2023初中數(shù)學(xué)培優(yōu)競(jìng)賽例題+練習(xí) 專題44 特殊的四邊形（學(xué)生版+解析版）

專題44特殊的四邊形一、三角形的中位織【典例】如圖在AABC中，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，且BD=CE,M、N分別是BE、CD的中點(diǎn).過MN的直線交AB于P,交AC于Q,線段AP、AQ相等嗎？為什么？【解答】解：AP=AQ.理由如下：如圖，取BC的中點(diǎn)H,連接MH,NH.VM, H為BE,BC的中點(diǎn)，.?.MH〃EC,且MH=|eC.VN, H為CD,BC的中點(diǎn)，.??NH〃BD,且NH=；BD.?.?BD=CE,「?MH=NH.AZHMN=ZHNM；?.?MH〃EC,AZHMN=ZPQA,同理ZHNM=ZQPA..?.△APQ為等腰三角形，「?AP=AQ.【鞏固】如圖，在-ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB=OB,點(diǎn)E,F分別是OA,OD的中點(diǎn),連接EF,EM±BC于點(diǎn)M,EM交BD于點(diǎn)N,若ZCEF=45°,FN=5,求線段BC的長(zhǎng).二、矩形中的折疊【典例】如圖，折疊矩形紙片ABCD,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在CD邊上，GH為折痕，已知AB=6,BC=10.當(dāng)折痕GH最長(zhǎng)時(shí)，線段BH的長(zhǎng)為 【解答】解：由題知，當(dāng)E點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)GH最長(zhǎng),設(shè)BH=x,則CH=10-x,HE=BH=x,由勾股定理得，HC2+CE2=HE2,即(10-x)2+62=?,解得x=6.8,故答案為：6.8.【鞏固】如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊CD±一點(diǎn),AD⑴如圖1,將MDE沿AE翻折，使點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M恰好在BC邊的中點(diǎn)，求京勺值:（2）如圖2,若點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF±BE于F,連接DF,求證DF=BC.EC圖1DEC圖1D三、直角三角形斜邊上的中線【典例】如圖，在AABC中，AB=3,AC=4.BC=5,P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE丄AB于E,PF±AC于F,M為EF中點(diǎn)，則M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為（PD.1.5C.1.2D.1.5【解答】解：VAB=3.AC=4,BC=5,.?.ZEAF=90°,VPE±AB于E,PF±AC于F,.??四邊形AEPF是矩形，..?EF,AP互相平分.ILEF=AP,..?EF,AP的交點(diǎn)就是M點(diǎn).???當(dāng)AP的值最小時(shí)，AM的值就最小，..?當(dāng)AP丄BC時(shí)，AP的值最小，即AM的值最小.V-AP-BC=§AB?AC,?.?AP?BC=AB?AC.VAB=3,AC=4,BC=5,.?.5AP=3X4,?.?AP=2.4,?.?AM=1.2；故選：C.【鞏固】如圖，ZBAC=ZBDC=90°,四邊形ABDE為平行四邊形，若AD=6,BC=8,則CE的長(zhǎng)為 四、菱形中最值問題【典例】如圖，邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，ZABC=30°,P為BC上方一點(diǎn)，且Sapbc=|s差形ABCD,則PB+PC的最小值為 .【解答】解：過A作AE±BC于E,VZABC=30°,AB=4,???AE=?AB=2,.*.Sapbc=愛形abcd=Ix4X2=2.設(shè)點(diǎn)P到BC的距離為h,:.h=l,即點(diǎn)P在平行于BC且到BC的距離為1的直線上，作點(diǎn)B關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)G,連接CG交直線Z于點(diǎn)P,則此時(shí)，PB-PC的值最小，PB+PC的最小值=CG,?.?BG丄「?BG丄BC,AZCBG=90°,BG=2h=2,???CG=V22+42=2V5.【鞏固】如圖，菱形ABCD中，AB=2,ZA=120°,點(diǎn)P是直線BD±一動(dòng)點(diǎn)，連接PC,當(dāng)PC+學(xué)的值最小時(shí),線段PD長(zhǎng)是 鞏固練習(xí)如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,點(diǎn)E,F分別是邊AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E不與A,B重合,且EF=AB,G是五邊形AEFCD內(nèi)滿足GE=GF且匕EGF=90°的點(diǎn).現(xiàn)給出以下結(jié)論.其中錯(cuò)誤的是（ZGEB與匕GFB一定互補(bǔ)點(diǎn)G到邊AB,BC的距離一定相等點(diǎn)G到邊AD,DC的距離可能相等點(diǎn)G到邊AB的距離的最大值為2V2如圖，分別以R/AABC的直角邊AC及斜邊AB為邊向外作等邊AACD、等邊AABE,EF1AB,垂足AQ為F,AQ為F,連接DF,當(dāng)而=時(shí)，四邊形ADFE是平行四邊形.如圖，矩形ABCD,AB=1,BC=2,點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)D在），軸正半軸上.當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之在），軸上運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最大距離為 .

