七年級數學上冊培優(yōu)專題01 借助數軸將數與形結合-解析版

/培優(yōu)專題01借助數軸將數與形結合【專題精講】在數學里“數”和“形”是有密切聯(lián)系的,我們常用代數的方法來處理幾何問題;反過來,也借助于幾何圖形來處理代數問題,尋找解題思路,這種“數”與“形”之間的相互作用叫數形結合,它是一種重要的數學思想。運用數形結合思想解題的關鍵是建立“數”與“形”之間的聯(lián)系,現(xiàn)階段數軸是數形結合的有力工具,主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)利用數軸能形象地表示有理數；(2)利用數軸能直觀地解釋相反數;(3)利用數軸比較有理數的大小;(4)利用數軸解決與絕對值相關的問題;(5)巧用數軸可以探究動點的規(guī)律;(6)應用數軸解決行程問題◎類型一：利用數軸比較有理數的大小解題方法：利用“數軸上的點表示的數,右邊的總比左邊的大”的性質把有理數表示在數軸上,由相對位置得出大小.1．（2022·陜西咸陽·七年級階段練習）在數軸上表示：3.5，0，2.5，－1，－3，－，并把這些數由小到大用“＜”號連接起來．【答案】數軸見解析，-3＜-1＜-＜0＜2.5＜3.5【分析】先分別把各數在數軸上找出對應的點，再按從左到右的順序排列即可．【詳解】解：在數軸上表示出來如圖所示．根據這些點在數軸上的排列順序，從左至右分別用“＜”連接為：-3＜-1＜-＜0＜2.5＜3.5．【點睛】本題考查了數軸，利用數軸比較有理數的大小，由于引進了數軸，我們把數和點對應起來，也就是把“數”和“形”結合起來，二者互相補充，相輔相成，把很多復雜的問題轉化為簡單的問題，在學習中要注意培養(yǎng)數形結合的數學思想．2．（2021·江蘇鹽城·七年級期中）已知一組數：

