廣東省廣州市鐘落潭中學高一數(shù)學文下學期摸底試題含解析

廣東省廣州市鐘落潭中學高一數(shù)學文下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.定義運算，其中是向量的夾角.若，則(A)８（B）－８（C）８或－８（D）６參考答案：解析：∵∴，又θ是向量的夾角

∴∴

故選A；2.設f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，其中a，b，α，β均為非零的常數(shù)，f的值為（）A．1 B．3 C．5 D．不確定參考答案：B【考點】運用誘導公式化簡求值．【分析】由條件利用誘導公式求得asinα+bcosβ=﹣7，再利用誘導公式化簡f=asin+bcos+4=asinα+bcosβ+4=3，∴asinα+bcosβ=﹣1，故f+bcos+4=asinα+bcosβ+4=﹣1+4=3，故選：B．3.等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項的積為，若,則的最小值為A.

B．

C．

D．參考答案：A略4.函數(shù)的圖像的大致形狀是（

）．A．B．C．D．參考答案：B本題主要考查函數(shù)的概念和圖象．根據(jù)絕對值的定義，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，為增函數(shù)，為減函數(shù)，根據(jù)選項可知符合．故本題正確答案為．5.已知函數(shù)f(x－1)＝x2－3，則f(2)的值為()A．－2

B．6

C．1

D．0參考答案：B6.（5分）指數(shù)函數(shù)y=ax與y=bx的圖象如圖所示，則（） A． a＜0，b＜0 B． a＜0，b＞0 C． 0＜a＜1，0＜b＜1 D． 0＜a＜1，b＞1參考答案：D考點： 指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析： 直接利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷選項即可．解答： 指數(shù)函數(shù)y=ax，當a＞1時函數(shù)是增函數(shù)，0＜a＜1時函數(shù)是減函數(shù)，有函數(shù)的圖象可知：0＜a＜1，b＞1．故選：D．點評： 本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)的應用．7.已知集合，若∩,則A.3

B.2

C.1

D.0參考答案：A8.若（，且），則函數(shù)的定義域為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C9.已知函數(shù)f（x）=2x+1，則（）A．f（x）的圖象經(jīng)過點（0，1） B．f（x）在R上的增函數(shù)C．f（x）的圖象關于y軸對稱 D．f（x）的值域是（0，+∞）參考答案：B【考點】指數(shù)函數(shù)的圖象變換．【專題】探究型；函數(shù)思想；數(shù)學模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】把指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象向上平移1個單位，然后再結合y=2x的性質(zhì)可得函數(shù)f（x）=2x+1的性質(zhì)，則答案可求．【解答】解：函數(shù)f（x）=2x+1的圖象是把y=2x的圖象向上平移1個單位得到的．∴f（x）=2x+1的圖象過點（1，1），在R上是增函數(shù)，圖象不具有對稱性，值域為（1，+∞）．綜上可知，B正確．故選：B．【點評】本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了指數(shù)函數(shù)的圖象平移，是基礎題．10.已知函數(shù),若關于x的方程有兩個不同的實數(shù)解,則實數(shù)k的取值范圍是（

）A．k＜0或k≥1

B．k＞1

C.0＜k＜1或k＜0

D．0＜k≤1參考答案：C由題意有兩個不同的實數(shù)解，則有兩個根是其中一個根當時原式為當時成立，當時，在第一象限有一個交點，則在第二象限無交點無解綜上，實數(shù)的取值范圍是或故選

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等差數(shù)列中，是它的前項之和，且，，則：①數(shù)列的公差；

②一定小于；

③是各項中最大的一項；④一定是中的最大值．其中正確的是

（填入你認為正確的所有序號）．參考答案：①②④略12.甲、乙兩個班級各隨機選出若干同學的某次測驗成績，其莖葉圖如圖，則甲班同學成績的中位數(shù)與乙班同學成績的中位數(shù)之和為

