桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法研究

桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法研究

由于成本低、重量輕、施工方便等特點(diǎn)，該框架結(jié)構(gòu)在工程領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)包擴(kuò)結(jié)構(gòu)的拓?fù)浜筒季謨?yōu)化及桿件的尺寸優(yōu)化。在桁架拓?fù)浜筒季謨?yōu)化方面,Michell于1904年提出的Michell桁架理論以及Prager于1977年建立的經(jīng)典布局理論為其奠定了理論基礎(chǔ),而Dorn等提出的基結(jié)構(gòu)法則標(biāo)志著桁架拓?fù)鋬?yōu)化工作的真正開(kāi)始本文提出一種與上述方法均不相同的桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法:將連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化和離散體拓?fù)鋬?yōu)化相結(jié)合,避免了傳統(tǒng)桁架優(yōu)化中基結(jié)構(gòu)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的限制,可最大限度地尋求結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)浞植?將桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化和尺寸優(yōu)化分離開(kāi)來(lái),使用連續(xù)體優(yōu)化尋求結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)?使用骨架提取算法抽離骨架得到桁架布局,最后建立桁架桿件尺寸優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型,并使用拉格朗日乘數(shù)法和KuhnTucker條件推導(dǎo)出桿件截面尺寸的優(yōu)化迭代準(zhǔn)則。優(yōu)化方法的流程如圖1所示。1連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化的流程連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化采用SKO(softkilloption)方法,這是一種基于生物自適應(yīng)生長(zhǎng)規(guī)律的啟發(fā)式連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法,最早是由德國(guó)的Karlsruhe研究中心提出的SKO算法流程圖如圖2所示,其核心迭代關(guān)系式為式中:σSKO算法通過(guò)每次有限元分析中單元的應(yīng)力情況不斷地更新單元溫度,進(jìn)而改變結(jié)構(gòu)中單元的材料信息,最終刪除軟化的單元,獲得優(yōu)化的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。2單元編碼和背景單元連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化后的結(jié)果包含較多的冗余單元信息,為將其轉(zhuǎn)換為桁架結(jié)構(gòu),需去除冗余的單元信息,找到中心骨架。目前,在結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域尚未見(jiàn)到對(duì)連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)化進(jìn)而提取中心骨架的相關(guān)文獻(xiàn)。本文借鑒圖像處理中的二值圖像細(xì)化算法連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化后的結(jié)果中包含優(yōu)化單元(優(yōu)化后保留下來(lái)的單元)和背景單元(優(yōu)化后刪除的單元)。在有限元模型中,每一個(gè)優(yōu)化單元周?chē)伎梢暈橛?個(gè)單元與之相鄰接(邊界上的單元可假設(shè)背景單元與之相鄰接),稱(chēng)為該單元的8鄰域。通過(guò)對(duì)每個(gè)單元的8鄰域單元的判斷,可將冗余優(yōu)化單元轉(zhuǎn)化為背景單元,最終剩下的單元即為骨架單元。單元模型和單元的8鄰域如圖3所示。2.1提取骨架的算法流程骨架提取算法的流程如圖4所示。該算法的思想為:每次迭代首先找出優(yōu)化模型的邊界及邊界單元集合E2.28有限元網(wǎng)格模型要判斷當(dāng)前單元是否為骨架單元,需要先找出當(dāng)前單元對(duì)應(yīng)位置的8鄰域單元及其對(duì)應(yīng)單元的信息。如圖5所示,假設(shè)當(dāng)前單元e為查找出當(dāng)前單元的8鄰域單元,首先對(duì)有限元網(wǎng)格模型約定如下基本定義。定義1網(wǎng)格(G)、單元(E)、線(xiàn)(L)的表達(dá)形式為分別表示網(wǎng)格由單元、線(xiàn)、節(jié)點(diǎn)組成,單元由線(xiàn)、節(jié)點(diǎn)組成,線(xiàn)由節(jié)點(diǎn)組成。定義2E、L、N表示網(wǎng)格中所有單元、線(xiàn)、節(jié)點(diǎn)的集合定義3若構(gòu)成四節(jié)點(diǎn)平面單元e定義4同時(shí)含有節(jié)點(diǎn)n定義5單元e在上述定義的基礎(chǔ)上,當(dāng)前單元e(1)首先找到當(dāng)前單元e(2)通過(guò)算法式(7)定位e式中:E(3)通過(guò)算法式(8)定位e至此,可獲得當(dāng)前單元e2.3判斷算法的定義若判斷某單元為非骨架單元,則將其抹去成為背景單元。