【解析】江蘇省無錫市惠山區(qū)吳風(fēng)實驗學(xué)校2023年數(shù)學(xué)中考模擬試卷

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江蘇省無錫市惠山區(qū)吳風(fēng)實驗學(xué)校2023年數(shù)學(xué)中考模擬試卷

一、單選題

1．（2023·惠山模擬）絕對值等于2的數(shù)是（）

A．2B．﹣2C．2或﹣2D．

2．（2023·惠山模擬）下列計算正確的是（）

A．﹣5x﹣2x=﹣3xB．（a+3）2=a2+9

C．（﹣a3）2=a5D．a(chǎn)2p÷a﹣p=a3p

3．（2023·惠山模擬）下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）

A．B．

C．D．

4．（2023·惠山模擬）若一個多邊形的每個外角都等于36°，則這個多邊形的邊數(shù)是（）．

A．10B．9C．8D．7

5．（2023七上·安圖期末）如果代數(shù)式4y2-2y+5的值是7，那么代數(shù)式2y2-y+1的值等于（）

A．2B．3C．-2D．4

6．（2023八上·三明期末）一組數(shù)據(jù)1、2、4、4、3的眾數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

7．（2023·惠山模擬）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，則cosA的值是（）

A．B．C．D．

8．（2023·惠山模擬）將一副直角三角尺如圖放置，若∠BOC＝160°，則∠AOD的大小為（）

A．15°B．20°C．25°D．30°

9．（2023·惠山模擬）如圖，△ABC與△DEF都是正方形網(wǎng)格中的格點三角形（頂點在格點上），那么△ABC與△DEF的周長比為（）

A．B．1：2C．1：3D．1：4

10．（2023·虎丘模擬）如圖，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分別交BC、BD于點E、F，若CE=2，連接CF．以下結(jié)論：①∠BAF=∠BCF；②點E到AB的距離是2；③S△CDF：S△BEF=9：4；④tan∠DCF=．其中正確的有（）

A．4個B．3個C．2個D．1個

二、填空題

11．函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是；實數(shù)2﹣的倒數(shù)是．

12．（2023·惠山模擬）把多項式分解因式的結(jié)果是．

13．（2023·惠山模擬）根據(jù)規(guī)劃，“一帶一路”地區(qū)覆蓋總?cè)丝诩s為4400000000人，這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為．

14．（2023·惠山模擬）計算：．

15．（2023·惠山模擬）把一個圓錐沿母線OA剪開，展開后得到扇形AOC，已知圓錐的高h為12cm，OA＝13cm，則扇形AOC的面積是cm2．（結(jié)果保留π）

16．（2023七上·江岸期末）輪船在順?biāo)械乃俣葹?8千米/小時，在逆水中的速度為24千米/小時，水面上一漂浮物順?biāo)?0千米，則它漂浮了小時.

17．（2023·惠山模擬）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC和BD交于點O，∠AOB＝60°，BD＝AC=4，則四邊形ABCD的面積為．

18．（2023·惠山模擬）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，點A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動．在運動過程中，點B到原點的最大距離是

三、解答題

19．（2023·瑞安模擬）

（1）計算：（﹣1）0+3×（﹣2）+

（2）化簡：（x+2）2﹣x（x+2）

20．（2023·惠山模擬）

（1）解方程：＝

（2）解不等式：2（x+1）﹣1≥3．

21．（2023·通州模擬）如圖，菱形ABCD中，點E是邊AD上一點，延長AB至點F，使BF＝AE，連結(jié)BE，CF．求證：BE＝CF．

22．（2023·哈爾濱模擬）為更精準(zhǔn)地關(guān)愛留守學(xué)生，某學(xué)校將留守學(xué)生的各種情形分成四種類型：A．由父母一方照看；B．由爺爺奶奶照看；C．由叔姨等近親照看；D．直接寄宿學(xué)校．某數(shù)學(xué)小組隨機調(diào)查了一個班級，發(fā)現(xiàn)該班留守學(xué)生數(shù)量占全班總?cè)藬?shù)的20%，并將調(diào)查結(jié)果制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

（1）該班共有名留守學(xué)生，B類型留守學(xué)生所在扇形的圓心角的度數(shù)為；

（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）已知該校共有2400名學(xué)生，現(xiàn)學(xué)校打算對D類型的留守學(xué)生進行手拉手關(guān)愛活動，請你估計該校將有多少名留守學(xué)生在此關(guān)愛活動中受益？

23．（2023·惠山模擬）在不透明的布袋中裝有1個紅球，2個白球，它們除顏色外其余完全相同．

（1）從袋中任意摸出兩個球，試用樹狀圖或表格列出所有等可能的結(jié)果，并求摸出的球恰好是兩個白球的概率；

（2）若在布袋中再添加a個紅球，充分攪勻，從中摸出一個球，使摸到紅球的概率為，試求a的值．

24．（2023·惠山模擬）如圖，已知△ABC（AC＜AB＜BC），請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）：

（1）在邊BC上確定一點P，使得PA+PC=BC；

（2）作出一個△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周長等于邊BC的長．

25．（2023·惠山模擬）某體育文化用品商店購進籃球和排球共200個，進價和售價如下表全部銷售完后共獲利潤2600元．

（1）求商店購進籃球和排球各多少個？

（2）王老師在元旦節(jié)這天到該體育文化用品商店為學(xué)校買籃球和排球各若干個（兩種球都買了），商店在他的這筆交易中獲利100元王老師有哪幾種購買方案．

26．（2023·惠山模擬）如圖，拋物線y=-x2+bx+c的頂點為C，對稱軸為直線x=1，且經(jīng)過點A（3，-1），與y軸交于點B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（3）經(jīng)過點A的直線交拋物線于點P，交x軸于點Q，若S△OPA=2S△OQA，試求出點P的坐標(biāo)．

27．（2023·惠山模擬）如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，直線交坐標(biāo)軸于A、B兩點，過點C（，0）作CD交AB于D，交軸于點E.且△COE≌△BOA．

（1）求B點坐標(biāo)為；線段OA的長為；

（2）確定直線CD解析式，求出點D坐標(biāo)；

（3）如圖2，點M是線段CE上一動點（不與點C、E重合），ON⊥OM交AB于點N，連接MN.

