多元函數(shù)的極值及其求法課件

【實(shí)例】某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1.2元，店主估計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣x元，外地牌子的每瓶賣y元，則每天可賣出70

5x+4y瓶本地牌子的果汁，80+6x

7y瓶外地牌子的果汁，問：店主每天以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益為求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.一、問題的提出進(jìn)價(jià)：1元售價(jià)：x元進(jìn)價(jià)：1.2元售價(jià)：y元收益：x

1元/瓶收益：y

1.2元/瓶【實(shí)例】某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌1播放二、多元函數(shù)的極值和最值⑴【實(shí)例】1、【二元函數(shù)極值的定義】播放二、多元函數(shù)的極值和最值⑴【實(shí)例】1、【二元函數(shù)極值的定2⑵【二元函數(shù)極值的定義】【例1】橢圓拋物面(1)⑵【二元函數(shù)極值的定義】【例1】橢圓拋物面(1)3(2)(3)【例2】【例3】圓錐面雙曲拋物面（馬鞍面）(2)(3)【例2】【例3】圓錐面雙曲拋物面（馬鞍面）42、【多元函數(shù)取得極值的條件】【證】2、【多元函數(shù)取得極值的條件】【證】5仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)可偏導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)【問題】如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？【注意】駐點(diǎn)極值點(diǎn)舉例仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)6二元函數(shù)極值的判定定理二元函數(shù)極值的判定定理7【解】（此為隱函數(shù)的極值問題）【教材例4自閱】【解】（此為隱函數(shù)的極值問題）【教材例4自閱】8【此即《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)》P146(32)題】【此即《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)》P146(32)題】9多元函數(shù)的極值及其求法ppt課件10（1）有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)求最值的一般方法將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.3、【二元函數(shù)的最值】分為(1)

有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)求最值(2)實(shí)際問題求最值（1）有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)求最值的一般方法與一元函11【解】如圖,【解】如圖,12【此即《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)》P146(34)題】【此即《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)》P146(34)題】13【解】由【補(bǔ)例6】(夾逼準(zhǔn)則)【解】由【補(bǔ)例6】(夾逼準(zhǔn)則)14（2）實(shí)際問題求最值實(shí)際問題中，若據(jù)問題的性質(zhì)，知道最值一定在D的內(nèi)部取得，而在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，則可斷定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是實(shí)際所求的最值【教材例5】某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為2m3

的有蓋長方體水箱。問長、寬、高各取怎樣的尺寸，才能用料最省.【解】水箱用材料面積為即目標(biāo)函數(shù)即在定義域內(nèi)有唯一駐點(diǎn)（課本P112例6自閱）（2）實(shí)際問題求最值實(shí)際問題中，若據(jù)問題的性質(zhì)，知道最值一定15三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法［實(shí)例］小王有200元錢，他決定用來購買兩種急需的物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買x張磁盤，y盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)，每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果．［問題的實(shí)質(zhì)］求在條件下的極值．(1)【無條件極值】對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件。1、【無條件極值與條件極值】y盒錄音磁帶單價(jià)：10元x張磁盤單價(jià)：8元(2)【條件極值】對自變量有附加條件的極值。三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法［實(shí)例］小王有200元錢，他決定16［條件極值的求法］法Ⅰ:化為無條件極值如教材例5和補(bǔ)例5法Ⅱ:拉格朗日乘數(shù)法對三元以上的函數(shù)特別有用2、【拉格朗日乘數(shù)法】［條件極值的求法］法Ⅰ:化為無條件極值如教材例5和補(bǔ)例5法Ⅱ17拉格朗日乘子（乘數(shù)）【總結(jié)—拉格朗日乘數(shù)法】稱為拉格朗日函數(shù)拉格朗日乘子（乘數(shù)）【總結(jié)—拉格朗日乘數(shù)法】稱為拉格朗日函數(shù)18⑵乘數(shù)法的推廣（條件與自變量均多于兩個(gè)的情況）⑵乘數(shù)法的推廣（條件與自變量均多于兩個(gè)的情況）19【解】則【解】則20【解】【解】21多元函數(shù)的極值及其求法ppt課件22(轉(zhuǎn)化為求u的最大值)(轉(zhuǎn)化為求u的最大值)23可得即（課本P58-59例7、例8自閱）可得即（課本P58-59例7、例8自閱）24多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法—條件極值（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值四、小結(jié)［條件極值的求法］法Ⅰ:化為無條件極值法Ⅱ:拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法—條件極值（取得極值的必要條件、25【思考題】【思考題解答】【思考題】【思考題解答】26二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值27二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值28二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值29二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值30二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值31二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值32二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值33二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值34二、多元函數(shù)的極值和最值