南通市年數(shù)學(xué)百題訓(xùn)練有答案

南通市百題訓(xùn)練

1.在AA3C中,a=5/=8,C=60。,則前耳的值為。-20

錯誤分析:錯誤認(rèn)為(屬聲)=NC=60°，從而出錯.

2.。為平面上的定點(diǎn)，A、B,C是平面上不共線的三點(diǎn)，若

(OB-OC)?(.OB+OC-2OA)=0,貝必ABC是三角形。以BC為底邊的等

腰三角形

錯因：學(xué)生對題中給出向量關(guān)系式不能轉(zhuǎn)化：2近不能拆成(次+3)。

3.O是平面上一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足

——-——>ARAC

OP=OA++-=-),2e[0,+oo)，則P的軌跡一定通過AABC的心。內(nèi)心

\AB\\AC\

錯誤原因：對O——P?=O——A?+/L(AR^^+=A^C)"e[0,+8)理解不夠。不清楚ARAC

\AB\IACIIABIIACI

與/BAC的角平分線有關(guān)。

4.若向量1=(x,2x),B=(—3x,2),且￡、坂的夾角為鈍角，則x的取值范圍是

錯誤分析：只由ZB的夾角為鈍角得到小B<0,而忽視了3?B<0不是瓦B夾角為鈍角的

充要條件，因?yàn)?萬的夾角為180。時也有ab<0,從而擴(kuò)大x的范圍，導(dǎo)致錯誤.

5.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，O，”=(-1,1),〃/”=(一5,5),集合A=%Irn=21op,oqeA,且

mp=4〃均(2GR,且4H01則mp-mq=。46

錯誤原因：看不懂題意，未曾想到數(shù)形結(jié)合的思想。

6.在A4BC中,已知筋=(2,3),怒=(1,%),且A48c的個內(nèi)角為直角,則實(shí)數(shù)k的值

小.2_,3±V1311

為.k——或女=-------或％=——.

323

錯誤分析:是自以為是,憑直覺認(rèn)為某個角度是直角，而忽視對諸情況的討論.

7.已知0、A、B三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為0(0,0),A(3,0),B(0,3),且P在線段AB上，AP=tAB

(OWtWl)則OA-OP的最大值為。9

錯因：學(xué)生不能借助數(shù)形結(jié)合直觀得到當(dāng)|OP|cosa最大時，0A-0P即為最大。

8.已知向量M={a\a=(l,2)+l(3,4)XeR},N={a|a=(-2,2)+X(4,5)XeR},則

McN=o{(-2,-2)}

錯因：學(xué)生看不懂題意，對題意理解錯誤。

10.過AABC的重心作一直線分別交AB,AC于D,E,若石=xAB,AE=yAC,(xyH0),

則,+上的值為。4

xy

分析：特殊值法。

11.已知KeZ,而=(攵,1),N下=(2,4),若詬W46,則AABC是直角三角形的概

3

率是。-

---7

分析：由赤《河及左eZ知{-3,-2,-1,0,1,2,3),若

AB=也,1)與衣=(2,4)垂直，則2攵+3=0n女=-2；若瑟=而—恁=飲一2,-3)與

通=伏,1)垂直，則公―2左—3=0n%=—1或3,所以AABC是直角三角形的概率是3.

7

12.不等式(工一1)日120的解集［l,+oo)u{2}

13.函數(shù)y=lg(-x2+5x+24)的值小于1,則x的取值范圍為一(―3,—2)U(7,+8)

14.設(shè)k￡R,Xi,X2是方程X2—2kx+l—k2=0的兩個實(shí)數(shù)根，則x：+x；的最小值為

__________1

15.已知A={xlx2+(P+2)x+4=0},M={xlx>0},若ACM=d>,則實(shí)數(shù)P的取值范圍.

【解】分A=0與AW小兩情況，最終可求出p>-6.

16.若不等式裙一3a+2)x2+(a-l)x+2>0恒成立，則a的取值范圍.

a2-3a+2=a-l=0?