①點M移動過程中，線段OM與ON數(shù)量關(guān)系是否不變，并證明；

②當(dāng)△OMN面積最小時，求點M的坐標(biāo)和△OMN面積.

28．（2023·惠山模擬）如圖1，在矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，動點P在線段DC上以每秒1個單位的速度從點D向點C運動，過點P作PQ∥AC交AD于Q，將△PDQ沿PQ翻折得到△PQE.設(shè)點P的運動時間為t（s）．

（1）當(dāng)點E落在邊AB上時，t的值為；

（2）設(shè)△PQE與△ADC重疊部分的面積為s，求s與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如圖2，以PE為直徑作⊙O．當(dāng)⊙O與AC邊相切時，求CP的長．

答案解析部分

1．【答案】C

【知識點】絕對值及有理數(shù)的絕對值

【解析】【解答】絕對值等于2的數(shù)是±2.

故答案選：C.

【分析】①當(dāng)a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；②當(dāng)a是負有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)-a；所以絕對值等于2的數(shù)是±2，據(jù)此判斷即可．

2．【答案】D

【知識點】同底數(shù)冪的除法；完全平方公式及運用；合并同類項法則及應(yīng)用；冪的乘方

【解析】【解答】解：A．﹣5x﹣2x=﹣7x，故此選項錯誤；

B．（a+3）2=a2+6a+9，故此選項錯誤；

C．（﹣a3）2=a6，故此選項錯誤；

D．a(chǎn)2p÷a﹣p=a3p，正確．

故答案為：D．

【分析】直接利用合并同類項法則以及完全平方公式和整式的乘除運算法則分別計算即可得出答案．

3．【答案】C

【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形

【解析】【解答】A.既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故不符合題意；

B.既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故不符合題意；

C.是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故符合題意；

D.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故不符合題意；

故答案為：C.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義逐項識別即可，在平面內(nèi)，一個圖形經(jīng)過中心對稱能與原來的圖形重合，這個圖形叫做叫做中心對稱圖形。一個圖形的一部分，以某條直線為對稱軸，經(jīng)過軸對稱能與圖形的另一部分重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形.

4．【答案】A

【知識點】多邊形內(nèi)角與外角

【解析】【解答】解：∵一個多邊形的每個外角都等于36°，

∴這個多邊形是正多邊形，

∴360°÷36°=10．

∴這個多邊形的邊數(shù)是10．

故答案為：A．

【分析】根據(jù)正多邊形的邊數(shù)等于360°除以每一個外角的度數(shù)列式計算即可得解．

5．【答案】A

【知識點】代數(shù)式求值

【解析】【解答】根據(jù)題意，可得：

則：

故答案為：A.

【分析】根據(jù)代數(shù)式4y2-2y+5的值是7，得出方程，然后根據(jù)等式的性質(zhì)變形為y2y=1,再整體代入2y2-y+1計算即可。

6．【答案】C

【知識點】中位數(shù)；眾數(shù)

【解析】【解答】解：把這些數(shù)從小到大排列為：1、2、3、4、4，最中間的數(shù)是3，

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3；

故選C．

【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義直接解答即可．

7．【答案】C

【知識點】銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】因為在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，根據(jù)勾股定理可得：，根據(jù)余弦三角函數(shù)的定義可得：，故答案為：C.

【分析】根據(jù)勾股定理算出AB的長，根據(jù)余弦三角函數(shù)的定義可得：cosA的值。

8．【答案】B

【知識點】角的運算

【解析】【解答】解：∵將一副直角三角尺如圖放置．∵∠COD=90°．

∵∠BOC=160°，∴∠BOD=160°－90°=70°．

∵∠AOB=90°，∴∠AOD=90°-70°=20°．

故答案為：B．

【分析】根據(jù)角的和差，由∠BOD=∠BOC-∠COD即可得出∠BOD的度數(shù)，再由∠AOD=∠AOB-∠BOD即可得出答案。

9．【答案】A

【知識點】勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1，

由勾股定理得：

DE2＝22+22，EF2＝22+42，

∴DE＝2，EF＝2；

同理可求：AC＝，BC＝，

∵DF＝2，AB＝2，

∴，

∴△BAC∽△EDF，

∴C△ABC：C△DEF＝1：，

故答案為：A．

【分析】設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1，根據(jù)勾股定理求出△EFD、△ABC的邊長，運用三邊對應(yīng)成比例，則兩個三角形相似這一判定定理證明△BAC∽△EDF，即可解決問題．

10．【答案】B

【知識點】菱形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴BA=BC，∠ABD=∠CBD，

在△ABF和△CBF中，

，

∴△ABF≌△CBF，

∴∠BAF=∠BCF，①正確；

作EG⊥AB交AB的延長線于G，

∵AD∥BC，∠DAB=60°，

∴∠EBG=60°，

∴EG=EB×sin∠EGB=2，②正確；

∵AB=6，CE=2，

∴S△BEF=2S△CEF，

∵AD∥BC，

∴==，

∴S△CFD=S△CFB，

∴S△CDF：S△BEF=9：4，③正確；

作FH⊥CD于H，

則DH=DF=2，F(xiàn)H═2，

∴tan∠DCF==，④錯誤，

故答案為：B．

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，對角線平分每組對角和四邊相等，得到△ABF≌△CBF，得到對應(yīng)角相等∠BAF=∠BCF；由已知條件∠DAB=60°，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到EG=EB×sin∠EGB的值，得到S△BEF=2S△CEF，求出S△CDF：S△BEF的值，根據(jù)三角函數(shù)值求出tan∠DCF的值.