，

0，

－3.5，

3，

．(1)把這些數在下面的數軸上表示出來：(2)請將這些數按從小到大的順序排列（用“＜”連接）．．【答案】(1)見解析(2)﹣3.5<<0<<3【分析】（1）將數準確在數軸上表示出來，注意正負號；（2）根據（1）中在數軸上表示的數，從左往右依次增大，用小于號連接即可．（1）解：如圖所示，；（2）順序為：．【點睛】本題主要考查的是數軸表示數，重點在于準確將數在數軸上表示出來，注意符號．3．（2021·遼寧·彰武縣第三初級中學七年級期中）在數軸上表示下列各數：，并用“<”把這些數連接起來．【答案】數軸上表示各數見解析；【分析】首先根據在數軸上表示數的方法，在數軸上表示出所給的各數，然后根據當數軸方向朝右時，右邊的數總比左邊的數大，把這些數由小到大用“<”符號連接起來即可．【詳解】解：如圖所示：用“<”符號連接為：．【點睛】本題考查了利用數軸比較有理數的大小，利用數軸上的點表示的數右邊的總比左邊的大是解題的關鍵．4．（2021·福建·政和縣第三中學七年級期中）在數軸上表示下列各數：0，﹣4，|﹣5|，2，并用“＜”號連接．【答案】見解析，【分析】根據在數軸上表示數的方法，在數軸上表示出所給的數；數軸正方向朝右，右邊的數總比左邊的大，并用“<”號連接起來即可．【詳解】如圖所示：根據上圖可知：．【點睛】本題考查在數軸上表示數，有理數的大小比較，理解數軸上表示數的意義是解題關鍵．◎類型二：利用數軸表示相反數、絕對值解題方法：確定數軸上點所表示的數,首先要確定原點的位置,再根據此點在原點的左右得到其符號,根據此點到原點的距離得到絕對值。5．（2022·全國·七年級專題練習）1厘米為1個單位長度用直尺畫數軸時，數軸上互為相反數的點A和點B剛好對著直尺上的刻度2和刻度8(1)寫出點A和點B表示的數；(2)寫出與點B距離為9.5厘米的直尺左端點C表示的數；(3)在數軸上有一點D，其到A的距離為2，到B的距離為4，求點D關于原點點對稱的點表示的數．【答案】(1)A表示-3，B表示3(2)-6.5(3)1【分析】(1)根據AB=8-2=6，點A和B互為相反數，即可得到結果；（2）利用B點表示的數減去9.5即可得到答案；（3）利用到點A和B的距離求出D的數值，再關于原點對稱即可得到答案．（1）∵A對應刻度2，B對應刻度8，∴，∵A，B在數軸上互為相反數，A在左，B在右，∴A表示-3，B表示3；（2）∵B表示3，C在點B左側，并與點B距離為9.5厘米，∴C表示的數為；（3）因為點D到A的距離為2，所以點D表示的數為-1和-5．因為點D到B的距離為4，所以點D表示的數為-1和7．綜上，點D表示的數為-1．所以點D關于原點對稱的點表示的數為1．【點睛】此題考查了利用數軸表示數，數軸上兩點之間距離，數軸上點移動的規(guī)律，熟記數軸上點移動的規(guī)律是解題的關鍵．6．（2021·全國·七年級專題練習）如圖．在一條不完整的數軸上一動點A向左移動5個單位長度到達點B，再向右移動9個單位長度到達點C．（1）若點A表示的數為0，求點B、點C表示的數；（2）若點C表示的數為6，求點B、點A表示的數；（3）如果點A、C表示的數互為相反數，求點B表示的數．【答案】（1）﹣5，4；（2）﹣3，2；（3）-7．【分析】（1）依據點A表示的數為0，利用兩點間距離公式，可得點B、點C表示的數；（2）依據點C表示的數為6，利用兩點間距離公式，可得點B、點A表示的數；（3）依據點A、C表示的數互為相反數，利用兩點間距離公式，可得點B表示的數．【詳解】解：（1）若點A表示的數為0，∵0﹣5=﹣5，∴點B表示的數為﹣5，∵﹣5+9=4，∴點C表示的數為4；（2）若點C表示的數為6，∵6﹣9=﹣3，∴點B表示的數為﹣3，∵﹣3+5=2，∴點A表示的數為2；（3）若點A、C表示的數互為相反數，∵AC=9﹣5=4，∴點A表示的數為﹣2，∵﹣2﹣5=﹣7，∴點B表示的數為﹣7．【點睛】本題考查了數軸和有理數的運算、數軸上兩點間距離等，解題的關鍵是能根據題意列出算式．7．（2022·江蘇·七年級專題練習）已知表示數a的點在數軸上的位置如圖所示．(1)在數軸上表示出a的相反數的位置．(2)若數a與其相反數相距20個單位長度，則a表示的數是多少？(3)在（2）的條件下，若數b表示的數與數a的相反數表示的點相距5個單位長度，求b表示的數是多少？【答案】(1)數軸表示見解析；(2)a表示的數是﹣10；(3)b表示的數是5或15【分析】（1）根據相反數的定義在數軸上表示出來即可；（2）根據題意列出方程，求出方程的解即可；（3）分為兩種情況，列出算式，求出即可．(1)解：如圖：．(2)解：根據題意可列式，﹣a﹣a＝20，解得a＝﹣10．即a表示的數是﹣10．(3)解：∵﹣a＝10，當b在﹣a的右邊時，b表示的數是10+5＝15，當b在﹣a的左邊時，b表示的數是10﹣5＝5，∴b表示的數是5或15．【點睛】本題考查了數軸，相反數，數軸上兩點間的距離的應用，解題的關鍵是能根據題意列出算式和方程．8．（2022·全國·七年級課時練習）如圖，在一條不完整的數軸上一動點A向左移動4個單位長度到達點B，再向右移動7個單位長度到達點C．（1）若點A表示的數為0，求點B、點C表示的數；（2）如果點A、C表示的數互為相反數，求點B表示的數.【答案】（1）點B表示的數為?4，點C表示的數為3；（2）點B表示的數為?5.5.【分析】（1）根據點A表示的數為0，利用數軸的特點，可得點B、點C表示的數；（2）求出AC，根據點A、C表示的數互為相反數，可得點A表示的數，然后再求點B表示的數.【詳解】解：（1）若點A表示的數為0，∵0?4＝?4，∴點B表示的數為?4，∵?4＋7＝3，∴點C表示的數為3；（2）若點A、C表示的數互為相反數，∵AC＝7?4＝3，∴點A表示的數為?1.5，∵?1.5?4＝?5.5，∴點B表示的數為?5.5.【點睛】本題考查了數軸以及相反數．關鍵是能根據題意列出算式，是一道比較基礎的題目．◎類型三：利用數軸求整數點個數問題解題方法：數軸上整數對應的點便是整數點,確定區(qū)間內整數點的個數,先要明確區(qū)間內的最大整數與最小整數,再通過計算得到結果.9．（2021·黑龍江雞西·七年級期末）在數軸上位于-3和3之間（不包括-3和3）的整數點有（

