第02講等差數(shù)列

第02講等差數(shù)列1．等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.定義表達式：an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)．2．等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.3．等差中項若a，b，c成等差數(shù)列，則2b=a+c.b叫做a與c的等差中項．4．等差數(shù)列的下標和公式若k＋l＝m＋n，則ak＋al＝am＋an.5．等差數(shù)列的前n項和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)或Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.6．等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．7．等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，Sn為其前n項和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為m2d.(2)若{an}是等差數(shù)列，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列，其首項與{an}的首項相同，公差為eq\f(1,2)d.8．等差數(shù)列的前n項和的最值在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值．一．等差數(shù)列基本量的運算例1．（1）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由又，可得公差，從而可得結(jié)果.【詳解】是等差數(shù)列又，∴公差，，故選C．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式與求和公式的應(yīng)用，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題.（2）已知是等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合等差中項的性質(zhì)，解得，根據(jù)等差數(shù)列整理所求代數(shù)式，可得答案.【詳解】由題意，，解得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.故選：B.（3）設(shè)是等差數(shù)列的前項和,若,則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，選A.（4）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n，則的值是_____.【答案】16.【分析】由題意首先求得首項和公差，然后求解前8項和即可.【詳解】由題意可得：，解得：，則.【點睛】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本計算問題，是高考必考內(nèi)容，解題過程中要注意應(yīng)用函數(shù)方程思想，靈活應(yīng)用通項公式、求和公式等，構(gòu)建方程（組），如本題，從已知出發(fā)，構(gòu)建的方程組.【復(fù)習指導(dǎo)】：(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個就能求出另外兩個(簡稱“知三求二”)．(2)確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個最基本的量，即首項a1和公差d.（5）(2020·新高考全國Ⅰ)將數(shù)列{2n－1}與{3n－2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．【答案】3n2－2n【詳解】方法一(觀察歸納法)數(shù)列{2n－1}的各項為1,3,5,7,9,11,13，…；數(shù)列{3n－2}的各項為1,4,7,10,13，….觀察歸納可知，兩個數(shù)列的公共項為1,7,13，…，是首項為1，公差為6的等差數(shù)列，則an＝1＋6(n－1)＝6n－5.故前n項和為Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(n1＋6n－5,2)＝3n2－2n.方法二(引入?yún)⒆兞糠?令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，則2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必為奇數(shù)．令m＝2t－1，則n＝3t－2(t＝1,2,3，…)．a(chǎn)t＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.以下同方法一．【復(fù)習指導(dǎo)】：等差數(shù)列通項公式的求法與應(yīng)用技巧(1)等差數(shù)列的通項公式可由首項與公差確定，所以要求等差數(shù)列的通項公式，只需求出首項與公差即可．(2)等差數(shù)列{an}的通項公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四個參數(shù)，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三個數(shù)，那么就可以由通項公式求出第四個數(shù)，這一求未知量的過程，我們通常稱之為“知三求一”．(3)通項公式可變形為an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自變量為n的一次函數(shù)．二．等差數(shù)列的判定與證明例2．（1）已知數(shù)列的前n項和公式為，則數(shù)列（

