冀教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)24.2 解一元二次方程 素養(yǎng)提升練（含解析）

第第頁冀教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)24.2解一元二次方程素養(yǎng)提升練（含解析）第二十四章一元二次方程

24.2解一元二次方程

基礎(chǔ)過關(guān)全練

知識(shí)點(diǎn)1直接開平方法

1.若一元二次方程(x+6)2=64可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程,其中一個(gè)一元一次方程是x+6=8,則另一個(gè)一元一次方程是()

A.x-6=-8B.x-6=8

C.x+6=8D.x+6=-8

2.利用直接開平方法解下列方程:

(1)(2x-1)2-121=0;(2)4(x-1)2=9.

知識(shí)點(diǎn)2配方法

3.(2022甘肅白銀中考)用配方法解方程x2-2x=2時(shí),配方后正確的是()

A.(x+1)2=3B.(x+1)2=6

C.(x-1)2=3D.(x-1)2=6

4.(2022河北邢臺(tái)信都月考)在解方程2x2+4x+1=0時(shí),對(duì)方程進(jìn)行配方,文本框①中是嘉嘉做的,文本框②中是琪琪做的,對(duì)于兩人的作法,說法正確的是()

(

2

x

2

+4

x

=-1

,

4

x

2

+8

x

=-2

,

4

x

2

+8

x

+4=-2+4

,

(

2

x

+2

)

2

=2

.

)(

2

x

2

+4

x

=-1

,

x

2

+2

x

=-

,

x

2

+2

x

+1=-

+1

,

(

x

+1

)

2

=

.

)

①②

A.兩人都正確

B.嘉嘉正確,琪琪不正確

C.嘉嘉不正確,琪琪正確

D.兩人都不正確

5.用配方法解一元二次方程x2-5x=2時(shí),應(yīng)在等式兩邊都加上.

6.(2022湖北荊州中考)一元二次方程x2-4x+3=0配方為(x-2)2=k,則k的值是.

7.用配方法解下列方程.

(1)x2-6x+8=0;(2)x(x-4)=1;

(3)3x2-6x+1=0;(4)2x2+1=3x.

知識(shí)點(diǎn)3公式法

8.(2022河南中考)一元二次方程x2+x-1=0的根的情況是()

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.沒有實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

9.(2022河北邢臺(tái)信都月考)小明在解方程x2-4x=2時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤,解答過程如下:

∵a=1,b=-4,c=-2,(第一步)

∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-2)=24,(第二步)

∴x=,(第三步)

∴x1=-2+,x2=-2-.(第四步)

小明的解答過程開始出錯(cuò)的步驟是()

A.第一步B.第二步

C.第三步D.第四步

10.【一題多變】(2022江蘇宿遷中考)若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+k=0有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

[變式1]【易錯(cuò)題】若關(guān)于x的一元二次方程kx2-x-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是.

[變式2]已知m為實(shí)數(shù),若關(guān)于x的一元二次方程(m+1)x2+2x=1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是.

11.(2022云南中考)方程2x2+1=3x的解為.

12.【教材變式·P42B組T1】已知關(guān)于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則k=,此時(shí)方程的根是.

13.用公式法解下列方程.

(1)x2-x-7=0;(2)2x2+3=7x;

(3)3x2-2x=1;(4)(3x-2)(x+2)=28.

知識(shí)點(diǎn)4因式分解法

14.(2023河北南皮月考)用因式分解法解下列方程,變形正確的是()

A.(x+3)(x-1)=1,可得x+3=1或x-1=1

B.(x-3)(x-4)=0,可得x-3=0或x-4=0

C.(x-2)(x-3)=6,可得x-2=2或x-3=3

D.x(x+2)=0,可得x+2=0

15.(2023河北邢臺(tái)襄都期中)一元二次方程x2=x的解為()

A.x=-1B.x1=x2=1

C.x1=0,x2=1D.x1=x2=0

16.(2022廣西梧州中考)一元二次方程(x-2)·(x+7)=0的根是.

