七年級數(shù)學(xué)上冊專題10 用一元一次方程解決實際問題(2)(解析版)（重點突圍）

/專題10用一元一次方程解決實際問題(2)考點一用一元一次方程解決數(shù)字問題考點二用一元一次方程解決幾何問題考點三用一元一次方程解決和差倍分問題考點四用一元一次方程解決電費和水電問題考點五用一元一次方程解決比例分配問題考點六用一元一次方程解決日歷問題考點七用一元一次方程解決古代問題考點一用一元一次方程解決數(shù)字問題例題：（2022·福建·上杭縣第三中學(xué)七年級期末）在一個的方格中填寫9個數(shù)，使得每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和相等，得到的方格圖稱為一個三階幻方．(1)請在圖1中，將﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5這9個數(shù)填上，使它構(gòu)成一個三階幻方．(2)請在圖2、圖3中，分別填上合適的數(shù)，使每個圖構(gòu)成一個三階幻方．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)9個數(shù)的和，得出每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和都為3，把中間數(shù)l放在中間位置，然后大數(shù)湊小數(shù)填表即可；（2）圖2根據(jù)對角線上的三個數(shù)求出和，然后計算剩余各數(shù)即可，圖3先根據(jù)和相等求出中間數(shù)，然后計算出各數(shù)即可．（1）解：填表如下：（答案不唯一）（2）解：∵4＋3＋2＝9，∴9﹣4﹣6＝﹣1，9﹣6﹣2＝1，9﹣7﹣2＝0，9﹣1﹣3＝5，故補全圖2如下所示：設(shè)圖3最下面一行中間數(shù)為m，則﹣3＋1＝4＋m，解得m＝﹣6，設(shè)圖3中第一行最后一個數(shù)為n，則﹣6＋1＝﹣3＋n，解得n＝﹣2，∵4＋1﹣2＝3，∴3﹣（4﹣3）＝2，3﹣（1﹣6）＝8，3﹣2﹣1＝0，3﹣（0﹣2）＝5，故補全圖3如下所示：

【點睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·湖北荊門·七年級期中）觀察下列三行數(shù)：(1)每行的第9個數(shù)分別為，，．(2)如圖，用一個長方形方框框住六個數(shù)，左右移動方框，若方框中的六個數(shù)左上角數(shù)記為x，求這六個數(shù)的和（結(jié)果用含x式子表示并化簡）．(3)第三行是否存在連續(xù)的三個數(shù)的和為381，若存在，求這三個數(shù)，若不存在，請說明理由？【答案】(1)（－2）9，(-2)9+2，-(-2)9－1(2)－x+2(3)存在，127，－257，511【分析】（1）找出每行數(shù)的規(guī)律，然后問題可求解；（2）由題意易得另五個數(shù)分別為－2x，x+2，－2x+2，－x－1，2x－1，然后問題可求解；（3）設(shè)這三個數(shù)分別為：－x－1，2x－1，－4x－1，然后可得－x－1+2x－1－4x－1＝381，進而問題可求解．（1）解：第①行的有理數(shù)分別是－2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，…，故第n個數(shù)為（－2）n（n是正整數(shù)），第9個數(shù)為（－2）9，第②行的數(shù)等于第①行相應(yīng)的數(shù)加2，即第n的數(shù)為（－2）n+2（n是正整數(shù)），第9個數(shù)為(-2)9+2，第③行的數(shù)等于第①行相應(yīng)的數(shù)的相反數(shù)減去1，即第n個數(shù)是－（－2）n－1（n是正整數(shù)），第9個數(shù)為-(-2)9－1，（2）解：∵左上角數(shù)記為x，∴另五個數(shù)分別為：－2x，x+2，－2x+2，－x－1，2x－1，∴x－2x+x+2－2x+2－x－1+2x－1＝－x+2；（3）解：設(shè)這三個數(shù)分別為：－x－1，2x－1，－4x－1，由題意可得：－x－1+2x－1－4x－1＝381，∴x＝－128，∴這三個數(shù)分別為127，－257，511．【點睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用及數(shù)字規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是得到每行數(shù)字的規(guī)律．2．（2022·福建泉州·七年級階段練習(xí)）如圖，將連續(xù)的奇數(shù)1，3，5，7，按圖1中的方式排成一個數(shù)表，用一個十字框框住5個數(shù)，這樣框出的任意5個數(shù)如圖分別用a，b，c，d，x表示．(1)用含x的式子分別表示數(shù)a=，b=，c=

