2023年高考全國甲卷文科數(shù)學試卷真題（含答案）

PAGE1頁/27頁2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）文科數(shù)學注意事項：答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.12560分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)全集U2,4,，集合M4,N2,5，則NM（ ）A.2,3,52.51i32.2i2i

B.（ ）

C.2,4,

D.2,3,4,5

1 C.1i

D.1i3.a3,1,b22，則cos

ab,a

（ ）A. 1 B. 1717 17

5

254242名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）1A. 6

1 C.1 D.223 32記Sn為等差數(shù)列an的前n項和．若a2a610,a4a845，則S5（ ）A.25 B.22 C.20 D.15執(zhí)行下邊的程序框圖，則輸出的B（ ）A.21 B.34 C.55 D.89FF,F 設(shè) 為橢圓C:

2的兩個焦點，點P在C上，若PFPF

0

PF

（ ）51 2 y 15

1 2 1 2A.1 B.2 C.4 D.5ex e曲線yx1在點 2處的切線方程為（ ）yex4

yex2

yexe4 4

yex2 4 已知雙曲線 0,b 0)的離心率為

，其中一條漸近線與圓(x

2

2交于A，a2 b2

2) (y

15B兩點，則|AB|（ ）5 5

25

35

456在三棱錐PABC中，是邊長為2的等邊三角形，PAPB2,PC ，則該棱錐的體為（ ）63A.1 B. C.2 D.33.fxe(x)2．記a

f2,bf3,cf6，則（ ）2 2 2bca

ba

cba

cabyfxycos2x的圖象向左平移yfx的圖象與 6 6 直線y1x1的交點個數(shù)為（ ）2 2A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.記Sn為等比數(shù)列an的前n項和．若8S67S3，則an的公比為 ．若fx(x1)2axsinxπ為偶函數(shù)，則a ． 2 3x2y3,若x，y滿足約束條件2x3y3，則z3x2y的最大值為 ．xy1,在正方體中，AB4,O為的中點，若該正方體的棱與球O的球面有公共點，則球O的半徑的取值范圍是 ．三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.ABC記 的內(nèi)角B,C的對邊分別為a,b,c，已知b2c2a2ABCcosA

2．求bc；若b1，求面積．cABCACB90．；AB2的高．4020只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間單位：g對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1326 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.219.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5（1）計算試驗組的樣本平均數(shù)；mm對照組試驗組2ⅰ求40mmmm對照組試驗組（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？2

n(adbc)2

abcdacbd，PK2k01000.0500.010k2.7063.8416.635fxax

sinx

,x0,π．cos2x

2 a1fx的單調(diào)性；fxsinx0，求a的取值范圍．15已知直線x2y10與拋物線C:y22px(p0)交于B兩點，AB4 ．15p；F為CMN為CFMFN0，求面積的最小值．（二）10分.2223題中任選一題作答.計分.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）y1tsin已知點P,，直線l:x2to,（t為參數(shù)為l的傾斜角，ly1tsin別交于A,B，且PAPB4．（1）求；（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求l的極坐標方程．[選修4-5：不等式選講]（10分）23.已知f(x)2xaa,a0．fxx的解集；yfx2，求a．PAGE6頁/27頁2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）文科數(shù)學注意事項：答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.12560分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)全集UA.2,3,54M4,B.1,3,4N25NMC.1,2,4,5（ ）D.2,3,4,5【答案】A【解析】【分析】利用集合的交并補運算即可得解.【詳解】因為全集U245}M，所以M2，N5}NM{2故選：A.2.51i32.2i2i

（ ）

1 C.1i

D.1i【答案】C【解析】【分析】利用復數(shù)的四則運算求解即可.

51i3

51i1i(2i)(2i) 5故選：C.3.a3,1,b22，則cos

ab,a

（ ）A. 1 B. 1717 17

5

25【答案】B【解析】

abababab，從而利用平面向量余弦的運算公式即可得解.【詳解】因為a(3,1),b(2,2)，所以ab5,3,ab1,1， 5232112則a5232112

34,ab

，abab51312，所以cos

ab,a

2 a 2 a abab34217故選：B.某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）1 1A. B.6 3【答案】D【解析】

12

23【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識即可得解.4【詳解】依題意，從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有C26件，4222名學生來自不同年級的基本事件有4，242.226 3故選：D.記Sn為等差數(shù)列an的前n項和．若a2a610,a4a845，則S5（ ）A.25 B.22 C.20 D.15【答案】C【解析】【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列an的公差和首項，再根據(jù)前n項和公式即可解出；方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列an的公差，再根據(jù)前n項和公式的性質(zhì)即可解出．【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列n的公差為d1a2a6a1da15d10，即a13d5,又a481d1d45d,12，