解：<或

2>0

a'—3a+2>0十15

解得：。（或a>—

A<07

17.已知兩個點(diǎn)A(-3,-1)和B(4,-6)分布在直線-3x+2y+a=0的兩側(cè),則a的取值范圍為

(-7,24)

18.給出平面區(qū)域如圖所示，若使目標(biāo)函數(shù)Z=ax+y(a>0),

取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則a值為

19.若x+2y=l,則2*+4〉的最小值是

（答:2亞）;

20.若6是正常數(shù)，a^b,x,），e（O,+8）,則，+工2絲也?，當(dāng)且僅當(dāng)@=2時上式

xyx+yxy

取等號.利用以上結(jié)論，可以得到函數(shù)=B+（xe（0,1））的最小值為,

取最小值時x的值為.25,1

21.已知關(guān)于x的不等式組區(qū)2+2X+AW2有唯一實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)人的取值集

合.｛、^,1+偽

22.已知cos。?tan。＜0,那么角。是第象限角.

sin9

解：cos。?tan。=cos0?----=sin。＜0且cos8w0

cosB

???角睨第三或第四象限角

說明：本題考查了正、余弦函數(shù)與正切函數(shù)轉(zhuǎn)化關(guān)系以及由三角函數(shù)值判斷角所在的象限.

2

23.已知sin2a=§,a￡（0,%），貝ljsina+cosa=.

解：:（sina+cos6Z）2=1+sin2a=g

sina+cosa-±---

3

2

又???sinla=2sinczcos?=—〉0,aG（0,萬）

sina>0,coscr>0

,V15

二.sina+cosa=---

3

說明：本題考查了倍角公式的應(yīng)用，在公式應(yīng)用是注意符號的取舍，特別關(guān)注的是角

的范圍.

3,

24.已知cos2a=,,則sin4a-cos'a的值為

解:sin4cr-cos4a-(sin2a+cos26r)(sin2a-cos2a)=sin2cr-cos2a

3

=2sin2(7-1=一cos2a=——

5

說明：本題通過降幕聯(lián)想到三角函數(shù)的基本公式sin2a+cos2a=1和倍角公式進(jìn)行

化簡求值.

25.要得到函數(shù)y=sinx的圖像，只需將函數(shù)y=cosfx-的圖像.

解：y=cos(x—(卜中+向，圖像向右平移?■個單位就得到y(tǒng)=sinx的圖像.

說明：本題考查三角函數(shù)的平移變換，掌握“左加右減”法則，以及正余弦之間的轉(zhuǎn)

化是解決問題的關(guān)鍵.

26.己知/(%)=5m］皿+(*>0),/(看)=/'0且/'(x)在區(qū)間親有最小值，無

B-------F8k

3

P2%717171

乂--->-----———

or366

G7<12

14

/.GT=----

3

說明：本題考查正弦的對稱軸及周期，以及正弦圖像的知識。

27.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：

1

23

456

78910

1112131415

按照以上排列的規(guī)律，第〃行(〃23)從左向右的第3個數(shù)為

n2-n

解：前n-l行共有正整數(shù)1+2+…+(n—l)個，即2個，因此第n行第3個數(shù)是

n2-nn2-n+6

全體正整數(shù)中第2+3個，即為2.

點(diǎn)評：本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式，難點(diǎn)在于求出數(shù)列的通項(xiàng)，解決此

題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。

2

28.數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和Sn=n+1,則a產(chǎn)

答案：點(diǎn)評：誤填2n—1,忽略“aNn—Sni”成立的條件：“n

2n-1n>2

22”。

29.已知｛aj為遞增數(shù)列，且對于任意正整數(shù)n,am>an恒成立，an=-r?+入n恒成立，

則人的取值范圍是

答案：人>3點(diǎn)評：利用二次函數(shù)單調(diào)性討論較繁，且易錯，利用am>an恒成立較方便。

a-a

30.已知數(shù)列一1,a”a2,一4成等差數(shù)列，一1,也比方,一4成等比數(shù)列，則二一的值為

b2

答案：二忽略b2為等比數(shù)列的第三項(xiàng)，b2符號與一1、一4同號

2

31,數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和Sn="2+2〃-1,則為+%+%+…+。25=