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,ZBAD=120°,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則EF+BF的最小值是一如圖，在矩形ABCD中，AD=V3AB,對(duì)角線相交于點(diǎn)O,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（到點(diǎn)A即停止），點(diǎn)N是AD上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足ZMON=90°,連結(jié)MN.在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過程中，則以下結(jié)論正確的是 .（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)速度不相等；存在某一時(shí)刻使Sz\AMN=S^MON；SaAMN逐漸減小；MN2=BM2+DN2.如圖，菱形ABCD,AB=5,E在BC上，BE=4,過點(diǎn)E作EG±AD于G,交BD于F,連接DE,若BEC

BEC如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC上一動(dòng)點(diǎn)，P為BF中點(diǎn)，連接PD,則線段PD長(zhǎng)的取值范圍是 .如圖，在AABC中，ZABC=90°,BD為ZiABC的中線，過點(diǎn)C作CE丄BD于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,在AF的延長(zhǎng)線上截取FG=BD,連接BG、DF.求證：四邊形BDFG是菱形：若ZBAC=30°,BC=2,求四邊形BDFG的而積.C圖1直接寫出CN的長(zhǎng).圖1直接寫出CN的長(zhǎng).圖2已知四邊形ABCD是矩形.(1)如圖1,E、F分別是AB、AD上的點(diǎn)，CE垂直平分BF,垂足為G,連接DG.求證：DG=CG；若BC=2AB,求匕DGC的大?。?2)如圖2,AB=BC=6,M、N、P分別是AB、CD、AD上的點(diǎn)，MN垂直平分BP,點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)，連接MP,PQ,若PQ丄MP,已知：如圖，把矩形紙片OABC放入直角坐標(biāo)系A(chǔ)。），中，使OA、OC分別落在X軸、），軸的正半軸上，連接AC,將AABC沿AC翻折，點(diǎn)B落在該坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)這個(gè)落點(diǎn)為D,CD交x軸于點(diǎn)E.如果CE=5,OC、OE的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程A（7M-1）x+12=0的兩個(gè)根，并且OC>OE.（1） 求點(diǎn)D的坐標(biāo)：（2） 如果點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，判斷點(diǎn)（8,-20）是否在過D、F兩點(diǎn)的直線上，并說明現(xiàn)由.如圖1,在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AB=13,BD=24,在菱形ABCD的外部以AB為邊作等邊三角形ABE.點(diǎn)F是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)B重合），將線段AF繞點(diǎn)A願(yuàn)時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AM,連接FM.（1） 線段AO的長(zhǎng)為 ；（2） 如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在線段BO上，且點(diǎn)M,F,C三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求證：AM=^AC；（3） 連接EM.若AAFM的周長(zhǎng)為3面，請(qǐng)直接寫出ZXAEM的面積.在菱形ABCD中，ZBAD=60°.（1） 如圖1,點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，連接DE、CE、若AB=4,求線段EC的長(zhǎng)；（2） 如圖2,M為線段AC±一點(diǎn)（不與A、C重合），以AM為邊向上構(gòu)造等邊三角形AMN,線段MN與AD交于點(diǎn)G,連接NC、DM,Q為線段NC的中點(diǎn)，連接DQ、MQ.判斷DM與DQ的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;(3)在(2)的條件下，若AC=V3,請(qǐng)你直接寫出DM+CN的最小值.圖1圖2專題44特殊的四邊形一、三角形的中位線【典例】如圖在AABC中，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，且BD=CE,M、N分別是BE、CD的中點(diǎn).過MN的直線交AB于P,交AC于Q,線段AP、AQ相等嗎？為什么？【解答】解：AP=AQ.理由如下：如圖，取BC的中點(diǎn)H,連接MH,NH.VM,H為BE,BC的中點(diǎn)，.?.MH〃EC,且MH=|eC.?.?N,H為CD,BC的中點(diǎn)，.??NH〃BD,且NH=；BD.?.?BD=CE,「?MH=NH.AZHMN=ZHNM；?.?MH〃EC,AZHMN=ZPQA,同理ZHNM=ZQPA..?.△APQ為等腰三角形，?.?AP=AQ.BHC【鞏固】如圖，在"BCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB=OB,點(diǎn)E,F分別是OA,OD的中點(diǎn),連接EF,EM±BC于點(diǎn)M,EM交BD于點(diǎn)N,若ZCEF=45°,FN=5,求線段BC的長(zhǎng).BMC【解答】解：設(shè)EF=x,.??點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是OA、OD的中點(diǎn),?.?EF是AOAD的中位線，/.AD=2r,AD〃EF,