，d=．(2)設(shè)，判斷M的值能否等于2000，請說明理由．【答案】(1)，，，(2)的值不能等于2000，見解析【分析】（1）根據(jù)圖形即可得出a、b、c、d與x之間的關(guān)系；（2）根據(jù)M=5x，代入2000求出x的值，根據(jù)x的奇偶性即可得出M的值不能等于2000．（1）解：根據(jù)數(shù)的排列結(jié)合十字框的框法，即可得出：，，，；故答案為：，，，；（2）解：∵a+d=x12+x+12=2x，b+c=x2+x+2=2x，∴a+b+c+d=4x，，當(dāng)5x=2000時，x=400（不合題意，舍棄)，的值不能等于2000；【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵掌握所學(xué)的知識，正確的進行解題．考點二用一元一次方程解決幾何問題例題：（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·七年級階段練習(xí)）如圖，長方形中，，，點從出發(fā)，以的速度沿運動，最終到達(dá)點，在點運動了3秒后點開始以的速度從運動到，在運動過程中，設(shè)點的運動時間為，則當(dāng)?shù)拿娣e為時，的值為（

）A．2或 B．2或 C．2或4 D．2或【答案】A【分析】分兩種情況：①點在上時，點在處，根據(jù)三角形面積公式求解即可得到；②點在上時，求出AQ，再根據(jù)速度路程求出t．【詳解】解：四邊形是矩形，，，分兩種情況：①點在上時，點在處，如圖1所示：的面積為，，解得：；②點在上時，如圖2所示：的面積為，，解得：，，解得：；綜上所述，當(dāng)?shù)拿娣e為時，的值為2或；故選：【點睛】此題考查了動點面積問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分情況討論解答．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江麗水·七年級期末）長方形ABCD可以分割成如圖所示的七個正方形．若AB＝10,則AD的長為（

）A．13B．11C．D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，設(shè)最小正方形的邊長為x，則第二大的正方形的邊長為3x，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)最小正方形的邊長為x，則第二大的正方形的邊長為3x，根據(jù)題意得，3×3x+x=10，解得：，∴；故選：A．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形找出等量關(guān)系列一元一次方程求解．2．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，一個長方形被劃分成大小不等的6個正方形，已知中間的最小的正方形的面積為1平方厘米，則這個長方形的面積為__平方厘米．【答案】143【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，各個正方形的邊長從大到小依次相差1，設(shè)這6個正方形中最大的一個邊長為x，將各個正方形的邊長表示出來，根據(jù)長方形的兩條對邊長相等，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這6個正方形中最大的一個邊長為x，∵圖中最小正方形邊長是1，∴其余的正方形邊長分別為x﹣1，x﹣2，x﹣3，x﹣3，∴x+x﹣1＝2（x﹣3）+x﹣2，∴x＝7，∴長方形的長為x+x﹣1＝13，寬為x+x﹣3＝11，面積為13×11＝143平方厘米．故答案為：143．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，結(jié)合圖形找出等量關(guān)系列出方程求解是解題的關(guān)鍵．考點三用一元一次方程解決和差倍分問題例題：（2022·黑龍江·大慶市第四十四中學(xué)校期末）淘氣和笑笑兩人共有155元，如果淘氣用去自己的，笑笑用去自己的，兩人剩下的錢一樣多，則淘氣原來有_______元．【答案】75【分析】設(shè)淘氣原來有元，則笑笑有元，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：淘氣原來有元，則笑笑有元，根據(jù)題意得，．解得．故答案為：75．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）某校組織學(xué)生種花，三個年級共種植909盆，初二年級種植的數(shù)量比初一年級的2倍少3盆，初三年級種植的數(shù)量比初二年級多25盆．初一，初二，初三年級各種植多少盆花？【答案】初一，初二，初三年級各種植178盆，353盆，378盆花．