55a1

54d521020．2故選：C.方法二：a2a62a410，a4a845，所以a45，a89，從而da8a41，于是aad514，84 3 4所以S55a320．故選：C.執(zhí)行下邊的程序框圖，則輸出的B（ ）A.21 B.34 C.55 D.89【答案】B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖模擬運行即可解出．【詳解】當k1A123B325k112；k2A358B8513k213；當k3時，判斷框條件滿足，第三次執(zhí)行循環(huán)體，A81321，B211334，k314；當k4時，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出B34．故選：B.FF,F 設(shè) 為橢圓C:

2的兩個焦點，點P在C上，若PFPF

0

PF

（ ）51 2 y 15

1 2 1 2A.1 B.2 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出△PF1F2的面積，即可解出；方法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出．

0，所以

，S

b2tan4511PFPFPFPF

2．故選：B.

2 1 2 1 2方法二：

0，所以

c2514c2，所以PF2PF2FF24216，又PFPF

2a2

，平方得：51 2 12 1 25PF2PF22PFPF162PFPF20，所以PFPF

2．1 2 1 2 1 2 1 2故選：B.ex

1,eyx1在點

2處的切線方程為（ ）yex4

yex2

yexe4 4

yex2 4【答案】C【解析】【分析】先由切點設(shè)切線方程，再求函數(shù)的導數(shù)，把切點的橫坐標代入導數(shù)得到切線的斜率，代入所設(shè)方程即可求解.

ex e e在點處的切線方程為y kx1，y 2 2x1 y

ex，x1PAGE10頁/27頁

exx1ex 2

xex2，ky

x1 x1ex1 4所以yeex12 4 x所以曲線ye 在點e處的切線方程為yexe. xx1 2 4 4故選：C 已知雙曲線 0,b 0)的離心率為

，其中一條漸近線與圓(x

2

2交于A，a2 b2

2) (y

15B兩點，則|AB|（ ）5 5

25

35

45【答案】D【解析】【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.5c25【詳解】由e ，則a2解得b2，a

a2b2a2

b21 5，a2所以雙曲線的一條漸近線不妨取y2x，|223|221則圓心|223|2215所以弦長|AB|2

2 45.r2r2d2115故選：D6在三棱錐PABC中，是邊長為2的等邊三角形，PAPB2,PC ，則該棱錐的體為（ ）63A.1 B. C.2 D.33【答案】A【解析】【分析】證明AB平面PEC，分割三棱錐為共底面兩個小三棱錐，其高之和為AB得解.【詳解】取AB中點E，連接PE,CE，如圖，ABC是邊長為2的等邊三角形，PAPB2，PEAB,CEAB，又PE,CE平面PEC，PECEE，AB平面PEC，PECE2

3 ， ，36236故PC2PE2CE2，即PECE，所以VV故選：A

BPECVAPEC

13

AB11 3 2

321，.fxe(x)2．記a

f2,bf3,cf6，則（ ）2 2 2bca【答案】A【解析】

ba

cba

cab【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】令g(x)(x1)2，則g(x)開口向下，對稱軸為x1，6636221 3 4663622因為 1

，而(

3)24296

166

70，2 2 2 23所以611363

40，即61132 2 2 2 2 2 g(

6)g(3)，2 266 261 2 466 26因為 1

，而(

2)242843164384(32)0，2 2 2 2即 611

2g(

6)g(

2)，2 2 2 2g(

2)g(6)g(3)，2 2 2又yex為增函數(shù)，故acb，即bca.故選：A.yfxycos2x的圖象向左平移yfx的圖象與 6 6 直線y1x1的交點個數(shù)為（ ）2 2A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】fxsin2xfxy1x1的部分大致圖像，2 2考慮特殊點處fx與y1x1的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.2 2【詳解】因為ycos2xπ向左平移π個單位所得函數(shù)為 6 6 y

π π

πcos2x66cos2x2sin2xfxsin2x， 而y1x1顯然過0,1與1,0兩點，2 2 2 作出fx與y1x1的部分大致圖像如下，2 2考慮2x3π,2x3π,2x7π，即x3π,x3π,x7π處fx與y1x1的大小關(guān)系，2 2 2 4 4 4 2 2當x3π時，f3πsin3π1，y13π13π41；4 4 2

