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福建省南平市新光中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.圖1中的陰影部分由底為,高為的等腰三角形及高為和的兩矩形所構(gòu)成.設(shè)函數(shù)是圖1中陰影部分介于平行線及之間的那一部分的面積,則函數(shù)的圖象大致為(
)
參考答案:C略2.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A、B兩點滿足①點A、B都在函數(shù)的圖象上;②點A、B關(guān)于原點對稱,則點(A,B)是函數(shù)的一個“姊妹點對”.點對(A,B)與(B,A)可看作是同一個“姊妹點對”,已知函數(shù),則的“姊妹點對”有()A.0個
B.
1個
C.
2個
D.
3個參考答案:C略3.在復(fù)平面內(nèi),已知復(fù)數(shù)z=,則z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案:B【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算;復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,求出z的坐標(biāo)得答案.【解答】解:∵z==,∴z在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(),在第二象限.故選:B.4.如圖可表示函數(shù)y=f(x)圖象的是()A. B. C. D.參考答案:D【考點】函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素.【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】利用函數(shù)的定義分別對四個圖象進行判斷.【解答】解:由函數(shù)的定義可知,對定義域內(nèi)的任何一個變化x,有唯一的一個變量y與x對應(yīng).則由定義可知A,B,C中圖象均不滿足函數(shù)定義.故選:D.【點評】本題主要考查了函數(shù)的定義以及函數(shù)的應(yīng)用.要求了解,對于一對一,多對一是函數(shù)關(guān)系,一對多不是函數(shù)關(guān)系.5.一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個正三角形,則這個幾何體的外接球的表面積為()A. B. C. D.參考答案:A【考點】L!:由三視圖求面積、體積.【分析】由已知中幾何體的三視圖中,正視圖是一個正三角形,側(cè)視圖和俯視圖均為三角形,我們得出這個幾何體的外接球的球心O在高線PD上,且是等邊三角形PAC的中心,得到球的半徑,代入球的表面積公式,即可得到答案.【解答】解:由已知中知幾何體的正視圖是一個正三角形,側(cè)視圖和俯視圖均為三角形,可得該幾何體是有一個側(cè)面PAC垂直于底面,高為,底面是一個等腰直角三角形的三棱錐,如圖.則這個幾何體的外接球的球心O在高線PD上,且是等邊三角形PAC的中心,這個幾何體的外接球的半徑R=PD=.則這個幾何體的外接球的表面積為S=4πR2=4π×()2=故選:A.6.為得到函數(shù)的圖像,只需將函數(shù)的圖像
A.向左平移個長度單位 B.向右平移個長度單位C.向左平移個長度單位
D.向右平移個長度單位參考答案:7.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)的虛部是
(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:B略8.若集合A={},B={},則集合等于(
).
(A){}
(B){}(C){}
(D){}參考答案:D9.設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱,z1=2+i,則z1z2=()A.﹣5 B.5 C.﹣4+i D.﹣4﹣i參考答案:A【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.【專題】數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù).【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出z2,即可得到結(jié)論.【解答】解:z1=2+i對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(2,1),∵復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱,∴(2,1)關(guān)于虛軸對稱的點的坐標(biāo)為(﹣2,1),則對應(yīng)的復(fù)數(shù),z2=﹣2+i,則z1z2=(2+i)(﹣2+i)=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5,故選:A【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運算,利用復(fù)數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵,比較基礎(chǔ).10.如圖,設(shè)點A是單位圓上的一定點,動點P從A出發(fā)在圓上按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周,點P所轉(zhuǎn)過的弧AP的長為,弦AP的長度為,則函數(shù)的圖象大致是(
)參考答案:C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù),若,則實數(shù)a的值是_______.參考答案:【分析】解方程即得a的值.【詳解】∵∴∵∴,因為所以解得a=.故答案為:【點睛】本題主要考查分段函數(shù)求值,考查指數(shù)對數(shù)運算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.12.若函數(shù)在內(nèi)有極小值,則實數(shù)的取值范圍是_____________.參考答案:略13.已知函數(shù),則
.參考答案:e14.設(shè)向量滿足,,則
參考答案:【知識點】平面向量數(shù)量積的運算.1解:∵,,
∴分別平方得兩式相減得,
即,故答案為:1.【思路點撥】將等式進行平方,相加即可得到結(jié)論.15.高三⑴班共有56人,學(xué)號依次為1,2,3,┅,56,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個容量為4的樣本,已知學(xué)號為6,34,48的同學(xué)在樣本中,那么還有一個同學(xué)的學(xué)號應(yīng)為
.參考答案:2016.一個幾何體的三視圖如圖所示,正視圖與側(cè)視圖為全等的矩形,俯視圖為正方形,則該幾何體的表面積為
;體積為
.參考答案:28+4,8.【考點】由三視圖求面積、體積.【分析】幾何體為正四棱柱中挖去一個正四棱錐得到的幾何體,即可求出幾何體的表面積、體積.【解答】解:由三視圖可知幾何體為正四棱柱中挖去一個正四棱錐得到的幾何體,S=2×2+4×2×3+4×=28+4,V=2×2×3﹣×2×2×3=8.故答案為:28+4,8.【點評】本題考查了常見幾何體的三視圖與體積計算,屬于基礎(chǔ)題.17.已知,則函數(shù)的值域為_____________.參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.如圖1,在△ABC中,AC=2,∠ACB=90°,∠ABC=30°,P是AB邊的中點,現(xiàn)把△ACP沿CP折成如圖2所示的三棱錐A﹣BCP,使得.(1)求證:平面ACP⊥平面BCP;(2)求平面ABC與平面ABP夾角的余弦值.參考答案:【考點】二面角的平面角及求法;平面與平面垂直的判定.【分析】(1)在圖1中,取CP的中點O,連接AO交CB于E,得AO⊥CP,在△OCB中,有AO⊥OB,即AO⊥平面PCB,可證平面ACP⊥平面CPB.(2)因為AO⊥平面CPB,且OC⊥OE,故可如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,求出平面的法向量,利用向量夾角公式即可求解.【解答】解:(1)證明:在圖1中,取CP的中點O,連接AO交CB于E,則AE⊥CP,在圖2中,取CP的中點O,連接AO,OB,因為AC=AP=CP=2,所以AO⊥CP,且,…在△OCB中,由余弦定理有,…所以AO2+OB2=10=AB2,所以AO⊥OB.…又AO⊥CP,CP∩OB=O,所以AO⊥平面PCB,又AO?平面ACP,所以平面ACP⊥平面CPB…(2)因為AO⊥平面CPB,且OC⊥OE,故可如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,,…設(shè)平面ABC的法向量為=(x,y,z),則由得;…同理可求得平面ABP的法向量為,…故所求角的余弦值.…19.設(shè)函數(shù),為曲線:在點處的切線.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)當(dāng)時,證明:除切點之外,曲線在直線的下方;(Ⅲ)設(shè),且滿足,求的最大值.參考答案:(Ⅰ).所以.所以L的方程為,即.