【分析】設(shè)初一年級種植x盆，則初二年級種植（2x3）盆，初三年級種植（2x3+25）盆，根據(jù)“三個年級共種植909盆”列出方程并解答．【詳解】解：設(shè)初一年級種植盆花，依題意，得，解得：．則，．答：初一，初二，初三年級各種植178盆，353盆，378盆花．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、列、解、答．2．（2020·黑龍江·哈爾濱德強學(xué)校階段練習(xí)）有一組互相咬合的齒輪.(1)小齒輪有28個齒，是大齒輪的，大齒輪有多少個齒?(2)大齒輪每分鐘轉(zhuǎn)80周，比小齒輪每分鐘轉(zhuǎn)的周數(shù)少，小齒輪每分鐘轉(zhuǎn)多少周?【答案】(1)大齒輪有140個齒(2)小齒輪每分鐘轉(zhuǎn)400周【分析】（1）設(shè)大齒輪有個齒，根據(jù)占比關(guān)系列一元一次方程，解方程即可；（2）設(shè)小齒輪每分鐘轉(zhuǎn)周，根據(jù)占比關(guān)系列出一元一次方程，解方程即可．（1）解：設(shè)大齒輪有個齒，則解得答：大齒輪有140個齒.（2）解：設(shè)小齒輪每分鐘轉(zhuǎn)周，則解得答：小齒輪每分鐘轉(zhuǎn)400周.【點睛】本題考查了和差倍分的一元一次方程應(yīng)用問題，清楚倍數(shù)關(guān)系，并正確列方程、解方程是解題關(guān)鍵.考點四用一元一次方程解決電費和水電問題例題：（2022·安徽·蕭縣城北初級中學(xué)七年級期中）我市為了提倡節(jié)約，用水噸，自來水收費實行階梯水價元，收費標(biāo)準(zhǔn)如下表所示：月用水量噸不超過12噸的部分超過12噸的部分收費標(biāo)準(zhǔn)（元/噸）2.003.00(1)若用水量達(dá)到8噸，則需要交水費______元；若用水量達(dá)到14噸，則需要交水費______元．(2)用戶5月份交水費54元，則用水為多少噸？【答案】(1)16，30(2)22噸【分析】（1）按照單價×總量=總價計算即可，超過12噸的部分則分兩段計算即可；（2）設(shè)5月份用水x噸，顯然用水量超過了12噸，根據(jù)等量關(guān)系：12噸的水費＋超過12噸的水費=5月份的水費，列出方程，解方程即可．（1）用水量達(dá)到8噸，則需要交水費：8×2.00=16（元）；用水量達(dá)到14噸，則需要交水費：12×2.00＋(14-12)×3.00=24＋6=30（元）；故答案為：16，30（2）設(shè)5月份用水x噸，由于54元>12×2=24（元），表明5月份用水量超過了12噸，由題意得：12×2＋(x－12)×3=54，解得：x=22，即5月份用水22噸．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用：分段計費問題，弄懂題意，找到等量關(guān)系并正確列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·黑龍江·大慶市慶新中學(xué)期中）電力公司為了鼓勵居民節(jié)約用電，采用分段計費的方式計算電費，每月用電不超過100kw·h時，按每千瓦時a元計算；每月用電超過100kw·h時，其中100kw·h仍按原價收費，超過部分按每千瓦時b元計算（a<b）．(1)小王家1月用了67kw·h電，2月用了120kw·h電，則他家1，2月應(yīng)分別繳納多少元電費？(2)若a=0.49，b=1.50，則小王家1，2月應(yīng)分別繳納多少元電費？(3)在第（2）問的條件下，若小王家3月繳納76元電費，則他家3月共用電多少千瓦時？【答案】(1)1月繳納電費為67a元；2月繳納電費為（100a+20b）元(2)1月應(yīng)繳納電費32.83元，2月應(yīng)繳納電費79元(3)3月共用電118千瓦時【分析】（1）根據(jù)題意可直接進行求解；（2）由（1）可進行求解；（3）設(shè)3月共用電x千瓦時，由（2）可知3月的電費超過100千瓦時，進而可列出方程進行求解．（1）解：由題意得：1月應(yīng)繳納電費為：67a元；2月應(yīng)繳納電費為100a+（120-100）b=100a+20b（元）；答：1月繳納電費為67a元；2月繳納電費為（100a+20b）元．（2）解：由（1）及把a=0.49，b=1.50代入得：（元）；（元）；答：1月應(yīng)繳納電費32.83元，2月應(yīng)繳納電費79元．（3）解：由（2）可知：3月的電費超過100千瓦時，設(shè)3月共用電x千瓦時，∴，解得：；答：3月共用電118千瓦時．【點睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．2．（2022·陜西·西安高新一中實驗中學(xué)七年級期末）某市按以下規(guī)定收取每月水費：每立方米水費包括基本水費和污水處理費兩部分.