電磁場與電磁波（恒定磁場）課件

第四章恒定磁場

4.1

恒定磁場的實驗定律與磁感應(yīng)強度4.2恒定磁場的基本方程4.3矢量磁位4.4磁偶極子4.5磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定律4.6恒定磁場的邊界條件4.7電感4.8磁場能量和能量密度第四章恒定磁場4.1恒定磁場的實驗定律與磁感應(yīng)強度4.1恒定磁場的實驗定律與磁感應(yīng)強度圖4.1.1回路與回路間的安培力1820年法國物理學(xué)家A.M.安培通過實驗總結(jié)出：兩個通有恒定電流的回路之間有相互作用力。

1.安培力定律4.1恒定磁場的實驗定律與磁感應(yīng)強度圖4.1.1回路

安培定律指出：在真空中載有電流I1的回路

上的電流元對載流回路的電流元的作用力表示為l2

真空中的磁導(dǎo)率dl10zyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1安培定律指出：在真空中載有電流I1的回路整個載流回路對電流元的作用力載流回路對載流回路的作用力整個載流回路對電流元的作用力載流2.磁感應(yīng)強度載流回路之間的相互作用是通過磁場來進行的。

載流回路對電流元的作用力，可以認(rèn)為是載流回路上的電流在空間激勵的磁場，而磁場對電流元施加作用力將載流回路在空間中激勵的磁場表示為

2.磁感應(yīng)強度載流回路之間的相互作用是通過磁場來進行的。運動電荷在磁場中受的力為：空間電流I在R處激勵的磁場的大小描述：畢奧-薩伐爾定律

理論上可將電流回路的磁感應(yīng)強度，視為電流回路上各電流元激勵的磁感應(yīng)強度的疊加，則電流元的磁感應(yīng)強度為：運動電荷在磁場中受的力為：空間電流I在R處激勵的磁場的大小描對于體電流和面電流分布，分別用體電流元和面電流元代替上式中，積分得體電流：面電流：圖4.1.2空間線電流的磁場磁感應(yīng)強度在空間以磁感應(yīng)線（磁力線）的形式來描述，磁感應(yīng)線的方程與電力線的方程相似，即對于體電流和面電流分布，分別用體電流元和面電流

例4.1.1求載流I的有限長直導(dǎo)線(參見圖4.1.3)外任一點的磁場。圖4.1.3直導(dǎo)線的磁感應(yīng)強度

解：

取直導(dǎo)線的中心為坐標(biāo)原點，導(dǎo)線和z軸重合，在圓柱坐標(biāo)中計算。

例4.1.1求載流I的有限長直導(dǎo)線(參從對稱關(guān)系能夠看出磁場與坐標(biāo)φ無關(guān)。不失一般性，將場點取在φ=0，即場點坐標(biāo)為(r,0,z)，源點坐標(biāo)為(0，0，z′)。

從對稱關(guān)系能夠看出磁場與坐標(biāo)φ無關(guān)。不失一般性，將場點取在φ所以所以式中：對于無限長直導(dǎo)線(l→∞)，α1=π/2,α2=-π/2，其產(chǎn)生的磁場為式中：對于無限長直導(dǎo)線(l→∞)，α1=π/2,α2=-例4.1.2計算圖4.4所示真空中一圓形載流回路軸線上的磁感應(yīng)強度。回路半徑為a，電流為I。

解：在圓柱坐標(biāo)系中，原點位于圓形回路中心，場點P在Z軸上，則：例4.1.2計算圖4.4所示真空中一圓形載流回路軸線上的由對稱性得：在z=0處，由對稱性得：在z=0處，4.2恒定磁場的基本方程1.磁通連續(xù)性原理

