線性代數(shù)同濟(jì)大學(xué)課件第一章

2023/8/141第一章行列式'''2023/8/21第一章行列式'''12023/8/142§1

二階與三階行列式1.二階行列式二元線性方程組'''2023/8/22§1二階與三階行列式1.二階行列22023/8/143當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解用消元法得'''2023/8/23當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解用消元法得'''32023/8/144記則有于是'''2023/8/24記則有于是'''42023/8/145二階行列式，記作也稱為方程組的系數(shù)行列式。行標(biāo)列標(biāo)(1,2)元素'''2023/8/25二階行列式，記作也稱為方程組的系數(shù)行列式。52023/8/146對(duì)角線法則:主對(duì)角線副對(duì)角線'''2023/8/26對(duì)角線法則:主對(duì)角線副對(duì)角線'''62023/8/147例.解方程組解：'''2023/8/27例.解方程組解：'''72023/8/1482.三階行列式類似地，討論三元線性方程組'''2023/8/282.三階行列式類似地，討論三元線性方程82023/8/149為三階行列式,記作稱'''2023/8/29為三階行列式,記作稱'''92023/8/1410對(duì)角線法則：'''2023/8/210對(duì)角線法則：'''102023/8/1411例：'''2023/8/211例：'''112023/8/1412§2全排列與逆序數(shù)定義1：把n個(gè)不同的元素排成的一列,稱為這n個(gè)元素的一個(gè)全排列,簡(jiǎn)稱排列。把n個(gè)不同的元素排成一列,共有Pn個(gè)排列。P3=3×2×1=6'''2023/8/212§2全排列與逆序數(shù)定義1：把n個(gè)122023/8/1413例如：1,2,3的全排列123，231，312，132，213，321共有3×2×1=6種，即一般地，Pn=n·(n-1)·…·3·2·1=n!P3=3×2×1=6'''2023/8/213例如：1,2,3的全排列123，2132023/8/1414標(biāo)準(zhǔn)次序：標(biāo)號(hào)由小到大的排列。定義2：在n個(gè)元素的一個(gè)排列中，若某兩個(gè)元素排列的次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同，就稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序，一個(gè)排列中所有逆序的總和稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)。'''2023/8/214標(biāo)準(zhǔn)次序：標(biāo)號(hào)由小到大的排列。定義2：在142023/8/1415一個(gè)排列的逆序數(shù)的計(jì)算方法：設(shè)p1p2…pn是1，2，…，n的一個(gè)排列，用ti表示元素

pi的逆序數(shù)，即排在pi前面并比

t=t1

+t2

+…

+tnpi大的元素有ti個(gè)，則排列的逆序數(shù)為'''2023/8/215一個(gè)排列的逆序數(shù)的計(jì)算方法：設(shè)p1p152023/8/1416例4：求排列32514的逆序數(shù)。解：'''2023/8/216例4：求排列32514的逆序數(shù)。解162023/8/1417逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列。逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。例如：123t=0為偶排列，312t=2為偶排列。321t=3為奇排列，'''2023/8/217逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列。逆序數(shù)為偶172023/8/1418§3

n階行列式的定義觀察二、三階行列式，得出下面結(jié)論：每項(xiàng)都是處于不同行不同列的n個(gè)元素的乘積。2.n階行列式是n！項(xiàng)的代數(shù)和。3.每項(xiàng)的符號(hào)都是由該項(xiàng)元素下標(biāo)排列的奇偶性所確定。'''2023/8/218§3n階行列式的定義觀察二、三階行182023/8/1419定義1：n!項(xiàng)的和稱為n

階行列式(n≥1)，記作'''2023/8/219定義1：n!項(xiàng)的和稱為n階行列式192023/8/1420例1：寫出四階行列式中含有因子的項(xiàng)。'''2023/8/220例1：寫出四階行列式中含有因子的項(xiàng)。''202023/8/1421例2：計(jì)算四階行列式D=

acfh+

bdeg–adeh–bcfg'''2023/8/221例2：計(jì)算四階行列式D=acfh+212023/8/1422重要結(jié)論：(1)上三角形行列式'''2023/8/222重要結(jié)論：(1)上三角形行列式'''222023/8/1423(2)下三角形行列式'''2023/8/223(2)下三角形行列式'''232023/8/1424(3)