基本水費實行階段收費：若每月每戶用水不超過10立方米，則每立方米基本水費按2元收費；若超過10立方米則超過部分每立方米按3元收費；污水處理費每立方米均按0.5元收取，(1)已知該用戶當(dāng)月用水量為x立方米，當(dāng)0≤x≤10時當(dāng)月所付水費金額為元；當(dāng)x>10時當(dāng)月所付水費金額為元.（用含x的式子表示）(2)如果某戶居民在某月所交水費為42.5元，那么這個月這戶居民共用多少立方米的水？【答案】(1)，(2)這個月這戶居民共用15立方米的水【分析】（1）當(dāng)時，當(dāng)月所付水費等于每立方米按2元收費的基本水費與每立方米按元收取的污水處理費之和；當(dāng)時，當(dāng)月所付水費等于10立方米按2元收費，超過10立方米部分每立方米按3元收費的基本水費與每立方米按元收取的污水處理費之和；（2）設(shè)這個月這戶居民共用立方米的水，先判斷出，再根據(jù)每月水費的收取規(guī)定建立方程，解方程即可得．（1）解：由題意得：當(dāng)時，當(dāng)月所付水費金額為（元），當(dāng)時，當(dāng)月所付水費金額為（元），故答案為：，．（2）解：設(shè)這個月這戶居民共用立方米的水，因為，所以，由題意得：，即，解得，答：這個月這戶居民共用15立方米的水．【點睛】本題考查了列代數(shù)式、一元一次方程的應(yīng)用，理解每月水費的收取規(guī)定，正確建立方程是解題關(guān)鍵．考點五用一元一次方程解決比例分配問題例題：（2022·湖北襄陽·七年級期末）根據(jù)市場調(diào)查，某種消毒液的大瓶裝（500g）和小瓶裝（250g）的銷售瓶數(shù)的比為2：5．已知每天生產(chǎn)這種消毒液22.5噸，這些消毒液應(yīng)該分裝_______大瓶．【答案】20000【分析】設(shè)每份為x瓶，則大瓶銷售了2x瓶，小瓶銷售了5x瓶，根據(jù)大小消毒液的總重量為22.5噸=22500000克建立方程求出其解即可．【詳解】解：設(shè)每份為x瓶，則大瓶銷售了2x瓶，小瓶銷售了5x瓶，根據(jù)題意得：2x×500+5x×250=22500000，解得x=10000，所以大瓶銷售了：2×10000=20000瓶，故答案是：20000．【點睛】本題考查了運用比例問題的設(shè)每份為未知數(shù)的方法建立方程求解的運用，一元一次方程的解法的運用，解答時運用設(shè)間接未知數(shù)降低解題難度是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東濱州·七年級期末）根據(jù)市場調(diào)查，某種消毒液的大瓶裝（500g）和小瓶裝（250g）兩種產(chǎn)品的銷售數(shù)量（按瓶計算）比為2：5．某廠每天生產(chǎn)這種消毒液22.5t，則這些消毒液分裝成的這兩種產(chǎn)品中有______瓶大瓶產(chǎn)品．【答案】20000【分析】設(shè)大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，根據(jù)題意列方程求出x，則可知大瓶的數(shù)量【詳解】換算單位：22.5t=22.5×1000×1000g設(shè)大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，根據(jù)題意列方程，得500·2x+250·5x=22.5×1000×1000，解得x=100002x=20000∴大瓶有20000瓶．故答案為：20000【點睛】本題考查了列一元一次方程解應(yīng)用題，一般情況下題目中出現(xiàn)比值問題，通常設(shè)每份為x，掌握以上方法是解題的關(guān)鍵．2．（2022·重慶·黔江區(qū)育才初級中學(xué)校七年級期中）在精準(zhǔn)扶貧的過程中，某駐村服務(wù)隊結(jié)合當(dāng)?shù)馗呱降匦?，決定在該村種植A、B、C三種經(jīng)濟作物增加收入，經(jīng)過一段時間，該村已種植的A、B、C三種經(jīng)濟作物的面積之比為3：2：4，單位面積產(chǎn)值之比為1：2：2，為了進一步提高該村的經(jīng)濟收入，將在該村余下土地上繼續(xù)種植這三種經(jīng)濟作物，經(jīng)測算需將余下土地面積的種植C經(jīng)濟作物，則C的種植總面積將達(dá)到這三種經(jīng)濟作物種植總面積的，且A、B、C三種經(jīng)濟作物的總產(chǎn)值提高了，則該村還需種植A、B兩種經(jīng)濟作物的面積之比是__________．