答案：350首項(xiàng)不滿足通項(xiàng)。

32.在等差數(shù)列｛%｝中4。<0,?！?gt;0,且卬]>lal0I,則在S“中最大的負(fù)數(shù)為

答案：S19等差數(shù)列求和公式應(yīng)用以及數(shù)列性質(zhì)分析錯誤。

33.在,和〃+1之間插入〃個正數(shù)，使這戶2個正數(shù)成等比數(shù)列，

n

則插入的〃個正數(shù)之積為

(H)2無法探求問題實(shí)質(zhì)，致使找不到解題的切入點(diǎn)

答案：n

34.已知/(〃+1)="〃)T(〃eN*),/(I)=2,則/(2007)=__________

/(〃)+1

/(n-D-lt

則“八/(〃—1)+11C、1

解：/(〃+l)=g^—~^―-—=--------------,/(〃+2)=----------,

/(?)+1?]/(?-1)/(?)

/(n-D+l

.?./(n+4)=-------?—=/(〃)，即/(〃)是以周期為4的數(shù)列，

/(?+2)

所以/(2007)=/(2004+3)=f(3)=-志=-；

35.已知數(shù)列⑶｝的前n項(xiàng)和Sr/—16n—6,求數(shù)列｛%1｝的前n項(xiàng)和S；

答案：Sn'=—n2+16n+6n《8時

n2-16n+l34n>8時運(yùn)用或推導(dǎo)公式時，只考慮一般情況，忽視特

殊情況，導(dǎo)致錯解。

36.在數(shù)列｛?｝中，《=3,且對任意大于1的正整數(shù)〃，點(diǎn)(、底,幾二)在直線

x-y-y/3=Qt,貝ija“-

解：點(diǎn)二")在直線x-y-G=O，即q=百，又M=拒,所以/7｝

是以后為首項(xiàng)，石為公差的等差數(shù)列，故歷=W+(〃-l)X石，

即％=3"2

37.dfel2+22+32+---+n2=-n(n+l)(2n+l),貝I」

6

數(shù)歹lj1x2,2x3,3x4,…,〃5+1)的前〃項(xiàng)和為：

2

解：數(shù)列l(wèi)x2,2x3,3x4,…,〃(〃+1)的通項(xiàng)為：an=n(n+i)=n+〃.

所以：S〃=勺+g+…+冊=(V+22+…+M)+(I+2+…+〃)=

一〃(〃+1)(2〃+1)H—n[n+1)=-----------

623

38.設(shè)〃x)=(x-l)3+l,利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和的公式的方法，可求得

/(-4)+3+/(0)+-+〃5)+/(6)的值為：

解：課本中推導(dǎo)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和的公式的方法即為“倒序相加法”.

令/(—4)+/(—3)+…+/(0)+…+/(5)+/(6)=S①

則也有/(6)+/(5)+…+/(0)+…+/(—3)+/(-4)=S②

由f(x)+/(2-x)=(x-Ip+1+(1—x)3+1=2

可得:f(-4)+/(6)=/(-3)+/(5)=???=2,于是由①②兩式相加得25=11x2,

所以S=ll

39.對正整數(shù)〃，設(shè)曲線y=x"(l-x)在x=2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為則數(shù)列

nci

｛—L｝的前n項(xiàng)和的公式是____________________________

〃+1

解：y=xn-xn+l,k=yL=2="2"T-(2"+2)-2"T=-(〃+2)2"T,切點(diǎn)為(2,-2"),切線方程

點(diǎn)斜式為：y+2〃=-(〃+2)2〃一】3-2),令x=0得金=(〃+1)2〃，

令〃“二——,則"二〃?2〃，令S”=瓦+無+…+%，

〃+1

由錯位相減法可得：S?=2-(n+l)2,,+l

2ctn,0cin<—6

40.數(shù)列｛〃〃｝滿足。用=｛12,若％="則出期的值為_______

久—L胃%<17

答案：c方法：找規(guī)律，解數(shù)列常見方法

41.設(shè)｛a“｝是等差數(shù)列，｛b“｝為等比數(shù)列，其公比qWl,且b,>0(i=l、2、3…

n)若a[=b],a[]=b]]則%與％的大小關(guān)系為

錯因：學(xué)生不能靈活運(yùn)用等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的定義及基本不等式。

42.某人為了觀看2008年奧運(yùn)會，從2001年起每年5月10日到銀行存入a元定期儲蓄，

若年利率為p且保持不變，并且每年到期的存款及利息均自動轉(zhuǎn)為新一年定期，到2008

年將所有的存款和利息全部取回，則可取回的錢的總數(shù)(元)為.