對(duì)角行列式'''2023/8/224(3)對(duì)角行列式'''242023/8/1425(4)副對(duì)角行列式'''2023/8/225(4)副對(duì)角行列式'''252023/8/1426行列式的等價(jià)定義'''2023/8/226行列式的等價(jià)定義'''262023/8/1427§5

行列式的性質(zhì)稱DT

為D的轉(zhuǎn)置行列式。設(shè)則D經(jīng)過“行列互換”變?yōu)镈T

'''2023/8/227§5行列式的性質(zhì)稱DT為D的272023/8/1428性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。'''2023/8/228性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。''282023/8/1429證明：設(shè)則由行列式定義'''2023/8/229證明：設(shè)則由行列式定義'''292023/8/1430性質(zhì)2：互換行列式的兩行(列)，行列式變號(hào)?；Qs、t兩行：互換s、t

兩列：“運(yùn)算性質(zhì)”'''2023/8/230性質(zhì)2：互換行列式的兩行(列)，行302023/8/1431推論：若行列式有兩行（列）相同，則行列式為0。'''2023/8/231推論：若行列式有兩行（列）相同，'''312023/8/1432性質(zhì)3：用非零數(shù)k

乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用數(shù)k

乘此行列式?！斑\(yùn)算性質(zhì)”用k

乘第i

行：用k

乘第i

列：'''2023/8/232性質(zhì)3：用非零數(shù)k乘行列式的某一行（322023/8/1433推論：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號(hào)外面。'''2023/8/233推論：行列式中某一行（列）的公因子可以提332023/8/1434性質(zhì)4：若行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則行列式等于0。'''2023/8/234性質(zhì)4：若行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成342023/8/1435性質(zhì)5：若某一行是兩組數(shù)的和，則此行列式就等于如下兩個(gè)行列式的和。'''2023/8/235性質(zhì)5：若某一行是兩組數(shù)的和，則此行列式352023/8/1436性質(zhì)6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一數(shù)k后再加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。用數(shù)k乘第t

行加到第s

行上：用數(shù)k乘第t

列加到第s

列上：“運(yùn)算性質(zhì)”'''2023/8/236性質(zhì)6：行列式的某一行（列）的所有元素乘362023/8/1437利用行列式性質(zhì)計(jì)算：（化為三角形行列式）例1：計(jì)算'''2023/8/237利用行列式性質(zhì)計(jì)算：（化為三角形行列式）372023/8/1438'''2023/8/238'''382023/8/1439'''2023/8/239'''392023/8/1440'''2023/8/240'''402023/8/1441'''2023/8/241'''412023/8/1442例2：計(jì)算“行等和”行列式'''2023/8/242例2：計(jì)算“行等和”行列式'''422023/8/1443'''2023/8/243'''432023/8/1444例10：設(shè)證明：0'''2023/8/244例10：設(shè)證明：0'''442023/8/1445證明：利用行的運(yùn)算性質(zhì)r

把化成下三角形，再利用列的運(yùn)算性質(zhì)c把化成下三角形，'''2023/8/245證明：利用行的運(yùn)算性質(zhì)r把化成下三角452023/8/1446對(duì)D的前k行作運(yùn)算r，后n列作運(yùn)算c,則有'''2023/8/246對(duì)D的前k行作運(yùn)算r，后n462023/8/1447例'''2023/8/247例'''472023/8/1448§6

行列式按行（列）展開問題：一個(gè)n

階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè)

n－1階行列式來計(jì)算？對(duì)于三階行列式，容易驗(yàn)證：'''2023/8/248§6行列式按行（列）展開問題：一個(gè)482023/8/1449定義1：在n