【答案】2:3【分析】設(shè)該村已種植A經(jīng)濟作物面積3m，種植A經(jīng)濟作物單位面積產(chǎn)值為n，根據(jù)三種經(jīng)濟作物的面積之比以及單位面積產(chǎn)值之比可得該村已種植B經(jīng)濟作物面積2m，已種植C經(jīng)濟作物面積4m，種植B經(jīng)濟作物單位面積產(chǎn)值為2n，種植C經(jīng)濟作物單位面積產(chǎn)值為2n，設(shè)余下的面積為z，增加種植C經(jīng)濟作物，可列方程，可得z=3m，設(shè)該村還需種植A種經(jīng)濟作物的面積a，還需種植B兩種經(jīng)濟作物的面積，利用A、B、C三種經(jīng)濟作物的總產(chǎn)值提高了，列方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)該村已種植A經(jīng)濟作物面積3m，種植A經(jīng)濟作物單位面積產(chǎn)值為n，∵該村已種植的A、B、C三種經(jīng)濟作物的面積之比為3：2：4，單位面積產(chǎn)值之比為1：2：2，∴該村已種植B經(jīng)濟作物面積2m，已種植C經(jīng)濟作物面積4m，種植B經(jīng)濟作物單位面積產(chǎn)值為2n，種植C經(jīng)濟作物單位面積產(chǎn)值為2n，設(shè)余下的面積為z，∴增加種植C經(jīng)濟作物，∴，解得z=3m，設(shè)該村還需種植A種經(jīng)濟作物的面積a，還需種植B兩種經(jīng)濟作物的面積3m-a-，A作物面積：，B作物面積：，C作物面積：，A、B、C三種經(jīng)濟作物的總產(chǎn)值為，==，A、B、C三種經(jīng)濟作物的原總產(chǎn)值=，∴，解得，，該村還需種植A、B兩種經(jīng)濟作物的面積之比是，故答案為：2:3．【點睛】本題考查代數(shù)式表示數(shù)，代數(shù)式在生活中運用，利用一元一次方程，仔細(xì)閱讀抓住等量關(guān)系C的種植總面積將達(dá)到這三種經(jīng)濟作物種植總面積的，且A、B、C三種經(jīng)濟作物的總產(chǎn)值提高了，列方程解決問題是關(guān)鍵．考點六用一元一次方程解決日歷問題例題：（2022·黑龍江·大慶市慶新中學(xué)期末）在日歷中一個豎框圈出三個日期，它們的和是48，那么最大的一天是________號．【答案】23【分析】設(shè)中間一天的日期，根據(jù)上下日期的差為7表示出另外兩天的日期，再由它們的和為48列出方程，解之可得．【詳解】解：設(shè)中間一天的日期為x，則另外兩天的日期為x﹣7，x＋7，根據(jù)題意，得：x﹣7＋x＋x＋7＝48，解得：x＝16，∴x＋7＝16＋7＝23，∴日期最大的一天23號，故答案為：23．【點睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到蘊含的相等關(guān)系，并據(jù)此列出方程．【變式訓(xùn)練】1．（2021·新疆·烏魯木齊市第70中七年級階段練習(xí)）如圖是2021年6月份的月歷表，請仔細(xì)觀察后，如果發(fā)現(xiàn)用正方形框框住16個數(shù)字的和為224．試求出這16個數(shù)字中最大的數(shù)字_______．【答案】26【分析】根據(jù)題意，可以設(shè)這16個數(shù)中左上角最小的數(shù)為x，列出方程，即可求得最大的那個數(shù)．【詳解】解：設(shè)這16個數(shù)中左上角最小的數(shù)為x，則這16個數(shù)字的和為：，即，解得∴，即其中最大的數(shù)為26故答案為：26【點睛】此題主要考查了一元一次方程的實際運用，找好等量關(guān)系，正確列出方程是解題關(guān)鍵．2．（2021·河北·原競秀學(xué)校七年級期中）將連續(xù)的偶數(shù)2，4，6，8…，排成如表：(1)十字框中的五個數(shù)的和與中間的數(shù)16有什么關(guān)系？(2)這個關(guān)系對其它這樣的十字框成立嗎？請說明理由．(3)若將十字框上下左右移動，可框住另外的五個數(shù)，其它五個數(shù)的和能等于2020嗎？如能，寫出這五個數(shù)，如不能，說明理由．【答案】(1)十字框中的五個數(shù)的和是中間的數(shù)16的5倍(2)成立，理由見解析(3)能，這五個數(shù)分別為【分析】（1）將方框中的5個數(shù)相加，看結(jié)果與中間的數(shù)的關(guān)系即可；（2）設(shè)中間的數(shù)為，則十字框中的其他四個數(shù)分別為，再將這個五個數(shù)求和即可得；（3）設(shè)中間的數(shù)為，則十字框中的其他四個數(shù)分別為，令五個數(shù)的和等于2020，解方程可得的值，然后看有沒有存在的可能即可．（1）解：十字框中的五個數(shù)的和為，，十字框中的五個數(shù)的和是中間的數(shù)16的5倍．（2）解：成立，理由如下：設(shè)中間的數(shù)為，則十字框中的其他四個數(shù)分別為，十字框中的五個數(shù)的和為，即（1）中的關(guān)系仍成立．（3）解：設(shè)中間的數(shù)為，則十字框中的其他四個數(shù)分別為，令十字框中的五個數(shù)的和，解得，所以這五個數(shù)分別為，且能被框在一個十字框中．