.?.ZCAD=ZCEF=45°,四邊形ABCD是平行四邊形，?.?AD〃BC,AD=BC=2r,.?.ZACB=ZCAD=45°,?「EM丄BC,.?.ZEMC=90°,.?.△EMC是等腰直角三角形，/.ZCEM=45°,連接BE,DBMCVAB=OB,AE=OE「?BE丄AO.*.ZBEM=45°,?.?BM=EM=MC=x,?.?BM=FE,易得AENF竺ZXMNB,???EN=MN=m，BN=FN=5,RrABNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2,即52=A(§)2,解得，x=2V5..?.BC=2a=4V5.答：線段BC的長(zhǎng)為4瀉.二、矩形中的折疊【典例】如圖，折疊矩形紙片ABCD,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在CD邊上，GH為折痕，已知AB=6,BC=10.當(dāng)折痕GH最長(zhǎng)時(shí)，線段BH的長(zhǎng)為 .F【解答】解：由題知，當(dāng)E點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)GH最長(zhǎng)，設(shè)BH=x,則CH=10-x,HE=BH=x,由勾股定理得，HC2+CE2=HE2,即(10-x)2+62=^,解得x=6.8,故答案為：6.8.【鞏固】如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊CD±一點(diǎn),An如圖1,將AADE沿AE翻折，使點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M恰好在BC邊的中點(diǎn)，求兀的值;aa如圖2,若點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF丄BE于F,連接DF,求證DF=BC.圖1?.?AD=BC,由折疊可得AD=AM,.?.BC=AM,又?.?M是BC的中點(diǎn),???BM=|BC=|aM,又VZB=90°,

