2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)高分突破必練專題（人教版） 等腰三角形分類討論問題綜合應(yīng)用（解析版）

等腰三角形分類討論問題綜合應(yīng)用類型一：腰和底不明時(shí)需討論類型二：頂角和底角不明時(shí)需討論類型三：涉及中線、高位置的討論類型四：等腰三角形個(gè)數(shù)的討論類型五：動(dòng)點(diǎn)引起的分類討論【考點(diǎn)1腰和底不明時(shí)需分類】【典例1】等腰三角形的兩邊長分別為4和8，則這個(gè)等腰三角形的周長是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對(duì)【答案】B【解答】解：①若4是腰，則另一腰也是4，底是8，但是4+4＝8，故不構(gòu)成三角形，舍去．②若4是底，則腰是8，8．4+8＞8，符合條件．成立．故周長為：4+8+8＝20．故選：B【變式1-1】等腰三角形的一條邊長為4cm，另一條邊長為6cm，則它的周長是．【答案】14cm或16cm【解答】解：當(dāng)4cm為腰時(shí)，三邊為4cm、4cm、6cm，可以構(gòu)成三角形，∴周長為：4+4+6＝14（cm）；當(dāng)6cm為腰時(shí)，三邊為為6cm、6cm、4cm，可以構(gòu)成三角形，∴周長為：6+6+4＝16（cm）；綜上，周長為14cm或16cm．故答案為：14cm或16cm．【考點(diǎn)2頂角和底角不明時(shí)需討論】【典例2】等腰三角形的一個(gè)角是50°，則它的底角是（）A．50° B．50°或65° C．80° D．65°【答案】B【解答】解：當(dāng)?shù)捉菫?0°時(shí)，則底角為50°，當(dāng)頂角為50°時(shí)，由三角形內(nèi)角和定理可求得底角為：65°，所以底角為50°或65°，故選：B．【變式2-1】等腰三角形的一個(gè)角是100°，則其底角是（）A．40° B．100° C．80° D．100°或40°【答案】A【解答】解：當(dāng)100°為頂角時(shí)，其他兩角都為40°、40°，當(dāng)100°為底角時(shí)，等腰三角形的兩底角相等，由三角形的內(nèi)角和定理可知，底角應(yīng)小于90°，故底角不能為100°，所以等腰三角形的底角為40°、40°．故選A【變式2-2】（2020秋?慈溪市期中）已知，在等腰△ABC中，一個(gè)外角的度數(shù)為100°，則∠A的度數(shù)不能取的是（）A．20° B．50° C．60° D．80°【答案】C【解答】解：當(dāng)100°的角是頂角的外角時(shí)，頂角的度數(shù)為180°﹣100°＝80°，另外兩個(gè)角的度數(shù)都為50°；當(dāng)100°的角是底角的外角時(shí)，兩個(gè)底角的度數(shù)都為180°﹣100°＝80°，頂角的度數(shù)為180°﹣2×80°＝20°；故∠A的度數(shù)不能取的是60°．故選：C．【考點(diǎn)3涉及中線、高位置的討論】【典例3】（2020秋?鄞州區(qū)期末）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為25°，則頂角的度數(shù)為（）A．65° B．105° C．55°或105° D．65°或115°【答案】D【解答】解：①如圖1，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時(shí)，腰上的高在外部．根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可求得頂角是90°+25°＝115°；②如圖2，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時(shí)，腰上的高在其內(nèi)部，故頂角是90°﹣25°＝65°．故選：D．【變式3-1】（2021春?南海區(qū)校級(jí)月考）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角等于30°，則這個(gè)等腰三角形的頂角等于（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°【答案】D【解答】解：當(dāng)高在三角形內(nèi)部時(shí)，如圖1，∵∠ABD＝30°，BD⊥AC，∴∠A＝60°；∴頂角是60°；當(dāng)高在三角形外部時(shí)，如圖2，∵∠ABD＝30°，BD⊥AC于D，∴∠BAD＝60°，∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°∴頂角是120°．故選：D．【變式3-2】（2021春?浦東新區(qū)期末）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，那么這個(gè)等腰三角形的底角為．【答案】75°或15°【解答】解：根據(jù)題意得：AB＝AC，BD⊥AC，如圖（1），∠ABD＝60°，則∠A＝30°，∴∠ABC＝∠C＝75°；如圖（2），∠ABD＝60°，∴∠BAD＝30°，∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝15°．故這個(gè)等腰三角形的底角是：75°或15°．故答案為：75°或15°．【典例4】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分成12cm和15cm兩部分，求△ABC各邊的長．【解答】解：∵BD是AC邊上的中線，∴AD＝CD＝AC，∵AB＝AC，∴AD＝CD＝AB，設(shè)AD＝CD＝xcm，BC＝y(tǒng)cm，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，即，解得：，∴△ABC的各邊長為8cm，8cm，11cm；當(dāng)時(shí)，即，解得：，∴△ABC的各邊長為10cm，10cm，7cm；綜上所述：△ABC各邊的長為8cm，8cm，11cm或10cm，10cm，7cm．【變式4】（2021春?浦東新區(qū)期中）已知等腰三角形的底邊長為6，一條腰上的中線把三角形的周長分為兩部分，其中一部分比另外一部分長2，則三角形的腰長是．【答案】8或4【解答】解：等腰三角形一條腰上的中線把三角形的周長分為兩部分，這兩部分的差即是腰與底的差的絕對(duì)值，∵其中一部分比另外一部分長2，∴腰比底大2或底比腰大2，∴腰為8或4．故答案為：8或4．