【點睛】本題考查了整式加減的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，找到各個數(shù)之間的關(guān)系并列出方程是解決此題的關(guān)鍵．考點七用一元一次方程解決古代問題例題：（2022·河南安陽·七年級期末）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，繩木各長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還余4.5尺，將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，問繩子、長木各長多少尺？請你算一算．【答案】繩子、長木分別是6.5米和11米．【分析】設(shè)木頭長x尺，則繩子長（x+4.5）尺，根據(jù)“將繩子對折再量木條，木頭剩余1尺”，即可得出關(guān)于x的一元一次方程求解即可．【詳解】解：設(shè)木頭長x尺，則繩子長（x+4.5）尺，根據(jù)題意得：x-（x+4.5）=1，解得：x=6.5所以繩子長為6.5+4.5=11．答：繩子、長木分別是6.5米和11米．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·福建漳州·模擬預(yù)測）《直指算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“今有白米一百八十石，令三人從上及和減率分之，只云甲多丙三十六石，問：各該若干？”其大意為：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人來分，甲、乙白米相差數(shù)與乙、丙白米相差數(shù)一樣，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”設(shè)乙分得白米x石，則可列方程為（

）A．x＋x＋2x＝180 B．x＋2x＋3x＝180C．（x＋18）＋x＋（x﹣36）＝180 D．（x＋18）＋x＋（x﹣18）＝180【答案】D【分析】設(shè)乙分得白米x石，得出甲、丙分得白米數(shù)，由甲、乙、丙三人分得之和為180石列出方程即可．【詳解】解：若設(shè)乙分得白米x石，∵甲、乙白米相差數(shù)與乙、丙白米相差數(shù)一樣，甲比丙多分三十六石，∴甲、乙白米相差數(shù)與乙、丙白米相差數(shù)都是18石，∴甲分得白米（x＋18）石，丙分得白米（x﹣18）石，又∵甲、乙、丙三人來分這一百八十石，即甲、乙、丙三人分得之和為180石，∴可得方程：（x＋18）＋x＋（x﹣18）＝180．故選：D．【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系來列方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022·福建泉州·七年級期末）我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有一道數(shù)學(xué)題：今有三人共車，二車空：二人共車，九人步，問人幾何？其大意是：今有若干人乘車，每3人共乘一車，剩余2輛車沒人乘坐；若每2人共乘一車，剩余9個人沒有車可乘坐．問共有多少人？【答案】39人【分析】設(shè)共有x人，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．【詳解】解：設(shè)共有x人，依題意得，解得答：共有39人．【點睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，弄清題意找到等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．一、選擇題1．（2022·河南·漯河市第三中學(xué)七年級期中）如圖，寬為50cm的長方形圖案由10個形狀大小完全相同的小長方形拼成，其中一個小長方形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)小長方形的寬為cm，長為cm，根據(jù)題意列方程組求解即可．【詳解】設(shè)小長方形的寬為cm，長為cm，根據(jù)題意得，解得，一個小長方形的面積為，故選：A．【點睛】本題考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用，能夠根據(jù)題意列出方程組并準(zhǔn)確求解是解題的關(guān)鍵．2．（2021·貴州·貴陽市南明區(qū)第一實驗中學(xué)七年級期中）如圖，莉莉在日歷上圈出5個數(shù)，呈十字框形，這五個數(shù)的和是50，則中間的數(shù)是（