11．【答案】x≥2；2+

【知識點】函數(shù)自變量的取值范圍

【解析】【解答】解：y=中，自變量x的取值范圍是x≥2；

實數(shù)2﹣的倒數(shù)是2+，

故答案為：x≥2，2+．

【分析】根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，倒數(shù)的定義，可得答案．

12．【答案】

【知識點】因式分解﹣綜合運用提公因式與公式法

【解析】【解答】

故答案為：．

【分析】先提取公因數(shù)y，再利用完全平方公式化簡即可．

13．【答案】4.4×109

【知識點】科學(xué)記數(shù)法—記絕對值大于1的數(shù)

【解析】【解答】科學(xué)記數(shù)法：將一個數(shù)表示成的形式，其中，n為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法

則

故答案為：．

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)，據(jù)此填空即可.

14．【答案】3

【知識點】實數(shù)的運算

【解析】【解答】解：原式

故答案為：3.

【分析】直接利用二次根式以及立方根的性質(zhì)分別化簡進而得出答案．

15．【答案】65π

【知識點】圓錐的計算

【解析】【解答】解：∵圓錐的高h為12cm，OA＝13cm，

∴圓錐的底面半徑＝cm，

∴圓錐的底面周長＝2π×5＝10πcm，

∴扇形AOC的面積＝×10π×13＝65πcm2，

故答案為：65π．

【分析】根據(jù)勾股定理求出圓錐的底面半徑，再根據(jù)扇形面積公式計算即可．

16．【答案】10

【知識點】一元一次方程的實際應(yīng)用-行程問題

【解析】【解答】∵輪船在順?biāo)械乃俣葹?8千米/小時，在逆水中的速度為24千米/小時，

∴水流的速度為：（千米/時），

∴水面上的漂浮物順?biāo)?0千米所需的時間為：（小時）.

故答案為：10.

【分析】因為輪船在順?biāo)械乃俣?船在靜水中的速+水流速度；輪船在逆水中的速度=船在靜水中的速-水流速度；所以輪船在順?biāo)械乃俣?輪船在逆水中的速度=（船在靜水中的速+水流速度）-（船在靜水中的速-水流速度）=2水流速度，所以水流速度=（輪船在順?biāo)械乃俣?輪船在逆水中的速度）÷2；則水面上的漂浮物順?biāo)?0千米所需的時間=20÷水流速度。

17．【答案】4

【知識點】三角形的面積；直角三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：過B作BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．

∵∠AOB＝60°，

∴EO=OB，BE=OE=OB．

同理DF=OD．

∵四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ADC的面積

=ACBE+ACDF=AC（BE+DF）

=AC（OB+OD）

=AC（OB+OD）

=ACBD

=×4×4=．

故答案為．

【分析】過B作BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．由∠AOB＝60°，得到BE=OB．同理DF=OD，由四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ADC的面積即可得到結(jié)論．

18．【答案】2+2

【知識點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線

【解析】【解答】如圖，取CA的中點D，連接OD、BD，

則OD=CD=AC=×4=2，

由勾股定理得，BD=，

所以，點B到原點的最大距離是2+2．

【分析】如圖，取CA的中點D，連接OD、BD，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得OD=CD=AC=×4=2，利用勾股定理求出BD的長，從而求出結(jié)論.

19．【答案】（1）解：原式＝1﹣6+2

＝﹣5+2

（2）解：原式＝x2+4x+4﹣x2﹣2x

＝2x+4

【知識點】實數(shù)的運算；整式的混合運算

【解析】【分析】（1）根據(jù)0指數(shù)的意義、二次根式的性質(zhì)、有理數(shù)的乘法法則分別化簡，再根據(jù)實數(shù)的加減法法則即可算出答案；

（2）先根據(jù)完全平方公式及單項式與多項式的乘法法則去括號，再合并同類項即可。

20．【答案】（1）解：去分母得：3x﹣3＝2x，

解得：x＝3，

經(jīng)檢驗x＝3是分式方程的解，

故方程的解為x＝3；

（2）解：去括號得：2x+2﹣1≥3，

移項合并得：2x≥2，

解得：x≥1．

【知識點】解分式方程；解一元一次不等式

【解析】【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解；（2）不等式去括號，移項合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解集．

21．【答案】證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，AB=BC，∴∠A=∠CBF．

在△ABE和△BCF中，∵AE=BF，∠A=∠CBF，AB=BC，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴BE=CF．

【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)

【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB=BC，AD∥BC，由平行線的性質(zhì)可得∠A=∠CBF．利用SAS可證△ABE≌△BCF，有全等三角形的對應(yīng)邊相等可得BE=CF．

22．【答案】（1）10；144

（2）解：10﹣2﹣4﹣2＝2（人），

如圖所示：

（3）解：2400×＝480（人），

答：估計該校將有480名留守學(xué)生在此關(guān)愛活動中受益．

【知識點】扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖；利用統(tǒng)計圖表分析實際問題

【解析】【解答】解：（1）2÷20%＝10（人），

×100%×360°＝144°，

故答案為：10；144.

