控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設計

控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設計第1頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月5.1

線性定常系統(tǒng)常用反饋結構及其對系統(tǒng)性能的影響5.2狀態(tài)反饋系統(tǒng)的極點配置

5.3狀態(tài)觀測器的設計

5.4帶觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的綜合第2頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月一.兩種常用反饋結構

(1)狀態(tài)反饋

狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)的每一個狀態(tài)變量乘以相應的反饋系數(shù)，然后反饋到輸入端與參考輸入相加形成控制律，作為受控系統(tǒng)的控制輸入。5.1線性定常系統(tǒng)常用反饋結構及其對系統(tǒng)性能的影響第3頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月以單輸入-單輸出系統(tǒng)為例，其狀態(tài)空間描述為：狀態(tài)反饋控制規(guī)律為狀態(tài)反饋K的引入，沒有引入新的狀態(tài)變量，也不增加系統(tǒng)的維數(shù)，但可以通過K陣的選擇自由地改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而使系統(tǒng)獲得所要求的性能。經(jīng)過狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

閉環(huán)特征多項式:

第4頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)輸出反饋輸出反饋有兩種形式，最常見的是將系統(tǒng)的輸出量乘以相應的系數(shù)反饋到輸入端與參考輸入相加，其和作為受控對象的控制輸入。經(jīng)典控制理論中所討論的就是這種反饋。多輸入-多輸出系統(tǒng)的輸出反饋系統(tǒng)的這種形式見教材P199圖5.2所示。第5頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月輸出反饋控制規(guī)律為由此可見,經(jīng)過輸出反饋后,閉環(huán)系統(tǒng)同樣沒有引入新的狀態(tài)變量,僅僅是系統(tǒng)矩陣A變成了A-BHC。輸出反饋的另一種形式是輸出量乘以相應的系數(shù)反饋到狀態(tài)微分處。第6頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月不管是狀態(tài)反饋還是輸出反饋，都可以改變系統(tǒng)矩陣A，但這并不表明兩者具有等同的功能。

二.反饋結構對系統(tǒng)性能的影響由于引入反饋，系統(tǒng)狀態(tài)的系數(shù)矩陣發(fā)生變化，對系統(tǒng)的能控性、能觀測性、響應特性、穩(wěn)定性等都有影響。第7頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)對系統(tǒng)能控性、能觀測性的影響定理[5.1]狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng)的能控性，但卻不一定能保持系統(tǒng)的能觀測性。1.加入狀態(tài)反饋不影響系統(tǒng)的能控性

第8頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：為簡單起見，以單輸入-單輸出系統(tǒng)為例。原系統(tǒng)和狀態(tài)反饋系統(tǒng)的能控性判別陣分別為：這表明的列向量可以由的列向量的線性組合來表示。

第9頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月

表明，若原來系統(tǒng)能控，則加上任意的狀態(tài)反饋后，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)也能控；若原來系統(tǒng)不能控，則無論用什么K陣作狀態(tài)反饋，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)仍然不能控。這一性質(zhì)稱為狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控制性。第10頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月關于狀態(tài)反饋不一定能保持系統(tǒng)的能觀測性舉一反例說明：其能觀測判別陣：原系統(tǒng)能觀測a.引入狀態(tài)反饋k=[３１]其能觀測判別陣：反饋系統(tǒng)不能觀測第11頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月b.引入狀態(tài)反饋k=[01]其能觀測判別陣：反饋系統(tǒng)能觀測這表明狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的能觀測性。其原因是由于通過狀態(tài)反饋造成了所配置的極點與零點相消。第12頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月2．加入輸出反饋不改變系統(tǒng)的能觀測性，對系統(tǒng)的能控性的影響因輸出反饋的位置不同而不同。

