2021-2022學(xué)年河南省焦作市高三(上)第一次模擬數(shù)學(xué)試卷(理科)(附詳解)

第第#頁(yè)，共19頁(yè)第第15頁(yè)，共19頁(yè)由線面垂直的定義可知EF丄DG,由于4F=DF,乙AFD=60°,故△ADF為等邊三角形，???4G=GF,：.DG丄4F,結(jié)合4FDEF=F可得DG丄底面ABEF,由線面垂直的定義可知DG丄BF.(U)以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，取BE的中點(diǎn)K,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-\,xyz,由題意可得D(0,0,V3),G(0,0,0),B(1,6,0),C(0,6,V3),F(—1,0,0),設(shè)平面BCF的法向量為預(yù)=(x,y,z),ph-CB=(x,y,z)-(1,0,—V3)=x—43y=0貝寸｛_,m-FB=(x,y,z)-(2,60)=2x+6y=0據(jù)此可得預(yù)=(3,—i>43),直線dg的方向向量而=(0,0,V3)，設(shè)直線DG與平面BCF所成角為e.^sind=呼五丄^sind=呼五丄IGD\x\m\_3_=3、/19413^313【解析】(I)由題意首先證明線面垂直，然后利用線面垂直的定義可得線線垂直.(U)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的方向向量和直線的法向量，然后求解線面角的正弦值即可.本題主要考查線面垂直的證明，空間向量求線面角的方法等知識(shí)，屬于中等題.19.【答案］解：(【)數(shù)列卜」中，a2=4,%=a卄i+3aja九+i?所以％=1+3a^x丄，所以％=1,14141」一-丄=3,所以數(shù)列｛丄｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1,公差為3,an+1an%所以，丄=1+e—1)x3=3^—2,an數(shù)列|a｝的通項(xiàng)公式：a=^.nn3n—2（U）若anbn=2n，可知號(hào)=（肌一2）?2九,數(shù)列｛bn｝的前"項(xiàng)和7；?T=1x21+4x22+7x23+…+（3n一2）?2九,???貝02T=1x22+4x23+7x24+???+（3n一2）?2^+1,?…一可得：T=一1x21一3x（22+23+???+2九）+（3兀一2）?2^+1=（3n—2）?2n+1-2-3x縱1"1）1一2=（3兀一2）?2^+1一2一3?2^+1+12=（3n一5）?2九+1+10?【解析】（I）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式推出｛丄｝是等差數(shù)列，然后轉(zhuǎn)化求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)%n公式；（U）通過(guò)若a/九=2九，數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，然后求解數(shù)列的前九項(xiàng)和7；?本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和，考查計(jì)算能力，是中檔題?20.【答案】解：(I)定義域(0,+s),由已知得廠(%)=丄+%—2k有兩個(gè)變號(hào)正根，令9(%)=%+1—2k,%>0，9/(%)=1一"=(x+1)(xT)，%%2%2當(dāng)％G(0,1)時(shí)，"(%)<0，當(dāng)％G(1,+8)時(shí)，"(%)>0,故9(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，故9(%)詼九=9(1)=2-2k，由題意應(yīng)滿(mǎn)足9(1)<0，即k>1,又當(dāng)％t0,與％t+8時(shí)，都有9(%)T+8,故當(dāng)kG(1,+8)時(shí)，函數(shù)/(%)=/n%+%2—2k%—3有兩個(gè)極值點(diǎn)；22(U)證明：由(I)知，/(%)的兩個(gè)極值點(diǎn)滿(mǎn)足%1G(0,1),%2G(1,+8),且當(dāng)％G(0,%1)時(shí)，9(%)>0,當(dāng)％G(%1,%2)時(shí)，9(%)<0,當(dāng)％G(%2，+8)時(shí)，9(%)>0,故％=%1是極大值點(diǎn)，%=%2是極小值點(diǎn)，且/■(%])>/(%2)，故只需證￡(%])<一3即可,令％=%1,且令h(%)=幾％])=Zn%+%2—2k%—3,%G(0,1),由(I)知％+1—2k=0,故2k=%+1,代入上式得h(%)=Zn%+%2—%(%+1)—3=Zn%—%2—5,%G(0,1),%2%222/(%)=1-％>0在(0,1)上恒成立，故虹%)在(0,1)上單調(diào)遞增，%而％t1時(shí)，h(%)t一3,故h(%)<一3,即f%)<f%)<-3成立.【解析】(I)求出/(%)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)變號(hào)的正根，然后通過(guò)研究導(dǎo)函數(shù)極值的符號(hào)求解；(U)只需要判斷極大值小于-3即可，根據(jù)極大值點(diǎn)滿(mǎn)足的范圍，研究極大值對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值即可．