四邊形中，，，，，若為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為()

A.

B.

C.

D.

9.如圖，在正方形中，，分別為邊，的中點(diǎn)現(xiàn)沿線段，及把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使，，三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為在該四面體中，作平面，垂足為，則是的()

A.垂心B.內(nèi)心C.外心D.重心

10.如圖，已知直線，為，之間一定點(diǎn)，并且點(diǎn)到的距離為，到的距離為，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，作，且使與直線交于點(diǎn)，則面積的最小值為()

A.B.C.D.

第II卷（非選擇題）

二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）

11.已知圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則該圓柱的側(cè)面積等于______．

12.某運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中環(huán)的概率為，命中環(huán)的概率為，則他射擊一次命中的環(huán)數(shù)不超過(guò)的概率為_(kāi)_____．

13.在復(fù)平面內(nèi)，是原點(diǎn)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是若，則______．

14.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則常數(shù)的一個(gè)取值為_(kāi)_____．

15.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，，兩點(diǎn)之間距離的最小值為；

當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積為定值；

存在點(diǎn)，，使得平面；

當(dāng)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，平面截該正方體所得截面的周長(zhǎng)為．

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．

三、解答題（本大題共6小題，共85.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

16.本小題分

在中，．

Ⅰ求；

Ⅱ若，且的面積為，求的值．

17.本小題分

如圖，在直三棱柱中，，分別為棱，的中點(diǎn)．

Ⅰ求證：平面；

Ⅱ再?gòu)臈l件、條件這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，

求證：平面平面．

條件：；

條件：．

注：如果選擇條件和條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．

18.本小題分

已知函數(shù)的部分圖象如圖所示Ⅰ求的解析式；

Ⅱ設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值以及取得最大值時(shí)的值．

19.本小題分

在新高考背景下，北京高中學(xué)生需從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這個(gè)科目中選擇個(gè)科目學(xué)習(xí)并參加相應(yīng)的等級(jí)性考試為提前了解學(xué)生的選科意愿，某校在期中考試之后，組織該校高一學(xué)生進(jìn)行了模擬選科為了解物理和其他科目組合的人數(shù)分布情況，某教師整理了該校高一班和高一班的相關(guān)數(shù)據(jù)，如表：

科目

人數(shù)

班級(jí)物理化學(xué)物理生物物理思想政治物理歷史物理地理

高一

高一

其中高一班共有名學(xué)生，高一班共有名學(xué)生假設(shè)所有學(xué)生的選擇互不影響．

Ⅰ從該校高一班和高一班所有學(xué)生中隨機(jī)選取人，求此人在模擬選科中選擇了“物理化學(xué)”的概率；

Ⅱ從表中選擇“物理思想政治”的學(xué)生中隨機(jī)選取人參加座談會(huì)，求這人均來(lái)自高一班的概率；

Ⅲ該校在本學(xué)期期末考試之后組織高一學(xué)生進(jìn)行了第二次選科，現(xiàn)從高一班和高一班各隨機(jī)選取人進(jìn)行訪談，發(fā)現(xiàn)他們?cè)诘诙芜x科中都選擇了“物理歷史”根據(jù)這一結(jié)果，能否認(rèn)為在第二次選科中選擇“物理歷史”的人數(shù)發(fā)生了變化？說(shuō)明理由．

20.本小題分

如圖，在四棱錐中，底面是矩形，為棱的中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)．

Ⅰ求證：為棱的中點(diǎn)；

Ⅱ若平面平面，，，為等邊三角形，求四棱錐的體積．

21.本小題分

設(shè)非零向量，，并定義．

Ⅰ若，，求，，；

Ⅱ?qū)懗?，，之間的等量關(guān)系，并證明；

Ⅲ若，求證：集合是有限集．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：向量，，，

則，解得．

故選：．

根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線的性質(zhì)，即可求解．

本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：．

故選：．

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解．

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：因?yàn)榻桥c角終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，

所以．

故選：．

由題意可得角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，再利用任意角的三角函數(shù)的定義求解．