定理[5.2]輸出至參考輸入反饋引入的輸出反饋不改變受控系統(tǒng)的能控性和能觀測性。第13頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：因為這種輸出反饋中的HC等效與狀態(tài)反饋中的K，那么輸出反饋也保持了受控系統(tǒng)的能控性不變。關于能觀測性不變，可由能觀測性判別矩陣（仍以單輸入-單輸出系統(tǒng)為例）。仿照定理[5.1]的證明方法，同樣可以把看作經(jīng)初等變換的結果，而初等變換不改變矩陣的秩，因此能觀測性保持不變。第14頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月定理[5.3]輸出至狀態(tài)微分反饋引入的輸出反饋不改變系統(tǒng)的能觀測性，但可能改變系統(tǒng)的能控性。設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為:關于輸出至狀態(tài)微分反饋可能改變系統(tǒng)的能控性舉一反例說明：原系統(tǒng)能控第15頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月1.引入圖5.1所示輸出反饋H=[12]T后的能控性。輸出反饋系統(tǒng)不能控2.引入圖5.1所示輸出反饋H=[01]T后的能控性。輸出反饋系統(tǒng)能控第16頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月[例5.1.1]設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為:試分析系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋K=[31]后的能控性和能觀測性。第17頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月解：容易驗證原系統(tǒng)是能控又能觀測的。引入狀態(tài)反饋K=[31]后系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：系統(tǒng)能控系統(tǒng)不能觀測狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng)的能控性，但卻不一定能保持系統(tǒng)的能觀測性。這反映在傳遞函數(shù)上出現(xiàn)了零極點相消現(xiàn)象第18頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月經(jīng)過狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：（2）狀態(tài)反饋和輸出反饋都能影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性

加入反饋，通過反饋構成的閉環(huán)系統(tǒng)成為穩(wěn)定的系統(tǒng)，這個過程稱為鎮(zhèn)定。對于

是漸進穩(wěn)定的，即（A-BK）的特征值具有負實部，則稱系統(tǒng)實現(xiàn)了狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定。

返回第19頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月極點配置方法在某種程度上類似與根軌跡法，它們都是把閉環(huán)極點配置在希望的位置上。它們的基本區(qū)別在于：根軌跡法只把主導極點配置到希望的位置，而極點配置設計是把所有閉環(huán)極點都配置到希望的位置。極點配置：就是通過選擇反饋矩陣K，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點恰好配置在根平面上所期望的位置，以獲得所希望的動態(tài)性能。這里需要解決兩個問題：第一：極點可任意配置的條件；第二：確定極點配置所需要的K陣。5.2狀態(tài)反饋系統(tǒng)的極點配置

第20頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月一.任意配置閉環(huán)極點的充分必要條件

定理[5.4]教材P205定理[5.4]采用狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在任意位置的充分必要條件是受控對象完全能控。第21頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月二.極點配置的設計步驟P206第一步，判斷系統(tǒng)是否完全能控，只有完全能控，才能任意配置極點,計算原系統(tǒng)的特征方程：化為能控標準型：

第22頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月第二步，加入狀態(tài)反饋陣，計算的特征多項式第23頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月第三步，由所給的n個期望特征值，計算期望的多項式第四步，比較兩個特征值的系數(shù)，從中求出第五步，把對應于的變換，得到對應于原狀態(tài)x的反饋陣k。第24頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月[例5.2.1]教材P206[例5.2]某受控對象的傳遞函數(shù)為：試設計狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點為-2，，閉環(huán)系統(tǒng)結構圖見教材P207圖5.12。第25頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月解：①因為傳遞函數(shù)沒有零、極點對消現(xiàn)象，所以受控對象是能控的。可以任意配置極點。②加入狀態(tài)反饋陣，計算的特征多項式③由所給的期望特征值-2，，計算期望的多項式第26頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月④比較各項系數(shù)第27頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月第28頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月[例5.2.2]已知單輸入線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試設計狀態(tài)反饋控制器K，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點為-2，-1+j，-1-j。解：①系統(tǒng)的能控判別陣：原系統(tǒng)能控，可以任意配置極點。第29頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月②由于原系統(tǒng)不是能控標準型，化為能控標準型。變換陣第30頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月③加入狀態(tài)反饋陣，計算的特征多項式④計算期望的多項式比較各項系數(shù)第31頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月⑤方法二：若不將原系統(tǒng)化為能控標準型第32頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月比較各項系數(shù)P240作業(yè)5.1