）A．7個 B．5個 C．4個 D．無數個【答案】B【分析】先列舉出-3和3之間（不包括-3和3）的整數，然后再統(tǒng)計即可．【詳解】解：-3和3之間（不包括-3和3）的整數有：-2，-1,0,1,2，共5個．故選B．【點睛】本題主要考查了再數軸上表示有理數，正確列舉出符合題意得整數是解答本題的關鍵．10．（2018·天津·南開中學七年級階段練習）在數軸上任取一條長度為的線段，則此線段在這條數軸上最多能蓋住的整數點的個數是（

）A．1998 B．1999 C．2000 D．2001【答案】D【分析】把這條線段的一個端點覆蓋第一個整數點記作0，再進行計算即可．【詳解】解：把這條線段的一個端點覆蓋第一個整數點若記作0，則覆蓋的最后一個數是2000，因而共有從0到2000共有2001個數．故選：D．【點睛】此題主要考查了數軸上的點與實數的對應關系，能夠理解什么情況最多是解決本題的關鍵．11．（2019·四川·三臺博強外國語學校七年級階段練習）數軸上從-3.9到它的相反數有a個整數點，則a個單位長度的木條，在數軸上最少要覆蓋（

）個整數點.A．8 B．7 C．6 D．4【答案】C【分析】根據數軸，以及相反數的定義，即可得到答案.【詳解】解：∵的相反數是，∵與之間有7個整數點，∴，∴7個單位長度的木條，在數軸上最少要覆蓋6個整數點；故選擇：C.【點睛】本題考查了數軸，解題的關鍵是熟練掌握在數軸表示的數.12．（2014·湖北黃岡·七年級期中）在數軸上表示整數的點稱為整數點,某數軸的單位長度是1㎝，若在這個數軸上隨意畫出一條長2015㎝的線段AB，則被線段AB蓋住的整數有（