判斷算法如下。首先,提出以下定義。定義6若單元e定義7A(e定義8定義B(e在上述定義6~定義8的基礎(chǔ)上,若當(dāng)前單元e式中:條件2≤A(e3目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的確定得到連續(xù)體優(yōu)化拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的骨架后,即找到了優(yōu)化拓?fù)涞闹行穆窂健４藭r(shí),只要找到骨架中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn),并依據(jù)連續(xù)體優(yōu)化模型的拓?fù)潢P(guān)系連接關(guān)鍵節(jié)點(diǎn),就可形成具有優(yōu)化拓?fù)浜筒季值蔫旒芙Y(jié)構(gòu)。由于連續(xù)體優(yōu)化拓?fù)淠Ｐ偷膹?fù)雜性和骨架提取算法的缺陷,得到的骨架可能會(huì)有如下問(wèn)題:(1)骨架不一定是標(biāo)準(zhǔn)的直線(xiàn);(2)在拓?fù)浞种У慕唤缣幑羌軐?huì)呈現(xiàn)復(fù)雜性和不規(guī)則性;(3)骨架可能不經(jīng)過(guò)約束和載荷作用點(diǎn)。針對(duì)以上問(wèn)題,骨架關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的提取需綜合考慮約束和載荷作用點(diǎn)、骨架、優(yōu)化的連續(xù)體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及其應(yīng)力分布情況來(lái)進(jìn)行確定。關(guān)鍵點(diǎn)確定的基本原則是:盡量使得到的桁架結(jié)構(gòu)在關(guān)鍵點(diǎn)的受力狀態(tài)與連續(xù)體中該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一致,即桿件的布局方向與單元主應(yīng)力方向保持一致。具體方法如下:(1)在提取骨架時(shí),人為設(shè)定所有載荷和約束作用點(diǎn)為骨架點(diǎn),并依據(jù)骨架提取結(jié)果,選擇與骨架直接相連的約束作用點(diǎn)作為桁架的約束關(guān)鍵節(jié)點(diǎn);(2)為保證形成的桁架結(jié)構(gòu)是直桿相連,將骨架中的拐點(diǎn)作為關(guān)鍵節(jié)點(diǎn),連接拐點(diǎn)形成初始桁架,由于拓?fù)浞种Ы唤缣幑羌艿膹?fù)雜性,交界處將形成復(fù)雜的過(guò)渡桁架;(3)桁架結(jié)構(gòu)主要是軸向拉壓受力,而在單元體的主應(yīng)力方向上,切向應(yīng)力為0,表現(xiàn)為拉壓狀態(tài),因此需繪制拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的主應(yīng)力矢量圖,依據(jù)單元的主應(yīng)力方向選擇合適的關(guān)鍵點(diǎn),對(duì)第(2)步中得到的初始桁架進(jìn)行簡(jiǎn)化和修正,形成最終的桁架布局。4桿件尺寸尺寸優(yōu)化初始得到的桁架結(jié)構(gòu)僅具有優(yōu)化的拓?fù)錁?gòu)型,要得到最優(yōu)桁架結(jié)構(gòu)還需對(duì)結(jié)構(gòu)中桿件的尺寸進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化。下面,將以桁架中桿件的截面內(nèi)徑和外徑為設(shè)計(jì)變量、體積為約束條件、桁架結(jié)構(gòu)柔度為目標(biāo)函數(shù)4.1優(yōu)化數(shù)學(xué)模型以桁架中桿件的截面內(nèi)、外半徑為設(shè)計(jì)變量,體積為約束條件,桁架結(jié)構(gòu)柔度為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為式中:r4.2優(yōu)化準(zhǔn)則推導(dǎo)對(duì)式(13)表示的數(shù)學(xué)模型采用拉格朗日乘數(shù)法,構(gòu)建如下拉格朗日函數(shù)式中:λ針對(duì)設(shè)計(jì)變量R取得極值R當(dāng)R取得極值R將C=U由剛度矩陣的對(duì)稱(chēng)性可知將式(18)代入(17),并考慮λ整理后得在有限元理論中,二維桿單元的剛度矩陣為單元?jiǎng)偠染仃噆式(20)可化為整理后得式中:u式(26)即為通過(guò)拉格朗日函數(shù)和Kuhn-Tucker條件推導(dǎo)出的桿件截面尺寸優(yōu)化準(zhǔn)則,它反映了單元截面尺寸與應(yīng)變能在優(yōu)化過(guò)程中應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系。將f式中:δ為阻尼系數(shù)。引入δ可減緩優(yōu)化進(jìn)程,保證數(shù)值計(jì)算的收斂性和穩(wěn)定性。4.3拉格朗日乘數(shù)計(jì)算由式(26)有將假設(shè)V5計(jì)算示例表明5.1算法示例1：描述算法流程5.1.1問(wèn)題描述如圖6所示,在一個(gè)1.6m×1.0m的區(qū)域內(nèi)設(shè)計(jì)一桁架結(jié)構(gòu),區(qū)域左側(cè)為約束端,右側(cè)邊緣中部作用一方向向下、大小為50kN的力F。5.1.2初始桁架分析(1)在設(shè)計(jì)區(qū)域上建立連續(xù)體有限元模型,依據(jù)設(shè)計(jì)要求施加約束、載荷并進(jìn)行有限元分析。有限元模型和結(jié)構(gòu)的vonMises應(yīng)力云圖如圖7所示。(2)使用SKO算法對(duì)連續(xù)體模型進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化,得到優(yōu)化的連續(xù)體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及優(yōu)化結(jié)構(gòu)的vonMises應(yīng)力云圖,如圖8所示。