）A．5 B．10 C．15 D．25【答案】B【分析】先根據(jù)日歷上的數(shù)據(jù)規(guī)律把所要求的數(shù)用代數(shù)式表示，用一元一次方程求解即可；【詳解】解：設(shè)中間的數(shù)是x，則中間數(shù)的上面的數(shù)為，中間數(shù)左邊的數(shù)為，中間數(shù)右邊的數(shù)為，中間數(shù)下面的數(shù)為，∴，解得x=10；故選：B．【點睛】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用和基本的計算能力和找規(guī)律的能力，解答時可聯(lián)系生活實際去解．二、填空題3．（2022·上海市羅南中學(xué)階段練習(xí)）三個連續(xù)正整數(shù)的和為39，則三個連續(xù)正整數(shù)為_____．【答案】12，13，14【分析】設(shè)最小的一個正整數(shù)是x，則另外兩個分別是x+1，x+2，列出方程即可解決問題．【詳解】解：設(shè)最小的一個正整數(shù)是x，則另外兩個分別是x+1，x+2，根據(jù)題意得：x+x+1+x+2＝39，解得x＝12，∴x+1＝12+1＝13，x+2＝12+2＝14，答：這三個數(shù)是12，13，14，故答案為：12，13，14．【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，找出題中等量關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵．4．（2022·湖北襄陽·七年級期末）根據(jù)市場調(diào)查，某種消毒液的大瓶裝（500g）和小瓶裝（250g）的銷售瓶數(shù)的比為2：5．已知每天生產(chǎn)這種消毒液22.5噸，這些消毒液應(yīng)該分裝_______大瓶．【答案】20000【分析】設(shè)每份為x瓶，則大瓶銷售了2x瓶，小瓶銷售了5x瓶，根據(jù)大小消毒液的總重量為22.5噸=22500000克建立方程求出其解即可．【詳解】解：設(shè)每份為x瓶，則大瓶銷售了2x瓶，小瓶銷售了5x瓶，根據(jù)題意得：2x×500+5x×250=22500000，解得x=10000，所以大瓶銷售了：2×10000=20000瓶，故答案是：20000．【點睛】本題考查了運用比例問題的設(shè)每份為未知數(shù)的方法建立方程求解的運用，一元一次方程的解法的運用，解答時運用設(shè)間接未知數(shù)降低解題難度是關(guān)鍵．5．（2021·陜西渭南·九年級階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中記載這樣一道題：今有牛、馬、羊食人苗．苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”大意是：現(xiàn)在有一頭牛、一匹馬、一只羊吃了別人家的禾苗．禾苗的主人要求這些動物的主人共計賠償五斗粟米．羊的主人說：“我家羊只吃了馬吃的禾苗的一半．”馬的主人說：“我家馬只吃了牛吃的禾苗的一半．"按此說法，羊的主人應(yīng)當(dāng)賠償給禾苗的主人多少斗粟米？設(shè)羊的主人賠x斗，根據(jù)題意，可列方程為________．【答案】【分析】設(shè)羊的主人賠x斗，則馬的主人賠2x斗，牛的主人賠4x斗，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)羊的主人賠x斗，則馬的主人賠2x斗，牛的主人賠4x斗，根據(jù)題意得：．故答案為：【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．三、解答題6．（2022·上?！ｎ}練習(xí)）一桶油第一次用去，第二次比第一次多用去40千克，還剩下23千克，原來這桶油有多少千克？【答案】105【分析】設(shè)原來這桶油有千克，根據(jù)題意列出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)原來這桶油有千克，第一次用去，第二次用去，由題意得方程，，解得所以原來這桶油有105千克．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，審清題意并正確列出方程是解題關(guān)鍵．7．（2022·新疆·和碩縣第二中學(xué)七年級期末）和碩縣家庭用水收取水費規(guī)定如下：若每年每戶用水不超過144立方米，每立方米水價按1.8元收費；若超過144立方米，其中沒超過144立方米的部分仍按每立方米1.8元收費，超過144立方米的部分按每立方米2.7元收費．(1)若小龍家2021年用水148立方米，應(yīng)交水費多少元？(2)若小龍家2020年的水費平均每立方米2.1元，那么他家這一年共用了多少立方米的水？