2022-2023學(xué)年四川省涼山州高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（含解析）

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一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合，，則()

A.或B.或

C.D.

2.復(fù)數(shù)的虛部為()

A.B.C.D.

3.某學(xué)校數(shù)學(xué)教研組舉辦了數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽滿分分，其中高一、高二、高三年級(jí)參賽選手的人數(shù)分別為，，現(xiàn)用分層抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)中抽取樣本，經(jīng)計(jì)算可得高二、高三年級(jí)參賽選手成績(jī)的樣本平均數(shù)分別為，，全校參賽選手成績(jī)的樣本平均數(shù)為，則高一年級(jí)參賽選手成績(jī)的樣本平均數(shù)為()

A.B.C.D.

4.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為()

A.B.C.D.

5.在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為()

A.B.C.D.

6.已知，則()

A.B.C.D.

7.將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的可能取值為()

A.B.C.D.

8.已知向量，則“”是“”的()

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

9.已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則的值為()

A.B.C.D.

10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則()

A.B.C.D.

11.已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)，，在軸的同側(cè)，則()

A.B.C.D.

12.設(shè)，，且滿足，則下列判斷正確的是()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____用數(shù)字作答．

14.若向量，則的面積為_(kāi)_____．

15.曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則______．

16.已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：

函數(shù)的圖象存在對(duì)稱中心；

函數(shù)是上的偶函數(shù)；

；

若，則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_____．

三、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17.本小題分

已知是等差數(shù)列，且，．

求的通項(xiàng)公式；

設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

18.本小題分

在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，已知．

求的值；

若，求的值．

19.本小題分

設(shè)甲盒有個(gè)白球，個(gè)紅球，乙盒有個(gè)白球，個(gè)紅球；現(xiàn)從甲盒任取球放入乙盒，再?gòu)囊液腥稳∏颍?/p>

記隨機(jī)變量表示從甲盒取出的紅球個(gè)數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

求從乙盒取出個(gè)紅球的概率．

20.本小題分

如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．

證明：平面；

求二面角的余弦值．

21.本小題分

已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值．

22.本小題分

已知函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

若存在極大值點(diǎn)，且，求的取值范圍．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，，

．

故選：．

根據(jù)并集的概念，即可求解．

本題考查集合的基本運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)．

所以復(fù)數(shù)的虛部為：．

故選A．

按照平方差公式展開(kāi)，求出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部即可．

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的基本概念，考查計(jì)算能力．

3.【答案】

【解析】解：高一、高二、高三年級(jí)參賽選手的人數(shù)分別為，，，

現(xiàn)用分層抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)中抽取樣本，

則樣本中高一、高二、高三年級(jí)參賽選手的人數(shù)比為：：，

設(shè)高一年級(jí)參賽選手成績(jī)的樣本平均數(shù)為，

高二、高三年級(jí)參賽選手成績(jī)的樣本平均數(shù)分別為，，全校參賽選手成績(jī)的樣本平均數(shù)為，

則，解得．

高一年級(jí)參賽選手成績(jī)的樣本平均數(shù)為．

故選：．

由分層抽樣的方法得樣本中高一、高二、高三年級(jí)參賽選手的人數(shù)比，設(shè)高一年級(jí)參賽選手成績(jī)的樣本平均數(shù)為，列式即可．

本題考查分層抽樣、平均數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：因?yàn)榍€的漸近線方程為，

又雙曲線的一條漸近線方程為，則，

所以，

則雙曲線的離心率為．

故選：．

利用曲線的漸近線方程為，即可得與的關(guān)系，再由離心率公式求解．

本題主要考查了雙曲線的漸近線、離心率性質(zhì)．屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：取中點(diǎn)點(diǎn)，連接，，，作圖如下：

因?yàn)闉檎襟w，所以易知，

在中，因?yàn)?，，分別為，的中點(diǎn)，所以，

所以，

所以即為異面直線與所成的角，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，

易知，，，

所以為等邊三角形，所以，

故選：．

取中點(diǎn)點(diǎn)，連接，，，作圖，通過(guò)證明，得到即為異面直線與所成的角，進(jìn)而求解即可．

本題主要考查異面直線所成的角，屬于中檔題．

6.【答案】

【解析】解：，

，

又，，

，，

，，，

，即．

故選：．

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可．

本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查利用單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】解：將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，可得的圖象．

由于得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的可能取值為．

故選：．

由題意，利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，求得的可能取值．

本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．

8.【答案】

【解析】解：向量，

則，解得，

故“”是“”的充分不必要條件．

故選：．

根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量共線的性質(zhì)，即可求解．

本題主要考查平面向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

9.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意知，

，

，

，

．

故選：．

根據(jù)條件得出，然后即可求出的值，從而根據(jù)二倍角的余弦公式即可求出的值．

本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角的余弦公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：，

，，，，

，，

以此類推，，，，

．

故選：．

由題意可知，，，以此類推，，，，進(jìn)而求出的值即可．

本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了并項(xiàng)求和法的應(yīng)用，屬于中檔題．