2 4 2 8 當x3π時，f3πsin3π1，y13π13π41；4 4 2

2 4 2 8 當x7π時，f7πsin7π1，y17π17π41；4 4 2

2 4 2 8 所以由圖可知，fx與y1x1的交點個數(shù)為3.2 2故選：C.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.記Sn為等比數(shù)列an的前n項和．若8S67S3，則an的公比為 ．【答案】12【解析】【分析】先分析q1，再由等比數(shù)列的前n項和公式和平方差公式化簡即可求出公比q.【詳解】若q1，則由8S67S3得873a10，不合題意.q1.當q1時，因為8S67S3，所以8

a1q611q1

7

a1q31，1q1，即81q671q3，即81q31q371q3，即81q37，q1.2故答案為：12若fx(x1)2axsinxπ為偶函數(shù)，則a ． 2 【答案】2【解析】【分析】根據(jù)常見函數(shù)的奇偶性直接求解即可.PAGE14頁/27頁fxx2axsinxπx12axosxx2a2)x1osx， 2 且函數(shù)為偶函數(shù)，a20，解得a2故答案為：23x2y3,若x，y滿足約束條件2x3y3，則z3x2y的最大值為 ．xy1,【答案】15【解析】【分析】由約束條件作出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃求最值即可.【詳解】作出可行域，如圖，由圖可知，當目標函數(shù)y3xz過點A時，z有最大值，2 2由2x3y3可得x3，即A(3,3),3x2y3 y3zmax332315.故答案為：15在正方體中，AB4,O為的中點，若該正方體的棱與球O的球面有公共點，則球O的半徑的取值范圍是 ．【答案】[22,23]【解析】【分析】當球是正方體的外接球時半徑最大，當邊長為4的正方形是球的大圓的內(nèi)接正方形時半徑達到最小.【詳解】設(shè)球的半徑為R.PAGE15頁/27頁當球是正方體的外接球時，恰好經(jīng)過正方體的每個頂點，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會包含正方體，導致球面和棱沒有交點，2R

424242334 ，即2R43,R4242423332 ；3MH,GN是邊長為4的正方形，且O為正的對角線交點，2連接MG則MG4 ，當球的一個大圓恰好是四邊形的外接圓球的半徑達到最小，即R的22最小值為2 .2R[2223.故答案為：[2223]三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.ABC記 的內(nèi)角B,C的對邊分別為a,b,c，已知b2c2a2ABCcosA

2．求bc；若b1，求面積．c【答案】（1）1（2） 34【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sinA即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出．【小問1詳解】a2b2c2cosA

b2c2a2 cosA 2bc2，解得：1．cosA cosA【小問2詳解】acosBbcosAbsinAcosBsinBcosAsinBacosBbcosA c sinAcosBsinBcosA sinCsinAB sinB sinABsinB1，sinAB sinAB sinAB變形可得：sinABsinABsinB，即2cosAsinBsinB，而0sin所以cosA1，又0Aπ，所以sinA 3，2 2故ABC的面積為S

1bcsinA113 3．△ABC

2 2 2 4ABCACB90．；AB2的高．【答案】（1）證明見解析.（2）1【解析】(1)BCACACC1；(2),ACO為中點，ACxx.【小問1詳解】PAGE17頁/27頁證明：因為A1C平面ABC，BC平面ABC,所以A1CBC,又因為ACB90，即ACBC，A1C,AC平面ACC1A1，A1CACC,ACC1，BC,所以平面ACC1A1平面BCC1B1.【小問2詳解】如圖，過點A1作A1OCC1，垂足為O.BCC1ACC1，，所以四棱錐A1BB1C1C的高為A1O.因為A1C平面ABC，AC,BC平面ABC,所以A1CBC,A1CAC,又因為A1BAB，BC為公共邊，所以ABC與A1BC全等，所以A1CAC.設(shè)A1CACx，則A1C1x，PAGE18頁/27頁所以O(shè)為CCOC1

1,1 1 2 1又因為ACAC,所以AC2AC2AA2,1 1 12222即x2x22222AC2AC2OC2111

1，所以四棱錐A1BB1C1C的高為1．4020只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間單位：g對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.132.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.219.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5（1）計算試驗組的樣本平均數(shù)；mm對照組試驗組2ⅰ求40mmmm對照組試驗組（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？2

n(adbc)2

abcdacbd，PK2k0.1000.0500.010k2.7063.8416.635PAGE26頁/27頁【答案】（1）19.82i）m23.4（i能【解析】【分析】（1）直接根據(jù)均值定義求解；2im23.4（ii）利用獨立性檢驗的卡方計算進行檢驗，即可得解.【小問1詳解】試驗組樣本平均數(shù)為：1(7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.22021.622.823.623.925.128.232.336.5)39619.820【小問2詳解】402021位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，11位數(shù)據(jù)為18.8，后續(xù)依次為20.220.223.223.6,，故第20位為23.2，第21位數(shù)據(jù)為23.6，所以m23.223.623.4，2故列聯(lián)表為：mm合計對照組61420試驗組14620合計202040由（i）