17.用因式分解法解下列方程.

(1)x(x+3)=x;(2)x(x-7)=8(7-x);

(3)2y2+6y=y+3;(4)x2-4=3(x-2).

能力提升全練

18.(2022四川雅安中考,10,★★☆)若關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程(x+3)2=2c,則c的值為()

A.-3B.0C.3D.9

19.(2023河北高陽段考,10,★★☆)定義新運(yùn)算“Θ”如下:mΘn=-m2+4m-n,當(dāng)xΘ2=1時(shí),x的值為()

A.1B.-1C.-1或3D.1或3

20.【易錯(cuò)題】(2022山東東營中考,15,★★☆)關(guān)于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是.

21.【開放型試題】(2022江蘇揚(yáng)州中考,12,★★☆)請(qǐng)?zhí)顚懸粋€(gè)常數(shù),使得關(guān)于x的方程x2-2x+=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

22.【一題多解】解下列方程:

(1)(2022黑龍江齊齊哈爾中考,19,★★☆)(2x+3)2=(3x+2)2;

(2)(2022江蘇無錫中考,20,★★☆)x2-2x-5=0.

23.【代數(shù)推理】(2023河北高陽月考,22,★★☆)已知關(guān)于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+2=0.

(1)求證:此方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

(2)如果這個(gè)方程根的判別式的值等于9,求a的值.

素養(yǎng)探究全練

24.【推理能力】(2023河北保定蓮池期中)定義:若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)滿足b=a+c,則稱該方程為“和諧方程”.

(1)下列方程中屬于和諧方程的是;

①x2+2x+1=0;②x2-2x+1=0;③x2+x=0.

(2)求證:和諧方程總有實(shí)數(shù)根;

(3)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)為和諧方程,若該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,求a,c的數(shù)量關(guān)系.

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)全練

1.D∵(x+6)2=64,∴x+6=8或x+6=-8.故選D.

2.解析(1)移項(xiàng),得(2x-1)2=121,

兩邊開平方,得2x-1=±11,

所以2x-1=11或2x-1=-11,解得x1=6,x2=-5.

(2)方程兩邊同時(shí)除以4,得(x-1)2=,

兩邊開平方,得x-1=±,

所以x-1=,解得x1=,x2=-.

3.Cx2-2x=2,配方,得x2-2x+1=2+1,即(x-1)2=3.

4.A經(jīng)計(jì)算知兩人的作法都正確.故選A.

5.答案

解析應(yīng)在等式兩邊都加上,即.

6.答案1

解析∵x2-4x+3=0,∴x2-4x=-3,∴x2-4x+4=-3+4,∴(x-2)2=1,

∵一元二次方程x2-4x+3=0配方為(x-2)2=k,∴k=1.

7.解析(1)移項(xiàng),得x2-6x=-8,

配方,得x2-6x+9=-8+9,即(x-3)2=1,

兩邊開平方,得x-3=±1,解得x1=4,x2=2.

(2)整理,得x2-4x=1,

配方,得x2-4x+4=1+4,即(x-2)2=5,

兩邊開平方,得x-2=±,解得x1=2+,x2=2-.

(3)移項(xiàng),并將二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得x2-2x=-,

配方,得x2-2x+1=-+1,即(x-1)2=,

兩邊開平方,得x-1=±,

解得x1=1+,x2=1-.

(4)原方程可化為2x2-3x+1=0,

移項(xiàng),并將二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得x2-,

配方,得x2-,

即,兩邊開平方,得x-,

解得x1=1,x2=.

8.A在一元二次方程x2+x-1=0中,a=1,b=1,c=-1,

∴b2-4ac=12-4×1×(-1)=1+4=5>0,

∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

9.C小明的解答過程開始出錯(cuò)的步驟是第三步,求根公式用錯(cuò).

故選C.

10.答案k≤1

解析∵b2-4ac=(-2)2-4×1×k=4-4k,且關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+k=0有實(shí)數(shù)根,∴4-4k≥0,解得k≤1.