正確答案：-[(l+p)8-(l+p)]錯因：學(xué)生對存款利息的計算方法沒掌握。

P

43.定義一個“等積數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它后一項(xiàng)的積都是同一常數(shù)，那

么這個數(shù)列叫“等積數(shù)列”，這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的公積.

已知數(shù)列｛/｝是等積數(shù)列，且為=2,公積為5,則這個數(shù)列的前"項(xiàng)和S,的計算公式

為:__________________

解：這個數(shù)列為2,”，”，-s若〃是偶數(shù)，則S”事2+會畀手

9〃〃是正偶數(shù),

若甘〃是日奇大姐數(shù)，則miSc〃=——〃+1x2c+——〃-1x5-=-9-〃---1故：

22249n-l

拉是正奇數(shù).

,4

44.函數(shù)y=xlnx的單調(diào)減區(qū)間為0

解答：y'=1+lnx,令y'<0=>x<,，函數(shù)y=xlnx的定義域?yàn)?0,+8)=>函數(shù)

e

y=冗In冗的單調(diào)減區(qū)間為(0,，)

說明：此題考查基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

45.一個膨脹中的球形氣球，其體積的膨脹率恒為0.3加3/s,則但其半徑增至1.5加時，半

徑的增長率是.

3

解答：---

10兀

說明：考查對導(dǎo)數(shù)概念的理解能力

46.若函數(shù)/。)=x3_辦2+］在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的范圍為.

解答：法1：(分離參數(shù)法)

???函數(shù)/(x)=x3_a/+l在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，.../'(>)=3/—2axW0在(0,2)內(nèi)恒成

立.

333

即在(0,2)內(nèi)恒成立.=在(0,2］上的最大值為5x2=3

a23.

法2：(數(shù)形結(jié)合法)Vf(x)=3x2-2ax(為二次函數(shù))如圖3,

要使3x2-2ax<0在(0,2)內(nèi)恒成立，只需對稱軸-必21,

2x3

即心3.

說明：此題考查利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性

47.設(shè)/'(X)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，y=/'(x)的圖象如下圖所示，則y=/(x)的圖象最

說明：此題考查了原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像之間的關(guān)系

48.已知函數(shù)/(x)=x(x—c)2在x=3時取得極大值，貝吐=

解答：9

說明：考查對極大值含義的理解

49.已知集合尸={)"y=-x2+2,xeR},Q={yIy=-x+2,xeR),則PcQ={y|y<2)

說明：理解代表元的意義,這是個易錯點(diǎn)，需要強(qiáng)化.如{yly=x?}、{xly=x2},{(x,y)ly=x2}

就表示完全不同的三個集合，它們分別表示［0,+8),R兩個數(shù)集及拋物線y=x2

上的點(diǎn)集。避免如下錯誤：{yly=x2}C{yly=2X}={(2,2)、(4,4)}。

50.已知集合4={x|lx-a|W4,6={小2—5x+42。}.若A己8=0,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是心

解:集合A={*x—a］W1}={xla—1WxWa+1},B={x,-5x+42O}={xlx>4或

—［a+1<4

xWl}.又4n6=0，，\，解得2<a<3,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3)。

a-1>1

說明：通過數(shù)軸進(jìn)行集合包含關(guān)系的運(yùn)算，要注意端點(diǎn)的“開閉”.

變式：若AClBw。？

51.設(shè)a>l,函數(shù)/0)=108”》在區(qū)間也,24］上的最大值與最小值之差為；，貝Ua=4

解：???a>1,函數(shù)/(x)=log”x在區(qū)間［a,2a］上的最大值與最小值分別為

log,,2a,log。a=1,它們的差為g,/.log?2=--a=4.

說明：注意底數(shù)的取值范圍，它影響函數(shù)的單調(diào)性.

變式：將條件a>1去掉.

52.“卜—2成立”是“x(x—3)<0成立”的必要不充分條件

說明：小范圍可以推大范圍，大范圍不能推小范圍.