本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值，并在此基礎(chǔ)上證明不等式恒成立問(wèn)題的基本思路，屬于中檔題．21.【答案】解：(I)雙曲線的漸近線方程為y=土％,a由一條漸近線的傾斜角為60。，可得直=73,a由雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(72,73),可得^-^2=1,解得a=1,b=73,所以雙曲線的方程為％2-述=1;3(H)設(shè)直線2的方程為y=kx+m,M(x1>y1),N(x2>y2),聯(lián)立直線2與雙曲線方程3%2—y2=3,得(3—k2)x2—2kmx—m2-3=0,所以x.+x2=,X1x2=3±^2,123_k212k2_3所以+y2=k(x’+x2)+2m=k-+2m=-6^-,12123-k23-k2J=(2km)2一4(3一k2)(-m2-3)=12(3+m2-k2)>0,即m2>k2-3,①所以線段MN中點(diǎn)為(込,皿)，3-k23-k2所以線段MN的垂直平分線的方程為y—皿=—丄(尤—応)，3—k2k3—k2又因?yàn)榫€段MN的垂直平分線過(guò)點(diǎn)(0,4),所以4-」^=—丄(—丄貶)，化為m=3-k2,3—k2k3—k2代入①式，得9—6k2+k4<k2—3,解得k>2，或k<—2,或—73<k<7，且k^0,所以k的取值范圍為(-8,-2)U(2,+s)U(—73,0)U(0,73).【解析】(I)求得雙曲線的漸近線方程，可得a,Q的方程，再由點(diǎn)(72,73)滿(mǎn)足雙曲線的方程，解方程可得a,b的值，進(jìn)而得到雙曲線的方程；(D)設(shè)直線2的方程為y=k%+m,M%』］),N%,")聯(lián)立直線2與雙曲線的方程得關(guān)于％的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到線段MN中點(diǎn)，寫(xiě)出線段MN的垂直平分線的方程，將點(diǎn)(0,4)代入線段MN的垂直平分線方程，得至恤與k的關(guān)系式，利用力>0求得k的取值范圍．本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及直線和雙曲線的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．x=2cosa22?【答案】解：(I)曲線C的參數(shù)方程為y=73s加伉@為參數(shù))轉(zhuǎn)換為普通方程為曽+述=1;3x=pcosO直線2的極坐標(biāo)方程為pcos(e+a)=-V2，根據(jù)y=psind，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方4X2+y2=p2程為尤-y+2=0?x=—1+業(yè)t(n)由于直線2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(—1f1)故直線2的參數(shù)方程為_(kāi)2(t為參數(shù))代入y=1+邊t2止+止=1，3得到：7t2—V2t—5=0，2所以|4N||4M|=|屮21=孚【解析】I)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，在參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換;(n)利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果．本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．—x—2,%>123.【答案】解：(I)函數(shù)f(%)=|%—1|—|2%+1|=—3%,—^-%<1，%+2,%<—12當(dāng)％>1時(shí)，不等式/(%)二—2,即—％—2>—2,解得％—0,所以％G0；當(dāng)—2-%<1時(shí)，不等式/'(%)>—2，即—3%>—2，解得％-2，所以—2-%-2；2323當(dāng)%<—1時(shí)，不等式/(%)>—2，即％+2>—2，解得%>—4，所以一22綜上所述，不等式的解集為［-4,；］;(n)當(dāng)％>1時(shí)，/(%)=—%—2-—3；當(dāng)一1<%<1時(shí)，f(x)=-3xE(一3,3］；22當(dāng)％<一丄時(shí)，f(x)=%+2<3.22綜上所述，f(x)的最大值為3,2所以m=3,2則不等式％2-ax+2>0在［丄,3］上恒成立,32即a<x+2在［丄,3］上恒成立,x32因?yàn)橹?管41=步當(dāng)且僅當(dāng)%=2,即％=時(shí)取等號(hào),所以X+-的最小值為2/2,兀7故a<2/2,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(—8,2J2).【解析】(I)利用絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)進(jìn)行研究，分類(lèi)討論，分別求解不等式,即可得到答案；(D)先利用分段函數(shù)的解析式