2023-2024學(xué)年福建省泉州市鯉城區(qū)培元中學(xué)八年級(jí)上摸底數(shù)學(xué)試卷8月份含解析

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一、選擇題（本大題共20小題，共70.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.如圖，在中，，平分，于，則下列結(jié)論：

平分；；

平分；：：，其中正確的有()

A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)

2.如圖：為內(nèi)一點(diǎn)，平分，，，若，，則的長(zhǎng)為()

A.B.C.D.

3.如圖，是尺規(guī)作圖中“畫一個(gè)角等于已知角”的示意圖，該作法運(yùn)用了“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”這一性質(zhì)()

A.B.C.D.

4.下列命題中，真命題的是()

A.相等的角是對(duì)頂角B.兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等

C.垂直于同一條直線的兩條直線互相垂直D.平行于同一條直線的兩條直線互相平行

5.如圖所示，，，垂足分別為、，，為的中點(diǎn)，且于，若，則的長(zhǎng)度為()

A.

B.

C.

D.

6.如圖，已知是的角平分線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，的面積為，，：：，則的長(zhǎng)為()

A.B.C.D.

7.在中，邊，的垂直平分線、相交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是．()

A.

B.

C.

D.

8.如圖，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向移動(dòng)，以為邊在右側(cè)作等邊，連接，則所在直線與所在直線的位置關(guān)系是()

A.平行B.相交C.垂直D.平行、相交或垂直

9.如圖，是中的角平分線，，于點(diǎn)，，，則是()

A.

B.

C.

D.

10.如圖，等腰三角形中，，是邊上的高，若，則的大小是()

A.

B.

C.

D.

11.如圖，已知，欲用“邊角邊”證明≌，需補(bǔ)充條件()

A.B.

C.D.

12.如圖，，兩點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，每個(gè)方格都是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)也在格點(diǎn)上，且為等腰三角形，在圖中所有符合條件的點(diǎn)應(yīng)該有個(gè)．()

A.

B.

C.

D.

13.如圖，在中，、分別是線段、的垂直平分線，若，則的度數(shù)是()

A.B.C.D.

14.如圖，點(diǎn)，，，在同一條直線上，，，則添加下列條件中的一個(gè)條件后，不一定能判定≌的是()

A.

B.

C.

D.

15.計(jì)算，結(jié)果正確的是()

A.B.C.D.

16.如圖，面積為的等邊三角形中，，，分別是，，的中點(diǎn)，則的面積是()

A.

B.

C.

D.

17.如圖，面積為的正方形的頂點(diǎn)在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為，若點(diǎn)在數(shù)軸上，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)且，則點(diǎn)所表示的數(shù)為()

A.B.C.D.

18.如圖，點(diǎn)在正五邊形的內(nèi)部，為等邊三角形，則等于()

A.

B.

C.

D.

19.在實(shí)數(shù)，，，中，最大的數(shù)是()

A.B.C.D.

20.有理數(shù)，，，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共12小題，共48.0分）

21.計(jì)算：______．

22.已知，，則______．

23.如圖，，請(qǐng)你添加一個(gè)條件：______，能使只添一個(gè)即可．

24.已知等邊的邊長(zhǎng)是，，，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是______．

25.已知，，則的值為______．

26.計(jì)算下列各題：

______；

______；

______；

______．

27.命題“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”題設(shè)為______，結(jié)論為______．

28.如圖，中，是高、的交點(diǎn)，且，則______．

29.如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn)，且，若，則______度．

30.如圖，在中，，，邊的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，則的周長(zhǎng)為______．

31.如圖，點(diǎn)、、、在一條直線上，已知，，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件______使得≌．

32.如圖，在中，，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接若，則的最小值為______．

三、解答題（本大題共8小題，共55.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

33.本小題分

我們學(xué)過積的乘方法則為正整數(shù)，請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)證明它．

34.本小題分

如圖，在中，點(diǎn)是中點(diǎn)，，，且求證：是等腰三角形．

35.本小題分

計(jì)算：．

36.本小題分

如圖，在和中，，求證：≌．

37.本小題分

如圖，中，，，．

設(shè)點(diǎn)在上，若求的長(zhǎng)；

設(shè)點(diǎn)在上．若為等腰三角形，求的長(zhǎng)．

38.本小題分

如圖，以直線上一點(diǎn)為端點(diǎn)作射線，使，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處．

如圖，若直角三角板的一邊放在射線上，則______；

如圖，將直角三角板繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，若恰好平分，求的度數(shù)．

39.本小題分

如圖，在中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且若，，求的度數(shù)．

40.本小題分

已知：如圖，，求證：

≌；

．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，平分，于，

，

又，

≌，

，

平分，

，

，又，

，，

正確的有，

故選：．

先運(yùn)用角平分線性質(zhì)得到，證明≌，得到，，再運(yùn)用勾股定理判斷即可．

本題主要考查角平分線的性質(zhì)，直角三角形全等的判定和勾股定理，證明≌是解題的關(guān)鍵．

2.【答案】

【解析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)：等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．