(3分)(Ⅱ)要證除切點之外,曲線C在直線L的下方,只需證明,恒成立.因為,所以只需證明,恒成立即可.
(5分)設(shè)則.令,解得,.
(6分)當(dāng)在上變化時,的變化情況如下表+-+
↗↘
↗
所以,恒成立.
(8分)(Ⅲ)(?。┊?dāng)且時,由(Ⅱ)可知:,,.三式相加,得.因為,所以,且當(dāng)時取等號. (11分)(ⅱ)當(dāng)中至少有一個大于等于時,不妨設(shè),則,因為,,所以.綜上所述,當(dāng)時取到最大值. (14分)20.(本小題滿分14分)已知正數(shù)數(shù)列{an}中,a1=2.若關(guān)于x的方程
()對任意自然數(shù)n都有相等的實根.(1)求a2,a3的值;(2)求證().參考答案:(1)由題意得△,即,進而可得,.
(2)由于,所以,因為,所以數(shù)列是以為首項,公比為2的等比數(shù)列,知數(shù)列是以為首項,公比為的等比數(shù)列,于是
,所以.略21.已知圓O的方程為,直線l的方程為,點P是直線l上的動點,過點P作圓O的切線PA,PB,切點為A,B.(1)若∠APB=60°,試求點P的坐標(biāo);(2)在(1)的條件下,對于圓O上任意一點M,平面內(nèi)是否存在一定點R,使為定值,如果存在,則求出點R的坐標(biāo),如果不存在,請說明理由.參考答案:解:(1)連接、、,為過點的圓的切線,切點為,,,,在中,,, 3分設(shè)點為直線上的一點,則,,,,點的坐標(biāo)為. 6分(2)設(shè)點,,,則,且 9分整理得:關(guān)于,且恒成立, 11分不妨先考慮得:,解得,的坐標(biāo)為,經(jīng)檢驗,符合條件, 15分對于圓上任意一點,平面內(nèi)存在一定點,使為定值,且的坐標(biāo)為. 16分22.某超市從2017年1月甲、乙兩種酸奶的日銷售量(單位:箱)的數(shù)據(jù)中分別隨機抽取100個,并按[0,10],(10,20],(20,30],(30,40],(40,50]分組,得到頻率分布直方圖如下:假設(shè)甲、乙兩種酸奶獨立銷售且日銷售量相互獨立.(Ⅰ)寫出頻率分布直方圖(甲)中的a值;記甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量(單位:箱)的方差分別為S12與S22,試比較S12與S22的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論);(Ⅱ)估計在未來的某一天里,甲、乙兩種酸奶的銷售量恰有一個高于20箱且另一個不高于20箱的概率;(Ⅲ)設(shè)X表示在未來3天內(nèi)甲種酸奶的日銷售量不高于20箱的天數(shù),以日銷售量落入各組的頻率作為概率,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案:【考點】離散型隨機變量的期望與方差;頻率分布直方圖;離散型隨機變量及其分布列.【分析】(Ⅰ)利用頻率分布直方圖的性質(zhì)即可得出.(Ⅱ)設(shè)事件A:在未來的某一天里,甲種酸奶的銷售量不高于20箱;事件B:在未來的某一天里,乙種酸奶的銷售量不高于20箱;事件C:在未來的某一天里,甲、乙兩種酸奶的銷售量恰好一個高于20箱且另一個不高于20箱.求出P(A),P(B),P(C).(Ⅲ)X的可能取值為0,1,2,3,利用二項分布列的性質(zhì)求出概率,得到分布列,然后求解期望.【解答】解:(Ⅰ)由各小矩形面積和為1,得(0.010+a+0.020+0.025+0.030)×10=1,解得a=0.015,由頻率分布直方圖可看出,甲的銷售量比較分散,而乙較為集中,主要集中在20﹣30箱,故s12>s22.(II)設(shè)事件A:在未來的某一天里,甲種酸奶的銷售量不高于20箱;事件B:在未來的某一天里,乙種酸奶的銷售量不高于20箱;事件C:在未來的某一天里,
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