）A．是公差為2的等差數(shù)列 B．是公比為2的等比數(shù)列C．既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列【答案】A【分析】利用求得數(shù)列的通項公式，由此判斷出正確選項.【詳解】當時，，當時，，也符合上式，所以的通項公式為，故為首項是，公差為的等差數(shù)列，不是等比數(shù)列.故選：A（2）數(shù)列中，，，則______.【答案】40【分析】證明數(shù)列為等差數(shù)列，求出其通項公式，代入即可.【詳解】，，則數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，故，則，故答案為：40.（3）等差數(shù)列的前項和是，若，則實數(shù)__________.【答案】3【分析】由與的關(guān)系轉(zhuǎn)化求出，由也符合求得的值.【詳解】因為，當時,，因為是等差數(shù)列,所以當時，也符合上式,故；故答案為:3（4）已知數(shù)列{}滿足．(=1\*romani)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(=2\*romanii)求數(shù)列{}的通項公式．【答案】(=1\*romani)證明見解析；(=2\*romanii)【分析】(=1\*romani)兩邊取倒數(shù)可得：，即可證明；(=2\*romanii)由(=1\*romani)利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．【詳解】(=1\*romani)證明：數(shù)列{}滿足．兩邊取倒數(shù)可得：，即，∴數(shù)列{}是等差數(shù)列，首項為，公差為2；(=2\*romanii)由(=1\*romani)可得：，解得．（5）設(shè)是數(shù)列的前項和，且，，數(shù)列的通項為．(=1\*romani)求證：是等差數(shù)列；(=2\*romanii)設(shè)，求前項和．【答案】(=1\*romani)證明見解析；(=2\*romanii)【分析】(=1\*romani)利用，消去，即可證明；(=2\*romanii)利用錯位相減法求和.【詳解】(=1\*romani)設(shè)是數(shù)列的前項和，且，，整理得，所以（常數(shù)），故數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.(=2\*romanii)由于數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以．設(shè).再設(shè)，數(shù)列的前項和是，所以①，②，①－②得：，整理得：，所以．【復(fù)習指導(dǎo)】：判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法(1)定義法：對任意n∈N*，an＋1－an是同一常數(shù)．(2)等差中項法：對任意n≥2，n∈N*，滿足2an＝an＋1＋an－1.(3)通項公式法：對任意n∈N*，都滿足an＝pn＋q(p，q為常數(shù))．(4)前n項和公式法：對任意n∈N*，都滿足Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．三．等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用命題點1等差數(shù)列項的性質(zhì)例3．（1）某中學(xué)的“幫困助學(xué)”愛心募捐小組暑假期間走上街頭進行了一次為期天的募捐活動，共收到捐款元，由于采取了積極措施，每天收到的捐款依次構(gòu)成等差數(shù)列，則第天收到的捐款是（

）（單位：元）A．100 B．200 C．300 D．400【答案】B【分析】由等差數(shù)列前項和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】.故選：B（2）等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前9項之和為（

）A．24 B．27 C．48 D．54【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標和性質(zhì)求出，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算可得.【詳解】解：在等差數(shù)列中，，則所以，又，所以，所以.故選：B（3）已知等差數(shù)列的前項和為是關(guān)于的方程的兩根，則（

