高考數(shù)學(xué)理科版復(fù)習(xí)講義大題小做第4單元

庖丁解題高考真題過程拆解(2016年全國I卷，18)如圖，在以為正方形，AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°EFA(2)求二面角E-BC-A的余弦值1.利用線面垂直的判定定理，證明AF⊥平面EFDC利用面面垂直的判定定理，證明平面ABEF⊥平面EFDC.2.過點(diǎn)D作DG⊥平面ABEF于點(diǎn)G再建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz,通過確定二面角D-AF-E的平面角，進(jìn)而得到點(diǎn)A,B,ED的坐標(biāo)，通過線BE-F的平面角，得到點(diǎn)C的坐標(biāo)以及EC,EB,AC,AB的坐標(biāo)3.設(shè)出平面BCE的法向量，利用線面垂直的判定定理，列出用兩個平面的二面角的平面角與兩個法向量之間的關(guān)系，得到兩個平面的二面角的余弦值答題模板評分細(xì)則解：(1)由已知可得AF⊥DFAF⊥FE∵AF⊥平面EFDC.........1分得分點(diǎn)①又AFC平面ABEF,:平面ABEF⊥平面EFDC..............1分得分點(diǎn)②(2)過點(diǎn)D作DG⊥EF垂足為G由(1)知DG⊥平面ABEF.以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GF的方向?yàn)閤軸正方向，/GF/為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-xyz..2分得分點(diǎn)③CCDEGF由(1)知∠DFE為二面角D-AF-E的一個平面角，故∠DFE=60°,則/DF/=2,/DG/=√3,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),A(-3,0,0),D(0,0,√3)....................1分得分點(diǎn)④又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB//CD,CD//EF.2分得分點(diǎn)⑤由BE//AF可得BE⊥平面EFDG∵∠CEF為二面角C-BE-F的一個平面角，故∠CEF=60°..1分得分點(diǎn)⑥從而可得(-2,0,√3).得分點(diǎn)⑦設(shè)n=(x,y,z)是平面BCE的法向量.:可取n=(3,0,-√3).................1分得分點(diǎn)⑧設(shè)m是平面ABCD的法向量，則同理可取m-(0,√3,4),...................1分得分點(diǎn)⑨⑩第(1)問踩點(diǎn)說明(針對得分點(diǎn)①②):①正確使用線面垂直的判定定理得1分②正確使用面面垂直的判定定理得1分第(2)問踩點(diǎn)說明(針對得分點(diǎn)③正確使用面面垂直的性質(zhì)定理，建立空間直角坐標(biāo)系得2分；/DF/,/DG/的長度以及A,B,E,D的坐標(biāo)得1分；⑤正確利用線面平行的判定和性質(zhì)定理得2分；⑥正確判斷線面垂直的一個推論，確定二面角C-BE-F的平面角得1分；⑦正確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得1分；⑧正確利用兩向量垂直的條件和數(shù)量積的運(yùn)算⑨正確利用兩向量垂直的條件和數(shù)量積的運(yùn)算⑩正確利用數(shù)量積的運(yùn)算求夾角的余弦值得1過程導(dǎo)引首先根據(jù)菱形對角線的特點(diǎn)得到BD⊥AG,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明BE⊥AG,根據(jù)線面垂直的判定定理得到AG⊥平面得平面BDE⊥平面A?BG.解：(1):四邊形ABCD是菱形，:BD⊥AC.:DD⊥平面ABCD又∵BD∩BE=B:A,G⊥平面BDEAGC平面A,BG,平面BDE⊥平面A,BG.四邊形ABCD為平行四邊形，:AD//BG.又AD4平面ABG,BGc平面A?BG,∵AD//平面A?BG.司理可得AC//平面ABG.∵平面ACD//平面ABG.∵BFC平面ABG,∵BE//平面ACD,首先利用平行公理得到ABGD,再由平行四邊形的性質(zhì)得到AD//BC,由線面平行的判定定理得AD//平面A?BG,由平行四邊形A?ACC的性質(zhì)得AC//A;C,進(jìn)過程導(dǎo)引解析性質(zhì)得BE⊥AC利用線面垂直的定義分別證明PA⊥BE再利用線明BE⊥平面PACCP⊥平面BEE進(jìn)而得到CP⊥EF.PA⊥平面ABGBEC平面ABG∵PA⊥BE又：PA∩AC=A,:BE⊥平面PAC.又∵BF⊥CPBENBF=B∵CP⊥平面BEF.:CP⊥EF.(2)過點(diǎn)Q作QD⊥BC于點(diǎn)D:PQ⊥平面QBC:∠PQB=∠PQC=90°又∵PB=PCPQ=PQPQF.FDB點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接AD則AD⊥BG∵AD⊥平面QBG:∠AQD即為AQ與平面QBC所成的角PQ//ADAD⊥QD四邊形PADQ是矩形設(shè)PA=2,則AB=2.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得AD-√3,故直線AQ與平面QBC所成角的余弦值為首先判斷△PQB≌△PQC確定點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，根據(jù)面面垂QBC由線面角定義確定∠AQD即即AM⊥AQ.