53.已知p:不等式lxl+lx-ll>%的解集為凡4"(；0=-(7-3加尸是減函數(shù),如果兩個

命題有且只有一個正確，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為［1,2)

說明：會在數(shù)軸上理解絕對值的幾何意義，分類討論思想.

54.函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閧xlxeR,且xwl},已知/(x+1)為奇函數(shù)，當(dāng)x<l時，

07

/(X)=2X2-X+1,則當(dāng)x>1時，/(%)的遞減區(qū)間是［一,+8)

4

說明：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考函數(shù)題的重點(diǎn)考查內(nèi)容，本題主要考查對單調(diào)性

和奇偶性的理解，判斷函數(shù)奇偶性和求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本方法以及函數(shù)解析式的

求解方法的掌握.

55.設(shè)定義在R上的函數(shù)“X)滿足〃x)―/(x+2)=13,若/⑴=2,則/(99)=號

說明：函數(shù)的周期性是高考函數(shù)題的重點(diǎn)考查內(nèi)容,幾個重要的周期公式要熟悉，如：

(l)f(x+a)=f(x-a),則T=2a.(2)f(x+a)=-」一，則T=2a等.

/(x)

56.若f(x)=log〃(2-ax)在［0,1］上是減函數(shù)，則a的取值范圍是

分析：本題必須保證：①使loga(2-ax)有意義，即a>0且aWl,2-ax>0.②使logu(2-ax)

在［0,1］上是x的減函數(shù).由于所給函數(shù)可分解為y=log“u,u=2-ax,其中u=2-ax在a>0

時為減函數(shù)，所以必須a>l；③［0,1］必須是y=log“(2-ax)定義域的子集.

解：因?yàn)閒(x)在［0,1］上是x的減函數(shù)，所以f(0)>f(l),

B|Jlogn2>loga(2-a).

所以In.elVQ,

a2-a>0

說明：本題綜合了多個知識點(diǎn)，需要概念清楚，推理正確.(1)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；(2)

真數(shù)大于零.

57.已知f(x+199)=4x2+4x+3(xWR),那么函數(shù)f(x)的最小值為2.

分析：由f(x+199)的解析式求f(x)的解析式運(yùn)算量較大，但這里我們注意到,y=f(x+100)

與y=f(x),其圖象僅是左右平移關(guān)系，它們?nèi)〉?/p>

的嫌大值和最小值是相同的.由y=4-+4r+3=4(x+$'+2,立即

求得f(x)的最小值即f(x+199)的最小值是2.

說明：函數(shù)圖象與函數(shù)性質(zhì)本身在學(xué)習(xí)中也是密切聯(lián)系的，是“互相利用”關(guān)系，函

數(shù)圖象在判斷函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性及求最值等方面都有重要用途.

變求f(sinx)的最小值為

58.方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為(k-；,k+g)(keZ),則k的值為

分析：在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象.它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)七,

顯然在區(qū)間(1,3)內(nèi)，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了.實(shí)際上這是要比較

與與2的大小.當(dāng)x=2時，lgx=lg2,3-x=l.由于lg2<l,因此x()>2,從而判定X()G(2,

3)

說明：本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間.數(shù)形結(jié)合，

要在結(jié)合方面下功夫.不僅要通過圖象直觀估計，而且還要計算毛的鄰近兩個函數(shù)

值，通過比較其大小進(jìn)行判斷.

59.若關(guān)于x的不等式4'-27-a20在［1,2］上恒成立,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為區(qū)里

說明：換元法，恒成立問題的常規(guī)解法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值.

2

60.設(shè)/(x)=lg(——+〃)是奇函數(shù),則使/(x)<0的x的取值范圍是(一1,0)

1-x------

］+X

解：依題意，得了(0)=0,即lg(2+a)=0,所以，〃=-1,/(x)=lg——,

1-x

14-Y

又f(x)<0,所以，0<——<1,解得：一lVx<0.

1-x

說明：f(x)是奇函數(shù)且在x=0有定義，貝Ijf(o)=o.

61.某公司生產(chǎn)三種型號的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛，6000輛和2000輛。為檢驗(yàn)該公司的

產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號的轎車依次應(yīng)抽取,

，輛。

解：1200+6000+2000=9200；46:9200=1:20；

1200x2U=6000xJo=30>2000xa=10。

命題意圖：本題考查分層抽樣

62.甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位：t/hm?)