磁感應(yīng)強度在有向曲面上的通量簡稱為磁通量(或磁通)，單位是Wb(韋伯)，用Φ表示：如S是一個閉曲面，則

就是磁通量的面密度，又稱為磁通密度圖4.2.1磁通量計算4.2恒定磁場的基本方程1.磁通連續(xù)性原理

對于在區(qū)域中連續(xù)分布的體電流密度，在空間中激勵的磁感應(yīng)強度為兩端對場點坐標(biāo)取散度由于所以

對于在區(qū)域中連續(xù)分布的體電流密度，在空間中激勵的磁感應(yīng)強度為

對于在區(qū)域中連續(xù)分布的體電流密度，在空間中激勵的磁感應(yīng)強度為

對于在區(qū)域中連續(xù)分布的體電流密度，在空間中激勵的磁感應(yīng)強度為

對于在區(qū)域中連續(xù)分布的體電流密度，在空間中激勵的磁感應(yīng)強度為對于在區(qū)域中連續(xù)分布的體電流密度應(yīng)用矢量恒等式：則有：因為，第二項中不是場點坐標(biāo)的函數(shù)，則于是有應(yīng)用矢量恒等式：則有：因為恒定磁場中沒有發(fā)散源，恒定磁場是一種旋渦場。應(yīng)用高斯散度定理，可得：磁通連續(xù)性定理的微分形式和積分形式：恒定磁場中通過任意閉合曲面S的磁通量恒等于零圖4.2.2磁通的連續(xù)性恒定磁場中沒有發(fā)散源，恒定磁場是一種旋渦場。應(yīng)用高斯散度定理2.真空中的安培環(huán)路定律

真空中一無限長載流導(dǎo)線在周圍激勵磁場，磁感應(yīng)強度為

線在垂直于I的平面內(nèi)，呈同心圓狀。圖4.2.3無限長載流導(dǎo)線周圍的磁場若在垂直于I的平面上以I穿過平面的點o為圓心，以R為半么作一圓，則在這個圓上的線積分為：2.真空中的安培環(huán)路定律線在垂若在平面上取任意圍繞I的閉合環(huán)路C，設(shè)環(huán)路C上的線元到I點的距離為r，對I點的張角為，與的夾角是如圖4.2.4(a)，則有圖4.2.4任意閉合環(huán)路與電流的關(guān)系若在平面上取任意圍繞I的閉合環(huán)路C，設(shè)環(huán)路C上的線元若積分的閉合環(huán)路不繞過I，如圖4.2.4(b)所示，則上式的積分變成安培提出：磁感應(yīng)強度在空間任意閉合環(huán)路上的積分（即環(huán)流）等于與此閉合環(huán)路交鏈的所有電流之和與的乘積。即安培環(huán)路定律I為C圍成的面上穿過的總電流強度，且電流的方向與回路C的環(huán)繞方向符合右手螺旋法則。閉合回路，當(dāng)繞行一周后，因此若積分的閉合環(huán)路不繞過I，如圖4.2.4(b)所示，則上式的例4.2.1計算圖4.2.9所示真空中半徑為R的長直圓柱形載流銅導(dǎo)線的磁場。解：在圓柱坐標(biāo)系中，令導(dǎo)線的軸線與z軸重合。由真空中安培環(huán)路定律，在r<R處有：得：在r>R處有：得：例4.2.1計算圖4.2.9所示真空中半徑為R的長直圓柱例4.2.2在無限長柱形區(qū)域1m<r<3m中，沿縱向流動的電流，其電流密度為：其他地方電流密度為0，求各區(qū)域中的磁感應(yīng)強度。

解：在圓柱坐標(biāo)系中，若將圓柱的軸線與z軸重合，則電流關(guān)于z軸對稱，若選圓形路徑作為積分回路，利用安培環(huán)路定律有：其中I為回路c圍成的面積上穿過的電流強度當(dāng)r<1m時，I=0，當(dāng)1m<r<3m時,例4.2.2在無限長柱形區(qū)域1m<r<3m中，沿縱向流動的當(dāng)r>=3m時，當(dāng)r>=3m時，4.3矢量磁位可以令:矢量磁位(簡稱磁矢位)，單位:T·m(特斯拉·米)或Wb/m(韋伯/米),是一個輔助量。上式僅僅規(guī)定了磁矢位

