偏微分方程課件

偏微分方程偏微分方程11.1基本概念數(shù)學(xué)物理方程通常是指物理學(xué)、力學(xué)、工程技術(shù)和其他學(xué)科中出現(xiàn)的偏微分方程。反映有關(guān)的未知變量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)之間的制約關(guān)系。連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)等等方面的基本方程都屬于數(shù)學(xué)物理方程的范圍。1.1基本概念數(shù)學(xué)物理方程通常是指物理學(xué)、力學(xué)、工程技術(shù)和21.1基本概念偏微分方程是指含有未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些偏導(dǎo)數(shù)的等式。（1.1.1）（1.1.2）（1.1.3）（1.1.4）（1.1.5）1.1基本概念偏微分方程是指含有未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些31.1基本概念偏微分方程的一般形式注：F中可以不顯含自變量和未知函數(shù)，但是，必須含有未知函數(shù)的某個(gè)偏導(dǎo)數(shù)。涉及幾個(gè)未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的多個(gè)偏微分方程構(gòu)成一個(gè)偏微分方程組。注：除非特別說明，一般假設(shè)函數(shù)u及其在方程中的各階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。1.1基本概念偏微分方程的一般形式注：F中可以不顯含自變量41.1基本概念（1.1.1）（1.1.2）（1.1.3）（1.1.4）（1.1.5）1.1基本概念（1.1.1）（1.1.2）（1.1.3）（51.1基本概念（1.1.1）（1.1.2）（1.1.3）（1.1.4）（1.1.5）如果一個(gè)偏微分方程對(duì)未知函數(shù)及它的所有偏導(dǎo)數(shù)都是線性的，且它們的系數(shù)都是僅依賴于自變量的已知函數(shù)，則這樣的偏微分方程稱為線性偏微分方程。1.1基本概念（1.1.1）（1.1.2）（1.1.3）（61.1基本概念對(duì)于一個(gè)非線性偏微分方程，如果它關(guān)于未知函數(shù)的最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，則稱它是擬線性偏微分方程。例1.1基本概念對(duì)于一個(gè)非線性偏微分方程，如果它關(guān)于未知函數(shù)71.1基本概念對(duì)于線性偏微分方程而言，將方程中不含未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱為自由項(xiàng)。當(dāng)自由項(xiàng)為零時(shí)，該方程稱為齊次方程，否則稱為非齊次方程。注：齊次、非齊次是對(duì)線性偏微分方程而言的。（1.1.1）（1.1.2）（1.1.3）1.1基本概念對(duì)于線性偏微分方程而言，將方程中不含未知函數(shù)8

1.1基本概念1.1基本概念91.1基本概念1.1基本概念101.1基本概念1.1基本概念111.1基本概念1.1基本概念121.1基本概念1.1基本概念131.1基本概念1.1基本概念141.1基本概念1.1基本概念151.1基本概念1.1基本概念161.1基本概念1.1基本概念171.2三類經(jīng)典方程的導(dǎo)出例1.2.1弦的微小橫振動(dòng)問題弦振動(dòng)方程是在18世紀(jì)由達(dá)朗貝爾等人首先給予系統(tǒng)研究的。設(shè)有一根長(zhǎng)為L(zhǎng)均勻柔軟富有彈性的細(xì)弦，平衡時(shí)沿直線拉緊，在受到初始小擾動(dòng)下，作微小橫振動(dòng)。試確定該弦的運(yùn)動(dòng)方程。1.2三類經(jīng)典方程的導(dǎo)出例1.2.1弦的微小橫振動(dòng)問題弦181.2三類經(jīng)典方程的導(dǎo)出假設(shè)：1.細(xì)弦，就是與張力相比，弦的重量可以忽略不計(jì)。2.有彈性，表示張力的大小可以按胡可（Hooke）定律來計(jì)算。3.柔軟，是指弦可以彎曲，同時(shí)發(fā)生于弦中張力的方向總是沿著弦所在曲線的切線方向。4.橫振動(dòng)，是指弦的運(yùn)動(dòng)只發(fā)生在一個(gè)平面上，且弦上各點(diǎn)的位移與弦的平衡位置垂直。5.微小橫振動(dòng)，是指振動(dòng)的幅度及弦在任意處切線的傾角都很小。1.2三類經(jīng)典方程的導(dǎo)出假設(shè)：1.細(xì)弦，就是與張力相比，191.2三類經(jīng)典方程的導(dǎo)出1.2三類經(jīng)典方程的導(dǎo)出201.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出例1.2.2熱傳導(dǎo)方程所謂熱傳導(dǎo)，就是物體內(nèi)溫度較高的點(diǎn)處的熱量向溫度較低點(diǎn)處的流動(dòng)。熱傳導(dǎo)問題歸結(jié)為求物體內(nèi)部溫度的分布規(guī)律。1.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出例1.2.2熱傳導(dǎo)方程所謂熱傳導(dǎo)211.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出設(shè)物體在Ω內(nèi)無熱源。在Ω中任取一封閉曲面S。以函數(shù)u(x,y,z,t)表示物體在t時(shí)刻M=M(x,y,z)處的溫度。1.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出設(shè)物體在Ω內(nèi)無熱源。在Ω中任取一封閉221.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出1.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出231.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出1.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出241.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出1.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出251.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出下面考慮物體內(nèi)部有熱源（例如物體中通有電流，或有化學(xué)反應(yīng)等情況）。設(shè)在單位時(shí)間內(nèi)單位體積中所產(chǎn)生的熱量為F(x,y,z,t)，則則有熱源的熱傳導(dǎo)方程為1.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出下面考慮物體內(nèi)部有熱源（例如物體中通261.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出無熱源的情況下得到的熱傳導(dǎo)方程：有熱源的情況下得到的熱傳導(dǎo)方程：稱為齊次熱傳導(dǎo)方程稱為非齊次熱傳導(dǎo)方程1.