品種第1年第2年第3年第4年第5年

甲9.89.910.11010.2

乙9.410.310.89.79.8

其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是―里

解：XV=*9.8+9.9+10.1+10+10.2)=10.0,

xz.=4<9.4+10.3+10.8+9.7+9.8)=10.0;

=4"(9.82+…+10.22)-102=0.02,

si=*9.42+…+9.82)-102=0.244>0,02?

命題意圖：本題考查從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并作出

合理的解釋.

63.圖1是某縣參加2007年高考的學(xué)生身高條形統(tǒng)計圖，從左到右的各條形表示的學(xué)

生人數(shù)依次記為A|、A2.........A.（如A2表示身高（單位：cm）[150,155）內(nèi)的學(xué)生

人數(shù)）。圖2是統(tǒng)計圖1中身高在一定范圍內(nèi)學(xué)生人數(shù)的?個算法流程圖?，F(xiàn)要統(tǒng)計

據(jù)直接輸出，不再進(jìn)行任何的返回疊加運(yùn)算，此時己把數(shù)據(jù)A,、A5>AS、A7疊加起

來送到S中輸出,故i<8。

64.執(zhí)行右邊的程序框圖，若p=0.8,則輸出的

n=.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】4.

【試題分析】-+-+->0.8,因此輸出〃=4.

248

【高考考點(diǎn)】程序框圖

[易錯提醒】沒有注意到控制變量〃=〃+1在5=5+，

?.??c”

之后啰第3。

65.給出下列程序:

—1

Whilez<7

i-i+2

s-2i+3

EndWhile

Prints

其運(yùn)行后，輸出結(jié)果為.【答案】2

66.若復(fù)數(shù)z滿足iz=2+3/（i是虛數(shù)單位），則z=.

【答案】3-2/

67.已知加eR,復(fù)數(shù)z=型竺二々+（相2+2m_3?,若z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第

m-1

二象限，則m的取值范圍是.

［答案］mv-2或lvmv2

68.已知z=1+i，則一一等于

1+Z2--------------

【答案】1

69.設(shè)?！辏?、,乃），則直線％cos8+ysin。-1=0的傾斜角是_。一^

70.已知圓+y--2acos0-laysin-tz2sin20=0截x軸所得弦長為16,

則。的值是—±8—

71.已知函數(shù)f(x)=m|x-l|(meR且m*0)設(shè)向量“=(l,cos26),。=(2,1),c=(4sin^,l),

]=(gsin%),當(dāng)。w(0,?)時，比較f豈?不)與f(H)的大小。

解：；?/；=2+cos20,c?J=2sin-0+l=2-cos20

f(a?Z?)1+cos2O|=2mcos~0

f(7?r/)=m|l-cos2O|=2msinJ0

于是有f(H)-f(H)=2m(cos20-sin20)=2mcos20

V0e(O,-)A2ee(0,-)Acos20>O

42

/.當(dāng)m>0時,2mcos20>O,即f(a?b)>f(c、?d)

當(dāng)m<0時，2mcos20<0,即fU?：)<f(17)

72.已知向量￡=(〃*,—1)5=(」一,x)(m為常數(shù))，且ZE不共線，若向量1石的夾

mx-\

角為銳角，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

解：要滿足va,b>為銳角

只須且。=/1匕(2G/?)

—k—r-*團(tuán)/2

a?b=-------x

mx-1

22

mx-mx+x

mx-1

x八

=---------->0

mx-\

即x(mx-l)>0

1°當(dāng)m>0時

x<0BKX>—

m

2°mvO時

x(-mx+1)<0

x<—^x>0

m

3°m=0時只要x<0

綜上所述：m>0時，xG(-oo,0)U(—,-Kx>)

m

m=0時，xe(-oo,0)

mv0時，xe(-oo,—)U(0,+oo)

m

_/—-i-?-*i2"\/5

73.已知向量a=(COST,sina),/?=(cos/,sin〃)，卜一/?卜不二.

(I)求cos(a—夕)的值；

JITT5

(II)若0<。<—,---<P<4,且sin/?=----,求sina的值.

2213

解(I),/a=(cosa,sina^,b=(cos[3,sin/7),

:.a-h=(cosa-cos/?,sina-sin/?).