/.RrAABM中/BAM=30°,.?.BM=|AM,AB=V3BM,竺=咎字知即竺=纟歷AB嫗BM3AB3（2）證明：如圖2所示，延長(zhǎng)BE,AD,交于點(diǎn)G,則ZBEC=ZGED,圖2VAG/7BC,圖2VAG/7BC,.?.ZG=ZCBE,?.?E是CD的中點(diǎn),.?.DE=CE,在ABCE和Z^GDE中,ZBEC=ZGED“BE=匕G=DE.?.ABCE^AGDE(AAS),.?.DG=BC=AD,即D是AG的中點(diǎn),又?.?AF丄BG,AR/AAFGrf,DF=|AG=AD,又.矩形ABCD中，AD=BC..?.DF=BC.三、直角三角形斜邊上的中線【典例】如圖，在AABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE丄AB于E,PF丄AC于F,M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為（M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為（A.1B.1.3C.1.2D.1.5【解答】解：VAB=3,AC=4,BC=5,.*.ZEAF=90°,VPE±AB于E,PF±AC于F,.??四邊形AEPF是矩形，..?EF,AP互相平分.且EF=AP,.??EF,AP的交點(diǎn)就是M點(diǎn).???當(dāng)AP的值最小時(shí)，AM的值就最小，.??當(dāng)AP±BC時(shí)，AP的值最小，即AM的值最小.v|ap-bc=§ab?ac,?.?AP?BC=AB?AC.VAB=3,AC=4,BC=5,.?.5AP=3X4,?.?AP=2.4,?.?AM=1.2；故選：C.【鞏固】如圖，ZBAC=ZBDC=90°,四邊形ABDE為平行四邊形，若AD=6,BC=8,則CE的長(zhǎng)為 【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BF〃CD,且BF=CD,連接DF,CF,AF,VBF/7CD.DC=BF,.??四邊形BDCF是平行四邊形，且ZBDC=90°,.??四邊形BDCF是矩形，「?BC=DF=8,CF〃BD,CF=BD,四邊形ABDE是平行四邊形，?.?BD〃AE,BD=AE,?.?AE〃CF,AE=CF,.??四邊形AECF是平行四邊形，?.?AF=CE,VZBAC=ZBDC=90°,..?點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)C,點(diǎn)D四點(diǎn)共圓，/.ZCAD=ZCBD,..?四邊形BDCF是矩形，/.ZDBC=ZDFC,ZFCD=90°,.*.ZDFC=ZDAC,..?點(diǎn)A,點(diǎn)F,點(diǎn)C,點(diǎn)D四點(diǎn)共圓，.?.ZFAD+ZFCD=I8O°,.*.ZFAD=90o,???AF=VDF2-AD2=V82-62=2”，???EC=2V7，故答案為：2V7.四、菱形中最值問題【典例】如圖，邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，ZABC=30°,P為BC上方一例,且Sgc=；S菱彰abcd,則PB+PC的最小值為 .【解答】解：過A作AE1BC于E,VZABC=30°,AB=4,.*.AE=§AB=2,ASaPBC=$S菱形ABCD=?x4X2=2,設(shè)點(diǎn)P到BC的距離為h,:.h=\,即點(diǎn)P在平行于BC且到BC的距離為1的直線上，作點(diǎn)B關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)G,連接CG交直線/于點(diǎn)P,則此時(shí)，PB-PC的值最小，PB+PC的最小值=CG,?.?BG丄

...BG丄BC,.?.ZCBG=90°,BG=2/r=2,：.CG=V22+42=2a/5,EC【鞏固】如圖，菱形ABCD中，AB=2,ZA=120°,點(diǎn)P是直線BD±一動(dòng)點(diǎn)，連接PC,當(dāng)PC+琴的值最小時(shí),線段PD長(zhǎng)是 . C【解答】解：如圖，過P作PE1BC于E,連接AP,由菱形ABCD,可得AB=CB,ZABP=ZCBP=ZADP=30°「.△ABP竺ZXCBP,BP=2PE,?.?AP=CP,PR???PC+b=AP+PE,?.?當(dāng)點(diǎn)A,P,E在同一直線上時(shí)，AP+PE最短，PR???此時(shí)，PC+辱的值最小，AP1AD,VR/AABE中，AB=2,???BE=1,AE=VI,.?.R/Z\BEP中，PE=|V3,/.AP=|V3,VZADP=30°,.,.R/AADP中，PD=2AP=|V3,故答案為：|V3.

鞏固練習(xí)如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,點(diǎn)E,F分別是邊AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E不與A,B重合,且EF=AB,G是五邊形AEFCD內(nèi)滿足GE=GF且NEGF=90°的點(diǎn).現(xiàn)給出以下結(jié)論.其中錯(cuò)誤的是（ZGEB與NGFB一定互補(bǔ)點(diǎn)G到邊AB,BC的距離一定相等點(diǎn)G到邊AD,DC的距離可能相等點(diǎn)G到邊AB的距離的最大值為2V2【解答】解：A、四邊形ABCD是矩形，.?.ZB=90°,又VZEGF=90°,四邊形內(nèi)角和是360。,ZGEB+ZGFB=180°,故A正確；B、 過G作GM丄AB,GN丄BC,分別交AB于M,交BC于N,VGE=GF且匕EGF=90°,.?.ZGEF=ZGFE=45°,又VZB=90°,?.?ZBEF+NEFB=9(T,BPZBEF=90°-ZEFB,VZGEM=180°-ZBEF-ZGEF=180°-45°-(90°-ZEFB)=45°+ZEFB,ZGFN=ZEFB+ZGFE=ZEFB+45°,ZGEM=ZGFN,在AGEM和△GFN中，ZGME=乙GNF匕GEM=匕GFN'GE=GF.?.AGEM^AGFN(AAS),???GM=GN,故B正確；C、 ?.'AB=4,AD=5,并由B知，點(diǎn)G到邊AD,DC的距離不相等，

