【常考壓軸題】2023學年九年級數(shù)學下冊壓軸題攻略（人教版） 相似三角形的四種基本模型（原卷版）

相似三角形的四種基本模型模型一、A字型（8字型）例1．（基本模型）如圖，已知D是BC的中點，M是AD的中點．求的值．例2．（培優(yōu)）如圖，中，點D在邊上，且．

（1）求證：；（2）點E在邊上，連接交于點F，且，，求的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，若，的周長等于30，求的長．【變式訓(xùn)練1】如圖，點O是△ABC邊BC上一點，過點O的直線分別交AB，AC所在直線于點M，N，且＝m，＝n．（1）若點O是線段BC中點．①求證：m+n＝2；②求mn的最大值；（2）若＝k（k≠0）求m，n之間的關(guān)系（用含k的代數(shù)式表示）．【變式訓(xùn)練2】矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．將矩形折疊，使點A落在點P處，折痕為DE．（1）如圖①，若點P恰好在邊BC上，連接AP，求的值；（2）如圖②，若E是AB的中點，EP的延長線交BC于點F，求BF的長．模型二、X（8）字型X字型（平行）反X字型（不平行）例1．（基本模型）已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點F在邊AB上，BC2=BF?BA，CF與DE相交于點G．（1）求證：DF?AB=BC?DG；（2）當點E為AC中點時，求證：2DF?EG=AF?DG．例2．（培優(yōu)）如圖1，ΔABC中，AB=AC，點D在BA的延長線上，點E在BC上，DE=DC，點F是DE與AC的交點．（1）求證：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，過點E作EG//AC交AB于點G，求證：AB=2AG；（3）將“點D在BA的延長線上，點E在BC上”改為“點D在AB上，點E在CB的延長線上”，“點F是DE與AC的交點”改為“點F是ED的延長線與AC的交點”，其它條件不變，如圖2．①求證：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，請直接寫出SΔABC:SΔDEC的值．【變式訓(xùn)練1】