）A．22 B．24 C．26 D．28【答案】A【分析】根據(jù)題意得，又即可求解.【詳解】因為是關(guān)于的方程的兩根，所以，故選：A.（4）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則下列選項不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等差數(shù)列的前n項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)逐個分析即可得到答案.【詳解】等差數(shù)列的前n項和滿足，，則，，所以，，故A，B正確；由，可知，所以，故C正確；因為，所以，故D不正確．故選:D（5）已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝3，Sn－Sn－3＝51（n>3），Sn＝100，則公差d＝______．【答案】2【分析】由數(shù)列的前n項和定義、等差數(shù)列的等和性、等差數(shù)列的通項公式及等差前n項和公式計算可得.【詳解】{an}為等差數(shù)列，故由Sn－Sn－3＝51（n>3）可得an－2＋an－1＋an＝51，由等差數(shù)列的等和性可得：3an－1＝51，即：an－1＝17，所以a1＋an＝a2＋an－1＝20，所以，解得：n＝10，所以，解得d＝2．故答案為：2.【復(fù)習指導(dǎo)】：等差數(shù)列運算的兩種常用思路(1)基本量法：根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a1，d的方程(組)，確定a1，d，然后求其他量．(2)巧用性質(zhì)法：觀察等差數(shù)列中項的序號，若滿足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，則am＋an＝ap＋aq＝2ar．這個性質(zhì)常與求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)結(jié)合使用．命題點2等差數(shù)列和的性質(zhì)例4．（1）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由等差數(shù)列片段和的性質(zhì)可得出、、、成等差數(shù)列，即可求得的值.【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，、、、成等差數(shù)列，且該數(shù)列的公差為，則，所以，，因此，.故選：D.（2）在等差數(shù)列中，其前項和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和的性質(zhì)求解即可【詳解】由等差數(shù)列前項和的性質(zhì)可得，成等差數(shù)列，設(shè)，則，即成等差數(shù)列，故，解得，故即，故，，故故選：D（3）在等差數(shù)列中，，其前項和為，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可知數(shù)列為等差數(shù)列，由已知等式可求得其公差，結(jié)合等差數(shù)列通項公式可求得，進而得到結(jié)果.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，又，解得：，又，，.故選：B.（4）在等差數(shù)列中，，其前項和為，若，則S2017的值等于()A．2016B．－2016C．2017D．－2017【答案】C【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得成等差數(shù)列，再結(jié)合已知條件可得是以－2015為首項，以1為公差的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項公式可求得結(jié)果【詳解】設(shè)等差數(shù)列前項和為，則，（為常數(shù)）所以所以成等差數(shù)列．因為＝－2015，所以是以－2015為首項，以1為公差的等差數(shù)列．所以＝－2015＋2016×1＝1，所以，故選：C.【復(fù)習指導(dǎo)】：等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，Sn為其前n項和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為m2d.(2)若{an}是等差數(shù)列，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列，其首項與{an}的首項相同，公差為eq\f(1,2)d.（5）等差數(shù)列，前n項和分別為與，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和的特點，由已知設(shè)出，分別求出其通項公式，代入計算可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列，的首項和公差分別為，則，因為，由等差數(shù)列前項和的特點，故可設(shè)，其中為非零常數(shù)，由，當時，，當時，，當時上式仍舊適合，故，同理可得，當時，，所以.故選：A.（6）已知等差數(shù)列{an}，{bn}，其前n項和分別為Sn，Tn，eq\f(an,bn)＝eq\f(2n＋3,3n－1)，則eq\f(S11,T11)等于()A.eq\f(15,17)B.eq\f(25,32)C．1D．2【答案】

A【詳解】由等差數(shù)列的前n項和公式以及等差中項的性質(zhì)得S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝11a6，同理可得T11＝11b6，因此，eq\f(S11,T11)＝eq\f(11a6,11b6)＝eq\f(a6,b6)＝eq\f(2×6＋3,3×6－1)＝eq\f(15,17).（7）已知數(shù)列與均為等差數(shù)列，其前項和分別為與，若，則________；________．【答案】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和，可將配成前n項和形式即可求解.根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式的式子特征，可設(shè)，，再根據(jù)即可求出.【詳解】．∵數(shù)列、均為等差數(shù)列，其前項和分別為、，∴可設(shè)，，則.故答案為：；．命題點3等差數(shù)列的最值問題例5．（1）已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，且它們的前n項和有最大值，則使得的n的最大值為（）A．19 B．20 C．21 D．22【答案】A【解析】根據(jù)的函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合的正負，即可容易判斷.【詳解】因為數(shù)列的前n項和有最大值，故可得；又因為，故可得；且；又，由等差數(shù)列的前項和公式可知：.故滿足題意的的最大值為.故選：A.【點睛】本題考查等差數(shù)列的下標和性質(zhì)，其前項和的函數(shù)性質(zhì)，屬綜合中檔題. 【復(fù)習指導(dǎo)】：本題應(yīng)用公式，等差數(shù)列的性質(zhì)：若，則.對數(shù)列的公式要靈活應(yīng)用是快速解題的關(guān)鍵，解出?的關(guān)系式，再求出的臨界條件，判斷滿足的最大自然數(shù)的值.（2）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，且，，則取最小時，（

）A．4045 B．4044 C．2023 D．2022【答案】D【分析】由已知，利用等差數(shù)列前n項和公式及其性質(zhì)得，，進而得出結(jié)論．【詳解】等差數(shù)列的前項和為，且，，，，，，，公差，則當時最?。蔬x：D（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，首項，，，則使前項和成立的最大自然數(shù)是（