①又AM∩MN=M.:平面PBG//平面AMN59多面面平行的判定線面平行不要過于“模式化”垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化在證明線面垂直、面面垂直時，一定要注意判定定理成立的條件.同時抓住線輔助線來解決.考點(diǎn)11利用空間向量考查形式：求線線角、線面角、二面角是立體幾何中的常見題型，其中二面角問題是各種角度問題中出現(xiàn)頻其他類型的角).解題分析：在解答題的某一問中求角時，多以特殊的棱柱和棱錐為載體、特殊平面圖形翻折形背景，首先對于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、空間線面關(guān)系的邏輯推理、平面圖形中的基本計(jì)算以及余弦定理等知 高考真題過程拆解(2017年全國I卷，18)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,且∠BAP=∠CDP-90°1.利用平行關(guān)系得AB⊥PD利用線面垂直的判定定理得AB⊥平面PAD,再由面面垂直的判定定理得平面PAB⊥平面2.在平面PAD內(nèi)作PF⊥AD于點(diǎn)F利用線面垂直的定義，證明AB⊥PF,進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理得PF⊥平面ABCD.3.利用FP,FA的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到F為AD的中點(diǎn)，進(jìn)而得到各點(diǎn)的空間坐標(biāo)和各向量的坐標(biāo)，4.設(shè)出平面PCB和平面PAB的法向量，利用線面垂直的定義求得兩個平面的法向量，根據(jù)法向量的夾角與二面角A-PB-C的關(guān)系求得余弦值.DBC(1)證明：平面PAB⊥平面PAD(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.答題模板評分細(xì)則解：(1)由已知∠BAP=∠CDP=90°得，AB⊥AP,CD⊥PD.以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A的方向?yàn)閤軸正方向，/AB/為單位長度，建立如圖所示的空間設(shè)PA=PD=AB=DC=1,則AD-V2,AF得分點(diǎn)①②③:直關(guān)系得1分；定定理得2分；定定理得1分.點(diǎn)④⑤⑥⑦⑧⑨:定定理和定義得2分；知識和空間關(guān)系得1分；標(biāo)運(yùn)算得1分；PPDyFABC2222,AB-(0,1,0) 1分得分點(diǎn)⑥設(shè)n=(x,y,z)是平面PCB的法向量，則可取n=(0,-1,-√2)....……....….....1分得分點(diǎn)⑦設(shè)m=(x,y,z)是平面PAB的法向量，則觀察圖形知，二面角A-PB-C的余弦值為................2分得分點(diǎn)⑨⑨正確利用法向量的夾角與二面角A-PB-C的關(guān)系求得余弦值得2分.導(dǎo)向訓(xùn)練…過程導(dǎo)引利用余弦定理求出∠BAD=120°,由平面幾何知識求的判定定理得AB⊥平面PAG再得AB⊥PC.四邊形ABCD是等腰梯形，AD//BG,又∵PCE平面PAG∵AB⊥PC組求出平面PDC的法向量，利用向量數(shù)量積公式，即可求出二面PP:A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,√3,0),F(0,0,1),(),設(shè)平面PDC的法向量n=(x,y,z),觀察圖形知，二面角A-PC-D2)求平面ABC與平面A?BG所成角的余弦值過程導(dǎo)引由面面垂直的性質(zhì)定理，解：(1)取A?B,AB的中點(diǎn)MN連接GMCN:AA//BB,//MV:CG//MN:CG=MN:四邊形GMNC是平行四邊形，∴GM//CN2又A4⊥平面ABG:平面AABR⊥平面ABC同時平面AABB∩平面ABC=AB又又GMに平面ABG,故平面ABG⊥平面AABB.(2)以C為原點(diǎn)，分別以CACBCGxyzAAABG⊥平面AABB.CB?CBMCA;ByByNC(0,0,0),C(0,0,2a),A(2,0,a),D(0,2,0),B(0,2,3a),A(2解得a=1從而BA?=(2,-2,1),BC?=(0,-2,2).設(shè)平面A?又平面ABC的一個法向量為m-(0,0,1)設(shè)平面ABC與平面ABG所成的角為θ,直線AC與AB所成的角，一個法向量為m=(0,0,1)突破突破·針對訓(xùn)練設(shè)AD與平面ADM所成角為8,又BO-√2,:PO-√322令z=1,得n=(1,1,1).考點(diǎn)12空間幾何中的翻折過程拆解(2016年全國Ⅱ卷，19)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O,AB=5,AC-6,ADCD上，AE=CF5EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到(1)證明：D'H⊥平面ABCD.(2)求二面角B-D'A-C的正弦值.1.首先弄清翻折后哪些位置關(guān)系會不變，如ACLOD,AC⊥OD',根據(jù)平面幾何知識得到EF⊥HD和EF⊥D'H利用勾股定理計(jì)算并證明D'HLOH,再利用線面垂直的判定定理證明D'H⊥平面ABCD2.利用HF,HD,HD'的垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得AB,AC,AD'的坐標(biāo).