[變式1]答案k≥-且k≠0

解析根據(jù)題意得k≠0且(-1)2-4k×(-1)≥0,解得k≥-且k≠0.

[變式2]答案m>-2且m≠-1

解析在關(guān)于x的一元二次方程(m+1)x2+2x=1(m為實(shí)數(shù))中,a=m+1,b=2,c=-1,

∴b2-4ac=4+4(m+1)=4m+8,

根據(jù)題意,得b2-4ac=4m+8>0,且m+1≠0,

解得m>-2且m≠-1.

11.答案x1=1,x2=

解析移項(xiàng),得2x2-3x+1=0,故a=2,b=-3,c=1,

∴b2-4ac=1>0,∴x=,∴x1=1,x2=.

12.答案;x1=x2=2

解析∵一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

∴k-1≠0且b2-4ac=4+8(k-1)=0,解得k=,

∴一元二次方程為-x2+2x-2=0,

解得x1=x2==2.

13.解析(1)∵a=1,b=-1,c=-7,

∴b2-4ac=(-1)2-4×1×(-7)=29>0,

∴x=,∴x1=,x2=.

(2)整理,得2x2-7x+3=0,∴a=2,b=-7,c=3,

∴b2-4ac=(-7)2-4×2×3=25>0,

∴x=,∴x1=3,x2=.

(3)整理,得3x2-2x-1=0,∴a=3,b=-2,c=-1,

∴b2-4ac=(-2)2-4×3×(-1)=4+12=16>0,

∴x=,∴x1=1,x2=-.

(4)原方程整理得3x2+4x-32=0,

∴a=3,b=4,c=-32,

∴b2-4ac=16-4×3×(-32)=400,

∴x=,

∴x1=-4,x2=.

14.B用因式分解法解二元一次方程時(shí),方程的右邊為0,才可以達(dá)到化為兩個(gè)一元一次方程的目的,因此A,C選項(xiàng)不正確.D選項(xiàng)應(yīng)該是x=0或x+2=0,只有B選項(xiàng)正確.

15.C移項(xiàng),得x2-x=0,分解因式,得x(x-1)=0,

∴x=0或x-1=0,∴x1=0,x2=1.

16.答案x1=2,x2=-7

解析∵(x-2)(x+7)=0,∴x-2=0或x+7=0,∴x1=2,x2=-7.

17.解析(1)由原方程得x(x+3)-x=0,

∴x(x+3-1)=0,∴x=0或x+2=0,

解得x1=0,x2=-2.

(2)由原方程得x(x-7)+8(x-7)=0,

∴(x-7)(x+8)=0,∴x-7=0或x+8=0,

解得x1=7,x2=-8.

(3)由原方程得2y(y+3)-(y+3)=0,

∴(y+3)(2y-1)=0,∴y+3=0或2y-1=0,

解得y1=-3,y2=.

(4)由原方程得(x-2)(x+2)-3(x-2)=0,

∴(x-2)(x+2-3)=0,即(x-2)(x-1)=0,

∴x-2=0或x-1=0,解得x1=2,x2=1.

能力提升全練

18.C原方程移項(xiàng),得x2+6x=-c,配方,得x2+6x+9=-c+9,

即(x+3)2=-c+9.

∵(x+3)2=2c,∴2c=-c+9,解得c=3.

19.D∵mΘn=-m2+4m-n,xΘ2=1,

∴-x2+4x-2=1,

∴(x-1)(x-3)=0,∴x-1=0或x-3=0,

解得x1=1,x2=3,

20.答案k0,解得k0,解得c0,

∴x=,∴x1=1+,x2=1-.

23.解析(1)證明:原方程的根的判別式=(2a+1)2-4×2×(a-1)

=4a2+4a+1-8a+8=4a2-4a+1+8=(2a-1)2+8,

∵(2a-1)2≥0,∴原方程的根的判別式=(2a-1)2+8>0,

∴此方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)∵原方程的根的判別式=(2a-1)2+8=9,

∴(2a