【分析】（1）由條形統(tǒng)計圖可知C類型的留守兒童2人，由扇形統(tǒng)計圖所占比例為20%，即可得到總?cè)藬?shù)；根據(jù)B類型的比例可求得扇形圓心角的度數(shù)，即可求得扇形所占圓心角的度數(shù)；

（2）根據(jù)總?cè)藬?shù)減去A、B、C類型的人數(shù)可求出D類型的人數(shù)，即可補全條形統(tǒng)計圖；

（3）由隨機抽取的一個班D類型所占的比例可估算出全校D類型所占比例，即可求得總的在此關(guān)愛活動中受益的人數(shù)。

23．【答案】（1）解：畫樹狀圖得：

∵共有6種等可能的結(jié)果，隨機從袋中摸出兩個球都是白色的有2種情況，

∴隨機從袋中摸出兩個球，都是白色的概率是：=

（2）解：根據(jù)題意，得：，

解得：a=5，

經(jīng)檢驗a=5是原方程的根，

故a=5．

【知識點】列表法與樹狀圖法；概率公式

【解析】【分析】（1）列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出恰好是兩個是白球的情況數(shù)，根據(jù)概率公式求解即可；（2）根據(jù)概率公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．

24．【答案】（1）解：作AB的垂直平分線交BC于點P即為所求作；

（2）解：①在BC上取點D，過點D作BC的垂線，

②在垂線上取點E使DE=DB，連接EC，

③作EC的垂直平分線交BC于點F；

∴Rt△DEF即為所求．

【知識點】作圖-線段垂直平分線

【解析】【分析】（1）作AB的垂直平分線交BC于點P，點P即為所求作；（2）①在BC上取點D，過點D作BC的垂線，②在垂線上取點E使DE=DB，連接EC，③作EC的垂直平分線交BC于點F；Rt△DEF即為所求．

25．【答案】（1）解：設(shè)商店購進籃球x個，排球y個，

依題意，得：，

解得：，

答：商店購進籃球120個，排球80個

（2）解：設(shè)王老師購買籃球m個，排球n個，

依題意，得：（95﹣80）m+（60﹣50）n＝100，

解得：n＝10﹣m，

∵m，n均為正整數(shù)，

∴m為偶數(shù)，

∴當(dāng)m＝2時，n＝7；當(dāng)m＝4時，n＝4；當(dāng)m＝6時，n＝1，

∴王老師共有3種購買方案，方案1：購進籃球2個，排球7個；方案2：購進籃球4個，排球4個；方案3：購進籃球6個，排球1個．

【知識點】二元一次方程的應(yīng)用；二元一次方程組的實際應(yīng)用-銷售問題

【解析】【分析】（1）設(shè)商店購進籃球x個，排球y個，根據(jù)商店購進兩種球共200個且銷售利潤為2600元，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)王老師購買籃球m個，排球n個，根據(jù)商店在他的這筆交易中獲利100元，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，結(jié)合m，n均為正整數(shù)，即可得出各購買方案．

26．【答案】（1）解：由題意得：，

解得：，

∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+2

（2）解：∵由y=-x2+2x+2得：當(dāng)x=0時，y=2，

∴B（0，2），

由y=-（x-1）2+3得：C（1，3），

∵A（3，-1），

∴AB=3，BC=，AC=2，

∴AB2+BC2=AC2，

∴∠ABC=90°，

∴△ABC是直角三角形

（3）解：①如圖，當(dāng)點Q在線段AP上時，

過點P作PE⊥x軸于點E，AD⊥x軸于點D

∵S△OPA=2S△OQA，

∴PA=2AQ，

∴PQ=AQ

∵PE∥AD，

∴△PQE∽△AQD，

∴==1，

∴PE=AD=1

∵由-x2+2x+2=1得：x=1，

∴P（1+，1）或（1-，1），

②如圖，當(dāng)點Q在PA延長線上時，

過點P作PE⊥x軸于點E，AD⊥x軸于點D

∵S△OPA=2S△OQA，

∴PA=2AQ，

∴PQ=3AQ

∵PE∥AD，

∴△PQE∽△AQD，

∴==3，

∴PE=3AD=3

∵由-x2+2x+2=-3得：x=1±，

∴P（1+，-3），或（1-，-3），

綜上可知：點P的坐標(biāo)為（1+，1）、（1-，1）、（1+，-3）或（1-，-3）．

【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得出方程組，求出b、c的值，即可求出答案；（2）求出B、C的坐標(biāo)，根據(jù)點的坐標(biāo)求出AB、BC、AC的值，根據(jù)勾股定理的逆定理求出即可；（3）分為兩種情況，畫出圖形，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出PE的長，即可得出答案．

27．【答案】（1）（0，4）；3

（2）解：∵△COE≌△BOA，

∴OE=OA=3，

∴E（0，3）.

設(shè)CD解析式為y=kx+b，

把C（，0），E（0，3）代入得

，

解得

，

∴；

解得，

∴D（，）；

（3）解：①線段OM與ON數(shù)量關(guān)系不變，OM=ON，理由：

∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，

∴∠COM+∠AON=90°，

∵∠AON+∠BON=90°，

∴∠COM=∠BON，

∵△COE≌△BOA，

∴∠OCM=∠OBN，

在△COM與△BON中

，

∴△COM≌△BON（ASA），

∴OM=ON；

②△OMN面積=，

∴當(dāng)OM⊥CD時，△OMN面積的面積最小，

∵△COE≌△BOA，

∴∠OCE=∠DBE，

∵∠OCE+∠OEC=90°，

∴∠BED+∠DBE=90°，

∴CD⊥AD，

∴OM∥AB，

∵，

∴，

解得，

∴M（，）.

由①得，OM=ON，且∠MON=90°

∴△OMN是等腰直角三角形，

又∵當(dāng)OM⊥CD時，△OMN面積的面積最小，

即當(dāng)△OMN面積的面積最小時，OM⊥CD，

此時有

在Rt△COE中，OC=4，OE=3

∴，

∴，

∴.

【知識點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；兩一次函數(shù)圖象相交或平行問題；全等三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：（1）當(dāng)x=0時，，

∴B（0，4）；

當(dāng)y=0時，

，

∴x=3，

∴A(3，0)，

∵OA=3；

【分析】（1）令x=0求出y的值，即可求出點B的坐標(biāo)；先求出點A的坐標(biāo)即可求出OA的長；（2）根據(jù)△COE≌△BOA求出點E的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求解即可；（3）①先證明△COM≌△BON，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出OM=ON；②由△OMN面積=可知當(dāng)OM最小時，即OM⊥CD時，△OMN面積的面積最小，在(1)基礎(chǔ)上分析易得OM∥AB從而轉(zhuǎn)換成求OM解析式得出交點M坐標(biāo)，同時可以利用等積法OM的長得出△OMN的面積.

