福建省龍巖市仙師中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

福建省龍巖市仙師中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)，對任意的，，總有成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】由已知可得在為增函數(shù)，分段函數(shù)兩段均為單調(diào)遞增，而且右段的最低點不低于左段的最高點，即可求解.【詳解】∵對任意的，，總有成立，不妨設(shè)，∴函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，∴，解得，故選：C.【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，要注意分段函數(shù)各段單調(diào)性相同的區(qū)間合并的條件，屬于基礎(chǔ)題.2.已知圓C：x2+y2﹣2x﹣4y=0，則下列點在圓C內(nèi)的是（）A．（4，1） B．（5，0） C．（3，4） D．（2，3）參考答案：D【考點】點與圓的位置關(guān)系．【分析】由題意化簡得：（x﹣1）2+﹙y﹣2）2=5，將選項，代入，可得結(jié)論．【解答】解：由題意化簡得：（x﹣1）2+﹙y﹣2）2=5，將選項，代入，可得（2，3）在圓C內(nèi)，故選D．【點評】本題考查點與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．3.若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則直線的斜率的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體外接球的表面積為（）

A.28π B.32π C.36π D.參考答案：D【分析】由已知中的三視圖可得，該幾何體是一個以正視圖為底面的四棱錐，其外接球，與以俯視圖為底面，以2為高的正三棱柱的外接球相同，進而可得該幾何體外接球的表面積．【詳解】由已知中的三視圖可得，該幾何體是一個以正視圖為底面的四棱錐，其外接球，與以俯視圖為底面，以4為高的正三棱柱的外接球相同，如圖所示：由底面邊長為4，可得底面外接圓的半徑為：．由棱柱高為4，可得球心距為2，故外接球半徑為，故選：C故外接球的表面積S=4πr2=4π×=故選：D．【點睛】空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．(2)若球面上四點P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．5.已知雙曲線的中心在原點，一個焦點為，點P在雙曲線上，且線段PF1的中點坐標為，則此雙曲線的方程是（）A． B． C． D．參考答案：B6.設(shè)函數(shù)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍為（

）

A．（-，2）

B．（-，

C．（-，）

D．參考答案：7.設(shè)兩條不同直線m、n和兩個不同平面，，，有兩個命題：若∥，則∥；：若∥，∥，則∥．那么（

）（A）“”為假

(B)“”為真

(C)“”為假

(D)“”為真參考答案：D8.已知，其中為虛數(shù)單位，則 A.

B.

C.

D.參考答案：A略9.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A．

B．

C．

D．參考答案：B10.雙曲線的兩個焦點為，在雙曲線上，且滿足，則的面積為

（

）A．

B．1

C．2

D．4參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下列命題：①若是奇函數(shù)，則的圖像關(guān)于軸對稱；②若函數(shù)對任意滿足，則8是函數(shù)的一個周期；③若，則；④若在上是增函數(shù)，則.其中正確命題的序號是__________.參考答案：①②④略12.已知長方形ABCD中，AB=4，BC=1，M為AB的中點，則在此長方形內(nèi)隨機取一點P，P與M的距離小于1的概率為．參考答案：【考點】幾何概型．【專題】計算題；規(guī)律型；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計．【分析】本題利用幾何概型解決，這里的區(qū)域平面圖形的面積．欲求取到的點P到M的距離大于1的概率，只須求出圓外的面積與矩形的面積之比即可．【解答】解：根據(jù)幾何概型得：取到的點到M的距離小1的概率：p====．故答案為：．【點評】本題主要考查幾何概型．如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．13.定義,若實數(shù)滿足,則的最小值為

．參考答案：考點：二元一次不等式組表示的區(qū)域及運用．【易錯點晴】本題設(shè)置了一道定義新概念的信息遷移題.其的目的意在考查在線性約束條件下新定義的函數(shù)的最小值的問題.求解時充分運用題設(shè)條件,先求出和,從二者的取值可以看出時,,此時,此時最小值.14.已知雙曲線C的離心率為，左、右焦點為F1，F(xiàn)2，點A在C上，若|F1A|=2|F2A|，則cos∠AF2F1=．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由題意，結(jié)合雙曲線的定義，可得|F2A|=2a，|F1A|=4a，由離心率公式可得|F1F2|=2c=5a，在△AF1F2中，運用余弦定理，即可得到所求值．【解答】解：由于|F1A|=2|F2A|，由雙曲線的定義，得：|F1A|﹣|F2A|=|F2A|=2a，則|F1A|=4a，又雙曲線的離心率為，則|F1F2|=2c=5a，在△AF1F2中，；故答案為：．15.函數(shù)y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，則ω=．參考答案：2【考點】正弦函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．16.在邊長為3的等邊三角形ABC中，點D、E分別在AB、AC上，且滿足，則_________.參考答案：略17.在平面直角坐標系數(shù)xOy中，點A（1，0），B（4，0），若直線x﹣y+m=0上存在點P，使得2PA=PB，則實數(shù)m的取值范圍是．參考答案：[﹣2，2]【考點】直線的一般式方程．【分析】設(shè)P（x，x+m），由2PA=PB，可得4|PA|2=|PB|2，利用兩點之間的距離公式化為：（x+m）2=4﹣x2，可得：m=﹣x±，x∈[﹣2，2]．通過三角函數(shù)代換即可得出．【解答】解：設(shè)P（x，x+m），∵2PA=PB，∴4|PA|2=|PB|2，∴4（x﹣1）2+4（x+m）2=（x﹣4）2+（x+m）2，化為（x+m）2=4﹣x2，∴4﹣x2≥0，解得x∈[﹣2，2]，∴m=﹣x±，令x=2cosθ，θ∈[0，π]，∴m=﹣2cosθ±2sinθ=±2sin（θ±）∈[﹣2，2]，實數(shù)m的取值范圍是[﹣2，2]，故答案為[﹣2，2]．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在黨的第十九次全國代表大會上，習(xí)近平總書記指出：“房子是用來住的，不是用來炒的”．為了使房價回歸到收入可支撐的水平，讓全體人民住有所居，近年來全國各一、二線城市打擊投機購房，陸續(xù)出臺了住房限購令．某市一小區(qū)為了進一步了解已購房民眾對市政府出臺樓市限購令的認同情況，隨機抽取了本小區(qū)50戶住戶進行調(diào)查，各戶人平均月收入（單位：千元，）的戶數(shù)頻率分布直方圖如下圖：其中，贊成限購的戶數(shù)如下表：人平均月收入[1,3)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[11,13)贊成戶數(shù)4912631