如圖，正方形的邊長為，點是射線上的一個動點，連接并延長，交射線于點，將沿直線翻折，點落在點處．

（1）當時，如圖，延長，交于點，①的長為________；②求證：．（2）當點恰好落在對角線上時，如圖，此時的長為________；________；（3）當時，求的正弦值．【變式訓(xùn)練2】如圖1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分別是AB，BC上一點，AD＝2，CE＝3，OE與CD相交于點F．（1）求證：OE⊥CD；（2）如圖2，點G是CD的中點，延長OG交BC于H，求CH的長．【變式訓(xùn)練3】已知：矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點P是線段AD上一點，連接CP，點E在對角線AC上（不與點A，C重合），∠CPE＝∠ACB，PE的延長線與BC交于點F．（1）如圖1，當AP＝2時，求CF的長；（2）如圖2，當PF⊥BC時，求AP的長；（3）當△PFC是等腰三角形時，求AP的長．模型三、子母型已知：∠1=∠2；結(jié)論：△ACD∽△ABC例1．（基本模型）如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長．例2.（培優(yōu)）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為AB上一點．（1）如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；（2）如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；（3）如圖3，若AC=BC，點H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為________．【變式訓(xùn)練1】在矩形中，，，是邊上一點，交于點，過點作，交射線于點，交射線于點．（1）如圖，當點與點重合時，求的長．（2）如圖，當點在線段上時，設(shè)，，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域．（3）連接，當與相似時，求線段的長．【變式訓(xùn)練2】如圖，銳角△ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高，垂足為D，E．（1）求證：△ACD∽△ABE；（2）若將點D，E連接起來，則△AED和△ABC能相似嗎？說說你的理由．【變式訓(xùn)練3】已知正方形的邊長為4，點在邊上，點在邊上，且，和交于點．（1）如圖，求證：①②（2）連接并延長交于點，①若點為的中點（如圖），求的長．②若點在邊上滑動（不與點重合），當取得最小值時，求的長．模型四、旋轉(zhuǎn)型例1．（基本模型）在同一平面內(nèi)，如圖①，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，點A為公共頂點，．如圖②，若△ABC固定不動，把△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AD、AE與邊BC的交點分別為M、N點M不與點B重合，點N不與點C重合．【探究】求證：．【應(yīng)用】已知等腰直角三角形的斜邊長為4．(1)的值為______．(2)若，則MN的長為______．例2．（培優(yōu)）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為斜邊BC上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；【探究證明】如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當點C，D，E在同一條直線上時，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，說明理由；【拓展延伸】如圖3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，過點C作CA⊥BD于A．將△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，點C的對應(yīng)點為點E．設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠CAE為（0°＜＜360°），當C，D，E在同一條直線上時，畫出圖形，并求出線段BE的長度．【變式訓(xùn)練1】如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．(1)如圖1，若∠BAC＝90°，當C、D、E共線時，AD的延長線AF⊥BC交BC于點F，則∠ACE＝______；(2)如圖2，連接CD、BE，延長ED交BC于點F，若點F是BC的中點，∠BAC＝∠DAE，證明：AD⊥CD；(3)如圖3，延長DC到點M，連接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延長ED、BM交于點N，連接AN，若∠BAC＝2∠NAD，請寫出∠ADM、∠DAE它們之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．【變式訓(xùn)練2】［問題發(fā)現(xiàn)］(1)如圖1，在Rt△ABC中，，，點為的中點，以為一邊作正方形，點與點重合，已知．請直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；［實驗研究］(2)在（1）的條件下，將正方形繞點旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，連接，，．請猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；［結(jié)論運用］(3)在（1）（2）的條件下，若的面積為8，當正方形旋轉(zhuǎn)到，，三點共線時，請求出線段的長．模型五、一線三垂直型例1．（模型探究）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點E，當是等腰三角形時，直接寫出AP的長．例2．（培優(yōu)）問題提出（1）如圖1，在矩形中，，點E為的中點，點F在上，過點E作交于點G．若，則的面積為_________．問題探究（2）如圖2，在矩形中，，點P是邊上一動點，點Q是的中點將．沿著折疊，點A的對應(yīng)點是，將沿著折疊，點D的對應(yīng)點是．請問是否存在這樣的點P，使得點P、、在同一條直線上？若存在，求出此時的長度；若不存在，請說明理由．問題解決（3）某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)，部件要求：如圖3，在四邊形中，，點D到的距離為，且．若過點D作，過點A作的垂線，交于點E，交的延長線于點H，過點C作于點F，連接．設(shè)的長為，四邊形的面積為．①根據(jù)題意求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價最低．已知這種金屬材料每平方厘米造價60元，請你幫忙求出這種四邊形金屬部件每個的造價最低費用．【變式訓(xùn)練1】問題提出：（1）如圖①，矩形ABCD中，AD＝6．點E為AD的中點．點F在AB上，過點E作EGAB交FC于點G．若EG＝7．則S△EFC＝．問題探究：（2）如圖②．已知矩形ABCD紙片中．AB＝9，AD＝6，點P是CD邊上一動點．點Q是BC的中點．將△ADP沿著AP折疊，在紙片上點D的對應(yīng)點是，將△QCP沿著PQ折疊．在紙片上點C的對應(yīng)點是．請問是否存在這樣的點P．使得點P、、在同一條直線上？若存在，求出此時DP的長度．若不存在，請說明理由．問題解決：（3）某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)．部件要求：如圖③，四邊形ABCD中，AB＝4厘米，點C到AB的距離為5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價最低，已知這種金屬材料每平方厘米造價50元．請問這種四邊形金屬部件每個的造價最低是多少元？（≈1.73）【變式訓(xùn)練2】如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，點E是邊BC上一個動點（不與點B、C重合），AE的垂線AF交CD的延長線于點F，點G在線段EF上，滿足FG∶GE＝1∶2，設(shè)BE＝x．（1）求證：；（2）當點G在△ADF的內(nèi)部時，用x的代數(shù)式表示∠ADG的余切；（3）當∠FGD＝∠AFE時，求線段BE的長．【變式訓(xùn)練3】如圖1和圖2，在平面直角坐標系中，點C的坐標為（0，4），A是x軸上的一個動點，M是線段AC的中點．把線段AM以A為旋轉(zhuǎn)中心、按順