(3)人為設(shè)定優(yōu)化模型中的約束和載荷作用點(diǎn)為骨架點(diǎn),并使用骨架提取算法提取優(yōu)化模型的骨架,見(jiàn)圖9a;再選擇與骨架直接相連的約束點(diǎn)(A、B)、載荷點(diǎn)(C)和骨架的拐點(diǎn)作為關(guān)鍵點(diǎn),連接關(guān)鍵點(diǎn)形成初始桁架,如圖9b所示。繪制拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的主應(yīng)力矢量圖,如圖10所示。因?yàn)殍旒芙Y(jié)構(gòu)是軸向受拉壓的桿件,所以可依據(jù)單元的主應(yīng)力圖對(duì)初始桁架進(jìn)行調(diào)整和簡(jiǎn)化。在本例中,對(duì)圖中(1)、(2)、(3)區(qū)域的關(guān)鍵點(diǎn)布局進(jìn)行調(diào)整。從區(qū)域(1)的主應(yīng)力矢量圖中可以看出,主應(yīng)力方向均指向A點(diǎn),因此可將圖9中的I、J、K點(diǎn)簡(jiǎn)化到A點(diǎn)。區(qū)域(2)的簡(jiǎn)化需尋找到一點(diǎn),使得該區(qū)域能良好過(guò)渡。該點(diǎn)的選取原則為:使該點(diǎn)的主應(yīng)力方向與桿JL和CM的夾角α、β大致相同,且與桿DN基本垂直。這樣,以該點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)形成的桁架在該節(jié)點(diǎn)的受力將與連續(xù)體優(yōu)化結(jié)果中該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一致,這個(gè)點(diǎn)就是圖10中的點(diǎn)E。對(duì)于區(qū)域(3),因結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性,需要找到第一主應(yīng)力和第三主應(yīng)力相等的點(diǎn),即點(diǎn)D。連接各新的關(guān)鍵點(diǎn)形成調(diào)整后的桁架布局,如圖11所示。(4)建立桁架結(jié)構(gòu)的有限元模型,使用上述尺寸優(yōu)化算法進(jìn)行桁架桿件的尺寸優(yōu)化。優(yōu)化前、后的桁架有限元模型及應(yīng)力如圖12和圖13所示。在本模型中,分別為桿件編號(hào)1~8。5.2優(yōu)化過(guò)程中應(yīng)力變化對(duì)桁架桿件進(jìn)行優(yōu)化時(shí)所使用的材料及優(yōu)化參數(shù)如下:碳素結(jié)構(gòu)鋼Q235,其彈性模量為206GPa,泊松比為0.3,體積約束為30%,半徑下限為5mm,阻尼系數(shù)為0.3。桿件初始截面的選取應(yīng)使結(jié)構(gòu)有足夠的優(yōu)化余量,故內(nèi)半徑r圖14所示為尺寸優(yōu)化過(guò)程中,目標(biāo)函數(shù)(桁架柔度)和約束條件(體積)隨優(yōu)化迭代次數(shù)的變化情況,結(jié)構(gòu)初始體積為9.64×10圖15所示為優(yōu)化過(guò)程中桁架桿件的應(yīng)力變化情況,由于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性,對(duì)稱(chēng)位置桿件的應(yīng)力絕對(duì)值相同,故僅選取了桿1、3、5、7繪制其應(yīng)力變化趨勢(shì)圖。由圖15可見(jiàn),在初始時(shí)各桿件中的應(yīng)力具有較大差異,隨著迭代的進(jìn)行,各桿件中的應(yīng)力趨向均勻,最后達(dá)到幾乎完全相同,表明算法可使結(jié)構(gòu)的應(yīng)力趨于均勻,符合結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的滿(mǎn)應(yīng)力準(zhǔn)則。優(yōu)化前、后各桿件的具體應(yīng)力值如表2所示。優(yōu)化后的應(yīng)力為93.65MPa。若要更加充分地利用材料,可以在優(yōu)化參數(shù)中調(diào)整體積約束和半徑的下限。5.3種工況的處理方法圖16所示為桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的經(jīng)典算例模型,現(xiàn)以該模型為例進(jìn)行算法的有效性驗(yàn)證。在以下2種工況下,求滿(mǎn)足約束的最小質(zhì)量桁架:工況1,F算例中2種工況的處理方法為:在拓?fù)鋬?yōu)化時(shí),為得到滿(mǎn)足2種工況的優(yōu)化拓?fù)錁?gòu)型,2種工況同時(shí)加載,求得最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型;在尺寸優(yōu)化時(shí),對(duì)2種工況分別進(jìn)行優(yōu)化,然后取優(yōu)化結(jié)果的并集(即桿件的截面尺寸取2種工況單獨(dú)優(yōu)化結(jié)果中的較大值)。相關(guān)文獻(xiàn)和本文的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比如圖17和表3所示,可以看出在相同約束條件下,本文算法得出的桁架質(zhì)量較參考文獻(xiàn)的明顯減小,且結(jié)構(gòu)應(yīng)力更均勻,從而驗(yàn)證了本文算法的有效性。6桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)本文提出了一種將連續(xù)體與離散桁架結(jié)構(gòu)相結(jié)合的桁架優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。這