奇偶性的應(yīng)用

1.3.2第二課時(shí)奇偶性的應(yīng)用1．偶函數(shù)任意f(－x)＝f(x)

一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的______一個(gè)x，都有____________，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)．0練習(xí)1：若函數(shù)

f(x)＝ax2＋bx是偶函數(shù)，則b＝______.解析：∵函數(shù)f(x)＝ax2＋bx是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)．∴b＝0.2．奇函數(shù)任意f(－x)＝－f(x)

一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的________一個(gè)x，都有____________，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)．

練習(xí)2：若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(3)＝2，則f(－3)＝________，f(0)＝________.－20解析：∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.3．奇(偶)函數(shù)的基本性質(zhì)(1)對(duì)稱(chēng)性：奇函數(shù)的圖象關(guān)于________對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于________對(duì)稱(chēng)．原點(diǎn)y軸(2)單調(diào)性：奇函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性______，偶函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性________．相同相反【問(wèn)題探究】邊的圖象．圖1-3-3答案：圖略．提示：該函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．題型1利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值【例1】已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)＝()A．4B．3C．2D．1

解析：由f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，得－f(1)＋g(1)＝2①，f(1)＋g(1)＝4②，由①②消掉f(1)，得g(1)＝3.故選B.

答案：B【變式與拓展】2．已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)

x＞0時(shí)，DA．2B．1C．0D．－2解析：f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.題型2利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式【例3】f(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥2，則當(dāng)x≤0時(shí)，有()A．f(x)≤2C．f(x)≤－2B．f(x)≥2D．f(x)∈R思維突破：利用偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性分析．f(x)的大致圖象如圖1-3-4，易知當(dāng)x≤0時(shí)，有f(x)≥2.

圖1-3-4答案：B利用偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，可根據(jù)函數(shù)圖象在y軸一側(cè)的情況得到y(tǒng)軸另一側(cè)的情況．例4函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－x＋1，求當(dāng)x<0時(shí)，f(x)的解析式.解設(shè)x<0，則－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝－x－1.【變式與拓展】已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－2x.(1)求出函數(shù)f(x)在R上的解析式；(2)畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，并根據(jù)圖象寫(xiě)出f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)求當(dāng)f(x)＝1時(shí)的x值.解由于函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則f(0)＝0；當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x).所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.(2)畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，并根據(jù)圖象寫(xiě)出f(x)的單調(diào)區(qū)間；解圖象如圖所示.單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1]，[1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,1).(3)求當(dāng)f(x)＝1時(shí)的x值.當(dāng)x<0時(shí)，－x2－2x＝1，解得x＝－1(滿足條件).題型三利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性比較大小例5設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關(guān)系是A.f(π)>f(－3)>f(－2) B.f(π)>f(－2)>f(－3)C.f(π)<f(－3)<f(－2) D.f(π)<f(－2)<f(－3)解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).又當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2).√跟蹤訓(xùn)練3

(1)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，則f(1)和f(－10)的大小關(guān)系為A.f(1)>f(－10) B.f(1)<f(－10)C.f(1)＝f(－10) D.f(1)和f(－10)關(guān)系不定解析∵f(x)是偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(－10)＝f(10)<f(1).√(2)已知函數(shù)f(x)在[－5,5]上是偶函數(shù)，且在[0,5]上是單調(diào)函數(shù)，若f(－4)<f(－2)，則下列不等式一定成立的是A.f(－1)<f(3) B.f(2)<f(3)C.f(－3)<f(5) D.f(0)>f(1)解析

由題意可得，函數(shù)f(x)在[－5,0]上也是單調(diào)函數(shù)，再根據(jù)f(－4)<f(－2)，可得函數(shù)f(x)在[－5,0]上是單調(diào)增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在[0,5]上是單調(diào)減函數(shù)，故f(0)>f(1).√題型四利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解不等式例6(1)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上是增函數(shù).若f(－3)＝0，則<0的解集為_(kāi)_______________.解析∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上是增函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù).∴f(3)＝f(－3)＝0.當(dāng)x>0時(shí)，由f(x)<0，解得x>3；當(dāng)x<0時(shí)，由f(x)>0，解得－3<x<0.故所求解集為{x|－3<x<0或x>3}.{x|－3<x<0或x>3}(2)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其定義域?yàn)?－1,1)，且在區(qū)間[0,1)上為增函數(shù).若f(a－2)＋f(3－2a)<0，試求a的取值范圍.解因?yàn)閒(a－2)＋f(3－2a)<0，所以f(a－2)<－f(3－2a)，又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(a－2)<f(2a－3).又因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,1)上為增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間(－1,1)上為增函數(shù).所以a的取值范圍為(1,2).跟蹤訓(xùn)練4設(shè)定義在[－2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，若f(1－m)<f(m)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，∴不等式f(1－m)<f(m)等價(jià)于f(|1－m|)<f(|m|).5.已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是