本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：，，

，

．

故選：．

先求出的值，再根據(jù)和差角公式即可得解．

本題考查三角函數(shù)的求值問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：在中，若，，，

則的面積．

故選：．

由題意利用三角形的面積公式即可求解．

本題考查了解三角形，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：若，，則或，故A錯(cuò)誤；

若，，則或或與相交，相交也不一定垂直，故B錯(cuò)誤；

若，，則或，又，則或或與相交，相交也不一定垂直，故C錯(cuò)誤；

若，，，則，故D正確．

故選：．

由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案．

本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】解：點(diǎn)在函數(shù)上，所以，則，

由題意可得，，可得，，

所以的最小值為．

故選：．

由題意在函數(shù)上，可得的值，求出的坐標(biāo)，由題意可得關(guān)于的方程，可得的最小值．

本題考查三角函數(shù)的平移變換的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

8.【答案】

【解析】解：以為原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則，，，，

設(shè)，其中，

則，，

，

當(dāng)時(shí)，有最大值，為．

故選：．

由題建立平面直角坐標(biāo)系，再由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到，再求二次函數(shù)的最大值即可．

本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，二次函數(shù)的值域，屬于中檔題．

9.【答案】

【解析】

解：如圖所示為折疊完之后的幾何體．

，，，

平面，．

又平面，，

，平面，

．

同理可得，，所以是三條高的交線，是垂心．

故選：．

本題主要利用直線與直線，直線與平面垂直的性質(zhì)和定理解決問(wèn)題．

本題利用線線垂直，線面垂直的性質(zhì)和定理進(jìn)行推導(dǎo)，屬于中檔題．

10.【答案】

【解析】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．

直線的斜率存在，設(shè)方程為：，．

則直線的方程為：，

，．

的面積，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

的面積最小值為．

故選：．

如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．直線的斜率存在，設(shè)方程為：，，直線的方程為：，

可得的面積，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

11.【答案】

【解析】解：圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，

其側(cè)面積為．

故答案為：．

圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，其側(cè)面積為，由此能求出結(jié)果．

本題考查圓柱的體積的求法，考查圓柱的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

12.【答案】

【解析】解：由題意，射擊一次命中的環(huán)數(shù)不超過(guò)的概率為．

故答案為：．

根據(jù)對(duì)立事件的定義求解即可．

本題考查對(duì)立事件的應(yīng)用，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

13.【答案】

【解析】解：向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，

則，，

，

，解得．

故答案為：．

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，以及向量垂直的性質(zhì)，即可求解．

本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，以及向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】答案不唯一

【解析】解：當(dāng)，時(shí)，，不符合條件，

當(dāng)，時(shí)，，則函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增，符合條件；

當(dāng)，時(shí)，，，，

時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，可得，所以，，且，

可得，所以，即，則舍，

綜上所述：，．

故答案為：答案不唯一

分當(dāng)，，，，當(dāng)，時(shí)三種情況討論，可得的一個(gè)取值．

本題考查分類討論的應(yīng)用及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．

15.【答案】

【解析】解：對(duì)，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，如圖所示，連接，，

則為的中點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為的正三角形，

到的垂線段最短，此時(shí)，錯(cuò)誤；

對(duì)，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，如圖，

到平面的距離為定值，

又的面積也為定值，

三棱錐的體積為定值，正確；

對(duì)，如圖所示，當(dāng)與重合，與重合時(shí)，

由三垂線定理易得，，

從而可得平面，正確；

對(duì)，當(dāng)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，

延長(zhǎng)交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，

連接，，，

則易知平行等于，且平行等于，

平行等于，

易得平面截該正方體所得截面為等腰梯形，

又易知，，，

平面截該正方體所得截面的周長(zhǎng)為，錯(cuò)誤．

故答案為：．

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離最短，三棱錐的體積公式，三垂線定理及線面垂直的判定定理，平行線的傳遞性，即可分別求解．