的旋度，而

的散度可以任意假定。因為若，另一矢量，其中Ψ是一個任意標(biāo)量函數(shù)，則4.3矢量磁位可以令:矢量磁位使用矢量恒等式上式是磁矢位滿足的微分方程，稱為磁矢位的泊松方程。對無源區(qū)(J=0)，磁矢位滿足矢量拉普拉斯方程，即使用矢量恒等式上式是磁矢位滿足的微分方程，稱為磁矢位的泊松電磁場與電磁波（恒定磁場）ppt課件4.4磁偶極子真空中的磁偶極子，即一個任意形狀的小平面載流回路的磁場。4.4磁偶極子真空中的磁偶極子，即一個下面通過矢量磁位,來求磁感應(yīng)強度：現(xiàn)在取兩個電流元，它們與平面成的角分別為和，則它們在場點的矢量磁位相加后得到的只有分量，且，故有下面通過矢量磁位,來求磁感應(yīng)強度：現(xiàn)在取兩因為，故得（4.4.1）（4.4.2）因為，故得（4.4.1）（4.4.2）將式（4.4.2）代入式（4.4.1）得：即（4.4.3）上式中S是圓環(huán)的面積，然后代入球坐系中的旋度公式求：結(jié)論：磁偶極子的磁感應(yīng)強度與距離的三次方成反比。將式（4.4.2）代入式（4.4.1）得：即（4.4.3）上磁偶極子場的另外表示式：結(jié)論：磁偶極子的電流回路形狀不同時，只要面積S對場點所張的的立體角相同，則在同一點的是相同的。磁偶極子場的另外表示式：結(jié)論：磁偶極子的電流回路形狀不同時，圖4.4.3磁偶極子的場圖圖4.4.3磁偶極子的場圖矢量磁位又可寫成：磁偶極子的磁感應(yīng)強度為：

是常矢量，矢量磁位又可寫成：磁偶極子的磁感應(yīng)強度為：是常矢量考慮到時有，，故有令，則磁感應(yīng)強度可表示為

可表示為一標(biāo)量函數(shù)的梯度，將標(biāo)量函數(shù)稱為恒定磁場的標(biāo)量磁位在無源區(qū)域：標(biāo)量函數(shù)滿足的邊界條件：考慮到時有4.5磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定律

磁化現(xiàn)象：

磁介質(zhì)材料中電子的自旋和電子繞原子核的旋轉(zhuǎn)形成圍觀電流，稱為分子電流或束縛電流，每個分子電流可以視為一個磁偶極子。束縛電流：

在外磁場作用下，材料中各單元磁矩的取向趨于一致，對外呈現(xiàn)宏觀的磁效應(yīng)，影響磁場分布，這種現(xiàn)象稱為磁化現(xiàn)象。4.5磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定律

磁化現(xiàn)象：磁介質(zhì)4.5磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定律1、磁化強度矢量

為包圍點P的一小體積元，為體積內(nèi)分子電流磁偶極矩的矢量和，為點P單位體積中的磁矩矢量和，單位為安/米（A/m）4.5磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定律1、磁化強度矢量由：2、磁化電流設(shè)單位體積內(nèi)分子數(shù)為N，則：又因為注：由：2、磁化電流設(shè)單位體積內(nèi)分子數(shù)為N，則：又因為注所以又因為所以束縛體電流密度所以又因為所以束縛體電流密度所以磁介質(zhì)中的束縛體電流密度為：磁介質(zhì)中的束縛面電流密度為：所以磁介質(zhì)中的束縛體電流密度為：磁介質(zhì)中的束縛面電流密度為

例半徑為a、高為L的磁化介質(zhì)柱(如圖所示)，磁化強度為M0(M0為常矢量，且與圓柱的軸線平行)，求磁化電流和磁化面電流

。圖3–15例3-7用圖

解：取圓柱坐標(biāo)系的z軸和磁介質(zhì)柱的中軸線重合,磁介質(zhì)的下底面位于z=0處，上底面位于z=L處。此時

，磁化電流為在界面z=0上，

,在界面z=L上，

，在界面r=a上，

,例半徑為a、高為L的磁化介質(zhì)柱(如圖所示3、磁場強度

在外磁場的作用下，磁介質(zhì)內(nèi)部有磁化電流Im。磁化電流Im和外加的電流I都產(chǎn)生磁場，這時應(yīng)將真空中的安培環(huán)路定律修正為下面的形式：

