奇偶性的應用

1.3.2第二課時奇偶性的應用1．偶函數(shù)任意f(－x)＝f(x)

一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內的______一個x，都有____________，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)．0練習1：若函數(shù)

f(x)＝ax2＋bx是偶函數(shù)，則b＝______.解析：∵函數(shù)f(x)＝ax2＋bx是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)．∴b＝0.2．奇函數(shù)任意f(－x)＝－f(x)

一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內的________一個x，都有____________，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)．

練習2：若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(3)＝2，則f(－3)＝________，f(0)＝________.－20解析：∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.3．奇(偶)函數(shù)的基本性質(1)對稱性：奇函數(shù)的圖象關于________對稱，偶函數(shù)的圖象關于________對稱．原點y軸(2)單調性：奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調性______，偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調性________．相同相反【問題探究】邊的圖象．圖1-3-3答案：圖略．提示：該函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關于y軸對稱．題型1利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值【例1】已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)＝()A．4B．3C．2D．1

解析：由f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，得－f(1)＋g(1)＝2①，f(1)＋g(1)＝4②，由①②消掉f(1)，得g(1)＝3.故選B.

答案：B【變式與拓展】2．已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當

x＞0時，DA．2B．1C．0D．－2解析：f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.題型2利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式【例3】f(x)為偶函數(shù)，且當x≥0時，f(x)≥2，則當x≤0時，有()A．f(x)≤2C．f(x)≤－2B．f(x)≥2D．f(x)∈R思維突破：利用偶函數(shù)圖象的對稱性分析．f(x)的大致圖象如圖1-3-4，易知當x≤0時，有f(x)≥2.

圖1-3-4答案：B利用偶函數(shù)的對稱性，可根據函數(shù)圖象在y軸一側的情況得到y(tǒng)軸另一側的情況．例4函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝－x＋1，求當x<0時，f(x)的解析式.解設x<0，則－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，∴當x<0時，f(x)＝－f(－x)＝－x－1.【變式與拓展】已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝x2－2x.(1)求出函數(shù)f(x)在R上的解析式；(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象，并根據圖象寫出f(x)的單調區(qū)間；(3)求當f(x)＝1時的x值.解由于函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，則f(0)＝0；當x<0時，－x>0，因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x).所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象，并根據圖象寫出f(x)的單調區(qū)間；解圖象如圖所示.單調遞增區(qū)間為(－∞，－1]，[1，＋∞)，單調遞減區(qū)間為(－1,1).(3)求當f(x)＝1時的x值.當x<0時，－x2－2x＝1，解得x＝－1(滿足條件).題型三利用函數(shù)的奇偶性與單調性比較大小例5設偶函數(shù)f(x)的定義域為R，當x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數(shù)，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關系是A.f(π)>f(－3)>f(－2) B.f(π)>f(－2)>f(－3)C.f(π)<f(－3)<f(－2) D.f(π)<f(－2)<f(－3)解析因為函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).又當x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數(shù)，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2).√跟蹤訓練3

(1)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調遞減，則f(1)和f(－10)的大小關系為A.f(1)>f(－10) B.f(1)<f(－10)C.f(1)＝f(－10) D.f(1)和f(－10)關系不定解析∵f(x)是偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調遞減，∴f(－10)＝f(10)<f(1).√(2)已知函數(shù)f(x)在[－5,5]上是偶函數(shù)，且在[0,5]上是單調函數(shù)，若f(－4)<f(－2)，則下列不等式一定成立的是A.f(－1)<f(3) B.f(2)<f(3)C.f(－3)<f(5) D.f(0)>f(1)解析

由題意可得，函數(shù)f(x)在[－5,0]上也是單調函數(shù)，再根據f(－4)<f(－2)，可得函數(shù)f(x)在[－5,0]上是單調增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在[0,5]上是單調減函數(shù)，故f(0)>f(1).√題型四利用函數(shù)的奇偶性與單調性解不等式例6(1)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上是增函數(shù).若f(－3)＝0，則<0的解集為________________.解析∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上是增函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù).∴f(3)＝f(－3)＝0.當x>0時，由f(x)<0，解得x>3；當x<0時，由f(x)>0，解得－3<x<0.故所求解集為{x|－3<x<0或x>3}.{x|－3<x<0或x>3}(2)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其定義域為(－1,1)，且在區(qū)間[0,1)上為增函數(shù).若f(a－2)＋f(3－2a)<0，試求a的取值范圍.解因為f(a－2)＋f(3－2a)<0，所以f(a－2)<－f(3－2a)，又因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(a－2)<f(2a－3).又因為f(x)在區(qū)間[0,1)上為增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間(－1,1)上為增函數(shù).所以a的取值范圍為(1,2).跟蹤訓練4設定義在[－2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調遞減，若f(1－m)<f(m)，求實數(shù)m的取值范圍.解∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，∴不等式f(1－m)<f(m)等價于f(|1－m|)<f(|m|).5.已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是