）A．4040 B．4041 C．4042 D．4043【答案】A【分析】由等差數(shù)列的，及得數(shù)列是遞減的數(shù)列，因此可確定，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)求前項和，確定和的正負．【詳解】∵，∴和異號，又數(shù)列是等差數(shù)列，首項，∴是遞減的數(shù)列，，，∴，，∴滿足的最大自然數(shù)為4040．故選：A．【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的前項和，掌握等差數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（4）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和，若存在最大值，則在，中最大的數(shù)是（）A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】根據(jù)存在最大值，分析公差為負數(shù)，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性求解最值.【詳解】由題可知數(shù)列是等差數(shù)列，且前n項和存在最大值，公差，在定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)，最大.故選:A.【點睛】此題考查等差數(shù)列和前n項和性質(zhì)，根據(jù)最值分析公差正負，根據(jù)公差得新數(shù)列單調(diào)性即可得解.（5）（多選）已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，，，，則

A． B．，C． D．當時，有最大值【答案】BD【分析】由等差數(shù)列前n項和公式即可判斷A；由等差數(shù)列的單調(diào)性可判斷B；由可判斷C；由等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)可判斷D.【詳解】，，故選項A錯誤；，，，，故選項B正確；，且，，故選項C錯誤；由，知，當時，有最大值，故選項D正確；故選：BD．【復(fù)習指導(dǎo)】：(1)等差數(shù)列前n項和Sn最大(小)值的情形①若a1>0，d<0，則Sn存在最大值，即所有非負項之和．②若a1<0，d>0，則Sn存在最小值，即所有非正項之和．(2)求等差數(shù)列前n項和Sn最值的方法①尋找正、負項的分界點，可利用等差數(shù)列性質(zhì)或利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))來尋找．②運用二次函數(shù)求最值．Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，則從二次函數(shù)的角度看：當d>0時，Sn有最小值；當d<0時，Sn有最大值．當n取最接近對稱軸的正整數(shù)時，Sn取到最值．1．設(shè)為等差數(shù)列的前n項和．已知，，則（）A．為遞減數(shù)列 B．C．有最大值 D．【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的通項公式及求和公式求得其首項和公差，再依次判斷各選項.【詳解】∵數(shù)列為等差數(shù)列，，，，，∴，對于A，∵，∴數(shù)列為遞增數(shù)列，故A錯誤；對于B，∵，故B正確；對于C，∵數(shù)列為遞增數(shù)列，∴無最大值，故C錯誤；對于D，∵，故D錯誤.故選：B．2．已知A，B，C三人都去同一場所鍛煉，其中A每隔1天去一次，B每隔2天去一次，C每隔3天去一次.若3月11日三人都去鍛煉，則下一次三人都去鍛煉的日期是（

）A．3月22日 B．3月23日 C．3月24日 D．3月25日【答案】B【分析】三人各自去鍛煉的日期實際上是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列知識進行求解.【詳解】由題意，三人各自去鍛煉的日期分別是等差數(shù)列，公差分別為2,3,4，最小公倍數(shù)為12，所以下一次三人都去鍛煉的日期是3月23日.故選：B.3．已知是數(shù)列的前項和，則“”是“數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用與的關(guān)系，得到，進而利用等差數(shù)列的性質(zhì)進行判斷即可【詳解】已知，所以，當時，，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列；當數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列時，因為不知首項，所以數(shù)列的前n項和不確定，所以是充分不必要條件故選：A4．數(shù)列的前項和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題先通過判斷數(shù)列是等差數(shù)列，再根據(jù)項數(shù)差值和公差直接求解即可.【詳解】∵，∴數(shù)列是公差為4的等差數(shù)列，∵，∴，故選：C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的判斷和等差數(shù)列的基礎(chǔ)運算，是基礎(chǔ)題.5．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．6 B．12 C．78 D．156【答案】C【分析】由條件根據(jù)等差數(shù)列前項和公式結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)可求.【詳解】因為，又，所以，故選：C.6．已知等差數(shù)列的公差，記該數(shù)列的前項和為，則的最大值為（

）A．66 B．72 C．132 D．198【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的公差，求得其通項公式求解.【詳解】因為等差數(shù)列的公差,所以，則，所以，由，得，所以

