洗衣服的數(shù)學(xué)

精品文檔-下載后可編輯洗衣服的數(shù)學(xué)張景中：河南汝南人，著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)科普作家、中國科學(xué)院院士，曾任中國科普作家協(xié)會理事長，現(xiàn)任廣州大學(xué)計(jì)算機(jī)教育軟件研究所所長。

我們愛清潔，所以衣服臟了要洗；我們要節(jié)約用水，所以希望用一定量的水把衣服盡量洗干凈.這就提出了數(shù)學(xué)問題.而把現(xiàn)實(shí)問題化為純數(shù)學(xué)問題就叫做建立數(shù)學(xué)模型.

現(xiàn)在衣物已打好了肥皂，揉搓得很充分了.再擰一擰，當(dāng)然不可能完全把水?dāng)Q干.設(shè)衣服上還殘留污水1斤，用20斤清水來漂洗，怎樣才能漂得更干凈？如果把衣服一下放到20斤清水里，那么連同衣服上那1斤水，一共21斤水.污物均勻分布在這21斤水里，擰干后，衣服上還有1斤水.所以污物殘存量是原來的.但通常大家不會這么辦，而是把20斤水分2次用.比如第一次用5斤，使污物減少到，再用15斤，污物又減少到的，即=.分2次洗，效果好多了.同樣分2次洗，也可以每次用10斤，每次都使污物減少到原有量的，那么2次可以達(dá)到的效果！要是分4次洗呢？每次5斤水，第一次使污物減少到原來的，4次之后，污物減少到原有的=，效果更佳！但這樣是不是達(dá)到最佳效果了呢？進(jìn)一步問，如果衣服上殘存水量是1.5斤或2斤，洗衣用水量是37斤，那么又該怎么洗？

你會想到用字母代替數(shù)了，這樣能使問題一般化.設(shè)衣服充分?jǐn)Q干之后殘存水量w斤（每次擰于后殘存水量不變），其中含污物m0克，漂洗用的清水A斤.我們把A斤水分成n次使用，每次用量是a1，a2，…，an（斤）.經(jīng)過n次漂洗后，衣服上還有多少污物呢？

第一次，把帶有m0克污物和w斤水的衣服放到a1斤水中，充分搓洗，使m0克污物溶解或均勻懸浮于（w+a1）斤水中.把污水倒掉，衣服擰干的時候，衣服上還殘留多少污物呢？由于m0克污物均勻分布于（w+a1）斤水中，所以衣服上殘留的污物量m1與殘留的水量w成正比，即=.故m1=m0?=.類似分析可知，漂洗2次之后衣服上的污物量為m2==.而n次洗滌之后衣服上殘存污物量為

mn=.①

有了這個公式，也就是建立了數(shù)學(xué)模型.下一步問題是：（1）是不是把水分得越均勻，洗得越干凈？（2）是不是洗的次數(shù)越多越干凈？

對固定的洗滌次數(shù)n，如何選取a1，a2，…，an，才能使mn最??？也就是使①右端的字母最大？這個分母是n個數(shù)之積.這n個數(shù)之和是1+

+1+

+…+1+

=n+.于是問題化為：當(dāng)n個數(shù)之和為一定值S=n+時，n個數(shù)的乘積何時最大？

用“平均不等式”馬上可以解決這個問題.平均不等式說：任意n個正數(shù)c1，c2，…，cn的“幾何平均數(shù)”不超過它們的“算術(shù)平均數(shù)”，即≤（c1+c2+…+cn），當(dāng)且僅當(dāng)c1=c2=…=cn時，兩端相等.于是得到1+

?1+

…1+

≤

1+.這就告訴我們，每次用水量相等的時候洗得最干凈，而殘存污物的量是.這就肯定地回答了剛才的問題（1）.

那是不是洗的次數(shù)越多越干凈呢？答案也是肯定的，并且同樣可以用平均不等式來證明.但是數(shù)學(xué)模型和實(shí)際情形常常不一致.比如我們在每次漂洗時，很難讓污物均勻分布在水里；多洗幾次固然省水，可又多用了時間