階行列式中，把元素所在的第i

行和第j列劃去后，余下的n－1階行列式叫的余子式,記為稱為(i,j)元素的代數(shù)余子式。做(i,j)元素,同時(shí)'''2023/8/249定義1：在n階行列式中，把元素所在的492023/8/1450例如：考慮(2,3)元素(2,3)元素的余子式(2,3)元素的代數(shù)余子式'''2023/8/250例如：考慮(2,3)元素(2,502023/8/1451定理3：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即'''2023/8/251定理3：行列式等于它的任一行（列）的各元512023/8/1452'''2023/8/252'''522023/8/1453證明：分三種情況討論，只對(duì)行來證明此定理。(1)利用上一節(jié)例10的結(jié)論有'''2023/8/253證明：分三種情況討論，只對(duì)行來證明此定理532023/8/1454(2)設(shè)D

的第i

行除了把D

轉(zhuǎn)化為(1)的情形外都是0。'''2023/8/254(2)設(shè)D的第i行除了把D轉(zhuǎn)542023/8/1455先把D

的第i

行依次與第i–1行,第i–2行,···,第1行交換,經(jīng)過i–1次行交換后得'''2023/8/255先把D的第i行依次與第i–1552023/8/1456再把第j

列依次與第j–1列,第j–2列,···,第1列交換,經(jīng)過j–1次列交換后得'''2023/8/256再把第j列依次與第j–1列,562023/8/1457(3)一般情形,考慮第i

行'''2023/8/257(3)一般情形,考慮第i行'572023/8/1458'''2023/8/258'''582023/8/1459例或者那么'''2023/8/259例或者那么'''592023/8/1460推論：行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即'''2023/8/260推論：行列式任一行(列)的元素與另一行(602023/8/1461綜上，得公式'''2023/8/261綜上，得公式'''612023/8/1462例12:證明范德蒙德(

Vandermonde)行列式'''2023/8/262例12:證明范德蒙德(Vanderm622023/8/1463證明：用數(shù)學(xué)歸納法(1)當(dāng)n=2時(shí),'''2023/8/263證明：用數(shù)學(xué)歸納法(1)當(dāng)n=632023/8/1464(2)設(shè)n－1階范德蒙德行列式成立,則'''2023/8/264(2)設(shè)n－1階范德蒙德行列式成642023/8/1465='''2023/8/265='''652023/8/1466有個(gè)因子!'''2023/8/266有個(gè)因子!'''662023/8/1467例：'''2023/8/267例：'''672023/8/1468例：設(shè)求'''2023/8/268例：設(shè)求'''682023/8/1469解:'''2023/8/269解:'''692023/8/1470例：'''2023/8/270例：'''702023/8/1471D按第4列展開，然后各列的提出公因子='''2023/8/271D按第4列展開，然后各列的提出公因子='712023/8/1472'''2023/8/272'''722023/8/1473例：'''2023/8/273例：'''732023/8/1474D'''2023/8/274D'''742023/8/1475例：'''2023/8/275例：'''752023/8/1476D'''2023/8/276D'''762023/8/1477'''2023/8/277'''772023/8/1478§7Cramer法則Cramer法則：如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，'''2023/8/278§7Cramer法則Cramer法782023/8/1479即則線性方程組(11)有唯一解，'''2023/8/279即則線性方程組(11)有唯一解，'''792023/8/1480其中'''2023/8/280其中'''802023/8/1481證明：'''2023/8/281證明：'''812023/8/1482再把

n

個(gè)方程依次相加，得'''2023/8/282再把n個(gè)方程依次相加，得'''822023/8/1483當(dāng)

D≠0時(shí),方程組(1)也即(11)有唯一的解于是'''2023/8/283當(dāng)D≠0時(shí),方程組(1)也即(11)832023/8/1484例1：用Cramer法則解線性方程組。'''2023/8/284例1：用Cramer法則解線性方程組842023/8/1485解：'''2023/8/285解：'''852023/8/1486'''2023/8/286'''862023/8/1487定理4：定理4’：如果線性方程組(11)的系數(shù)行列式D≠0

則(11)一定有解,且解是唯一的。如果線性方程組(11)無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零。Cramer法則也可以敘述為定理4的逆否命題是'''2023/8/287定理4：定理4’：如果線性方程組(11)872023/8/1488線性方程組非齊次與齊次線性方程組的概念:不全為零，則稱此方程若常數(shù)項(xiàng)組為非齊次線性方程組；若全為零，則稱此方程組為齊次線性方程組。'''2023/8/288線