故C錯(cuò)誤：D、在直角三角形EMG中，MGWEG,當(dāng)點(diǎn)E、M重合時(shí)EG最大,VEF=AB=4.???GE=EB=BF=FG=4x孚=2V2,故D正確.如圖，分別以R/AABC的直角邊AC及斜邊AB為邊向外作等邊△ACD、等邊AABE,EF1AB.垂足AQ為F,連接DF,當(dāng)石= 時(shí)，四邊形ADFE是平行四邊形.Ao:.ZCAB=30°,?「△ABE為等邊三角形，EF丄AB,???EF為NBEA的平分線，ZAEB=60°,AE=AB,/.ZFEA=30°,又ZBAC=30°,.?.ZFEA=ZBAC,在△ABC和AEAF中,(z^ACB=4FA]Z.BAC=LAEF'{AB=AE.?.AABC^AEAF(AAS)：VZBAC=30°,ZDAC=60°,/.ZDAB=90°,甘卩DA丄AB,

VEF1AB.???AD〃EF,VAABC^AEAF.?.?EF=AC=AD,.??四邊形ADFE是平行四邊形.CB如圖，矩形ABCD,AB=I,BC=2,點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上.當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之在），軸上運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)C到原點(diǎn)0的最大距離為 .t解答】解：如圖，取AD的中點(diǎn)H,連接CH,0H.?矩形ABCD,AB=1,BC=2,?.?CD=AB=1,AD=BC=2,.??點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，?.?AH=DH=1,.?.CH=VDH2+CD2=V1TT=y/2,VZAOD=90。，點(diǎn)H是AD的中點(diǎn),???OH=|AD=1,在△OCH中，COVOH+CH,當(dāng)點(diǎn)H在OC上時(shí)，CO=OH+CH,.??CO的最大值為OH+CH=V7+1,故答案為：V2+1.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,ZBAD=120°,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC±的一動(dòng)點(diǎn)，則EF+BF的最小值是 ?C【解答】解：連接DB,DE,設(shè)DE交AC于M,連接MB,DF,延長(zhǎng)BA,DH丄BA于H,..?四邊形ABCD是菱形，..?AC,BD互相垂直平分，..?點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為D,FD=FB,???FE+FB=FE+FDNDE.只有當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，取等號(hào)（兩點(diǎn)之間線段最短），△ABD中，AD=AB,ZDAB=120°,.?.ZHAD=60°,?「DH丄AB,.\ah=|ad.DH=%D,?.?菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為AB的中點(diǎn),...AE=2,AH=2,「.EH=4,DH=2V3,在RrAEHD中，DE=/訶+爵2=J42+（2V3）2=2>/7,.?.EF+BF的最小值為揷.故答案為：2V7.C如圖，在矩形ABCD中，AD=V3AB,對(duì)角線相交于點(diǎn)O,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（到點(diǎn)A即停止），點(diǎn)N是AD上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足ZMON=90°,連結(jié)MN.在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過程中，則以下結(jié)論正確的是 .（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)速度不相等；存在某一時(shí)刻使Saamn=Samon；SaAMN逐漸減??；MN2=BM2+DN2.【解答】解：如圖，當(dāng)M與B點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)N01BD,..?在矩形ABCD中，AD=V3AB,.?.ZADB=ZDAC=30°,.?.ZAOD=180°-30°-30°=120°,ZNAO=ZAOD-ZNOD=120°-90°=30°,.?.ZDAO=ZNOA=30°,?.?AN=ON=DN?s仍30°=§DN,..'AN+DN=AD,???AN=|AD.當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M'位置時(shí)，此時(shí)OM'丄AB,N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了N',VAC和BD是矩形ABCD的對(duì)角線，AM點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離是MM'=|AB,N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離是NN'=^AD-AN=I/ID-^AD=|aD,又；AD=V3AB,???NN，=?xV3AB=乎AB=亨MM，,..?N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是M點(diǎn)的乎，故①正確，當(dāng)M在M'位置時(shí)，VZOM*A=90°,ZN'AB=90°,NM'ON'=90°,