3、磁場強度在外磁場的作用下，磁介質(zhì)內(nèi)部有令其中

稱為磁場強度矢量，單位是A/m(安培/米)。于是有相應(yīng)的微分形式是這就是磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定律

令其中稱為磁場強度矢量，單位是A/m(安培/米4、磁導(dǎo)率

式中χm是一個無量綱常數(shù)，稱為磁化率。式中，μr=1+χm，是介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率，是一個無量綱數(shù)；μ=μ0μr，是介質(zhì)的磁導(dǎo)率，單位和真空磁導(dǎo)率相同，為H/m(亨/米)。鐵磁材料的

和的關(guān)系是非線性的，并且不是的單值函數(shù)，會出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象，其磁化率χm的變化范圍很大，可以達到106量級。4、磁導(dǎo)率式中χm是一個無量綱常數(shù)，稱為磁化5、磁介質(zhì)中恒定磁場基本方程

微分形式

積分形式

磁介質(zhì)的本構(gòu)方程5、磁介質(zhì)中恒定磁場基本方程微分形式

例4.5.1同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，外半徑為c，如圖所示。設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體分別流過反向的電流I，兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ，求各區(qū)域的。

圖3-16同軸線示意圖例4.5.1同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外

解：以后如無特別聲明，對良導(dǎo)體(不包括鐵等磁性物質(zhì))一般取其磁導(dǎo)率為μ0。因同軸線為無限長，則其磁場沿軸線無變化.

當(dāng)r≤a時，電流I在導(dǎo)體內(nèi)均勻分布，且流向+z方向。由安培環(huán)路定律得

考慮這一區(qū)域的磁導(dǎo)率為μ0，可得(r≤a)(r≤a)解：以后如無特別聲明，對良導(dǎo)體(不包括鐵

當(dāng)a<r≤b時，與積分回路交鏈的電流為I，該區(qū)磁導(dǎo)率為μ，可得

(a<r≤b)當(dāng)a<r≤b時，與積分回路交鏈的電流為I，

當(dāng)b<r≤c時，考慮到外導(dǎo)體電流均勻分布，可得出與積分回路交鏈的電流為則當(dāng)r>c時，這一區(qū)域的為零。當(dāng)b<r≤c時，考慮到外導(dǎo)體電流均勻分布，可例4.5.2無限長鐵質(zhì)圓管中通過電流I,管的內(nèi)外半徑分別為a和b,已知鐵的磁導(dǎo)率為u,求管內(nèi)、外空氣中的磁感應(yīng)強度，并計算鐵中的磁化強度和磁化電流的分布。解：采用柱坐標(biāo)系，磁場只有分量，故：例4.5.2無限長鐵質(zhì)圓管中通過電流I,管的內(nèi)外半徑分別為a在的管壁空間內(nèi)有磁化強度為在的管壁空間內(nèi)有磁化強度為管壁內(nèi)的磁化體電流為：在分界面r=a和r=b處的磁化面電流為：在r=a處在r=b處管壁內(nèi)的磁化體電流為：在分界面r=a和r=b處的磁化面電流為4.6恒定磁場的邊界條件圖4.6.1恒定磁場的邊界條件

在不同磁介質(zhì)的分界面上，由于磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率存在突變，而且在磁介質(zhì)表面上一般還存在著束縛電流，因此，B和H在經(jīng)過分界面時要發(fā)生突變。B和H在分界面兩側(cè)的變化關(guān)系稱為B和H在分界面上的邊界條件。

h

SB1B2u2u1enB1B21324

l

hu2u

1Bt4.6恒定磁場的邊界條件圖4.6.1恒定磁場的邊

h

SB1B2u2u1en即：或：故：磁感應(yīng)強度的法向分量連續(xù)hSB1B2u2u1en即：或：故：磁感應(yīng)強度的法向H1H21324

l

hu2u

1Ht由安培環(huán)路定律可得：H1H21324lhu2u1Ht由安培環(huán)路定律可得：H1H21324

l

hu2u

1Bt

若分界面上分布有表面電流，取垂直于小矩形面積的單位矢量為，則穿過小矩形面積的電流為，如圖所示。

另外，又可以成，所以：即：故有：H1H21324lhu2u1Bt若分界如果分界面無源電流，則：或：或：故分界面無源時，磁場強度的切向分量連續(xù)