【考點(diǎn)4等腰三角形個(gè)數(shù)的討論】【典例5】如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱作格點(diǎn)，圖中A、B在格點(diǎn)上，則圖中滿足△ABC為等腰三角形的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解答】解：如圖所示：分三種情況：①以A為圓心，AB長為半徑畫弧，則圓弧經(jīng)過的格點(diǎn)C1，C2，C3即為點(diǎn)C的位置；②以B為圓心，AB長為半徑畫弧，則圓弧經(jīng)過的格點(diǎn)C3，C4，C5，C6，C7，C8即為點(diǎn)C的位置；③作AB的垂直平分線，垂直平分線沒有經(jīng)過格點(diǎn)；∴△ABC為等腰三角形的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為：8，故選：B．【變式5-1】如圖，△ABC中，直線l是邊AB的垂直平分線，若直線l上存在點(diǎn)P，使得△PAC，△PAB均為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)共有（）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【解答】解：分三種情況：如圖：當(dāng)AP＝AC時(shí)，以A為圓心，AC長為半徑畫圓，交直線l于點(diǎn)P1，P2，當(dāng)CA＝CP時(shí)，以C為圓心，CA長為半徑畫圓，交直線l于點(diǎn)P3，P4，當(dāng)PA＝PC時(shí)，作AC的垂直平分線，交直線l于點(diǎn)P5，∵直線l是邊AB的垂直平分線，∴直線l上任意一點(diǎn)（與AB的交點(diǎn)除外）與AB構(gòu)成的三角形均為等腰三角形，∴滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)共有5個(gè)，故選：C．【變式5-2】如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直線BC上取一點(diǎn)P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解答】解：分三種情況，如圖：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°，當(dāng)BA＝BP時(shí)，以B為圓形，BA長為半徑畫圓，交直線BC于P1，P2兩個(gè)點(diǎn)，∵BA＝BP2，∠ABC＝60°，∴△ABP2是等邊三角形，∴AB＝BP2＝AP2，當(dāng)AB＝AP時(shí)，以A為圓形，AB長為半徑畫圓，交直線BC于P2，當(dāng)PA＝PB時(shí)，作AB的垂直平分線，交直線BC于P2，綜上所述，在直線BC上取一點(diǎn)P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有2個(gè)，故選：B．【考點(diǎn)5動(dòng)點(diǎn)引起的分類】【典例6】如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（D不與B、C重合），連結(jié)AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點(diǎn)E．（1）當(dāng)∠BDA＝115°時(shí)，∠BAD＝；點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BDA逐漸變（填“大”或“小”）．（2）當(dāng)DC的長為多少時(shí)，△ABD與△DCE全等？請(qǐng)說明理由．（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，△ADE的形狀也在改變，請(qǐng)判斷當(dāng)∠BDA等于多少度時(shí)，△ADE是等腰三角形．（直接寫出結(jié)論，不說明理由．）【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠BDA＝115°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣115°﹣40°＝25°，由圖形可知，∠BDA逐漸變小，故答案為：25°；小；（2）當(dāng)DC＝2時(shí)，△ABD≌△DCE，理由如下：∵AB＝2，∴AB＝DC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°，∴∠DEC+∠EDC＝140°，∵∠ADE＝40°，∴∠ADB+∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）當(dāng)∠BDA的度數(shù)為110°或80°時(shí)，△ADE是等腰三角形，當(dāng)DA＝DE時(shí)，∠DAE＝∠DEA＝70°，∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°；當(dāng)AD＝AE時(shí)，∠AED＝∠ADE＝40°，∴∠DAE＝100°，此時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不合題意；當(dāng)EA＝ED時(shí)，∠EAD＝∠ADE＝40°，∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝40°+40°＝80°，綜上所述，當(dāng)∠BDA的度數(shù)為110°或80°時(shí)，△ADE是等腰三角形．【變式6】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點(diǎn)E．（1）當(dāng)∠BDA＝110°時(shí)，∠EDC＝°，∠DEC＝°；點(diǎn)D從B向C的運(yùn)動(dòng)過程中，∠BDA逐漸變（填“大”或“小”）；（2）當(dāng)DC等于多少時(shí)，△ABD≌△DCE，請(qǐng)說明理由；（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，求∠BDA的度數(shù)為多少時(shí)，△ADE是等腰三角形．【解答】解：（1）當(dāng)∠BDA＝110°時(shí)，∠EDC＝180°﹣110°﹣40°＝30°，∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣C＝180°﹣30°﹣40°＝110°，∵點(diǎn)D從B向C的運(yùn)動(dòng)過程中，∠BAD逐漸變大，∴∠BDA逐漸變小，故答案為：30，110，??