或12時，該數(shù)列的前項和取得最大值，最大值為，故選：A7．北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層地面的中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且上、中、下三層共有扇面形石板(不含天心石)3402塊，則中層共有扇面形石板（

）A．1125塊 B．1134塊 C．1143塊 D．1152塊【答案】B【分析】由等差數(shù)列前項和的性質(zhì)求解．【詳解】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為，是等差數(shù)列，且公差為，，設(shè)每層有環(huán)，則，，是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，所以，所以，，故選：B．8．已知是等差數(shù)列的前項和，若，，則（

）A．40 B．45 C．50 D．55【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列和的性質(zhì)，分析即得解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)得：，，成等差數(shù)列，所以，解得.故選：A9．等差數(shù)列的前n項和，若，則（

）A．10 B．20 C．30 D．15【答案】A【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)得，成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則，可求得對應(yīng)公差，則可求值【詳解】由等差數(shù)列有成等差數(shù)列，設(shè)為d，則，故.故選：A10．等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．12 B．18 C．21 D．27【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和為具有的性質(zhì)，即成等差數(shù)列，由此列出等式，求得答案.【詳解】因為為等差數(shù)列的前n項和，且，，所以成等差數(shù)列，所以，即，解得=18，故選：B.11．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，則下列說法錯誤的是（

）A．數(shù)列一定是等比數(shù)列 B．數(shù)列一定是等差數(shù)列C．數(shù)列一定是等差數(shù)列 D．數(shù)列可能是常數(shù)數(shù)列【答案】B【分析】可根據(jù)已知條件，設(shè)出公差為，選項A，可借助等比數(shù)列的定義使用數(shù)列是等差數(shù)列，來進行判定；選項B，數(shù)列，可以取，即可判斷；選項C，可設(shè)，表示出再進行判斷；選項D，可采用換元，令，求得的關(guān)系即可判斷.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，選項A，數(shù)列是等差數(shù)列，那么為常數(shù)，又，則數(shù)列一定是等比數(shù)列，所以選項A正確；選項B，當時，數(shù)列不存在，故該選項錯誤；選項C，數(shù)列是等差數(shù)列，可設(shè)（A、B為常數(shù)），此時，，則為常數(shù)，故數(shù)列一定是等差數(shù)列，所以該選項正確；選項D，，則，當時，，此時數(shù)列可能是常數(shù)數(shù)列，故該選項正確.故選：B.12．在等差數(shù)列中，為其前項和．若，且，則等于（

）A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列也為等差數(shù)列，結(jié)合已知條件求出等差數(shù)列的首項，即可得到.【詳解】因為為等差數(shù)列的前項和，令，則也為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，由得，又得.故選：A．13．在等差數(shù)列中，，其前n項和為，若，則（

）A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式，可得為等差數(shù)列，由已知求出其公差，進而得到通項公式，即可得出結(jié)論.【詳解】在等差數(shù)列中，，其前n項和為，則是以為首項的等差數(shù)列，設(shè)其公差為，，.故選：C.【點睛】本題考查等差數(shù)列前和基本量的運算，應(yīng)用等差數(shù)列前項和的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于中檔題.14．設(shè)數(shù)列的前n項和Sn，且，則數(shù)列的前11項為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】數(shù)列是首項為，以為公差的等差數(shù)列，，數(shù)列是以為首項和公差的等差數(shù)列，數(shù)列前項和為，故選D.15．在等差數(shù)列中，，其前項的和為．若，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】是等差數(shù)列的前項和，數(shù)列是首項為的等差數(shù)列；由條件知該數(shù)列公差為1；所以；故選D16．已知等差數(shù)列，的前n項和分別為，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前項和公式求得正確答案.【詳解】.故選：B17．兩個等差數(shù)列和，其前項和分別為，，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，根據(jù)等差數(shù)列的通項性質(zhì)以及前項和公式，把轉(zhuǎn)化為求解即可．【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，．故選：C．18．已知兩個等差數(shù)列和的前n項和分別為Sn和Tn，且=，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和的特點和條件可設(shè)，，然后算出、即可得答案.【詳解】因為=，所以可設(shè)，，，所以，，所以，故選：A.19．已知等差數(shù)列的前項和為，則（