28．【答案】（1）

（2）解：當(dāng)E剛好在CA上時，如圖3．∵PQ∥CA，∴∠1=∠4，∠2=∠3．∵∠3=∠4，∴∠1=∠2，∴PC=PE．∵PE=PD=t，∴PC=PD=t，∴2t=4，解得：t=2．

①當(dāng)時，如圖1，S=S△EPQ=S△PDQ=PDQD==；

②當(dāng)時，如圖4，由（2）可知，PM=PC=4-t，∴EM=t-（4-t）=2t－4．∵AC∥PQ，∴△EMN∽△EPQ，∴．∵S△EPQ=S△PDQ=PDQD==，∴，∴S==-=．

綜上所述：S=

（3）解：如圖，設(shè)切點為H，作PG⊥AC于G，連接HO并延長交PQ于F．

設(shè)CP＝5x，則PG＝3x，PD＝PE＝4－5x，

∵OF＝OP，∴HF＝OH＋OF＝OP＋OF＝OP＝PD＝（4－5x）

∴（4－5x）＝3x，解得：x＝，∴CP＝5x＝．

【知識點】勾股定理；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：（1）過P作PF⊥BA于F．在△ADC中，sin∠ACD=，cos∠ACD=．∵PQ∥CA，∴∠QPD=∠ACD，tan∠ACD=．∵PD=PE=t，∴QD=，PQ=，∴EQ=QD=，AQ=．在△EFP中，∵PF=3，PE=t，∴EF=．∵∠PEQ=90°，∴∠FEP+∠EPF=90°，∠AEQ+∠EQA=90°，∴∠FEP=∠EQA，∴cos∠FEP=cos∠EQA，∴，解得：t=；

【分析】（1）過P作PF⊥BA于F，由∠QPD=∠ACD，得到∠QPD和∠ACD的三角函數(shù)相等，得到QD=，PQ=，EQ=QD=，AQ=．在△EFP中，由勾股定理得到EF=，由同角的余角相等，得到∠FEP=∠EQA，得到cos∠FEP=cos∠EQA，即，解方程即可得到結(jié)論；（2）當(dāng)E剛好在CA上時，如圖3，由平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得到∠1=∠4=∠2=∠3，得到PC=PE=PD=t，即2t=4，解方程即可．然后分兩種情況討論：①當(dāng)時，S=S△EPQ=S△PDQ即可得到結(jié)論；②當(dāng)時，如圖4，由（2）可知，PM=PC=4-t，得到EM=t-（4-t）=2t－4，由相似三角形的性質(zhì)得到，由S=即可得到結(jié)論．（3）如圖，設(shè)切點為H，作PG⊥AC于G，連接HO并延長交PQ于F．設(shè)CP＝5x，則PG＝3x，PD＝PE＝4－5x，由OF＝OP，得到HF＝OH＋OF=（4－5x），從而得到（4－5x）＝3x，求出x的值，由CP＝5x即可得到結(jié)論．

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江蘇省無錫市惠山區(qū)吳風(fēng)實驗學(xué)校2023年數(shù)學(xué)中考模擬試卷

一、單選題

1．（2023·惠山模擬）絕對值等于2的數(shù)是（）

A．2B．﹣2C．2或﹣2D．

【答案】C

【知識點】絕對值及有理數(shù)的絕對值

【解析】【解答】絕對值等于2的數(shù)是±2.

故答案選：C.

【分析】①當(dāng)a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；②當(dāng)a是負有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)-a；所以絕對值等于2的數(shù)是±2，據(jù)此判斷即可．

2．（2023·惠山模擬）下列計算正確的是（）

A．﹣5x﹣2x=﹣3xB．（a+3）2=a2+9

C．（﹣a3）2=a5D．a(chǎn)2p÷a﹣p=a3p

【答案】D

【知識點】同底數(shù)冪的除法；完全平方公式及運用；合并同類項法則及應(yīng)用；冪的乘方

【解析】【解答】解：A．﹣5x﹣2x=﹣7x，故此選項錯誤；

B．（a+3）2=a2+6a+9，故此選項錯誤；

C．（﹣a3）2=a6，故此選項錯誤；

D．a(chǎn)2p÷a﹣p=a3p，正確．

故答案為：D．

【分析】直接利用合并同類項法則以及完全平方公式和整式的乘除運算法則分別計算即可得出答案．

3．（2023·惠山模擬）下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形

【解析】【解答】A.既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故不符合題意；

B.既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故不符合題意；

C.是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故符合題意；

D.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故不符合題意；

故答案為：C.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義逐項識別即可，在平面內(nèi)，一個圖形經(jīng)過中心對稱能與原來的圖形重合，這個圖形叫做叫做中心對稱圖形。一個圖形的一部分，以某條直線為對稱軸，經(jīng)過軸對稱能與圖形的另一部分重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形.

4．（2023·惠山模擬）若一個多邊形的每個外角都等于36°，則這個多邊形的邊數(shù)是（）．

A．10B．9C．8D．7

【答案】A

【知識點】多邊形內(nèi)角與外角

【解析】【解答】解：∵一個多邊形的每個外角都等于36°，

∴這個多邊形是正多邊形，

∴360°÷36°=10．

∴這個多邊形的邊數(shù)是10．

故答案為：A．

【分析】根據(jù)正多邊形的邊數(shù)等于360°除以每一個外角的度數(shù)列式計算即可得解．

5．（2023七上·安圖期末）如果代數(shù)式4y2-2y+5的值是7，那么代數(shù)式2y2-y+1的值等于（）

A．2B．3C．-2D．4

【答案】A

【知識點】代數(shù)式求值

【解析】【解答】根據(jù)題意，可得：

則：

故答案為：A.