設(shè)出平面ABD'和ACD'的法向量mn,利用線面垂直的判定定理，列出蘇CBDF答題模板評分細(xì)則故AC//EF.因此EF⊥HD,從而EFLD'H...............1分得分點(diǎn)①于是D'H+0H=3'A12=10=D'0,故D'L...1分得分點(diǎn)③又D'H⊥EF而OH∩EF=H∵D'HL平面ABCD...............1分得分點(diǎn)④點(diǎn)①②③④:①正確利用平面幾何知識證明AC//EF和EF⊥D'H得1分；行的條件求值得1分；明垂直得1分；(2)如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系H-xyz,則/(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),((3,-1,0),D'(0,0,3),...…..…1分得分點(diǎn)⑤AB=(3,-4,0),AC=(6,0,0),AD'=(3,1,3)....................1分得分點(diǎn)⑥設(shè)m=(xi,Y,z)是平面ABD'的法向量，則:可取m-(4,3,-5)...............2分得分點(diǎn)⑦設(shè)n=(x,Y,z)是平面ACD'的法向量，則即:可取n-(0,-3,1)...........2分得分點(diǎn)⑧因此二面角B-D'A-C第(2)問踩點(diǎn)說明(針對得分點(diǎn)系，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)得1分；和數(shù)量積的概念得2分；和數(shù)量積的概念得2分；得2分.高考真題CAB(2013年北京卷，17)如圖，在三棱柱ABC-ABG中，AA?GC是邊長為CAB4的正方形，平面ABC⊥平面AA,CCAB=3,BC=5.(1)求證：A4⊥平面ABC.???CAB(2)求二面角A?-BG-B的余弦值.1.已知平面ABC⊥平面AACG利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直AA⊥平面ABC.2.利用勾股定理證明AB⊥AC建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得A?C?,A?B,B?C?,BB?的坐標(biāo)，設(shè)出平面A.BG和平面BBG的法向量，求出二面角對應(yīng)兩個面的法向量，利用法向量的夾角求二面角的余弦值3.設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用向量解題.答題模板評分細(xì)則解：(1)因?yàn)锳ACC是正方形，所以AA;⊥AC.又因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AACG,交線為AG所以AA⊥平面ABC...2分得分點(diǎn)①分別以AGABAA為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.第(1)問踩點(diǎn)說明(針對得分點(diǎn)①:得2分.第(2)問踩點(diǎn)說明(針對得分點(diǎn)②正確利用勾股定理得1分；③建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的B2B2?GDAE則A(0,0,4),E(0,3,0),C(4,0,4),B(0,3,4),..............1分得分點(diǎn)③A?C?=(4,0,0),A?B=(0,3,-4),B?C?=(4,-3,0),BB?=(0,0,4)............1分得分點(diǎn)④設(shè)平面ABG的法向量為m(x,Y,z),平面BBG的法向量為m(x,Y,z),可取m=(0,4,3).2分得分點(diǎn)⑤可取m?=(3,4,0).……2分得分點(diǎn)⑥所以(3)設(shè)點(diǎn)D的豎軸坐標(biāo)為t(0<t<4),在平面BCGB中作DE⊥BC于點(diǎn)E根據(jù)比例關(guān)系可知Xt(4-t),t)(0<t<4),..............1分得分點(diǎn)⑧-4),..............1分得分點(diǎn)⑨又因?yàn)锳D⊥A?B,所以(4-t)-4t=坐標(biāo)得1分；④正確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得1分⑤正確利用兩向量垂直的條件和數(shù)量積的概念得2分；⑥正確利用兩向量垂直的條件和數(shù)量積的概念得2分；⑦正確利用數(shù)量積的概念求夾角的余弦值得2分.第(3)問踩點(diǎn)說明(針對得分點(diǎn)得到Xt)(0<t<4)得1分；⑨正確寫出向量的坐標(biāo)運(yùn)算得1求得結(jié)果得2分.導(dǎo)向訓(xùn)練過程導(dǎo)引得到HG//EF可得GH//BG連接EF由AO⊥平面BOC得OA⊥0B,OA⊥OC,H、G分別是△AOBAOC心A根據(jù)OA,OB,OC的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，求得各點(diǎn)的坐標(biāo)和BD,CD,BA的坐標(biāo)，根據(jù)平面DBC的一個法向量m再利用D0PB由平面AOB⊥平面AOGOA⊥OB得OB⊥平面AOGOB⊥OCGFC在Rt△BOC中，過點(diǎn)0作BC的垂線，垂足為P即OP⊥BC.又BC//HG,:OP⊥GH.由射影定理得OB=BP·BC(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知得a0,