）A．2012個或2013個 B．2013個或2014個C．2014個或2015個 D．2015個或2016個【答案】D【詳解】試題分析：依題意得：①當線段AB起點在整點時覆蓋2016個數；②當線段AB起點不在整點，即在兩個整點之間時覆蓋2015個數．故選D．考點：數軸．◎類型四：應用數軸解決行程問題解題方法：點在數軸上運動時,如何表示點在數軸上的位置,是應用數軸解決行程問題的關鍵,由于數軸以向右的方向為正方向,因此向右運動a個單位長度看作+a,向左運動a個單位長度看作-a,這樣就可以結合兩點之間的距離公式,再運用行程問題的相遇公式即可解決。13．（2019·河南南陽·七年級期中）如圖：在數軸上點表示數點表示數點表示數是最小的正整數，且滿足．（1）求的值；（2）若將數軸折疊，使點與點重合，則點與數_______表示的點重合；（3）點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度在數軸上向點運動，當點到達點后立即返回，仍然以每秒個單位長度的速度運動至點停止，設運動時間為①當時，求點表示的有理數；②當點表示的有理數與點的距離為個單位長度時，直接寫出所有滿足條件的值．【答案】（1），，；（2）10；（3）①2,②14秒或16秒【分析】（1）根據可得，，從而得出a，c的值，再根據b是最小的正整數，得出b的值即可；（2）根據B、C重合，計算出數軸沿著數4對折，再根據點A與數4之間的距離計算出與點A重合的數；（3）①根據時間計算出點P的運動方向及長度即可；②對點P的位置進行分類討論，一是當點P在點B的右側1個單位時，二是當點P在點B左側1個單位時，分別計算即可．【詳解】解：∵，∴，，∴，，b是最小的正整數，∴，∴，，（2）∵，∴若B、C重合，則數軸沿著數4對折，∴，∴點A與數10重合，故答案為：10（3）∵AC的長度為，∴當時，點P已到達點C，并向點A運動了14-9=5（秒）∴此時點P表示的數為：7-5=2，∴當時，點表示的有理數是2②當點P在點B的右側1個單位時，∵從A到C需要9秒，所以此時在點B右側1個單位時，時間為9+（7-1）-1=14（秒）當點P在點B左側1個單位時，時間為9+（7-1）+1=16（秒）故答案為：14秒或16秒．【點睛】本題考查了數軸上的點所表示的數，以及數軸上動點問題，解題的關鍵是熟知數軸上數的表示方法．14．（2022·福建·福州教院二附中七年級期末）如圖，已知點，，是數軸上三點，點對應的數為，，．(1)求點，對應的數；(2)動點，同時從，出發(fā)，分別以每秒個單位和個單位的速度沿數軸正方向運動，為的中點，在上，且，設運動時間為。①求點，對應的數用含的式子表示；②為何值時，【答案】(1)A對應的數為-10，B對應的數為2(2)①表示的數是，表示的數是；②當秒或秒時．【分析】（1）根據點C對應的數為，有OC=6，根據BC=4，可得OB=OC-BC=6-4=2，即點B表示的數是2；根據，可得OA=10，即問題得解；（2）①根據動點P、Q運動特點可得，，根據M為的中點，，可得，，結合A對應的數為-10，C表示的數是6，即可求解；②根據（1）中，表示的數，即可得，，即有，結合，可得，即可作答．（1）∵點C對應的數為，∴OC=6，∵，∴OB=OC-BC=6-4=2，∴點B表示的數是2，∵，∴OA=AB-OB=12-2=10，∴根據點A在O點左側，可得點A表示的數是-10，即A對應的數為-10，B對應的數為2；（2）①∵動點P、Q分別同時從A、C出發(fā)，分別以每秒個單位和個單位的速度，時間是，∴，，∵M為的中點，在上，且，∴，，∵A對應的數為-10，C表示的數是6，∴表示的數是，表示的數是；②∵表示的數是，∴，∵表示的數是，∴，∵B對應的數為2，∴OB=2，∴，∵，∴，當時，得，當時，得，故當秒或秒時．【點睛】本題考查了數軸上的動點問題、在數軸上表示有理數以及數軸上兩點之間的距離等知識，得出是解答本題的關鍵．15．（2022·全國·七年級專題練習）綜合與探究閱讀理解：數軸是一個非常重要的數學工具，使數和數軸上的點建立起對應關系，這樣能夠用“數形結合”的方法解決一些問題．數軸上，若A，B兩點分別表示數a，b，那么A，B兩點之間的距離與a，b兩數的差有如下關系：或．問題解決：如圖，數軸上的點A，B分別表示有理數2，．填空：(1)A，B兩點之間的距離為_______；(2)點C為數軸上一點，在點A的左側，且，則點C表示的數是_______；(3)拓展應用：在（2）的條件下，動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度在數軸上勻速運動，設運動時間為t秒（），當t為何值時，P，C兩點之間的距離為12個單位長度？【答案】(1)7(2)(3)或9秒時，P，C兩點之間的距離為12個單位長度【分析】(1)根據公式計算即可．(2)設C表示的數為，根據公式AC=|2-|=6，計算后，結合定C的位置確定答案即可．(3)解答時，分點P向左運動和向右運動兩種情況求解．（1）∵數軸上的點A，B分別表示有理數2，，∴AB=|-5-2|=7，故答案為：7．