【分析】根據(jù)代數(shù)式4y2-2y+5的值是7，得出方程，然后根據(jù)等式的性質(zhì)變形為y2y=1,再整體代入2y2-y+1計算即可。

6．（2023八上·三明期末）一組數(shù)據(jù)1、2、4、4、3的眾數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【知識點】中位數(shù)；眾數(shù)

【解析】【解答】解：把這些數(shù)從小到大排列為：1、2、3、4、4，最中間的數(shù)是3，

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3；

故選C．

【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義直接解答即可．

7．（2023·惠山模擬）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，則cosA的值是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】因為在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，根據(jù)勾股定理可得：，根據(jù)余弦三角函數(shù)的定義可得：，故答案為：C.

【分析】根據(jù)勾股定理算出AB的長，根據(jù)余弦三角函數(shù)的定義可得：cosA的值。

8．（2023·惠山模擬）將一副直角三角尺如圖放置，若∠BOC＝160°，則∠AOD的大小為（）

A．15°B．20°C．25°D．30°

【答案】B

【知識點】角的運算

【解析】【解答】解：∵將一副直角三角尺如圖放置．∵∠COD=90°．

∵∠BOC=160°，∴∠BOD=160°－90°=70°．

∵∠AOB=90°，∴∠AOD=90°-70°=20°．

故答案為：B．

【分析】根據(jù)角的和差，由∠BOD=∠BOC-∠COD即可得出∠BOD的度數(shù)，再由∠AOD=∠AOB-∠BOD即可得出答案。

9．（2023·惠山模擬）如圖，△ABC與△DEF都是正方形網(wǎng)格中的格點三角形（頂點在格點上），那么△ABC與△DEF的周長比為（）

A．B．1：2C．1：3D．1：4

【答案】A

【知識點】勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1，

由勾股定理得：

DE2＝22+22，EF2＝22+42，

∴DE＝2，EF＝2；

同理可求：AC＝，BC＝，

∵DF＝2，AB＝2，

∴，

∴△BAC∽△EDF，

∴C△ABC：C△DEF＝1：，

故答案為：A．

【分析】設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1，根據(jù)勾股定理求出△EFD、△ABC的邊長，運用三邊對應(yīng)成比例，則兩個三角形相似這一判定定理證明△BAC∽△EDF，即可解決問題．

10．（2023·虎丘模擬）如圖，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分別交BC、BD于點E、F，若CE=2，連接CF．以下結(jié)論：①∠BAF=∠BCF；②點E到AB的距離是2；③S△CDF：S△BEF=9：4；④tan∠DCF=．其中正確的有（）

A．4個B．3個C．2個D．1個

【答案】B

【知識點】菱形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴BA=BC，∠ABD=∠CBD，

在△ABF和△CBF中，

，

∴△ABF≌△CBF，

∴∠BAF=∠BCF，①正確；

作EG⊥AB交AB的延長線于G，

∵AD∥BC，∠DAB=60°，

∴∠EBG=60°，

∴EG=EB×sin∠EGB=2，②正確；

∵AB=6，CE=2，

∴S△BEF=2S△CEF，

∵AD∥BC，

∴==，

∴S△CFD=S△CFB，

∴S△CDF：S△BEF=9：4，③正確；

作FH⊥CD于H，

則DH=DF=2，F(xiàn)H═2，

∴tan∠DCF==，④錯誤，

故答案為：B．

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，對角線平分每組對角和四邊相等，得到△ABF≌△CBF，得到對應(yīng)角相等∠BAF=∠BCF；由已知條件∠DAB=60°，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到EG=EB×sin∠EGB的值，得到S△BEF=2S△CEF，求出S△CDF：S△BEF的值，根據(jù)三角函數(shù)值求出tan∠DCF的值.

二、填空題

11．函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是；實數(shù)2﹣的倒數(shù)是．

【答案】x≥2；2+

【知識點】函數(shù)自變量的取值范圍

【解析】【解答】解：y=中，自變量x的取值范圍是x≥2；

實數(shù)2﹣的倒數(shù)是2+，

故答案為：x≥2，2+．

【分析】根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，倒數(shù)的定義，可得答案．

12．（2023·惠山模擬）把多項式分解因式的結(jié)果是．

【答案】

【知識點】因式分解﹣綜合運用提公因式與公式法

【解析】【解答】

故答案為：．

【分析】先提取公因數(shù)y，再利用完全平方公式化簡即可．

13．（2023·惠山模擬）根據(jù)規(guī)劃，“一帶一路”地區(qū)覆蓋總?cè)丝诩s為4400000000人，這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為．

【答案】4.4×109

【知識點】科學(xué)記數(shù)法—記絕對值大于1的數(shù)

【解析】【解答】科學(xué)記數(shù)法：將一個數(shù)表示成的形式，其中，n為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法

則

故答案為：．

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)，據(jù)此填空即可.

14．（2023·惠山模擬）計算：．

【答案】3

【知識點】實數(shù)的運算

【解析】【解答】解：原式

故答案為：3.

【分析】直接利用二次根式以及立方根的性質(zhì)分別化簡進而得出答案．

15．（2023·惠山模擬）把一個圓錐沿母線OA剪開，展開后得到扇形AOC，已知圓錐的高h為12cm，OA＝13cm，則扇形AOC的面積是cm2．（結(jié)果保留π）

【答案】65π

【知識點】圓錐的計算

【解析】【解答】解：∵圓錐的高h為12cm，OA＝13cm，

∴圓錐的底面半徑＝cm，

∴圓錐的底面周長＝2π×5＝10πcm，

∴扇形AOC的面積＝×10π×13＝65πcm2，

故答案為：65π．

【分析】根據(jù)勾股定理求出圓錐的底面半徑，再根據(jù)扇形面積公式計算即可．

16．（2023七上·江岸期末）輪船在順?biāo)械乃俣葹?8千米/小時，在逆水中的速度為24千米/小時，水面上一漂浮物順?biāo)?0千米，則它漂浮了小時.