.?.四邊形AM'ON'是矩形,此時(shí)SzxAMN=SaMON,故②正確，令A(yù)B=1,則AD=V5,設(shè)BM=x,則N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為g,AN=§AD+亨式=孚+孳I，?*.SaAMN=|aM*AN=I（AB-BM）'AN=|（1-j：）（乎+乎=早-???0WxW1,在x的取值范圍內(nèi)函數(shù)至- 的圖象隨x增加而減小，6 6?*.SaAMN逐漸減小，故③正確，VMN2=(AB-BM)2+(AD-DN)2=AB2-2AB?BM+BM2+AD2-2AD?DN+DN2=(AB2-2AB?BM+3AB：-2a^AB?DN)+BM2+DN2=(4AB2-2AB-BM-2V3AB-DN)+BM2+DN2,VAN=?AD+亨BM=孚AB+亨BM,.?.?.DN=AD?AN“AB.律AB+亨BM)=^AB-^BM,V2V3AB?DN=2V3ABX(縁AB一孚BM)=4AB2-2AB-BM,.\MN2=(4AB2-2AB-BM-2V3AB-DN)+BM2+DN2=BM2+DN2,故④正確，方法二判定④：如圖2,延長(zhǎng)M0交CD于M',.?.￡MOB=NM'OD,OB=OD,ZDBA=ZBDC,AAOMB^AOM'D(ASA),?.?BM=DM',OM=OM',連接NM*,?.?NO丄MM',則MN=NM',vnm，2=dn2+dm，2,.*.mn2=bm2+dn2,故④正確，故答案為：O?③④.

如圖，菱形ABCD,AB=5,E在BC上，如圖，菱形ABCD,AB=5,E在BC上，BE=4,過點(diǎn)E作EG±AD于G,交BD于F,連接DE,若ZA=4ZDEG,則EF的長(zhǎng)為 【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DM丄BD,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,設(shè)NDEG=a,則ZA=4a,..?四邊形ABCD是菱形,AZABC=180°-ZA=180°-4a,ZABD=ZCBD=ZBDC....ZABD=ZCBD=ZBDC=90°-2a,2a)=2a,.?.ZM=90°-ZCBD=90°-(90°-2a)=2a,ZCDM=90°-ZBDC=90°-(90°-.*.ZM=ZCDM.2a)=2a,「.CD=CM=5,?「EG丄AD,AZBEG=90°,.?.ZDEM=I8O°-ZBEG-ZDEG=180°-90°?a=90°?a,.\ZEDM=180°-ZDEM-ZM=180°-(90°-a)-2a=90"-a,ZDEM=ZEDM.DM=EM=EC+CM=1+5=6,BM=BC+CM=5+5=10,.?.BD=\/BM2-DM2=V102-62=8,VZBEF=ZBDM=90°,ZFBE=ZMBD,「.△FBEs^MBD,.即竺=DMBD6 8.\EF=3.故答案為：3.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC上一動(dòng)點(diǎn)，P為BF中點(diǎn)，連接PD,則線段PD長(zhǎng)的取值范圍是 .【解答】解：如圖:當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)Pi處，CPi=BPi,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P2處，EP2=BP2,「?PiP2〃EC且PiP2=|CE,當(dāng)點(diǎn)F在EC上除點(diǎn)C、E的位置處時(shí)，有BP=FP,由中位線定理可知：PiP〃CF且PiP=|cF,..?點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段P1P2.?.?矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E為AD的中點(diǎn),.?.△ABE,Z\BEC、ADCPi等腰直角三角形，??./ECB=45°,ZDPiC=45°,

.P]P2〃EC,.?.ZP2P1B=ZECB=45°,.?.ZP2P1D=9O°,.??DP的長(zhǎng)DPi最小，DP2最大,VCD=CPi=DE=2,.?.DPi=2a/2,CE=2V2,.?.P1P2=V2,故答案為：2V2<PD<V10.如圖，在ZXABC中，ZABC=90°,BD為ZiABC的中線，過點(diǎn)C作CE1BD于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,在AF的延長(zhǎng)線上截取FG=BD,連接BG、DF.求證：四邊形BDFG是菱形：若ZBAC=30°,BC=2,求四邊形BDFG的面積.G【解答】(1)證明：VZABC=90°，BD為AC的中線,.*.bd=|ac,VAG/7BD,BD=FG,四邊形BDFG是平行四邊形，VCF1BD.ACF1AG,又..?點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，.,.df=|ac,「?BD=DF；?.?平行四邊形BDFG是菱形；(2)解：作DH1AG于H,如圖所示：..?四邊形BDFG是菱形，「?GF=BD,VZABC=90°,ZBAC=30°,BC=2,

