《關(guān)于一道幾何概型題的討論與思考》

-1-關(guān)于一道幾何概型題的討論與思考前段時間，在本市中學(xué)數(shù)學(xué)教師微信群中討論了一道概率題，題目如下：如圖1，已知等腰RT?ABC中，∠C=圖1（1）在線段BC上任取一點M，求使∠CAM<（2）在∠CAB內(nèi)任作射線AM，求使∠CAM有位老師提出這樣的疑惑：“請教各位老師，這道題為什么一個用長度另一個用角度測量?”，也許是問題不夠具體，微信群中的討論并不熱烈，僅收到兩條有效回復(fù)，現(xiàn)摘抄如下：回復(fù)一：“第一個是幾何概型中的長度之比，第二個是角度之比，問題方向不一樣”；回復(fù)二：“我覺得應(yīng)該是研究對象不一樣，（1）是點M，它的運動軌跡是一條線段；（2）是射線掃過的面積，類似于一個扇形，半徑相同的情況下，面積之比即圓心角之比”.暫時對兩條回復(fù)不做評價，以上討論引起了我的興趣，我將這個題目收藏，利用晚自習(xí)給自己所帶兩個班級的學(xué)生測試了一下，其中甲班給出了完整的兩小題，乙班去掉了第（1）小題，只給出第（2）小題.結(jié)果收上來發(fā)現(xiàn)效果完全不一樣，甲班學(xué)生兩小題基本上都正確，但乙班效果就差一些.在批閱過程中，發(fā)現(xiàn)了乙班同學(xué)的三種主要解法，整理如下：解法一：如圖2，設(shè)AC=BC=1，在線段BC上取一點D，使∠CAD=30°.在RT?ACD中,CD=AC?tan30°=33.由條件，點MPA圖2解法二：如圖2，在線段BC上取一點D，連接AD，使得∠CAD=30°，記事件“∠CAM<30°”為事件A,由條件可知，所有基本事件是以點A為端點在∠CAB內(nèi)所作的射線AM,經(jīng)過的角度為45°，而所求事件A包含的基本事件是從解法三：設(shè)AC=BC=a，記事件“∠CAM<S?ACM=P簡單的統(tǒng)計了一下，乙班48位同學(xué)中選用解法一的有27人，選用解法二的有17人，解法三的有4人.第（2）小題的正確解法應(yīng)是解法二，但為什么會有這么多學(xué)生選用解法一，我覺得非常有必要去了解一下他們的想法.先請三種解法的學(xué)生代表將各自解答過程在黑板上板演出來.我：同學(xué)們，黑板上三位同學(xué)的解法有什么區(qū)別嗎？底下學(xué)生你一句我一句，“方向不一樣”、“角度不一樣”、“這是與角度有關(guān)的”、“這是與面積有關(guān)的”.我：這題正確解答是解法二，解法一與解法三是錯誤的.很多選擇解法一的同學(xué)激動了，急切的想知道這是為什么，我沒有直接回答，而是轉(zhuǎn)身將原題完整的呈現(xiàn)出來，讓他們仔細閱讀這兩小題，再進行比較.我繼續(xù)問：兩小題中的隨機試驗是什么？基本事件又是什么？學(xué)生A（解法二）：第（1）小題中的隨機試驗是在線段BC上隨機取點，基本事件是線段BC上的點M；而第（2）小題的試驗是在∠CAB內(nèi)所作的射線AM，基本事件是∠CAB內(nèi)以A為端點射線A學(xué)生B（解法一）：雖然基本事件不同，但它們之間應(yīng)該是等價的.因為一條射線AM就對應(yīng)線段BC上的一個點M你們能幫助B同學(xué)將這個問題解釋一下嗎？此刻，其他同學(xué)幾乎表現(xiàn)出了和學(xué)生B同樣的困惑.我沒有直接回答這個問題,而是在圖2中增加了一條線段CE交AB于E、交AD于F，并解釋：如圖3所示，射線AM與線段CF的交點個數(shù)等于其與CD的交點數(shù)，同樣射線AM與線段CB的交點個數(shù)等于其與CE圖3學(xué)生頓悟，這顯然是不對的.學(xué)生的困惑看似解決了，但為什么會有這么多學(xué)生出現(xiàn)相同的錯誤，值得我去一探究竟，仔細梳理一下，不難發(fā)現(xiàn)主要有以下三個方面的原因：首先是基本事件的確定失誤，概率是建立在隨機試驗之上，面對一個概率問題，首先要明確其試驗條件，知道試驗內(nèi)容，如何去操作，要能夠準確把握好試驗本質(zhì)及試驗可能的結(jié)果.