【答案】10

【知識點】一元一次方程的實際應(yīng)用-行程問題

【解析】【解答】∵輪船在順?biāo)械乃俣葹?8千米/小時，在逆水中的速度為24千米/小時，

∴水流的速度為：（千米/時），

∴水面上的漂浮物順?biāo)?0千米所需的時間為：（小時）.

故答案為：10.

【分析】因為輪船在順?biāo)械乃俣?船在靜水中的速+水流速度；輪船在逆水中的速度=船在靜水中的速-水流速度；所以輪船在順?biāo)械乃俣?輪船在逆水中的速度=（船在靜水中的速+水流速度）-（船在靜水中的速-水流速度）=2水流速度，所以水流速度=（輪船在順?biāo)械乃俣?輪船在逆水中的速度）÷2；則水面上的漂浮物順?biāo)?0千米所需的時間=20÷水流速度。

17．（2023·惠山模擬）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC和BD交于點O，∠AOB＝60°，BD＝AC=4，則四邊形ABCD的面積為．

【答案】4

【知識點】三角形的面積；直角三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：過B作BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．

∵∠AOB＝60°，

∴EO=OB，BE=OE=OB．

同理DF=OD．

∵四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ADC的面積

=ACBE+ACDF=AC（BE+DF）

=AC（OB+OD）

=AC（OB+OD）

=ACBD

=×4×4=．

故答案為．

【分析】過B作BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．由∠AOB＝60°，得到BE=OB．同理DF=OD，由四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ADC的面積即可得到結(jié)論．

18．（2023·惠山模擬）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，點A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動．在運動過程中，點B到原點的最大距離是

【答案】2+2

【知識點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線

【解析】【解答】如圖，取CA的中點D，連接OD、BD，

則OD=CD=AC=×4=2，

由勾股定理得，BD=，

所以，點B到原點的最大距離是2+2．

【分析】如圖，取CA的中點D，連接OD、BD，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得OD=CD=AC=×4=2，利用勾股定理求出BD的長，從而求出結(jié)論.

三、解答題

19．（2023·瑞安模擬）

（1）計算：（﹣1）0+3×（﹣2）+

（2）化簡：（x+2）2﹣x（x+2）

【答案】（1）解：原式＝1﹣6+2

＝﹣5+2

（2）解：原式＝x2+4x+4﹣x2﹣2x

＝2x+4

【知識點】實數(shù)的運算；整式的混合運算

【解析】【分析】（1）根據(jù)0指數(shù)的意義、二次根式的性質(zhì)、有理數(shù)的乘法法則分別化簡，再根據(jù)實數(shù)的加減法法則即可算出答案；

（2）先根據(jù)完全平方公式及單項式與多項式的乘法法則去括號，再合并同類項即可。

20．（2023·惠山模擬）

（1）解方程：＝

（2）解不等式：2（x+1）﹣1≥3．

【答案】（1）解：去分母得：3x﹣3＝2x，

解得：x＝3，

經(jīng)檢驗x＝3是分式方程的解，

故方程的解為x＝3；

（2）解：去括號得：2x+2﹣1≥3，

移項合并得：2x≥2，

解得：x≥1．

【知識點】解分式方程；解一元一次不等式

【解析】【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解；（2）不等式去括號，移項合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解集．

21．（2023·通州模擬）如圖，菱形ABCD中，點E是邊AD上一點，延長AB至點F，使BF＝AE，連結(jié)BE，CF．求證：BE＝CF．

【答案】證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，AB=BC，∴∠A=∠CBF．

在△ABE和△BCF中，∵AE=BF，∠A=∠CBF，AB=BC，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴BE=CF．

【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)

【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB=BC，AD∥BC，由平行線的性質(zhì)可得∠A=∠CBF．利用SAS可證△ABE≌△BCF，有全等三角形的對應(yīng)邊相等可得BE=CF．

22．（2023·哈爾濱模擬）為更精準(zhǔn)地關(guān)愛留守學(xué)生，某學(xué)校將留守學(xué)生的各種情形分成四種類型：A．由父母一方照看；B．由爺爺奶奶照看；C．由叔姨等近親照看；D．直接寄宿學(xué)校．某數(shù)學(xué)小組隨機調(diào)查了一個班級，發(fā)現(xiàn)該班留守學(xué)生數(shù)量占全班總?cè)藬?shù)的20%，并將調(diào)查結(jié)果制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

（1）該班共有名留守學(xué)生，B類型留守學(xué)生所在扇形的圓心角的度數(shù)為；

（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）已知該校共有2400名學(xué)生，現(xiàn)學(xué)校打算對D類型的留守學(xué)生進行手拉手關(guān)愛活動，請你估計該校將有多少名留守學(xué)生在此關(guān)愛活動中受益？

【答案】（1）10；144

（2）解：10﹣2﹣4﹣2＝2（人），

如圖所示：

（3）解：2400×＝480（人），

答：估計該校將有480名留守學(xué)生在此關(guān)愛活動中受益．

【知識點】扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖；利用統(tǒng)計圖表分析實際問題

【解析】【解答】解：（1）2÷20%＝10（人），

×100%×360°＝144°，

故答案為：10；144.