如果分界面無源電流，則：或：或：故分界面無源時，磁場強度磁力線折射定律：如果介質(zhì)1是空氣，介質(zhì)2是鐵磁物質(zhì)，則由于，，在空氣中磁感應(yīng)線幾乎與鐵表面垂直。在鐵磁物質(zhì)中磁感應(yīng)線幾乎與鐵表面平行。證明：知由所以：與作比值得：磁力線折射定律：如果介質(zhì)1是空氣，介質(zhì)2是鐵磁物質(zhì)，則由于例4.6.1如圖所示，鐵心磁環(huán)的內(nèi)半徑為a，軸線半徑r0，環(huán)的橫截面為矩形，且尺寸為d×h。已知a>>h和鐵心的磁導(dǎo)率μ>>μ0，磁環(huán)上繞有N匝線圈，通以電流為I。試計算環(huán)中的B、H和φ。

解：在忽略環(huán)外漏磁的條件下，由安培環(huán)路定律有：解得：例4.6.1如圖所示，鐵心磁環(huán)的內(nèi)半徑為a，軸線半徑r0，

當(dāng)磁環(huán)上開一很小的切口，即在磁路上有一個小空氣隙時，根據(jù)磁通連續(xù)方程，近似認(rèn)為磁感線穿過空氣隙仍均勻分布在截面上，由邊界條件知：當(dāng)2個區(qū)域磁場強度不同時有：由邊界條件得:當(dāng)磁環(huán)上開一很小的切口，即在磁路上有一個小空氣隙時，4.7電感電感定義:

電感是一種儲存磁場能量的元件，通常由N匝導(dǎo)線繞制而成。當(dāng)線圈通電時，將在空間中激勵磁場，穿過一匝線圈的磁通為φ，穿過線圈的總磁通稱為磁鏈，用ψ表示。假定N匝導(dǎo)線緊密繞制，可以近似認(rèn)為處于同一位置，則：

在線性介質(zhì)中，磁感應(yīng)強度與電流成正比，故：L稱為電感的自感系數(shù)，簡稱自感，單位為H（亨利）。自感取決于線圈的大小、形狀、匝數(shù)和填充的媒質(zhì)。4.7電感電感定義:電感是一種儲存磁場能量的元件

對于兩個線圈構(gòu)成的互感系統(tǒng)，若回路1載有電流I1，在空間產(chǎn)生磁感應(yīng)強度B1，回路2面積為S2，則B1穿過回路2的磁通量為

1、φ12稱為回路1產(chǎn)生的磁場在回路2上的互磁通。若回路2有n圈，則互感磁鏈為ψ12=n2φ12

。

2、同理ψ21=n1φ21。

3、在線性媒質(zhì)中，互磁鏈正比于電流即：ψ12=M12I1

同理，ψ21=M21I2

dl10zyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1對于兩個線圈構(gòu)成的互感系統(tǒng)，若回路1載有電流I1，在即互感：

線圈間的互感取決于回路的形狀、大小、匝數(shù)、兩線圈的相對位置和磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率?；ジ锌烧韶?，其值正負取決于兩個線圈的電流方向，但電感始終應(yīng)為正值。

與回路電流I1交鏈的磁通鏈?zhǔn)怯蓛刹糠执磐ㄐ纬傻?，其一是I1本身產(chǎn)生的磁通形成的磁通鏈

11

，另一是電流I2在回路l1中產(chǎn)生的磁通形成的磁通鏈

21

。

dl10zyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1那么，與電流l1交鏈的磁通鏈

1為即互感：線圈間的互感取決于回路的形狀、大小、匝數(shù)、兩電感計算:

由于實際導(dǎo)線的截面積不能忽略。因此，磁鏈將分為內(nèi)外兩部分。穿過導(dǎo)線內(nèi)部的磁鏈稱為內(nèi)磁鏈ψi

，對應(yīng)的自感稱為內(nèi)自感Li，導(dǎo)線外部的磁鏈稱為外磁鏈ψo,對應(yīng)的自感稱為外自感Lo

。

由于穿過以l為邊界的面積上的磁鏈為：所以，線圈的外自感為（自感的諾伊曼公式）n匝密繞時，則乘以匝數(shù)n電感計算:由于實際導(dǎo)線的截面積不能忽略。因此，磁鏈將

對于內(nèi)自感的計算，設(shè)回路的尺寸比導(dǎo)線截面尺寸大得多且導(dǎo)線橫截面為圓形，則導(dǎo)線內(nèi)部的磁場可近似地認(rèn)為同無限長直圓柱導(dǎo)體內(nèi)部的場相同。若導(dǎo)線截面半徑為a，磁導(dǎo)率為μ，如圖所示。則導(dǎo)線內(nèi)的磁場為穿過導(dǎo)線中長為l，寬為dr的截面的磁通為對于內(nèi)自感的計算，設(shè)回路的尺寸比導(dǎo)線截面尺寸大得多且故長度為l的一段圓截面導(dǎo)線的內(nèi)自感為dφ僅與電流的一部分（即半徑為r的圓截面內(nèi)的電流）相交鏈，因而在計算與I相交鏈的磁鏈時要乘以一個比值，即它交鏈的電流占總電流的百分比，即故內(nèi)磁鏈為：故長度為l的一段圓截面導(dǎo)線的內(nèi)自感為dφ僅與電流的一對于兩單匝互感線圈，回路1通過的電流在回路2上的磁鏈為同理有：

可見：上式為互感的諾伊曼公式

對于兩單匝互感線圈，回路1通過的電流在回路2上的磁鏈為同理例如圖所示，求無限長平行雙導(dǎo)線單位長度外自感。

解：設(shè)導(dǎo)線中電流為I，由無限長導(dǎo)線的磁場公式，可得兩導(dǎo)線之間軸線所在的平面上的磁感應(yīng)強度為

磁場的方向與導(dǎo)線回路平面垂直。單位長度上的外磁鏈為所以單位長外自感為例如圖所示，求無限長平行雙導(dǎo)線單位長度外自感。解4.8磁場的能量和能量密度

磁場系統(tǒng)所具有的磁場能量是在建立此恒定磁場系統(tǒng)過程中，由其它形式的能量轉(zhuǎn)換成磁能的。如磁場系統(tǒng)是由一個或幾個恒定電流回路所產(chǎn)生的，那么磁場的能量就一定是在這些恒定電流的建立過程中，由外電源提供的。假定回路的形狀、位置不變，同時忽略焦耳熱損耗。在建立磁場的過程中，回路的電流分別為i1(t)、i2(t)……in(t)，最初，i1=0，i2=0……in=0，最終，i1=I1,i2=I2，in=In

。在這一過程中，電源作的功轉(zhuǎn)變成磁場能量。4.8磁場的能量和能量密度磁場系統(tǒng)所具有的磁場根據(jù)電路理論可知，回路j有：dt時間內(nèi)與回路

j相連的電源所做的功為：因此，整個系統(tǒng)在dt時間內(nèi)增加的磁能為：回路j的磁鏈為：將此式代入上式可得：根據(jù)電路理論可知，回路j有：dt時間內(nèi)與回路j相連的電源系統(tǒng)的建立過程對應(yīng)于α從0到1的變化過程，即則：于是：整個磁場系統(tǒng)的總磁場能為：若N=1時，即單一回路組成的電感，M11=L，則：系統(tǒng)的建立過程對應(yīng)于α從0到1的變化過程，即則：于是：整若N=2，即雙線圈時，M11=L1，M22=L2，M12=M21=M，則：同時故，對于分布電流

若N=2，即雙線圈時，M11=L1，M22=L2，M12

若將式中積分體積擴大到無窮大，