）A．若，，則， B．若，，則，C．若，，則， D．若，，則，【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和、通項公式的知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，A選項，若，，，，則，，則，，無法判斷符號，A選項錯誤.B選項，，則，所以，所以.，則，所以，，B選項正確.C選項，若，，，，則，，則，則，，C選項錯誤.D選項，若，，則，當時，所以，但，所以D選項錯誤.故選：B20．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則滿足的正整數(shù)n的最大值為（

）A．11 B．12 C．21 D．22【答案】C【分析】由可知，則可知，由此即可選出答案.【詳解】因為，所以所以故，所以滿足的正整數(shù)的最大值為21．故選：C．21．等差數(shù)列的前項和為，若，，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C．數(shù)列是遞減數(shù)列 D．【答案】D【分析】由，結(jié)合可判斷選項A;由等差數(shù)列的前項和可得，，結(jié)合選項A中得出的結(jié)論可判斷選項B；由，，可得，，從而，可判斷選項C；由可判斷選項D.【詳解】由，則，即，又，故A正確；，，則，故，B正確；由，，即，所以，數(shù)列是遞減數(shù)列，故C正確；，D錯誤.故選：D22．等差數(shù)列的前n項和為，當首項和公差d變化時，是一個定值，則下列選項中為定值的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)等差數(shù)列下標和性質(zhì)可知，再分析的關(guān)系即可得到結(jié)果.【詳解】因為為等差數(shù)列，所以，所以為定值，又因為，所以，所以為定值，故選：C.【點睛】本題考查等差數(shù)列下標和性質(zhì)的運用，其中涉及到等差數(shù)列前的前n項和為，則有.23．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則，，…，中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由條件得到此數(shù)列為遞減數(shù)列，進而可以推出，，，進而可得出答案.【詳解】由，得到；由，得到，∴等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且，,,當時，，且最大，最小，所以最大；當時，，此時；當時，，且，，所以，綜上所述，，，…，中最大的是.故選：C．【點睛】此題考查了等差數(shù)列的前項和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，以及數(shù)列的函數(shù)特性，熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.24．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則使得前項和取得最大值時的值為（

）A．2022 B．2021 C．1012 D．1011【答案】D【分析】由題，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)和前項和公式得，，進而判斷時，；時，成立得答案.【詳解】解：因為等差數(shù)列的前項和為，，，所以，所以，，所以，，即等差數(shù)列的公差，所以，時，；時，，所以，使得前項和取得最大值時的值為.故選：D25．（多選）已知數(shù)列的前n項和，則下列結(jié)論正確的是（

）A．數(shù)列是遞增數(shù)列 B．數(shù)列不是等差數(shù)列C．，，成等差數(shù)列 D．，，成等差數(shù)列【答案】BCD【分析】由與的關(guān)系推導(dǎo)出數(shù)列的通項公式，判斷選項A，B，分別計算出，，和，，，結(jié)合等差數(shù)列的定義判斷選項C，D.【詳解】，時，，時，，即，.，因此數(shù)列不是單調(diào)遞增數(shù)列，故A錯誤；又時，不滿足，數(shù)列不是等差數(shù)列，故B正確；，，，因此，，成等差數(shù)列，故C正確；，，．成等差數(shù)列，故D正確.故選：BCD.26．（多選）已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為等差數(shù)列 B．的通項公式為C．為等比數(shù)列 D．的前n項和【答案】AB【分析】由兩邊取倒數(shù)，可求出的通項公式，再逐一對四個選項進行判斷，即可得答案.【詳解】因為，所以，又，所以數(shù)列是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，，故A正確，C錯誤；所以，故B正確；因為，所以的前項和，故D錯誤.故選：AB.27．（多選）已知{an}為等差數(shù)列，a1+a3+a5=66，a2+a4+a6=57，則（