本題考查正方體中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．

16.【答案】解：Ⅰ因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?/p>

在三角形中，，

所以可得，

解得；

Ⅱ，，可得，

由余弦定理可得．

即的值為．

【解析】Ⅰ由正弦定理及，可得的值，再由角的范圍，可得角的大小；

Ⅱ由題意及Ⅰ可得邊的大小，再由余弦定理可得邊的值．

本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

17.【答案】證明：Ⅰ，分別為棱，的中點(diǎn)，可得，且，

即有四邊形為平行四邊形，則，

平面，平面，則平面；

Ⅱ選條件：．

由平面，平面，可得，

而，所以平面，

又平面，

所以平面平面；

選條件：，

又為的中點(diǎn)，可得，

又平面，平面，可得，

而，所以平面，

又平面，

所以平面平面．

【解析】Ⅰ推得為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理，可得證明；

Ⅱ分別選，由線面垂直的性質(zhì)和面面垂直的判定定理，可得證明．

本題考查線面平行和面面垂直的判定，考查轉(zhuǎn)化思想和推理能力，屬于中檔題．

18.【答案】解：由題意可知，，，

當(dāng)時(shí)取得最大值，所以，

由于，所以，

函數(shù)的解析式為

，

，

，

，

當(dāng)，即時(shí)，，

當(dāng)，即時(shí)，．

【解析】由題意求出，，利用周期公式求出，利用當(dāng)時(shí)取得最大值，求出，即可得到函數(shù)的解析式；

根據(jù)正弦函數(shù)的最值結(jié)合定義域即可求函數(shù)在區(qū)間上的最值．

本題主要考查由的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)最值的求法，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．

19.【答案】解：Ⅰ依題意得高一班和高一班學(xué)生共有人，即該隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間有個(gè)樣本點(diǎn)，

設(shè)事件“此人在模擬選科中選擇了“物理化學(xué)””，

則事件包含個(gè)樣本點(diǎn)，

所以；

Ⅱ依題意得高一班選擇“物理思想政治”的學(xué)生有人，分別記為，，

高一班選擇“物理思想政治”的學(xué)生有人，分別記為，，，

該隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間可以表示為：

，

即，

設(shè)事件“這人均來(lái)自高一班”，則，

所以，故；

Ⅲ設(shè)事件“從高一隨機(jī)選取人，此人在第二次選科中選擇了“物理歷史””，

事件“從高一班隨機(jī)選取人，此人在第二次選科中選擇了“物理歷史””，

事件“這兩人在第二次選科中都選擇了“物理歷史””，

假設(shè)第二次選科中選擇“物理歷史”的人數(shù)沒(méi)有發(fā)生變化，

則由模擬選科數(shù)據(jù)可知，，

所以．

答案示例：可以認(rèn)為第二次選科中選擇“物理歷史”的人數(shù)發(fā)生變化．理由如下：

比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生，一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為第二次選科中選擇“物理歷史”的人數(shù)發(fā)生了變化；

答案示例：無(wú)法確定第二次選科中選擇“物理歷史”的人數(shù)是否發(fā)生變化．理由如下：

事件是隨機(jī)事件，雖然比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生，所以無(wú)法確定第二次選科中選擇“物理歷史”的人數(shù)是否有變化．

【解析】Ⅰ設(shè)事件“此人在模擬選科中選擇了“物理化學(xué)”，利用古典概型概率公式即可求解；

Ⅱ依題意得高一班選擇“物理思想政治”的學(xué)生有人，分別記為，，高一班選擇“物理思想政治”的學(xué)生有人，分別記為，，，通過(guò)列舉法代入古典概型概率公式即可求解；

Ⅲ設(shè)事件“從高一隨機(jī)選取人，此人在第二次選科中選擇了“物理歷史””，事件“從高一班隨機(jī)選取人，此人在第二次選科中選擇了“物理歷史””，事件“這兩人在第二次選科中都選擇了“物理歷史””，計(jì)算出各自對(duì)應(yīng)的概率即可求解．

本題考查了古典概型的概率計(jì)算，屬于中檔題．

20.【答案】證明：Ⅰ因?yàn)樗倪呅问蔷匦危裕?/p>

又平面，平面，

所以平面，

因?yàn)槠矫妫矫嫫矫妫?/p>

所以，即，

又為棱的中點(diǎn)，所以為棱的中點(diǎn)；

解：Ⅱ因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以?/p>

因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，平面平面?/p>

所以平面，所以，，

因?yàn)闉榈冗吶切?，為棱的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)椋云矫妫?/p>

即