???AC=2BC=4,.??點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，???GF=BD=|AC=AD=2,.*.ZDBA=ZBAC=3O0,又?.?AG〃BD,.?.ZBAF=ZDBA=30°,AZDAF=60°,VDH±AG,.?.ZADH=30°,.?.AH=；AD=1,DH=>^AH=V3,AS菱形bdfg=GF?DH=2xV3=275.己知四邊形ABCD是矩形.（1） 如圖1,E、F分別是AB、AD±的點(diǎn)，CE垂直平分BF,垂足為G,連接DG.求證：DG=CG；若BC=2AB,求ZDGC的大?。海?） 如圖2,AB=BC=6,M、N、P分別是AB、CD、AD±的點(diǎn)，MN垂直平分BP,點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)，連接MP,PQ,若PQ丄MP,直接寫出CN的長(zhǎng).【解答】解：（1）①如圖1,過G作MN1CD于N,與AB交于點(diǎn)M,貝ijMN〃AD,VCE垂直平分BF,」.GB=GF,..?四邊形ABCD是矩形，AZA=ZADN=ZMND=90°,.??四邊形ADNM是矩形，???DN=AM=?ABVMN垂直平分CD,?.?DG=CG：②連接CF,如圖1,VCE垂直平分BF,?.?CF=CB.???ZBCG=ZFCG=|ZBCF,..?四邊形ABCD是矩形，?.?AB=CD,ZCDF=ZBCD=90°,AD〃BC,VBC=2AB,?.?CF=2CG,延長(zhǎng)CD至H,使得DH=CD,連接FH,貝ijCF=CH,AAD垂直平分CH,?.?FH=FC=CH,.?.ZFCD=60°,.?.ZBCF=90°-ZFCD=30°,.?.ZBCG=ZFCG=I5°,/.ZGDC=ZGCD=ZBCD-ZBCG=75°,.?.ZCGD=180°-75°X2=30°；VMN垂直平分BP,：.MB=MP,

VMP±PQ.?.?NMPQ=/A=90°,ZABP+ZAPB=ZBPM+ZBPQ=90°,.\ZBPA=ZBPQ.作BS±PQ于S,連接BQ,如圖2,?.?BA=BS,..'BP=BP,.?.RfAPBA^R/APBS(HL),.?.AP=PS,VAB=BC,「?BS=BC,VBQ=BQ./.R/AQBS^RzAQBC(HL),?.?QS=QC=3,.?.PQ=AP+CQ,設(shè)AP=x,PD=6?x,PQ=3+x,在RrAPQD中，DQ=3,由勾股定理得，(3+x)2-(6-^)2=32,解得，x=2,?.?AP=2,設(shè)BM=MP=y,AM=6-y,在R/AAMP中由勾股定理得，y2-(6-y)2=22,解得，），=孚」.BM=10T*作NK丄AB丁K,如圖2,得四邊形AKND是矩形,.?.AB=AD=KN,ZA=ZMKN=90°?「MN丄BP,/.ZABP>ZKMN=ZKMN+ZKNM=90°,.*.ZABP=ZKNM..?.AABP^AKNM(ASA),?.?AP=KM=2,in4.?.CN=BK=BM-MK=3-2=扌另一解法：過N點(diǎn)作NK丄AB于點(diǎn)K,得四邊形AKND是矩形,?.?AB=AD=MN,ZA=ZMKN=90°,VMNIBP.ZABP+ZKMN=ZKMN+ZKNM=90°,.\ZABP=ZKNM..?.△ABP絲ZiKNM（ASA）,?.?AP=KM,VMN垂直平分BP,?.?MB=MP,不妨設(shè)BM=MP=x,則AM=6-x,.\AP=Jx2_（6-x）2=V12X-36..\DP=6-V12x-36.?.?Q是CD的中點(diǎn)，?.?DQ=3,?.?PQ丄MP,ZA=ZD=90°,.?.ZAPM+ZAMP=ZAPM+ZDPQ=90°,.\ZAMP=ZDPQ..?.△APMs/^DQP,.APAM（inV12x-36 6-x?? = ，up =廠 ，DQDP3 6-V12X-36解得，x=6或號(hào)，???CN=BK=AB-AM-MK=6-（6-x）-V12x-36=H2x—36=0或匕3舍去CN=0,???CN=已知：如圖，把矩形紙片OABC放入直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在x軸、），軸的正半軸上，連接AC,將AABC沿AC翻折，點(diǎn)B落在該坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)這個(gè)落點(diǎn)為D,CD交x軸于點(diǎn)E.如果CE=5,OC、OE的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程?+（7M-1）x+12=0的兩個(gè)根，并且OC>OE.（1） 求點(diǎn)D的坐標(biāo)：（2） 如果點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，判斷點(diǎn)（8,-20）是否在過D、F兩點(diǎn)的直線上，并說明現(xiàn)由.【解答】解：(1)..?OC、OE的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程A(m-1)x+12=。的兩個(gè)根,