【答案】(1)小龍家2021年應(yīng)交水費270元(2)小龍家2020年共用了216立方米的水【分析】（1）根據(jù)應(yīng)交水費＝1.8×144＋2.7×超過144立方米的部分，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)小龍家2020年共用了x立方米的水，根據(jù)小龍家2020年的水費平均每立方米2.1元，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．（1）解：由題意得：144×1.8+2.7×（148－144）=259.2+10.8=270（元），答：小龍家2021年應(yīng)交水費270元；（2）設(shè)小龍家2020年共用了x立方米的水，依題意得：2.1x＝1.8×144＋2.7（x?144），解得：x＝216，答：小龍家2020年共用了216立方米的水．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運算，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．8．（2022·福建福州·七年級期末）為鼓勵居民節(jié)約用電，國家發(fā)改委發(fā)布文件在全國實行“階梯電價”收費，福清市政府為響應(yīng)節(jié)能與循環(huán)經(jīng)濟的號召，決定對居民用電電費調(diào)整如下：每戶每月用電量電費價格（單位：元/度）不超過200度（含）0.5超過200度且不超過500度的部分a超過500度的部分0.8(1)小杰家今年2月份用電量是300度，繳費160元，請求出a的值；(2)小杰家今年8月份用電量增大，8月份的平均電價為0.7元/度，請求出他家8月份的月電量是多少度?【答案】(1)a的值為0.6元(2)他家8月份的用電量是1200度【分析】（1）根據(jù)表格中的信息列出關(guān)于a的方程，進行計算即可；（2）先根據(jù)平均電費超過0.6元/度，得出用電量應(yīng)該超出500度，設(shè)他家8月份的用電量是x度，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，解方程即可．(1)解：，解得：，答：a的值為0.6元．(2)解：∵平均電費超過0.6元，∴用電量應(yīng)該超出500度，設(shè)他家8月份的用電量是x度，由題意得：，解得：，答：他家8月份的用電量是1200度．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程，是解題的關(guān)鍵．9．（2022·河北·安新縣第二中學(xué)七年級階段練習(xí)）用火柴棒搭的圖形如圖所示：(1)圖①有5根火柴棒，圖②有9根火柴棒，圖③有______根火柴棒．(2)按此規(guī)律，第n個圖有______根火柴棒（用含n的式子表示）；(3)按此規(guī)律，是否存在圖有2019根火柴棒？若存在，請求出n的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)13(2)(3)不存在，理由見解析【分析】（1）由圖即可得到答案；（2）分別找出圖①，圖②，圖③的數(shù)字規(guī)律，即可得到答案；（3）將代入，如果算出n為正整數(shù)，即證明存在圖有2019根火柴棒，否則不存在．（1）解：從圖中可以數(shù)出，圖③有13根火柴棒；（2）因為圖①有5根火柴棒，圖②有（2×5-1）根火柴棒，圖③有（3×5-2）根火柴棒，則第n個圖有根火柴棒；（3）由題意得，，解得，因為n為正整數(shù)，所以不存在圖有2019根火柴棒．【點睛】本題考查了列代數(shù)式中的圖形規(guī)律和數(shù)字規(guī)律，根據(jù)題意找出規(guī)律列出代數(shù)式是本題的關(guān)鍵．10．（2021·遼寧·葫蘆島市實驗中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6．動點P從點A出發(fā)，每秒1個單位長度的速度沿A→B勻速運動，到B點停止運動；同時點Q從點C出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿C→B→A勻速運動，到A點停止運動．設(shè)P點運動的時間為t秒（t＞0）．(1)點P在AB上運動時，PA＝______，PB＝______，點Q在AB上運動時，BQ＝______，QA＝______（用含t的代數(shù)式表示）；(2)求當(dāng)t為何值時，AP＝BQ；(3)當(dāng)P，Q兩點在運動路線上相距3個單位長度時，請直接寫出t的值．【答案】(1)t，10﹣t，2t﹣6，16﹣2t(2)當(dāng)t＝2s或t＝6s或t＝10s時，AP＝BQ(3)當(dāng)t＝s或t＝s時，P、Q兩點在運動路線上相距的路程為3【分析】（1）根據(jù)路程=時間×速度，結(jié)合圖形可得出答案；（2）根據(jù)等量關(guān)系A(chǔ)P=BQ列出方程并解答；（3）需要分類討論：分P、Q兩點相遇前后兩種情況．（1）點P在AB上運動時，PA=t，PB=10-t，點Q