(1)求人平均月收入在[9,13)的戶數(shù)，若從他們中隨機抽取兩戶，求所抽取的兩戶都贊成樓市限購令的概率；(2)求所抽取的50戶的人平均月收入的平均數(shù)；(3)若將小區(qū)人平均月收入不低于7千元的住戶稱為“高收入戶”，人平均月收入低于7千元的住戶稱為“非高收入戶”．根據(jù)已知條件完成如圖所給的2×2列聯(lián)表，并說明能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“收入的高低”與“贊成樓市限購令”有關(guān).

非高收入戶高收入戶總計贊成

不贊成

總計

附：臨界值表0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考公式：.參考答案：(1)；(2)6.4千元；(3)答案見解析.試題分析：（1）根據(jù)均值公式計算即可；（2）住戶共有8戶，贊成樓市限購令的有4戶，從中隨機抽取兩戶，隨機變量的取值可能為0,1,2，分別計算其概率即可；（3）根據(jù)卡方公式計算即可得出結(jié)論.試題解析：（1）千元(1)由直方圖知：月收入在的住戶共有8戶，贊成樓市限購令的有4戶，從中隨機抽取兩戶，設(shè)為贊成樓市限購令的用戶數(shù).則所以的分布列為：

012P

（3）依題意，列聯(lián)表如下

非高收入戶高收入戶總計贊成251035贊成51015總計302050

所以不能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“收入的高低”與“贊成樓市限購令”有關(guān).19.已知等差數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.參考答案：（1），求得（2）20.對于任意的實數(shù)()和,不等式恒成立,記實數(shù)的最大值是.(1)求的值;

(2)解不等式.參考答案：解:(1)不等式恒成立,即對于任意的實數(shù)()和恒成立,只要左邊恒小于或等于右邊的最小值.因為,當且僅當時等號成立,即時,成立,也就是的最小值是2.(2).解法1:利用絕對值的意義得:解法2:當時,原不等式化為,解得,所以的取值范圍是.當時,原不等式化為,得的取值范圍是.當時,原不等式化為,解得,所以的取值范圍是.綜上所述:的取值范圍是.解法3:構(gòu)造函數(shù)作的圖象,利用圖象有得:.

1略21.（本小題滿分13分）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列前項的和為，數(shù)列的前項的和為，且．(I)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并寫出通項公式；(II)若對恒成立，求的最小值；(III)若成等差數(shù)列，求正整數(shù)的值．參考答案：解．（I）當時，由，解得，當時，由，解得；………2分由，知，兩式相減得，即，亦即，從而，再次相減得，…4分又，所以，所以數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，其通項公式為．………5分（2）由（1）可得，，……7分若對恒成立，只需對恒成立，因為對恒成立，所以,即的最小值為3；…………10分（3）若成等差數(shù)列，其中為正整數(shù)，則成等差數(shù)列，整理得，當時，等式右邊為大于2的奇數(shù)，等式左邊是偶數(shù)或1，等式不能成立，所以滿足條件的值為．…………13分略22.（本小題滿分13分）已知某山區(qū)小學(xué)有100名四年級學(xué)生，將全體四年級學(xué)生隨機按00～99編號，并且按編號順序平均分成10組．現(xiàn)要從中抽取10名學(xué)生，各組內(nèi)抽取的編號按依次增加10進行系統(tǒng)抽樣.（1）若抽出的一個號碼為22，則此號碼所在的組數(shù)是多少？據(jù)此寫出所有被抽出學(xué)生的號碼；（2）分別統(tǒng)計這10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，獲得成績數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，求該樣本的方差；（3）在（2）的條件下，從這10名學(xué)生中隨機抽取兩名成績不低于73分的學(xué)生，求被抽取到的兩名學(xué)生的成績之和不小于154分的概率．參考答案：（1）由題意，得抽出號碼為22的組數(shù)為3.

（2分）因為2＋10×(3－1)＝22，所以第1組抽出的號碼應(yīng)該為02，抽出的10名學(xué)生的號碼依次分別為：02，12，22，32，42，52，62，72，82，92.

（4分）（2）這10名學(xué)生的平均成績?yōu)椋骸?81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，

（6分）故樣本方差為：（102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122）＝52.（8分）（3）從這10名學(xué)生中隨機抽取兩名成績不低于73分的學(xué)生，共有如下10種不同的取法：（73，76），（73，78），（73，79），