）A．{an}的公差為-2 B．{an}的通項公式為an=31-3nC．{an}的前n項和為 D．{|an|}的前50項和為2575【答案】BC【分析】根據(jù)等差中項的性質(zhì)得到，，然后求公差，即可判斷A選項；根據(jù)，得到，然后求通項即可判斷B選項；利用等差數(shù)列求和公式得到即可判斷C選項；根據(jù)得到當時，，即可得到的前50項和為，然后代入求和即可判斷D選項.【詳解】設(shè)的公差為，前項和為，因為，，所以，，所以，故A錯．因為，所以，故B正確，，故C正確，當時，，所以的前50項和為，故D錯.故選：BC.28．（多選）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為.已知，，，則（

）A．數(shù)列的最小項為第項 B．C． D．時，的最大值為【答案】ABC【分析】利用數(shù)列的單調(diào)性結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷A選項的正誤；根據(jù)已知條件列出關(guān)于的不等式組，求出的取值范圍，可判斷B選項的正誤；利用等差數(shù)列求和公式及等差數(shù)列下標和性質(zhì)可判斷C，D選項的正誤.【詳解】對于C選項，由且，可知，故C正確；對于B選項，由，可得，故B正確；對于D選項，因為，，所以，滿足的的最大值為，故D錯誤；對于A選項，由上述分析可知，當且時，；當且時，，所以，當且時，，當且時，，當且時，.由題意可知單調(diào)遞減，所以當且時，，由題意可知單調(diào)遞減，即有，所以，由不等式的性質(zhì)可得，從而可得，因此，數(shù)列的最小項為第項，故A正確.故選：ABC.29．（多選）已知兩個等差數(shù)列、的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用等差數(shù)列中項以及等差數(shù)列求和公式可得出，即可得出正整數(shù)的可能取值.【詳解】由等差中項以及等差數(shù)列求和公式可得，又因為，.故選：ACD.30．（多選）已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】對AB，根據(jù)通項與的關(guān)系可得，即可判斷；對CD，根據(jù)等差數(shù)列前項和的公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)判斷即可【詳解】因為，，所以，，故等差數(shù)列首項為負，公差為正，所以，，故A正確，B錯誤；由，可知，所以，故C錯誤；因為，所以，故D正確．故選：AD31．（多選）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前n項和為，若，，，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．數(shù)列是遞增數(shù)列 B．C． D．，，…，中最大的是【答案】BCD【分析】利用等差數(shù)列的前項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)得到，，再利用等差數(shù)列的通項公式得到關(guān)于的不等式組進行求解，即可判定選項A錯誤、選項C正確；利用等差數(shù)列的前項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)得到判定選項B正確；利用判定選項D正確.【詳解】對于A、C：因為，且，所以，，又因為，所以，解得；所以等差數(shù)列是遞減數(shù)列，即選項A錯誤，選項C正確；對于B：因為，所以，即選項C正確；對于選項D：因為等差數(shù)列是遞減數(shù)列，且，，則，所以，即選項D正確.故選：BCD.32．（多選）設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項的和，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．只在處時才取最小值【答案】AB【分析】根據(jù)求出，由得到，，判斷出AB正確；再根據(jù)作差法結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)判斷出C選項，由，，，得到取得最小值的不止一個.【詳解】，解得：，B正確；因為，所以，故，解得：，A正確；因為，，所以，，故，C錯誤；因為，，，故當或7處時均取最小值，D錯誤.故選：AB33．（多選）下列命題正確的是（