；（2）當(dāng)DC＝2時(shí)，△ABD≌△DCE，理由如下，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE，∵AB＝CD＝2，∠B＝∠C＝40°，∴△ABD≌△DCE（ASA）；（3）若AD＝DE時(shí)，∵AD＝DE，∠ADE＝40°∴∠DEA＝∠DAE＝70°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝30°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°，若AE＝DE時(shí)，∵AE＝DE，∠ADE＝40°∴∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠AED＝100°，∵∠DEA＝∠C+∠EDC，∴∠EDC＝60°，∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，由題意知AD＝AE不可能，綜上所述：當(dāng)∠BDA＝80°或110°時(shí)，△ADE的形狀可以是等腰三角形．1．（2019秋?海安市期中）用一條長為18cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形，若其中有一邊的長為5cm，則該等腰三角形的腰長為（）cm．A．5 B．6.5 C．5或6.5 D．6.5或8【答案】C【解答】解：5cm是腰長時(shí)，底邊為18﹣5×2＝8，∵5+5＞8，∴5cm、5cm、8cm能組成三角形；5cm是底邊時(shí)，腰長為（18﹣5）＝6.5cm，5cm、6.5cm、6.5cm能夠組成三角形；綜上所述，它的腰長為6.5或5cm．故選：C．2．（2021?碑林區(qū)校級(jí)開學(xué)）若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角比另一個(gè)內(nèi)角大30°，則這個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)是（）A．50° B．80° C．50°或70° D．80°或40°【答案】C【解答】解：在△ABC中，設(shè)∠A＝x，∠B＝x+30°，分情況討論：當(dāng)∠A＝∠C為底角時(shí)，2x+（x+30°）＝180°，解得x＝50°，底角∠A＝50°；當(dāng)∠B＝∠C為底角時(shí)，2（x+30°）+x＝180°，解得x＝40°，底角∠B＝70°．故這個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)為50°或70°．故選：C．3．（2020秋?渝北區(qū)校級(jí)月考）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為25°，則其底角為（）A．65° B．32.5° C．32.5°或57.5° D．32.5°或65°【答案】C【解答】解：①如圖1，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時(shí)，腰上的高在外部，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可得頂角是90°+25°＝115°，則其底角為（180°﹣115°）÷2＝32.5°；②如圖2，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時(shí)，腰上的高在其內(nèi)部，故頂角是90°﹣25°＝65°，則其底角為（180°﹣65°）÷2＝57.5°．故選：C．4.（2021春?淮陽區(qū)校級(jí)期末）某等腰三角形的周長是21cm，一條腰上的中線把其周長分成兩部分的差為3cm，該三角形的腰長是cm．【答案】8或6【解答】解：設(shè)等腰三角形的腰長是xcm，底邊長是ycm，根據(jù)題意得或，解得或，∵8、8、5與6、6、9都能組成三角形，∴該三角形的腰長為8cm或6cm．故答案是8或6．5．若△ABC中剛好有∠B＝2∠C，則稱此三角形為“可愛三角形”，并且∠A稱作“可愛角”．現(xiàn)有一個(gè)“可愛且等腰的三角形”，那么聰明的同學(xué)們知道這個(gè)三角形的“可愛角”應(yīng)該是（）A．45°或36° B．72°或36° C．45°或72° D．45°或36°或72°【答案】C【解答】解：①設(shè)三角形底角為α，頂角為2α，則α+α+2α＝180°，解得：α＝45°，②設(shè)三角形的底角為2α，頂角為α，則2α+2α+α＝180°，解得：α＝36°，∴2α＝72°，∴三角形的“可愛角”應(yīng)該是45°或72°，故選：C．6．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知A，B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【解答】解：如圖：分三種情況：當(dāng)AB＝AC時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，以AB長為半徑作圓，則點(diǎn)C1，C2，C3即為所求；當(dāng)BA＝BC時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，以BA長為半徑作圓，則點(diǎn)C4，C5，C6即為所求；當(dāng)CA＝CB時(shí)，作AB的垂直平分線，則點(diǎn)C7，C8即為所求；綜上所述：符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是8，故選：B．7．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點(diǎn)E．（1）點(diǎn)D從B向C的運(yùn)動(dòng)過程中，∠BDA逐漸變（填“大”或“小”）；（2）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)∠BDA的度數(shù)是時(shí)，△ADE是等腰三角形．【解答】解：（1）點(diǎn)D從B向C的運(yùn)動(dòng)過程中，∠BDA逐漸變小，故答案為：??；（2）分三種情況：當(dāng)AD＝AE時(shí)，∴∠ADE＝∠AED＝40°，∵∠AED是△DEC的外角，∴∠AED＞∠C，此種情況不存在，當(dāng)DA＝DE時(shí)，∵∠ADE＝40°，∴∠DAE＝∠DEA＝70°，∵∠C＝40°，∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝110°，當(dāng)EA＝ED時(shí)，∴∠EAD＝∠ADE＝40°，∵∠C＝40°，∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝80°，綜上所述：∠BDA的度數(shù)是110°或80°，故答案為：110°或80°．