延長(zhǎng)交于點(diǎn)，利用平分，先判斷為等腰三角形得到，，再證明，然后計(jì)算即可．

解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

平分，，

，．

在和中，

≌，

，，

為等腰三角形．

，

，

．

故選：．

3.【答案】

【解析】解：如圖，由作圖可知，．

在和中，，

≌，

故選：．

利用作圖的基本原理，得到線段的關(guān)系證明即可．

本題考查了畫一個(gè)角等于已知角的基本作圖，正確理解作圖的基本原理是解題的關(guān)鍵．

4.【答案】

【解析】解：、相等的角不一定是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)說法是假命題，不符合題意；

B、兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，故本選項(xiàng)說法是假命題，不符合題意；

C、在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，故本選項(xiàng)說法是假命題，不符合題意；

D、平行于同一條直線的兩條直線互相平行，是真命題，符合題意；

故選：．

根據(jù)對(duì)頂角相等、平行線的性質(zhì)和判定定理判斷即可．

本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．

5.【答案】

【解析】解：，，

，

又，

≌，

，

為的中點(diǎn)

．

故選B．

運(yùn)用等角的余角相等，得出，從而得到，≌，易求．

本題綜合運(yùn)用了等角的余角相等，三角形全等的判定，性質(zhì)等知識(shí)．需注意當(dāng)題中出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上垂直時(shí)，一般要從中找到一對(duì)相等的角．

6.【答案】

【解析】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

是的平分線，

．

的面積為，：：，

的面積為，的面積為，

，

，

．

故選：．

過點(diǎn)作于點(diǎn)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等高三角形的面積比等于底的比即可解得．

本題考查角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)．

7.【答案】

【解析】解：連接、，

邊，的垂直平分線、相交于點(diǎn)，

，，

，，，

，，

，

解得，，

，

，

故選：．

連接、，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算，得到答案．

本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．

8.【答案】

【解析】解：，，

是等邊三角形，

，

當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖，

是等邊三角形，

，，

，

在和中，，

≌，

，

，

，

當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，

同的方法得出，

是等邊三角形，

，，

，

在和中，，

≌，

，

，

，

故選：．

先判斷出，，分兩種情況判斷出，進(jìn)而判斷出≌，即可得出結(jié)論．

此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，求出是解本題的關(guān)鍵．

9.【答案】

【解析】解：是中的角平分線，，，

，

則，

故選：．

由是中的角平分線，，，得到，進(jìn)而求解．

本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．

10.【答案】

【解析】解：，，

是邊上的高，

，

．

故選：．

根據(jù)已知可求得兩底角的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理不難求得的度數(shù)．

本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是會(huì)綜合運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行答題．

11.【答案】

【解析】解：添加的條件是，

理由是：，

，

在和中，

，

≌，

故選：．

根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可．

本題考查了全等三角形的判定定理和平行線的性質(zhì)，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有，，，，兩直角三角形全等還有等．

12.【答案】

【解析】

【分析】

此題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合的解題思想．

分兩種情況：為等腰三角形的底邊；為等腰三角形的一條腰；畫出圖形，即可得出結(jié)論．

【解答】

解：如圖所示：

為等腰三角形的底邊，符合條件的點(diǎn)的有個(gè)；

為等腰三角形的一條腰，符合條件的點(diǎn)的有個(gè)．

所以符合條件的點(diǎn)共有個(gè)．

故選：．

13.【答案】

【解析】解：，

，

、分別是線段、的垂直平分線，

，，

，，

，

，

，

故選：．

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，，求出，，再求出，再求出答案即可．

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出和是解此題的關(guān)鍵，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和等于．

14.【答案】

【解析】解：，

，

，

，

即，

當(dāng)添加時(shí)，可根據(jù)“”判定≌；

當(dāng)添加時(shí)，可根據(jù)“”判定≌；

當(dāng)添加時(shí)，，可根據(jù)“”判定≌．

故選：．

先證明，，然后根據(jù)全等三角形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．

本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的種判定方法是解決問題的關(guān)鍵．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．

15.【答案】

【解析】解：原式．

故選：．

依據(jù)積的乘方法則和冪的乘方法則求解即可．

本題主要考查的是積的乘方，掌握相關(guān)法則是解題的關(guān)鍵．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)三角形的中位線定理和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．

【解答】

解：，，分別是，，的中點(diǎn)，

，，，

，

∽，

，

等邊三角形的面積為，

的面積是．

17.【答案】

【解析】解：面積為的正方形邊長(zhǎng)為，

，

，

，

點(diǎn)表示的數(shù)為，

點(diǎn)表示的數(shù)為，

故選：．

因?yàn)槊娣e為的正方形邊長(zhǎng)為，所以，而，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故E點(diǎn)的坐標(biāo)為．