?.??一同=^^,^(cosa-cos/?)2+(sina-sin/?)2=2^,

4、3

即2-2cos(cr-/?)=—.?.cos(a-^)=~.

TTTT

(II)\90<a<-,-—<J3<0,:.0<a-j3<7r.

cos(a一/)=[,sin(a_/?)=，

?c5介12

sin0=-----,cosp--.

1313

since=sin[(&-#)+

=sin(a-yff)cos/?+cos(a-')sinJ3

4123r5)33

5135I13j65

74.(1).已知函數(shù)y=x+*-(x>—2),求此函數(shù)的最小值.

x+2

(2)已知XV—,求y=4x—1+---的最大值；

44元-5

(3)已知x>0,y>0,且5x+7y=20,求xy的最大值;

(4)已知x,y￡R+且x+2y=l,求的最小值.

%y

答案：(1)y的最小值為6(X=2).

(2)y的最大值為2(x=l).

(3)知的最大值為"(x=2,y=—).

11萬

(4)上+上的最小值為3+2、/5(x=J5-l,y=l—注).

xy2

變:已知x>0,y>0,且5x+7y=xy,求x+y的最小值;

75.某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為48051?,深為3m,如果池底每Inf的

造價為150元，池壁每In?的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價

是多少元？

分析：此題首先需要山實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最

值，其中用到了均值不等式定理.

解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm,水池的總造價為/元，根據(jù)題意，得

7=240000+720(x+----)2240000+720義2、/x-----

x\lx

=240000+720x2x40=297600當(dāng),即x=40時，/有最小值297600

因此，當(dāng)水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是

297600元.

76.解關(guān)于x的不等式公＞。3》

77.已知函數(shù)/(x)=4sinxsin2(a+])+cos2r

jr

(i)設(shè)G>0為常數(shù)，若y=/(a>)在區(qū)間一萬,亍上是增函數(shù)，求W的取值范圍

出設(shè)集合力=福4》<芥8={巾(》-詞<2},若AqB,求實(shí)數(shù)小的取值范圍。

..7T、

l-cos(—+X)

答案：(1)/(x)=4sinx-----胃---+cos2x=2sinx+l

?."(如)=25由血+1在-]，|"上是增函數(shù)。

7i2JI\「九"4]2)3

L23」一|_2a)2co\32co(4」

(2)由|/(x)—相|<2得：-2<f(x)-m<2,即/(x)-2<〃?</(x)+2

7T2

?.?AqB,.?.當(dāng)《4X4；萬時，f(x)-2<x</(x)+2恒成立。

63

W(x)-2L<m<[/(x)+2L

又XG￡，4時，/(x)3=/(1)=3;7⑴.=/(1)=2/.me(1,4)

o32o

79.已知二次函數(shù)y=/(x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為/(x)=6x-2,數(shù)列｛%｝的前八項(xiàng)

和為S“，點(diǎn)(〃,S,)(〃eN*)均在函數(shù)y=〃x)的圖像上.

(I)求數(shù)列｛”“｝的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)勾=」一，7；是數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和，求使得7；■對所有“CN*都成立的

aa20

?n+\

最小正整數(shù)，";

解：(I)依題設(shè)/(x)=ar?+bx(a=0),由/(x)=2ax+0又由/(x)=6x-2得a=3,b=-2,

/(X)=3X2-2X,所以S“=3"2_2",

當(dāng)”22時％=S“-S“T=(3n2-2n)-[3(n-I)2-2(n-l)]=6n-5,

當(dāng)”=1時，q=S[=3x12-2x1=1=6x1-5也符合，，%=6"-5("eN*).

(II)由(I)得"=--一■=---------------=—(―---------),

%即+1(6〃-5)[6(〃+1)-5]26/1-56n+1

Tlt=\'bj=-[(1—)+(-----)H1-(-------------)]=-(1------),

"277136〃-56〃+126/1+1

?=1

■要使J(l-J)<條〃.江*)恒成立,只要[J。-[)]max〈會,

XVl(i二)<_1,.?.只要_1勺生，即,”210,的最小整數(shù)為io

26〃+12220

80.已知等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為J,且％=5,$5=225.數(shù)列也,｝是等比數(shù)歹

b3=a2+的,02b5=128(其中A二1,2,3,…)

(I)求數(shù)列｛""｝和上｝的通項(xiàng)公式；(H)記J=。也，求數(shù)歹3｝刖〃項(xiàng)和%

解：(I)公差為d,

劣+2d=5,[a,-1,

</.s故%=2〃-1

則[15。]+15x7d=225,[d=2,(〃=1,2,3,",)

%=8,

則,l)32ICO

~~,"3"=128,

設(shè)等比數(shù)列也』的公比為九[q.?也=8,q=2.