）A．已知數(shù)列是等差數(shù)列，那么數(shù)列一定是等差數(shù)列.B．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則的值為24.C．已知等差數(shù)列與的前項和分別為與，若，則.D．已知等差數(shù)列的前項和為，，公差，若，則必有是中最大的項.【答案】ABD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷A，根據(jù)等差數(shù)列前項和公式計算出、，即可判斷B，根據(jù)下標和性質(zhì)及等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用判斷C，依題意可得，即可得到、，從而判斷D.【詳解】解：對于A：因為數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，故數(shù)列也是等差數(shù)列，故A正確；對于B：設(shè)數(shù)列的公差為，首項為，因為、，所以，解得，，所以，故B正確；對于C：已知等差數(shù)列與的前項和分別為與，若，則，故C錯誤；對于D：因為，所以，即，又公差，，所以，故、，所以是中最大的項，故D正確；故選：ABD34．已知數(shù)列對任意正整數(shù)n都有，且是方程的兩個實根，則___________.【答案】12【分析】先由已知數(shù)列遞推式，結(jié)合等差中項公式判斷得是等差數(shù)列，再利用韋達定理結(jié)合條件得到，從而利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可得解.【詳解】因為數(shù)列對任意正整數(shù)n都有，所以數(shù)列是等差數(shù)列，因為是方程的兩個實根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以.故答案為：12.35．在等差數(shù)列中，，則使成立的最大自然數(shù)n為_______【答案】4042【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，的正負，再通過等差數(shù)列的求和公式得到答案.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得又，所以異號，又，所以等差數(shù)列必為遞減數(shù)列，，所以，使成立的最大自然數(shù)n為4042.故答案為：4042.36．已知等差數(shù)列的前項和為，若數(shù)列的前項和為，則______.【答案】135【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：數(shù)列成等差數(shù)列，且公差為等差數(shù)列的公差的9倍，根據(jù)等差數(shù)列前項和公式與首項和公差的關(guān)系，分別求出等差數(shù)列的首項和公差，進而求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項為，由題意知：數(shù)列成等差數(shù)列，且公差，記數(shù)列為，其前項和為，則，又因為數(shù)列的前項和為，所以，解得：，所以，，解得：，所以.故答案為：.37．等差數(shù)列中，，前項和為，若，則______.【答案】【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得為等差數(shù)列，再設(shè)公差為及通項公式即可求解．【詳解】設(shè)的公差為，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，因為，故，故為常數(shù)，所以為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，，，，則故答案為：38．在等差數(shù)列中，，其前項和為，若，則_____.【答案】100【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)得數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，進而得，故，進而得，再計算即可.【詳解】∵數(shù)列為等差數(shù)列，∴數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，又，解得：，又∵，∴，即∴故答案為：.39．已知兩個等差數(shù)列和的前n項和分別為和，且，則______．【答案】【分析】根據(jù)等差中項以及等差數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】故答案為：40．設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，，則的最小值為__.【答案】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，求出，可得，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，，∴，，聯(lián)立解得：，所以，則，令，，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，可得時，函數(shù)取得極小值即最小值，∴時，取得最小值，.故答案為：.41．已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則取得最大值時_______.【答案】14【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知條件可求得數(shù)列的首項和公差，得到數(shù)列的通項公式，然后由等差數(shù)列的性質(zhì)可得值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知條件可得，解得，故，故當時，；當時，，所以當時，取最大值.故答案為：14【點睛】本題考查利用基本量的運算求等差數(shù)列的通項公式，考查等差數(shù)列前項和的應(yīng)用，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.42．一個等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中偶數(shù)項和與奇數(shù)項和之比為，則公差d為_________.【答案】5【分析】設(shè)偶數(shù)項和為，則奇數(shù)項和為，由可得的值，根據(jù)公差求得結(jié)果．【詳解】設(shè)偶數(shù)項和為，則奇數(shù)項和為，由可得，故公差，故答案為：5．【點睛】本題考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，得到，公差，是解題的關(guān)鍵．43．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，，則滿足的最大自然數(shù)的值為_____________.【答案】22【解析】由等差數(shù)列的前項和的公式求解，解出?的關(guān)系式，再求出的臨界條件，最后得解.【詳解】解：等差數(shù)列的前項和為，，所以，，，所以，其中，所以，當時，解得，，，所以的最大自然數(shù)的值為22.故答案為：22．【點睛】本題應(yīng)用公式，等差數(shù)列的性質(zhì)：若，則.對數(shù)列的公式要靈活應(yīng)用是快速解題的關(guān)鍵，解出?的關(guān)系式，再求出的臨界條件，判斷滿足的最大自然數(shù)的值.44．數(shù)列與均為等差數(shù)列，其前項和分別為與，若，則__________，使得為整數(shù)的