22 40(6614 6.4002 40(661420202020所以能有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.fxax

sinx

,x0,π．cos2x

2 a1fx的單調(diào)性；fxsinx0，求a的取值范圍．（1）fx在π上單調(diào)遞減 2 （2）a0【解析】（1）a1fxfx，再利用換元法判斷得其分子與分母的正負情況，從而得解；（2）gxfxsinxgx0g00g00，進而得到a0，再分類討論a0與a<0兩種情況即可得解；法二：先化簡并判斷得sinx

sinxcos2x

0a0a0三種情況，利用零點存在定理與隱零點的知識判斷得a0時不滿足題意，從而得解.【小問1詳解】a1fxx

sin

,x0,π，cos2x

2fx1

cosxcos2x2cosxsinxsinx4

1

cos2x2sin2x3coscos3xcos2x21cos2x cos3x

xcos3xcos2x2cos3x

cosx令tcosx，由于x0,π，所以tcosx0,1， 2 所以cos3xcos2x2t3t22t3t22t22t2t12t1t1t22t1，因為t2t2t210，t10，cos3xt30，cos3xcos2x

πfx

cos3x

0在,上恒成立，2 2fx在π上單調(diào)遞減. 2 【小問2詳解】法一：gxfxsinxax

sinxcos2x

sinx0x

π2， 1sin2x πg(shù)xa

cos3

cosx0x ，2 2gxfxsinx0g0f0sin00，g0a11a0a0，a0時，因為sinx

sinx

1 ，cos2x

sinx

cos2x 又x0,π，所以0sinx1，0x1，則

1， 2

cos2x fxsinxsinx

sinxcos2x

0，滿足題意；當a<0時，由于0xπ，顯然ax0，2fxsinxax

sinxcos2xsinxsinx

sinxcos2x

0，滿足題意；fxsinx0a0，所以a的取值范圍為0.法二：

sinx

sinxcos2xsin

sinxcos2x1

sin3x因為sinxcos2x

cos2x

cos2x

cos2x，因為x0,π，所以0sinx1，0cosx1， 2 故sinx

sin

0在0,π上恒成立，2 2x a0fxsinxsinx

sinxcos2x

0，滿足題意；當a<0時，由于0xπ，顯然ax0，2fxsinxax

sinxcos2xsinxsinx

sinxcos2x

0，滿足題意；a0fxsinxax

sin2

sinxax

sin3x，2cosx cosxsin3x π 3sin2xcos2x2sin4x gxaxcos2x0x2gxa

，cos3xg0a

3sin20cos202sin4cos30

a0，若xπg(shù)x0gx在π上單調(diào)遞增， 22 g00gxg00fxsinx0，不滿足題意；若xπg(shù)x0g0gx

0，0 2 0 0所以在πx0

0πg(shù)x0， 2

1 1 2gx在0gx0gx在0上單調(diào)遞增，則在0gxg00fxsinx0，不滿足題意；a0.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題方法二第2小問討論a0這種情況的關(guān)鍵是，注意到g00，從而分類討論gx在πx0gx0，從而推得存在 2 gxg00，由此得解.15已知直線x2y10與拋物線C:y22px(p0)交于B兩點，AB4 ．15p；F為CMN為CFMFN0，求面積的最小值．【答案】（1）p22（2）1282【解析】【分析】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長即可得出p；MN：xmyn，MNy2NF0mnMNF的面積表達式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值．【小問1詳解】AxAyABxByB，由x2y10y24py2p0yy

4p,yy

2p，y22px

A B ABxA Bx xA Bx y2y2A B

yAyB 5

4 ，5yA By 4yy2AB15即2p2p65yA By 4yy2AB15【小問2詳解】F0MN的斜率不可能為零，MNxmynMNx2y2，y24x由xmyn

可得，y24my4n0，所以，y1y24m,y1y24n，16m216n0m2n0，NF0，所以1x21y20，即my1n1my2n1y20，亦即m2yymnyyn20，12 1 2y24my24n代入得，24m2n26n1，4m2nn20，n1n26n1