第33頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月在極點配置定理中，“任意配置”是和系統(tǒng)可控是等價的。若不要求任意配置，就不一定要求系統(tǒng)可控。因此給定一組期望的特征值，只有它包含了所有不可控部分的特征值時，才是可配置的。三.不完全能控系統(tǒng)的極點配置第34頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月[例5.2.3]單輸入/單輸出線性定常系統(tǒng)：（1）若指定閉環(huán)特征值{-2,-2,-1,-1}；（2）若指定閉環(huán)特征值{-2,-2,-2,-1}；（3）若指定閉環(huán)特征值{-2,-2,-2,-2}。分別判斷是否存在狀態(tài)反饋陣K，使閉環(huán)極點配置到下列期望的位置。第35頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月解：系統(tǒng)矩陣A已為約當規(guī)范型，對應特征值有1個約當小塊；對應特征值有2個約當小塊。取出矩陣b中相應于各約當小塊末行的那些行，并加以判斷，有：

有一個不能控狀態(tài)變量進一步可知：為系統(tǒng)能控部分的特征值。為系統(tǒng)不能控部分的特征值第36頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）若指定閉環(huán)特征值{-2,-2,-1,-1}；（2）若指定閉環(huán)特征值{-2,-2,-2,-1}；由于都包含了系統(tǒng)不可控部分特征值{-1}，而系統(tǒng)能控部分特征值必可通過狀態(tài)反饋配置到期望特征值{-2,-2,-1}及{-2,-2,-2}。（3）若指定閉環(huán)特征值{-2,-2,-2,-2}。由于原系統(tǒng)有不可控部分特征值{-1}，狀態(tài)反饋不能對該特征值任意配置。因此，必不存在狀態(tài)反饋陣K，使系統(tǒng)極點配置在{-2,-2,-2,-2}第37頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月推論：對n維不完全能控的線性定常系統(tǒng)系統(tǒng)能控部分特征值：系統(tǒng)不能控部分特征值：系統(tǒng)期望特征值組那么，若全部屬于則必存在狀態(tài)反饋陣K實現(xiàn)指定的期望極點配置；若部分屬于則必不存在狀態(tài)反饋陣K實現(xiàn)指定的期望極點配置。第38頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月定理[5.5]采用狀態(tài)反饋使不完全能控系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的不能控極點都具有負實部。[例5.2.4]設被控對象的狀態(tài)方程為：

試分析是否存在狀態(tài)反饋,使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。解:第39頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)定理[5.5]需要對該系統(tǒng)進行能控性分解來分析該不完全能控系統(tǒng)通過狀態(tài)反饋是否穩(wěn)定?？梢?，不能控極點為-2，該系統(tǒng)能通過狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。第40頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月四.狀態(tài)反饋在工程中的應用