?1-b?=4?qi=2"("=1,2,3,—)

23n

(n)=(2〃-1).2",.-.7；,=2+3-2+5-2+---+(2n-l)-2,

234n

2Tn=2+3-2+5-2+---+(2/i-3)-2+(2〃—1>2向.

345),+l),+1

作差.-Tn=2+2+2+2+???+2-(2/i-1)-2

23(l-2,-)

21-(2n-l)-2,,+1

1-2

=2+23(2"i_1)_(2〃-1)?=2+2n+2-8-2H+2n+2n+l=-6-2n+l(2〃—3)?

，=(2〃-3).2e+6(〃=1,2,3,?“)

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本知識，第二問，求前n項(xiàng)和的解法，要

抓住它的結(jié)特征，個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列之積，乘以2后變成另外的一個式

子，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想。

81.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：

1

23

456

78910

1112131415

按照以上排列的規(guī)律，第〃行(“23)從左向右的第3個數(shù)為

n2-n

解：前n—1行共有正整數(shù)1+2+…+(n-1)個，即2個，因此第n行第3個數(shù)是

n2-nn2—n+6

全體正整數(shù)中第2+3個，即為2.

點(diǎn)評：本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式，難點(diǎn)在于求HI數(shù)列的通項(xiàng)，解決此

題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。

82.圖(1)、(2)、(3)、(4)分別包含1個、5個、13個、25個第二十九屆北京奧運(yùn)會吉祥

物“福娃迎迎”，按同樣的方式構(gòu)造圖形，設(shè)第〃個圖形包含個“福娃迎迎”，則

/(5)=,/(?)-/(?-1)=

解：第1個圖個數(shù)：1

第2個圖個數(shù)：1+3+1

第3個圖個數(shù)：1+3+5+3+1

第4個圖個數(shù)：1+3+5+7+5+3+1

第5個圖個數(shù)：1+3+5+7+9+74-5+3+1=41,

所以，f(5)=41

f(2)-f(l)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,f(5)-f(4)=16

/(n)-/(n-l)=4(?-l)

點(diǎn)評：由特殊到一般，考查邏輯歸納能力，分析問題和解決問題的能力，本題的第二

問是一個遞推關(guān)系式，有時候求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以轉(zhuǎn)化遞推公式來求解，體現(xiàn)

了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想。

83.已知等比數(shù)列｛""｝的首項(xiàng)為'3,公比q滿足4>°且4*1。又已知生,5a3,9%

成等差數(shù)列。

(1)求數(shù)列MJ的通項(xiàng)

(2)令a=l°g3"”，求證：對于任意〃eN*,都有2吶瓦瓦

42

⑴解...2—5。3=4+91.IO%/'=%+9/，,9q-10^+1=0

n

..q>0且qW1.'I-3.an-axq'-3~"

11111

-------------=------------------=--------------------

⑵證明：=嗟3“"=1嗚3"=〃，b也+1〃(〃+1)n〃+1

111,11111,1

.b｛b2b力3么也i+i223nn+1〃+1

?LJ-+J..+-1-Y1

2她b2b3b?bn+i

點(diǎn)評：把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題中的第（2）問，采用裂

項(xiàng)相消法法，求出數(shù)列之和，由n的范圍證出不等式。

數(shù)列與程序框圖的聯(lián)系

84.根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y值依次分別記為玉，彳2,…，毛,…，彳?^；

%，。2，…，月，…，）‘2008

(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式X"；

(II)寫出yl,y2,y3,y4,由此猜想出數(shù)列｛yn｝；

的一個通項(xiàng)公式y(tǒng)n,并證明你的結(jié)論；

(IH)求〃=/M+x2y