原試題表達無任何問題，題（1）是在線段BC上任取一點M，基本事件是線段BC上的點M，題（2）是在∠CAB內(nèi)作射線AM，基本事件是∠CAB內(nèi)以A為端點的射線A其次是“數(shù)量關(guān)系”的理解有誤，課堂上，我通過在圖中增加一條線段CE解答了學(xué)生B的疑惑，但我心里還是不安的，因為我沒有直接回答“為什么兩小題中基本事件數(shù)量相同，但最后結(jié)果不一樣？”這一核心問題.要弄清這個問題，我們先要正確理解“數(shù)的關(guān)系”與“量的關(guān)系”.“數(shù)”是由度量產(chǎn)生的，具有主觀性，可以人為改變.“量”是事物的一種能度量的屬性，是一種客觀存在，不隨人的意志改變而改變，是一種測度(長度、面積、體積或角度)關(guān)系.學(xué)生B認為兩小題中的基本事件“數(shù)量相同”，這兒的“數(shù)量相同”是指在∠CAB內(nèi)所作射線AM的條數(shù)與線段BC上點M最后是對幾何概型理解有誤，從古典概型到幾何概型，從有限到無限，學(xué)生對幾何概率模型理解重點還是停留在基本事件“個數(shù)”上，而非相關(guān)測度的“大小”上，出現(xiàn)這種結(jié)果的主要原因歸根結(jié)底還是對幾何概型中的“等可能性”理解存在偏差.這里的“等可能”意義可以這樣去理解：向面積為SΩ的區(qū)域Ω等可能的隨機投點，設(shè)在區(qū)域Ω中有一個面積為SA的小區(qū)域A，則點落入?yún)^(qū)域A中的可能性大小與SA經(jīng)過交流討論，問題基本解決了，通過這件事，也引發(fā)了我的一些思考.我們平時的教學(xué)是否有缺憾？幾何概型相對于古典概型難度較大，而教材上的內(nèi)容又比較簡單.我們在平時的教學(xué)中可能更多關(guān)注的是試驗結(jié)果有限還是無限，是不是等可能的.面對隨機試驗，急于確定是古典概型還是幾何概型，或是其它概率模型，若是幾何概型，關(guān)注其是與長度、面積、體積還是角度有關(guān).基本上是教給學(xué)生一些事實，而思想方法的澄清幾乎空白.學(xué)生能理解概率是建立在隨機試驗之上嗎？基于學(xué)生現(xiàn)階段的認知水平，能理解幾何概型嗎？可能會出現(xiàn)哪些疑點與困惑？我們又該如何去克服？作為教師，是否對所教內(nèi)容做到了心中有數(shù)？是否對自己所教學(xué)生的理解能力有一定的判斷？能否做到在理解教學(xué)的基礎(chǔ)上對授課內(nèi)容進行有效設(shè)計，并能及時做好反饋與評價工作？我們的專業(yè)知識是否扎實？在人教A版教材主編寄語中提到“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”，但什么是數(shù)？什么是量？數(shù)和量是什么關(guān)系？在現(xiàn)行的教材中均無專業(yè)解答，很多老師對它們的理解還是有偏差的，亦或沒有意識去關(guān)注它們的差異，進而導(dǎo)致我們的學(xué)生不能正確去研究、分析數(shù)量關(guān)系.所以，弄清“數(shù)量關(guān)系”是數(shù)學(xué)教學(xué)中一個非常重要和關(guān)鍵的問題，值得關(guān)注，特別是數(shù)學(xué)專業(yè)教師要在平時的教學(xué)中注意培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)感”.通過對這一問題研究，使我意識到要加強業(yè)務(wù)學(xué)習(xí)，努力提升自己專業(yè)水平必要性.教材內(nèi)容安排是否科學(xué)？幾何概型安排在古典概型之后，這是新增內(nèi)容.學(xué)習(xí)幾何概型主要是為了解決隨機模擬的需要，課標要求僅限于初步體會幾何概型的意義，但受教學(xué)條件所限，在平時的教學(xué)中信息技術(shù)與教學(xué)內(nèi)容整合不到位，隨機模擬試驗做的少,這部分內(nèi)容給人的感覺是為了解決計算而計算，相應(yīng)的拓展、延伸內(nèi)容也是圍繞幾何概型的計算而進行的，學(xué)生建立概念體系較困難.為了更好的理解和計算概率，個人覺得在現(xiàn)行教材基礎(chǔ)上有必要引入樣本空間、事件域、概率空間等概念，這樣就可以用樣本空間、事件域、概率三者去描述一個隨機試驗的數(shù)學(xué)模型.對于給