[例5.2.5]設被控對象的傳遞函數(shù)為：試在系統(tǒng)能控標準形下,求狀態(tài)反饋,使閉環(huán)系統(tǒng)滿足如下性能:超調(diào)量,峰值時間,阻尼振蕩頻率。選自《現(xiàn)代控制理論基礎》北京大學出版社返回第41頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月在很多情況下，只有被控對象的輸入量和輸出量能夠用傳感器測量，而多數(shù)狀態(tài)變量不易測量或不可能測得，于是提出了利用被控對象的輸入量和輸出量建立狀態(tài)觀測器（又稱狀態(tài)估計器、狀態(tài)重構器）來重構狀態(tài)的問題。5.3狀態(tài)觀測器的設計觀測器存在的條件：①如果原系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，則可以構造全維觀測器；②如果原系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能觀測的，不能觀測的狀態(tài)有是漸進穩(wěn)定的，則可以構造降維觀測器。第42頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月觀測器的結構：（1）開環(huán)觀測器這種狀態(tài)觀測器沒有實用價值.因為:①模型系統(tǒng)的A、B難以與真實系統(tǒng)的一致。②兩系統(tǒng)的初值難以設置得相同。由于圖5.14未利用系統(tǒng)的輸出信息對誤差進行校正，所以圖5.14得到的估計值是一個開環(huán)估計值。第43頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）漸進觀測器漸進觀測器是具有實際應用價值的，它不受系統(tǒng)結構參數(shù)與運動初值的影響。一般系統(tǒng)的輸入量u和輸出量y均為已知，因此希望利用y=cx與的偏差信號來修正的值，這樣就形成了如圖所示的閉環(huán)估計方案。第44頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月一.全維狀態(tài)觀測器的設計

全維(階)觀測器：重構狀態(tài)向量的維數(shù)等于被控對象狀態(tài)向量的維數(shù)。

一個最簡單直觀的方法是利用計算機構成一個與實際系統(tǒng)具有同樣動態(tài)方程的模型系統(tǒng),用模型系統(tǒng)的狀態(tài)變量作為系統(tǒng)狀態(tài)變量的估計值,如圖(教材P210圖5.14)狀態(tài)觀測器的極點配置第45頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月第46頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月觀測器估計誤差應滿足方程式[定理5.6]

教材P212[定理5.6]

若n維線性定常系統(tǒng)是完全能觀測的，則可用圖5.15所示的全維狀態(tài)觀測器重構出其所有的狀態(tài)。反饋矩陣G可以按任意給定的極點位置來選擇，所給定的極點位置將決定狀態(tài)誤差向量衰減到零的速度。第47頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月[例5.3.1]

（教材P212例5.5）已知受控對象傳遞函數(shù)為試設計狀態(tài)觀測器，極點配置在-10，-10。解：傳遞函數(shù)無零、極點對消，受控系統(tǒng)完全能觀測。將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化成狀態(tài)空間描述，并寫成能控型實現(xiàn)，有將觀測器增益矩陣G寫成：第48頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)給定的期望極點，求出期望的觀測器特征方程為：觀測器方程為第49頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月322uy322u322y第50頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月8.523.5322u322+第51頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月二.降維狀態(tài)觀測器的設計

降維(階)觀測器:狀態(tài)觀測器重構的狀態(tài)向量的維數(shù)小于被控對象狀態(tài)向量的維數(shù)。應用場合：①系統(tǒng)不能觀測；②不能控系統(tǒng)狀態(tài)反饋的設計③有部分狀態(tài)能直接觀測，希望簡化觀測器結構，只對不能觀測的狀態(tài)變量進行觀測。第52頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月降維狀態(tài)觀測器的設計步驟⑴判斷被控系統(tǒng)的可觀測性，確定降維觀測器維數(shù)(n-m);(2)(3)(4)(5)第53頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月返回[例5.3.2]

（教材P217例5.7）已知系統(tǒng)試設計降維觀測器,其極點為-3和-4。第54頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月引入了狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)如下：疑問：1.用觀測器提供的估計值代替真實狀態(tài)x實現(xiàn)狀態(tài)反饋，為保證系統(tǒng)的期望特征值，其狀態(tài)反饋陣K是否需要重新設計？5.4帶觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的綜合第55頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月2.當觀測器被引入后，狀態(tài)反饋系統(tǒng)部分是否回改變已經(jīng)設計好的觀測器極點配置，其觀測器輸出反饋陣G是否需要重新設計？[分離定理]若被控系統(tǒng)(A,B,C)既能控又能觀測。用狀態(tài)觀測器形成狀態(tài)反饋時，其系統(tǒng)的極點配置和觀測器設計可分別獨立進行，即