設(shè)OC=xi.OE=a2,xi>X2..'.xi+x2=-ST).x\*x2=12.在R/ACOE+，VOC2+OE2=CE2,CE=5..*.xi2+x22=52,即(xi+x2)2-2xix2=25.???[-(rn-1)]2-2X12=25,解這個(gè)方程，得mi=-6,m2=8.VOC+OE=xi+x2=-3-1)>0,.,.m=8不符合題意，舍去.?,.m=-6.解方程?-7x^l2=0,得-ri=4,X2=3.???OC=4,OE=3.△ABC沿AC翻折后，點(diǎn)B的落點(diǎn)為點(diǎn)D.過D點(diǎn)作DG丄x軸于G.DH丄)，軸于H..?.ZBCA=ZACD...?矩形OABC中，CB〃OA..?.ZBCA=ZCAE,.?.ZCAE=ZACD.?.?EC=EA.在R/ACOE與R/AADE中，..(OC=AD*Uc=EA.'.RrACOE^RrAADE..?.ED=3,AD=4,EA=5.在R/AADE中，DG?AE=ED?AD,「.DG=EDAD

「.DG=EDAD

AE12=虧’在ACHD中，OE/7HD,CECE5 3?CD~HD'5+3一HDf???HD=甞，由已知條件可知D是第四象限的點(diǎn),.??點(diǎn)D的坐標(biāo)是（§一普）:（2）??￥是AC的中點(diǎn),

..?點(diǎn)F的坐標(biāo)是（4,2）,設(shè)過D、F兩點(diǎn)的直線的解析式為y=kx+b.4k+b=2 （, 1124 12,解得?.?過點(diǎn)D、F兩點(diǎn)的直線的解析式為y=-**24,..、=8,y=?.?過點(diǎn)D、F兩點(diǎn)的直線的解析式為y=-**24,..、=8,y=?20滿足上述解析式，如圖1,在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AB=13,BD=24,在菱形ABCD的外部以AB為邊作等邊三角形ABE.點(diǎn)F是對(duì)角線BD±一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)B重合），將線段AF繞點(diǎn)A願(yuàn)時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AM,連接FM.（1） 線段AO的長(zhǎng)為 ；（2） 如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在線段BO上，且點(diǎn)M,F,C三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求證：AM=^AC；（3） 連接EM.（3） 連接EM.若AAFM的周長(zhǎng)為3面，請(qǐng)直接寫出ZXAEM的面積.【解答】解：（1）..?四邊形ABCD是菱形，.LAC丄BD,OB=*BD=12,在R/AAOB中，AB=13,根據(jù)勾股定理得，AO=VAB2-OB2=V132-122=5,故答案為5；（2）由旋轉(zhuǎn)知，AM=AF,ZMAF=60°,.?.△AMF是等邊三角形，.?.ZAFM=60°,..?點(diǎn)M,F,C三點(diǎn)在同一條直線上，AFC=180°-ZAFM=120°,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于O,???OA=OC=I