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出無熱源的情況下得到的熱傳導(dǎo)方程：有熱271.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出1.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出281.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出1.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出291.2拉普拉斯方程的導(dǎo)出1.2拉普拉斯方程的導(dǎo)出301.2泊松方程的導(dǎo)出設(shè)空間中有一電荷密度為ρ(x,y,z)的靜電場(chǎng)。在此電場(chǎng)內(nèi)任取一由封閉曲面S包圍的區(qū)域Ω，由靜電學(xué)基本原理知，通過S向外的電通量等于Ω中總電量的4π倍。即其中E為電場(chǎng)強(qiáng)度矢量，n為Ω上的單位外法線向量。1.2泊松方程的導(dǎo)出設(shè)空間中有一電荷密度為ρ(x,y,z)311.2泊松方程的導(dǎo)出又由庫(kù)侖定律知，靜電場(chǎng)是有勢(shì)的。即存在靜電位勢(shì)u=u(x,y,z)，使E=-gradu代入上式，得靜電位勢(shì)u滿足以下的泊松方程即1.2泊松方程的導(dǎo)出又由庫(kù)侖定律知，靜電場(chǎng)是有勢(shì)的。即存在321.2拉普拉斯方程和泊松方程的導(dǎo)出1.2拉普拉斯方程和泊松方程的導(dǎo)出331.3定解條件與定解問題一個(gè)偏微分方程與定解條件一起構(gòu)成對(duì)于具體問題的完整描述，稱為定解問題。定解問題中的偏微分方程稱為泛定方程。常見的定解條件，可分為初始條件與邊界條件。1.3定解條件與定解問題一個(gè)偏微分方程與定解條件一起構(gòu)成對(duì)341.3.1初始條件1.3.1初始條件351.3.1初始條件1.3.1初始條件361.3.1初始條件1.3.1初始條件371.3.1初始條件1.3.1初始條件381.3.2邊界條件1.3.2邊界條件391.3.2邊界條件1.3.2邊界條件401.3.2邊界條件1.3.2邊界條件411.3.2邊界條件1.3.2邊界條件421.3.2邊界條件1.3.2邊界條件431.3.2邊界條件1.3.2邊界條件441.3.2邊界條件1.3.2邊界條件451.3.2邊界條件1.3.2邊界條件461.3.2邊界條件1.3.2邊界條件471.3.2邊界條件1.3.2邊界條件481.3.2邊界條件1.3.2邊界條件491.3.3定解問題一個(gè)偏微分方程與定解條件一起構(gòu)成對(duì)于具體問題的完整描述，稱為定解問題。1.3.3定解問題一個(gè)偏微分方程與定解條件一起構(gòu)成對(duì)于具體問501.3.3定解問題1.3.3定解問題511.3.3定解問題1.3.3定解問題521.3.3定解問題1.3.3定解問題53偏微分方程ppt課件541.3.3定解問題1.3.3定解問題551.3.3定解問題1.3.3定解問題561.3.3定解問題1.3.3定解問題571.3.3定解問題1.3.3定解問題581.3.3定解問題1.3.3定解問題591.4定解問題的適定性定解問題的提法是否合適？例如：這個(gè)定解問題的解是否一定存在？解的存在性問題這個(gè)定解問題的解是否只有一個(gè)？解的唯一性問題此外，還要考慮解的穩(wěn)定性問題（或稱為解對(duì)定解條件或自由項(xiàng)的連續(xù)依賴性問題），即當(dāng)定解條件或自由項(xiàng)作很小的變化時(shí)，問題的解是否也作很小的變化。定解問題的存在性、唯一性、穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問題的適定性。如果一個(gè)定解問題的解是存在的、唯一的、穩(wěn)定的，稱這個(gè)問題是適定的，即認(rèn)為這樣的定解問題的提法是合適的。1.4定解問題的適定性定解問題的提法是否合適？例如：這個(gè)定解601.4定解問題的適定性1.4定解問題的適定性611.4定解問題的適定性1.4定解問題的適定性621.4定解問題的適定性1.4定解問題的適定性631.5線性疊加原理1.5線性疊加原理641.5線性疊加原理1.5線性疊加原理651.5線性疊加原理1.5線性疊加原理661.5線性疊加原理1.5線性疊加原理671.5線性疊加原理1.5線性疊加原理681.5線性疊加原理疊加原理的適用范圍非常廣泛。疊加原理對(duì)于用線性方程和線性定解條件描述的物理現(xiàn)象來說，都是成立的。例如，一維熱傳導(dǎo)方程及其定解問題的疊加原理。1.5線性疊加原理疊加原理的適用范圍非常廣泛。例如，一維熱691.5線性疊加原理1.5線性疊加原理701.5線性疊加原理1.5線性疊加原理711.5線性疊加原理1.5線性疊加原理721.5線性疊加原理特解通解通解分析1.5線性疊加原理特解通解通解分析731.5線性疊加原理1.5線性疊加原理741.5線性疊加原理1.5線性疊加原理751.5線性疊加原理1.5線性疊加原理76第二章二階線性偏微分方程的分類和標(biāo)準(zhǔn)型第二章二階線性偏微分方程的分類和標(biāo)準(zhǔn)型772.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型2.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型782.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型2.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型792.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有2.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型根據(jù)復(fù)合函數(shù)求802.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型2.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型812.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型記的符號(hào)是自變量可逆變換下的不變量2.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型記的符822.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型注：混合型的退縮的2.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型注：混合型的832.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型2.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型842.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型定理：設(shè)φ(x,y)滿足隱函數(shù)存在定理中的條件，，則φ(x,y)是方程（2.1.10）的解的充要條件是φ(x,y)=c是一階常微分方程的通積分。證明：設(shè)φ(x,y)是方程（2.1.10）的解。