本題考查了與數(shù)軸有關(guān)的問題，關(guān)鍵是結(jié)合題意求出．

18.【答案】

【解析】解：是等邊三角形，

，，

在正五邊形中，，，

，，

，

，

故選：．

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，由正五邊形的性質(zhì)得到，，等量代換得到，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出，根據(jù)即可得到結(jié)論．

本題考查了正多邊形的內(nèi)角，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記正多邊形的內(nèi)角的求法是解題的關(guān)鍵．

19.【答案】

【解析】解：，

，

最大的實(shí)數(shù)是，

故選：．

先估算的范圍，再將四個(gè)實(shí)數(shù)比較大小即可．

本題主要考查無理數(shù)的估算，和實(shí)數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵在于先求出無理數(shù)的范圍．

20.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了數(shù)軸，利用數(shù)軸上點(diǎn)的位置關(guān)系得出，，，的大小是解題關(guān)鍵．

根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置關(guān)系，可得，，，的大小，根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算，絕對(duì)值的性質(zhì)，可得答案．

【解答】

解：由數(shù)軸上點(diǎn)的位置，得

．

A、，故A不符合題意；

B、，故B不符合題意；

C、，，，故C符合題意；

D、，故D不符合題意；

故選：．

21.【答案】

【解析】解：，

故答案為：．

利用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，即可解答．

本題考查了整式的除法運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．

22.【答案】

【解析】解：，

故答案為：．

根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，可得答案．

本題考查了同底數(shù)冪的乘法，熟記法則并根據(jù)法則計(jì)算是解題關(guān)鍵．

23.【答案】

【解析】解：已知，公共邊，，

；

故答案為：本題答案不唯一．

本題要判定≌，已知是公共邊，具備了一組邊、一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，故添加后可以根據(jù)判定≌．

本題考查了全等三角形的判定．三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．

24.【答案】

【解析】解：如圖，

作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

是等邊三角形，，

，

，

是等邊三角形，，

，

，

，

當(dāng)時(shí)，

的值最小，

故答案為：．

可以作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)是等邊三角形，，得，所以，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，的值最小，由此得到答案．

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，解決本題的關(guān)鍵是找到動(dòng)點(diǎn)的位置．

25.【答案】

【解析】解：，

．

故答案為：．

逆用同底數(shù)冪的乘法法則，把變形為，代入求值即可．

本題考查了同底數(shù)冪的乘法法則，掌握同底數(shù)冪的乘法法則和逆用是解決本題的關(guān)鍵．

26.【答案】

【解析】解：，

故答案為：；

，

故答案為：；

，

故答案為：；

，

故答案為：．

利用同底數(shù)冪的乘法的法則進(jìn)行運(yùn)算即可；

利用積的乘方的法則進(jìn)行運(yùn)算即可；

利用冪的乘方的法則進(jìn)行運(yùn)算即可；

利用同底數(shù)冪的除法的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．

本題主要考查冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．

27.【答案】同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行

【解析】解：命題“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”題設(shè)是同旁內(nèi)角互補(bǔ)，結(jié)論是兩直線平行．

故答案為：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．

根據(jù)題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)即可作答．

本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果那么”形式．命題寫成“如果，那么”的形式，這時(shí)，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面解的部分是結(jié)論．

28.【答案】

【解析】解：、是的高，

，，

，，

，

在和中，，

≌，

，

，

，

故答案為：．

求出≌，推出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有，，，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．

29.【答案】

【解析】解：于點(diǎn)，于點(diǎn)，且，

平分，

，

，

，

故答案為：．

根據(jù)到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上可得平分，再根據(jù)可得答案．

此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上．

30.【答案】

【解析】解：是線段的垂直平分線，

，

的周長(zhǎng)，

故答案為：．

先由線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，再由三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

31.【答案】

【解析】解：添加理由如下：

，

．

又，

．

在與中，，

≌．

故答案是：．

根據(jù)全等三角形的判定定理填空．

本題主要考查對(duì)全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，熟練地運(yùn)用全等三角形的判定定理進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵，是一個(gè)開放型的題目，比較典型．

32.【答案】

【解析】解：在上截取，作于，如圖，

，，

，，，

，

在中，，，

線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，

，，

，

在和中

，

≌，

，

在中，，

當(dāng)時(shí)，有最小值，

的最小值為．

在上截取，作于，如圖，先計(jì)算出，，，則，再在中計(jì)算出，，接著證明≌得到，然后利用勾股定理得到，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．構(gòu)建與全等是解決此題的關(guān)鍵．

33.【答案】證明：

．

【解析】根據(jù)乘方的意義展開，再根據(jù)乘法的交換律和結(jié)合律進(jìn)行變形，最后求出即可．

本題考查了乘方的定義，乘法的交換律和結(jié)合律，積的乘方、冪的乘方等知識(shí)點(diǎn)，能熟記乘方的定義是解此題的關(guān)鍵．

34.【答案】證明：點(diǎn)是中點(diǎn)，

，

，，

在與中，

≌，

，

，

是等腰三角形．

【解析】根據(jù)證明≌，進(jìn)而解答即可．

本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：、、、注意：、不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