（2）設C表示的數為，根據題意，得AC=|2-|=6，∴2-=6或2-=-6，解得=-4或=8，∵點C在點A的左側，∴＜，∴=-4，故答案為：-4．（3）①當點P向右運動時，點P表示的數為2+2t，根據題意，得，解這個方程，得；②當點P向左運動時，點P表示的數為2-2t，根據題意，得，解這個方程，得，故當或9秒時，P，C兩點之間的距離為12個單位長度．【點睛】本題考查了數軸上的動點問題，兩點間的距離，分類思想，熟練掌握公式，正確理解距離的意義是解題的關鍵．16．（2022·全國·七年級專題練習）已知數軸上有三點，，分別表示有理數，，，動點從點出發(fā)，以個單位長度的速度向終點移動，設點移動時間為．（1）用含的代數式表示點分別到點和點的距離：______，______．（2）當點運動到點時，點從點出發(fā)，以個單位長度的速度向點運動，點到達點后，再立即以同樣的速度返回，當點運動到點時，兩點運動停止．當點，運動停止時，求點，間的距離．【答案】（1），；（2）24【分析】（1）根據數軸上兩點的距離即可求得答案；（2）先求得點從點到點的時間，進而求得點運動的路程，根據題意確定的位置，進而求得的距離【詳解】（1），故答案為：，；（2）解：點從點到點的時間為點運動的路程為點，距離為答：點，距離為【點睛】本題考查了數軸上兩點距離，數軸上動點問題，數形結合是解題的關鍵．【鞏固訓練】1．（2020·廣東東莞·一模）如圖，數軸上順次有A，B，C三個整數點（即各點均表示整數）且BC＝2AB．若A，C兩點所表示的數分別是﹣3和3，則點B所表示的數是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【答案】D【分析】先求出AC、AB的長，再根據A、B的位置即可求得點B所表示的數．【詳解】由題意得：，∵，∴，又∵點B在點A的右邊，且點A所表示的數是，∴點B所表示的數為，故選：D．【點睛】本題考查了數軸的定義，掌握理解數軸的定義是解題關鍵．2．（2020·山西太原·七年級期末）如圖，數軸上有，，，四個整數點（即各點均表示整數），且．若，兩點所表示的數分別是和，則線段的中點所表示的數是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】首先設出，根據表示出、，求出線段的長度，即可得出答案．【詳解】解：設，，，，，，兩點所表示的數分別是和6，，解得：，，，，兩點所表示的數分別是和6，線段的中點表示的數是2．故選：A．【點睛】題目考查了數軸的有關概念，利用數軸上的點、線段相關性質，考查學生對數軸知識的掌握情況，題目難易程度適中，適合學生課后訓練．3．（2021·福建·政和縣第三中學七年級期中）在數軸上表示下列各數：0，﹣4，|﹣5|，2，并用“＜”號連接．【答案】見解析，【分析】根據在數軸上表示數的方法，在數軸上表示出所給的數；數軸正方向朝右，右邊的數總比左邊的大，并用“<”號連接起來即可．【詳解】如圖所示：根據上圖可知：．【點睛】本題考查在數軸上表示數，有理數的大小比較，理解數軸上表示數的意義是解題關鍵．4．（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)南苑學校七年級）先以1厘米長為一個單位長度畫一條數軸，然后在數軸上畫出表示下列各數的點，并用“<”把這些數按從小到大的順序排列起來：．排列：______________________________．【答案】，數軸見解析【分析】在數軸上表示出各數，根據數軸左邊的數小于右邊的數排列即可求解．【詳解】如圖，數軸上畫出表示的點，排列：，故答案為．【點睛】本題考查了在數軸上表示有理數，利用數軸比較有理數的大小，數形結合是解題的關鍵．5．（2020·河南新鄉(xiāng)·七年級階段練習）已知有理數所表示的點與原點的距離為4個單位長度，互為相反數，且都不為零，互為倒數．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）或0【分析】（1）根據絕對值的性質求解即可；（2）根據相反數、倒數的性質算出相對應的值，帶入求解即可；【詳解】（1）因為有理數所表示的點與原點的距離為4個單位長度所以,的值為;（2）由題意可知:，所以,，，，，當時,原式；當時,原式；綜上所述,的值為或0．【點睛】本題主要考查了相反數、絕對值、倒數的性質，準確計算是解題的關鍵．6．（2022·全國·七年級專題練習）如圖所示，已知A，B，C，D四個點在一條沒有標明原點的數軸上．（1）若點A和點C表示的數互為相反數，則原點為；（2）若點B和點D表示的數互為相反數，則原點為；（3）若點A和點D表示的數互為相反數，則在數軸上表示出原點O的位置．【答案】（1）B；（2）C；（3）見解析【詳解】【分析】（1）（2）根據相反數的定義可求原點；（3）根據相反數的定義可求原點，再在數軸上表示出原點O的位置即可．（1）若點A和點C表示的數互為相反數，則原點為B；（2）若點B和點D表示的數互為相反數，則原點為C；（3）如圖所示：故答案為：B；C．7．（2022·江蘇·七年級單元測