2.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型定理：設(shè)φ(x852.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型2.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型862.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型雙曲型方程的第一標(biāo)準(zhǔn)形式2.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型雙曲型方程的第872.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型雙曲型方程的第二標(biāo)準(zhǔn)形式雙曲型方程的第一標(biāo)準(zhǔn)形式和第二標(biāo)準(zhǔn)形式統(tǒng)稱為雙曲型方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型雙曲型方程的第882.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型拋物型方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型拋物型方程的標(biāo)892.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型2.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型902.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型2.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型912.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型橢圓型方程的標(biāo)準(zhǔn)形2.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型橢圓型方程的標(biāo)92

2.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型2.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型932.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型2.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型942.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型2.1兩個(gè)自變量的二階線性PDE的分類和標(biāo)準(zhǔn)型95

第三章波動(dòng)方程的初值（柯西）問題與行波法第三章波動(dòng)方程的初值（柯西）問題與行波法963.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題3.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題973.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題3.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題983.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題3.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題993.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題3.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題1003.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題3.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題1013.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題3.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題1023.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題3.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題1033.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題3.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題1043.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題3.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題1053.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題3.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題1063.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題3.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題1073.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題3.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題1083.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題3.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題1093.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題3.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題1103.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題3.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題1113.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題3.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題1123.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題3.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問題1133.1一維波動(dòng)方程的初值（柯西