正項級數(shù)的審斂法課件

一、正項級數(shù)及其審斂法§1.3正項級數(shù)的審斂法上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、正項級數(shù)及其審斂法§1.3正項級數(shù)的審斂法上頁下頁鈴結(jié)一、正項級數(shù)及其審斂法

正項級數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列有界.

正項級數(shù)各項都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項級數(shù).

這是因為正項級數(shù)的部分和數(shù)列{sn}是單調(diào)增加的,而單調(diào)有界數(shù)列是有極限.

下頁定理1(正項級數(shù)收斂的充要條件)

一、正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)收斂的充分必要定理2(比較審斂法)

定理3

下頁定理2(比較審斂法)定理3下頁僅就un

vn

(n

1,2,

)的情形證明.

簡要證明

因此級數(shù)∑un收斂.即部分和數(shù)列{sn}有界.

v1

v2

vn

s(n

1,2,

),sn

u1

u2

un則級數(shù)∑un的部分和

設(shè)級數(shù)∑vn收斂,其和為s,

反之,若級數(shù)∑un發(fā)散,則級數(shù)∑vn必發(fā)散.由已證結(jié)論,級數(shù)∑un也收斂,矛盾.

這是因為如果級數(shù)∑vn收斂,定理2(比較審斂法)

僅就unvn(n1,2,)的情形證明.

解

下頁定理2(比較審斂法)

設(shè)∑un和∑vn都是正項級數(shù),且un

kvn(k>0,

n

N).若級數(shù)∑vn收斂,則級數(shù)∑un收斂;若級數(shù)∑un發(fā)散,則級數(shù)∑vn發(fā)散.解下頁定理2(比較審斂法)將級數(shù)改寫成2)若當(dāng)p>1時，上式中的最后一個級數(shù)是收斂的幾何級數(shù)，其部分和σn有界，從而p-級數(shù)的部分和sn滿足也即sn有界，由定理結(jié)論知，當(dāng)p>1時，p-級數(shù)收斂。將級數(shù)改寫成2)若當(dāng)p>1時，上式中的最后一個級數(shù)是收斂的

設(shè)∑un和∑vn都是正項級數(shù),且un

kvn(k>0,

n

N).若級數(shù)∑vn收斂,則級數(shù)∑un收斂;若級數(shù)∑un發(fā)散,則級數(shù)∑vn發(fā)散.p

級數(shù)的收斂性

證

下頁定理2(比較審斂法)

設(shè)∑un和∑vn都是正項級數(shù),且unkv調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)是用于正項級數(shù)收斂性判斷的兩個常用的比較級數(shù).若存在對一切調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)是用于正項級數(shù)收斂性判斷的兩個常用的比較例：提示：調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)是用于正項級數(shù)收斂性判斷的兩個常用的比較級數(shù).若存在對一切例：提示：調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)是用于正項級數(shù)收斂性判斷的兩個

簡要證明

當(dāng)n>N時,有不等式再根據(jù)比較審斂法,即得所要證的結(jié)論.

(1)如果lvunnn=￥?lim(0￡l<+￥),

且?￥=1nnv收斂,

則?￥=1nnu收斂;

(2)如果lvunnn=￥?lim(0<l￡+￥),

且?￥=1nnv發(fā)散,

則?￥=1nnu發(fā)散.

定理4(比較審斂法的極限形式)簡要證明當(dāng)n>N時,有不等式再根據(jù)比定理4(比較審斂法的極限形式)下頁

解

級數(shù)?￥=11sinnn也發(fā)散.

(1)如果lvunnn=￥?lim(0<l<+￥),

且?￥=1nnv收斂,

則?￥=1nnu收斂;

(3)如果lvunnn=￥?lim(0<l￡+￥),

且?￥=1nnv發(fā)散,

則?￥=1nnu發(fā)散.

(2)如果0,vunnn=￥?lim

且?￥=1nnv收斂,

則?￥=1nnu收斂;

定理4(比較審斂法的極限形式)下頁解級下頁定理4(比較審斂法的極限形式)例3解:

(1)如果lvunnn=￥?lim(0￡l<+￥),

且?￥=1nnv收斂,

則?￥=1nnu收斂;

(3)如果lvunnn=￥?lim(0<l￡+￥),

且?￥=1nnv發(fā)散,

則?￥=1nnu發(fā)散.

下頁定理4(比較審斂法的極限形式)例3解:(1)如下頁定理5(極限審斂法)例4解:下頁定理5(極限審斂法)例4解:設(shè)正項級數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.思考：設(shè)正項級數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂設(shè)級數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:思考：則級數(shù)收斂,且其和s

u1,其余項rn的絕對值|rn|

un

1.定理(萊布尼茨（Leibnitz）定理)設(shè)級數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:思考：則級數(shù)收斂,且其這是一個交錯級數(shù).

解

由萊布尼茨定理,級數(shù)是收斂的,且其和s<u1

1,首頁則級數(shù)收斂,且其和s

u1,其余項rn的絕對值|rn|

un

1.定理7(萊布尼茨（Leibnitz）定理)因為此級數(shù)滿足

例5這是一個交錯級數(shù).解由萊布尼茨定理,1.

判別級數(shù)的斂散性:解:(1)發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.(2)發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.1.判別級數(shù)的斂散性:解:(1)發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散下頁定理8(比值審斂法

達(dá)朗貝爾審斂法)證明：下頁定理8(比值審斂法達(dá)朗貝爾審斂法)證明：正項級數(shù)的審斂法ppt課件正項級數(shù)的審斂法ppt課件提示:思考：提示:思考：提示:思考：提示:思考：

例10

解：例10解：下頁定理9(根值審斂法

柯西判別法)所以

根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂

因為

解

下頁定理9(根值審斂法柯西判別法)所以根據(jù)根值所以

根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂

因為

解

下頁定理9(根值審斂法

柯西判別法)所以根據(jù)根值審