參考答案：14513.設函數(shù)=，若函數(shù)f(x)-a有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是_______．參考答案：[0,2)【分析】先將方程變形為,根據(jù)數(shù)形結合思想,y=a與f(x)必須有兩個交點,即可求出a的范圍.【詳解】函數(shù)有兩個不同的零點,即有兩個不同的交點,所以函數(shù)與函數(shù)y=a有兩個交點,如圖所示:所以a的范圍是[0,2)【點睛】本題考查了數(shù)形結合和化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，將函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)的交點的轉(zhuǎn)化，再利用數(shù)形結合確定參數(shù)a的范圍，屬于中檔題目；解題中關鍵是將方程的根轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點的問題.14.（4分）函數(shù)f（x）=cos2x+sinxcosx在[﹣，]的取值范圍是_________．參考答案：15.下圖是甲，乙兩名同學在五場籃球比賽中得分情況的莖葉圖。那么甲、乙兩人得分的標準差s甲___________s乙（填“<”,“>”或“=”）。參考答案：>16.若集合，，則=________．參考答案：略17.若函數(shù)，零點，則n=______.參考答案：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設f（x）的定義域為[﹣3，3]，且f（x）是奇函數(shù)，當x∈[0，3]時，f（x）=x（1﹣3x）．（1）求當x∈[﹣3，0）時，f（x）的解析式；（2）解不等式f（x）＜﹣8x．參考答案：【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進行求解即可．（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，利用分類討論的思想解不等式即可．【解答】解：（1）若x∈[﹣3，0），則﹣x∈（0，3]，即f（﹣x）=﹣x（1﹣3﹣x）．∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣x（1﹣3﹣x）=﹣f（x），即f（x）=x（1﹣3﹣x）．x∈[﹣3，0）．（2）若x∈[0，3]時，由f（x）=x（1﹣3x）＜﹣8x．得1﹣3x＜﹣8，即3x＞9，即2＜x≤3，若x∈[﹣3，0）時，由f（x）=x（1﹣3﹣x）＜﹣8x．得1﹣3﹣x＞﹣8，即3﹣x＜9，即﹣2＜x＜0，綜上不等式的解集為（﹣2，0）∪（2，3]．19.函數(shù)對一切x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求證f(x)是奇函數(shù)；（2）若f(-3)=a,求f(12)（用a表示）。參考答案：證明：（1）∵f(x+y)=f(x)+f(y)令y=-x,得：f(0)=f(x)+f(-x)令x=y=0,得：f(0)=f(0)+f(0)∴f(0)=0∴f(-x)=-f(x)∴f(x)是奇函數(shù)；（2）f(12)=2f(6)=4f(3)=-4f(-3)=-4a20.(2010·福建)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t時與輪船相遇．(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？(2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/時，試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由．參考答案：方法一(1)如圖(1)，設相遇時小艇航行的距離為S海里，則S＝＝＝.故當t＝時，Smin＝10，此時v＝＝30.即小艇以30海里/時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最?。?2)設小艇與輪船在B處相遇，則v2t2＝400＋900t2－2×20×30t×cos(90°－30°)，故v2＝900－＋.

∵0<v≤30，∴900－＋≤900，即－≤0，解得t≥.

又t＝時，v＝30.故v＝30時，t取得最小值，且最小值為.此時，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可設計航行方案如下：航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/時，小艇能以最短時間與輪船相遇．方法二(1)若相遇時小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向為正北方向．設小艇與輪船在C處相遇(如圖(2)．在Rt△OAC中，OC＝20cos30°＝10，AC＝20sin30°＝10.又AC＝30t，OC＝vt.此時，輪船航行時間t＝＝，v＝＝30.即小艇以30海里/時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最?。?/p>

(2)猜想v＝30時，小艇能以最短時間與輪船在D處相遇，此時AD＝DO＝30t.又∠OAD＝60°，∴AD＝DO＝OA＝20，解得t＝.據(jù)此可設計航行方案如下：航行方向為北偏東30°，航行速度的大小為30海里/時．這樣，小艇能以最短時間與輪船相遇．證明如下：如圖(3)，由(1)得OC＝10，AC＝10，故OC>AC，且對于線段AC上的任意點P，有OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能達到30海里/時，故小艇與輪船不可能在A，C之間(包含C)的任意位置相遇．設∠COD＝θ(0°<θ<90°)，則在Rt△COD中，CD＝10tanθ，OD＝.由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時間分別為t＝和t＝，∴＝.由此可得，v＝.又v≤30，故sin(θ＋30°)≥.

從而，30°≤θ＜90°.由于θ＝30°時，tanθ取得最小值，且最小值為.于是，當θ＝30°時，t＝取得最小值，且最小值為.方法三(1)同方法一或方法二．(2)設小艇與輪船在B處相遇．依據(jù)題意得：v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，(v2－900)t2＋600t－400＝0.①若0<v<30，則由Δ＝360000＋1600(v2－900)＝1600(v2－675)≥0，得v≥15.從而，t＝，v∈[15，30)．當t＝時，令x＝，則x∈[0,15)，t＝＝≥，當且僅當x＝0，即v＝15時等號成立．當t＝時，同理可得<t≤.綜上得，當v∈[15，30)時，t>.②若v＝30，則t＝.綜合①②可知，當v＝30時，t取最小值，且最小值等于.此時，在△OAB中，OA＝OB＝AB＝20，