抽象代數(shù) 群的定義

抽象代數(shù)群的定義1第1頁(yè)，課件共12頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月群的定義

設(shè)非空集S上有一個(gè)運(yùn)算·,1、如果運(yùn)算滿足結(jié)合律，則稱(S,·)是半群。2、如果半群S中有一個(gè)元素e滿足

a∈S有

e

·

a=a·

e=a，則稱(S,·,e)是幺半群，稱e為單位元或幺元。3、如果幺半群S滿足

a∈S有ｂ∈S使得

a·ｂ=ｂ·a=e則稱a是可逆元，并稱ｂ是a的一個(gè)逆元。注：通常用1表示單位元。2023/8/172第2頁(yè)，課件共12頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月群定義４命題若a是可逆元，則a的逆元是唯一的，記為a－１．證明：若a有兩個(gè)逆元ｂ和ｃ，即有

ab=ba=1,ac=ca=1

b=1b=cab=c1=c.■5、如果幺半群S的每個(gè)元素都有逆元，則稱Ｓ是一個(gè)群(group)。運(yùn)算滿足交換律的群Ｓ稱為交換群.2023/8/173第3頁(yè)，課件共12頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月群定義6、對(duì)群G中的元a和正整數(shù)n．

an表示n

個(gè)a

相乘;

a-n

=(a-1)n,a0=17、驗(yàn)證：amn

=(am)n;

am+n

=aman.2023/8/174第4頁(yè)，課件共12頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月幾個(gè)問題:(1)、為什么要求群的運(yùn)算滿足結(jié)合律?

(2)、為什么要有單位元？(3)、逆元的存在性有何運(yùn)算意義?

2023/8/175第5頁(yè)，課件共12頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月群的例子再明確一下群的概念定義設(shè)Ｇ是一個(gè)非空集合，如果Ｇ上定義了一個(gè)運(yùn)算滿足（Ｉ）結(jié)合律

a,b,c∈A有(ab)c=a(bc)；（Ⅱ）有單位元e：

a∈A有

ea=ae=a；（Ⅲ）有逆元

a∈G，有b∈Ｇ使得

ab=ba=e(其中b稱為a的逆元，記為a－１

)。則稱Ｇ是一個(gè)群．注意：記住驗(yàn)證運(yùn)算的封閉性！2023/8/176第6頁(yè)，課件共12頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.１群的概念和例子例１實(shí)集Ｒ、有理數(shù)集Ｑ、整數(shù)集Ｚ關(guān)于數(shù)的加法都是交換群（滿足交換律的群）；關(guān)于數(shù)的乘法怎么樣？規(guī)定：只有交換群的運(yùn)算符才能用加號(hào)“+”表示。當(dāng)交換群G的運(yùn)算符才能用加號(hào)“+”表示時(shí)，則稱G為加群。例２正實(shí)集Ｒ＋、正有理數(shù)集Ｑ＋關(guān)于數(shù)的乘法都是交換群；正整數(shù)集Ｚ＋關(guān)于數(shù)的乘法怎么樣？2023/8/177第7頁(yè)，課件共12頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例３即方程xn=1的全部根之集，不難驗(yàn)證:1.１群的概念和例子設(shè)是n次單位根集．Ｕn關(guān)于數(shù)的乘法是一個(gè)群．叫做n次單位根群。2023/8/178第8頁(yè)，課件共12頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.１群的概念和例子證明：例４域Ｆ上的全體n階可逆方陣GLn(F)關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)群，稱為Ｆ上的n階一般線性群．即Ａ,Ｂ∈GLn(F)，有AB∈GLn(F)．封閉性可逆矩陣的乘積還是可逆矩陣，結(jié)合律:矩陣的乘法滿足結(jié)合律；單位元:單位矩陣Ｉ就是單位元；逆元:Ａ∈GLn(F)，Ａ可逆，A的逆矩陣就是Ａ的逆元．2023/8/179第9頁(yè)，課件共12頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.１群的概念和例子例５域Ｆ上的行列式為1的全體n階方陣之集SLn(F)關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)群，稱為Ｆ上的n階特殊線性群．例6實(shí)數(shù)域R上的全體n階正交矩陣之集On(R)關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)群，稱為n階正交群．2023/8/1710第10頁(yè)，課件共12頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7向量空間VＦ上的全體可逆線性變換GL(V)關(guān)于變換的合成運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群．例8

n維歐氏空間VＦ上的全體正交變換之集On(V)關(guān)于變換的合成運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群．例9平面上繞一定點(diǎn)按同一方向旋轉(zhuǎn)2k/

n的變換記為

k

，則{

1,

2,…,

n}關(guān)