11.【答案】

【解析】解：直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，

可得，解得，

可得，，

直線與圓交于，兩點(diǎn)，，在軸的同側(cè)，

可得，解得，

所以，，

則．

故選：．

聯(lián)立直線與拋物線方程，求解、坐標(biāo)，然后求解、坐標(biāo)，即可求解向量的數(shù)量積．

本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的求法，是中檔題．

12.【答案】

【解析】解：，，令，則，在上遞增，且．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，即，則．

又，，，

當(dāng)時(shí)，，即，則．

又，，，故選項(xiàng)D正確．

不確定與的大小關(guān)系，故選項(xiàng)AB不正確．

故選：．

因?yàn)?，所以從而?gòu)造，通過(guò)分析為單調(diào)遞增函數(shù)，再分類討論與的大小關(guān)系．

本題考查對(duì)數(shù)值大小的比較，屬于難題，解題時(shí)需要構(gòu)造函數(shù)以及分析函數(shù)的單調(diào)性．

13.【答案】

【解析】解：因?yàn)椋?/p>

所以展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，，，，，

令，則，

所以的系數(shù)為．

故答案為：．

將已知關(guān)系式化簡(jiǎn)可得：，然后求出二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為，由此即可求解．

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：，

，，

，，

，

的面積為．

故答案為：．

根據(jù)向量的模公式，向量的夾角公式，三角函數(shù)的同角關(guān)系，三角形的面積公式，即可求解．

本題考查三角形的面積的求解，向量的模公式，向量的夾角公式，三角函數(shù)的同角關(guān)系，三角形的面積公式，屬基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：由，得，

曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，

，解得．

故答案為：．

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，再由兩直線平行與斜率的關(guān)系列式求解值．

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．

16.【答案】

【解析】解：由題意可得：，且函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

對(duì)于：因?yàn)椋?/p>

所以函數(shù)是上的偶函數(shù)，故正確；

對(duì)于：假設(shè)函數(shù)的圖象存在對(duì)稱中心，

則，

若，可得，

則，

所以，

可知函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，顯然不成立；

若，則不是定值，

這與為定值相矛盾；

綜上所述：假設(shè)不成立，所以函數(shù)的圖象不存在對(duì)稱中心，故錯(cuò)誤；

對(duì)于：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；

綜上所述：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故正確；

對(duì)于：令，

整理得，

由可得，整理得，

設(shè)，則，

令，解得；令，解得，

則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

則，且當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，

由題意可得：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

則，

因?yàn)?，故錯(cuò)誤．

故答案為：．

化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，偶函數(shù)的定義，零點(diǎn)的定義，以及導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可．

本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值，考查數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

17.【答案】解：由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，且，，

則，

，．

由可得，，

故

．

數(shù)列的前項(xiàng)和為．

【解析】先設(shè)等差數(shù)列的公差為，再根據(jù)題干已知條件及等差數(shù)列的定義推導(dǎo)出公差的值，即可計(jì)算出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；

先根據(jù)第題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可計(jì)算出前項(xiàng)和．

本題主要考查數(shù)列求通項(xiàng)公式，以及數(shù)列求和問(wèn)題．考查了方程思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，等差數(shù)列的定義，等比數(shù)列求和公式的運(yùn)用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．

18.【答案】解：，

由余弦定理可得，

，

．

，，

，

由正弦定理可得．

【解析】由已知利用余弦定理可得，結(jié)合范圍，可求的值．

由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，根據(jù)正弦定理求解即可．

本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

19.【答案】解：解由題可知，隨機(jī)變量可能的取值有，，，

所以，

分布列如下：

所以．

若，則此時(shí)甲盒取出來(lái)了個(gè)紅球放入乙盒，

此時(shí)乙盒有個(gè)白球，個(gè)紅球，所以從乙盒取出個(gè)紅球的概率為，

若，

則此時(shí)甲盒取出來(lái)了個(gè)白球放入乙盒，

此時(shí)乙盒有個(gè)白球，個(gè)紅球，

所以從乙盒取出個(gè)紅球的概率為，

若，則此時(shí)甲盒取出來(lái)了個(gè)白球，個(gè)紅球放入乙盒，

此時(shí)乙盒有個(gè)白球，個(gè)紅球，所以從乙盒取出個(gè)紅球的概率為，

所以從乙盒取出個(gè)紅球的概率為．

【解析】根據(jù)超幾何分布概率求解；

根據(jù)甲盒任取球放入乙盒的不同情況，分類討論，利用超幾何分布概率模型求解．

本題考查超幾何分布，考查概率的計(jì)算，考查分類討論思想以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

20.【答案】證明：在正方體中，

且，

且，

所以且，

則為平行四邊形，

所以，又平面，平面，

所以平面．

解：因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系

所以，，，，

由可得，

設(shè)平面的法向量為，

則，

令，則，

所以，

可得平面的法向量為，

顯然平面的法向量可以為，

設(shè)二面角的平面角為，

所以，

所以二面角的余弦值．

【解析】證明為平行四邊形，得到，即可證明平面．

建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面的法向量，平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角的余弦值即可．

本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面平行的判斷定理的應(yīng)用，是中檔題．

21.【答案】解：已知橢圓的離心率為，

所以，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，

所以，

又，

聯(lián)立，解得，，

則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，

不妨設(shè)直線的方程為，，，

聯(lián)立，消去并整理得，

此時(shí)，

由韋達(dá)定理得，，

所以，

不妨令，，

此時(shí)，

不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>

可得，

所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，

則當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為．

【解析】由題意，將點(diǎn)代入橢圓方程中，結(jié)合離心率公式以及，列出等式即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

設(shè)出直線的方程和點(diǎn)，的坐標(biāo)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及三角形面積公式得到面積的表達(dá)式，利用換元法，令令，，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而即可求解．

本題考查橢圓的性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．

22.【答案】解：已知，函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>

當(dāng)時(shí)，，

可得，

當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)的在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值；

易知，

若，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，不符合題意；

若，

令，

解得或，

當(dāng)，即時(shí)，

由知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，不符合題意；

若，即時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，