【分析】（1）由條形統(tǒng)計圖可知C類型的留守兒童2人，由扇形統(tǒng)計圖所占比例為20%，即可得到總?cè)藬?shù)；根據(jù)B類型的比例可求得扇形圓心角的度數(shù)，即可求得扇形所占圓心角的度數(shù)；

（2）根據(jù)總?cè)藬?shù)減去A、B、C類型的人數(shù)可求出D類型的人數(shù)，即可補全條形統(tǒng)計圖；

（3）由隨機抽取的一個班D類型所占的比例可估算出全校D類型所占比例，即可求得總的在此關(guān)愛活動中受益的人數(shù)。

23．（2023·惠山模擬）在不透明的布袋中裝有1個紅球，2個白球，它們除顏色外其余完全相同．

（1）從袋中任意摸出兩個球，試用樹狀圖或表格列出所有等可能的結(jié)果，并求摸出的球恰好是兩個白球的概率；

（2）若在布袋中再添加a個紅球，充分攪勻，從中摸出一個球，使摸到紅球的概率為，試求a的值．

【答案】（1）解：畫樹狀圖得：

∵共有6種等可能的結(jié)果，隨機從袋中摸出兩個球都是白色的有2種情況，

∴隨機從袋中摸出兩個球，都是白色的概率是：=

（2）解：根據(jù)題意，得：，

解得：a=5，

經(jīng)檢驗a=5是原方程的根，

故a=5．

【知識點】列表法與樹狀圖法；概率公式

【解析】【分析】（1）列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出恰好是兩個是白球的情況數(shù)，根據(jù)概率公式求解即可；（2）根據(jù)概率公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．

24．（2023·惠山模擬）如圖，已知△ABC（AC＜AB＜BC），請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）：

（1）在邊BC上確定一點P，使得PA+PC=BC；

（2）作出一個△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周長等于邊BC的長．

【答案】（1）解：作AB的垂直平分線交BC于點P即為所求作；

（2）解：①在BC上取點D，過點D作BC的垂線，

②在垂線上取點E使DE=DB，連接EC，

③作EC的垂直平分線交BC于點F；

∴Rt△DEF即為所求．

【知識點】作圖-線段垂直平分線

【解析】【分析】（1）作AB的垂直平分線交BC于點P，點P即為所求作；（2）①在BC上取點D，過點D作BC的垂線，②在垂線上取點E使DE=DB，連接EC，③作EC的垂直平分線交BC于點F；Rt△DEF即為所求．

25．（2023·惠山模擬）某體育文化用品商店購進籃球和排球共200個，進價和售價如下表全部銷售完后共獲利潤2600元．

（1）求商店購進籃球和排球各多少個？

（2）王老師在元旦節(jié)這天到該體育文化用品商店為學(xué)校買籃球和排球各若干個（兩種球都買了），商店在他的這筆交易中獲利100元王老師有哪幾種購買方案．

【答案】（1）解：設(shè)商店購進籃球x個，排球y個，

依題意，得：，

解得：，

答：商店購進籃球120個，排球80個

（2）解：設(shè)王老師購買籃球m個，排球n個，

依題意，得：（95﹣80）m+（60﹣50）n＝100，

解得：n＝10﹣m，

∵m，n均為正整數(shù)，

∴m為偶數(shù)，

∴當(dāng)m＝2時，n＝7；當(dāng)m＝4時，n＝4；當(dāng)m＝6時，n＝1，

∴王老師共有3種購買方案，方案1：購進籃球2個，排球7個；方案2：購進籃球4個，排球4個；方案3：購進籃球6個，排球1個．

【知識點】二元一次方程的應(yīng)用；二元一次方程組的實際應(yīng)用-銷售問題

【解析】【分析】（1）設(shè)商店購進籃球x個，排球y個，根據(jù)商店購進兩種球共200個且銷售利潤為2600元，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)王老師購買籃球m個，排球n個，根據(jù)商店在他的這筆交易中獲利100元，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，結(jié)合m，n均為正整數(shù)，即可得出各購買方案．

26．（2023·惠山模擬）如圖，拋物線y=-x2+bx+c的頂點為C，對稱軸為直線x=1，且經(jīng)過點A（3，-1），與y軸交于點B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（3）經(jīng)過點A的直線交拋物線于點P，交x軸于點Q，若S△OPA=2S△OQA，試求出點P的坐標(biāo)．

【答案】（1）解：由題意得：，

解得：，

∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+2

（2）解：∵由y=-x2+2x+2得：當(dāng)x=0時，y=2，

∴B（0，2），

由y=-（x-1）2+3得：C（1，3），

∵A（3，-1），

∴AB=3，BC=，AC=2，

∴AB2+BC2=AC2，

∴∠ABC=90°，

∴△ABC是直角三角形

（3）解：①如圖，當(dāng)點Q在線段AP上時，

過點P作PE⊥x軸于點E，AD⊥x軸于點D

∵S△OPA=2S△OQA，

∴PA=2AQ，

∴PQ=AQ

∵PE∥AD，

∴△PQE∽△AQD，

∴==1，

∴PE=AD=1

∵由-x2+2x+2=1得：x=1，

∴P（1+，1）或（1-，1），

②如圖，當(dāng)點Q在PA延長線上時，

過點P作PE⊥x軸于點E，AD⊥x軸于點D

∵S△OPA=2S△OQA，

∴PA=2AQ，

∴PQ=3AQ

∵PE∥AD，

∴△PQE∽△AQD，

∴==3，

∴PE=3AD=3

∵由-x2+2x+2=-3得：x=1±，

∴P（1+，-3），或（1-，-3），

綜上可知：點P的坐標(biāo)為（1+，1）、（1-，1）、（1+，-3）或（1-，-3）．

【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得出方程組，求出b、c的值，即可求出答案；（2）求出B、C的坐標(biāo)，根據(jù)點的坐標(biāo)求出AB、BC、AC的值，根據(jù)勾股定理的逆定理求出即可；（3）分為兩種情況，畫出圖形，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出PE的長，即可得出答案．

27．（2023·惠山模擬）如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，直線交坐標(biāo)軸于A、B兩點，過點C（，0）作CD交AB于D，交軸于點E.且△COE≌△BOA．

（1）求B點坐標(biāo)為；線段OA的長為；

（2）確定直線CD解析式，求出點D坐標(biāo)；

（3）如圖2，點M是線段CE上一動點（不與點C、E重合），ON⊥OM交AB于點N，連接MN.

①點M移動過程中，線段OM與ON數(shù)量關(guān)系是否不變，并證明；

②當(dāng)△OMN面積最小時，求點M的坐標(biāo)和△OMN面積.

【答案