北京市石景山中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

北京市石景山中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的圖象，則（

）A．

B．C．

D．參考答案：D2.將4名學(xué)生分配到甲、乙、丙3個(gè)實(shí)驗(yàn)室準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室至少分配1名學(xué)生的不同分配方案共有A.種

B種

C.種

D.種參考答案：C3.已知函數(shù)(ω＞0)的最小正周期為4π，則（）A．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)f（x）圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度后，所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱D．函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞增參考答案：C【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．【分析】函數(shù)的最小正周期為4π，求出ω，可得f（x）解析式，對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可【解答】解：函數(shù)的最小正周期為4π，∴，可得ω=．那么f（x）=sin（）．由對稱中心橫坐標(biāo)方程：，k∈Z，可得：x=2kπ∴A不對；由對稱軸方程：=，k∈Z，可得：x=2k，k∈Z，∴B不對；函數(shù)f（x）圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，可得：sin[（x﹣）]=sin2x，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．∴C對．令≤，k∈Z，可得：≤x≤∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上不是單調(diào)遞增．∴D不對；故選C4.的展開式中的系數(shù)為(

)A. B. C. D.參考答案：A【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于，求出r的值，即可求得展開式中的系數(shù)．【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1?（﹣2）r?，令3，求得r＝1，可得展開式中的系數(shù)為﹣12，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)的特點(diǎn),一般需要建立方程求,再將的值代回通項(xiàng)求解,注意的取值范圍()①第m項(xiàng)：此時(shí),直接代入通項(xiàng)；②常數(shù)項(xiàng)：即該項(xiàng)中不含“變元”,令通項(xiàng)中“變元”的冪指數(shù)為0建立方程；③有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變元”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程.特定項(xiàng)的系數(shù)問題及相關(guān)參數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解.5.設(shè)，則函數(shù)

A.有極值 B.有零點(diǎn) C.是奇函數(shù) D.是增函數(shù)參考答案：D6.已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x}，若M∪N＝{0，1，2，3}，則x的值為(

)A．3

B．2

C．1

D．0參考答案：A7.給出如圖所示的程序框圖，那么輸出的數(shù)是（

）A、2550B、2450C、5050D、4900否

參考答案：B略8.某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示,下列說法中錯(cuò)誤的是A.收入最高值與收入最低值的比是3:1B.結(jié)余最高的月份是7月

C.1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D.前6個(gè)月的平均收入為40萬元（注：結(jié)余=收入-支出）參考答案：D讀圖可知A、B、C均正確，對于D，前6個(gè)月的平均收入＝45萬元．9.已知為虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則“”是“點(diǎn)在第四象限”的

(

)A．充要條件

B．必要而不充分條件C．充分而不必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C略10.已知球O的半徑是R，A、B、C是球面上三點(diǎn)，且A與B、A與C、B與C的球面距離分別為，則四面體OABC的體積為（

）

A、

B、

C、

D、參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x﹣4）=﹣f（x），且x∈[0，2]時(shí)，f（x）=log2（x+1），甲、乙、丙、丁四位同學(xué)有下列結(jié)論：甲：f（3）=1；乙：函數(shù)f（x）在[﹣6，﹣2]上是減函數(shù)；丙：函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=4對稱；?。喝鬽∈（0，1），則關(guān)于x的方程f（x）﹣m=0在[0，6]上所有根之和為4，其中結(jié)論正確的同學(xué)是

．參考答案：甲、乙、丁【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】本題利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的解析式的關(guān)系，得到函數(shù)的對稱關(guān)系，從而得到函數(shù)的中心對稱和軸對稱的性質(zhì)，得到本題的相關(guān)結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，f（﹣x）=﹣f（x）．∵函數(shù)f（x）滿足f（x﹣4）=﹣f（x），∴f（x﹣8）=﹣f（x﹣4），∴f（x﹣8）=f（x），∴函數(shù)f（x）的周期為8．（1）命題甲∵f（x﹣4）=﹣f（x），∴f（3）=﹣f（﹣1）=f（1）．∵x∈[0，2]時(shí)，f（x）=log2（x+1），∴f（1）=log2（1+1）=1，∴f（3）=1．∴命題甲正確；（2）命題乙∵當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=log2（x+1），∴函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增．∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴函數(shù)f（x）在[﹣2，0]上單調(diào)遞增．∴函數(shù)f（x）在[﹣2，2]上單調(diào)遞增．∵f（﹣2+x）=﹣f（2﹣x）=f[（2﹣x）﹣4]=f（﹣2﹣x），∴函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=﹣2對稱，∴函數(shù)f（x）在[﹣6，﹣2]上是減函數(shù)．∴命題乙正確．（3）命題丙∵f（4﹣x）=﹣f（x﹣4）=﹣f（x﹣4+8）=﹣f（4+x）∴由點(diǎn)（4﹣x，f（4﹣x））與點(diǎn)（4+x，f（4+x））關(guān)于（4，0）對稱，知：函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（4，0）中心對稱．假設(shè)函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=4對稱，則函數(shù)f（x）=0，與題意不符，∴命題丙不正確．（4）命題丁∵當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=log2（x+1），∴函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，0≤f（x）≤log23．∵f（2﹣x）=﹣f（x﹣2）=f（x﹣2﹣4）=f（x﹣6）=f（2+x），∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱．∴函數(shù)f（x）在[2，4]上單調(diào)遞減，0≤f（x）≤log23．∵函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（4，0）中心對稱，∴當(dāng)x∈[4，8]時(shí)，﹣log23≤f（x）≤0．∴當(dāng)m∈（0，1）時(shí)，則關(guān)于x的方程f（x）﹣m=0在[0，6]上所有根有兩個(gè)，且關(guān)于2對稱，故x1+x2=4．∴命題丁正確．故答案為：甲、乙、丁．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性與函數(shù)圖象的關(guān)系，本題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于中檔題．12.已知x，y滿足約束條件，則的取值范圍為_________．參考答案：【分析】先畫出可行域，求的范圍，再求的取值范圍?！驹斀狻坑深}得，可行域?yàn)閳D中陰影部分所示，則，，作直線，結(jié)合圖像可知，所以有。【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的有關(guān)知識和數(shù)形結(jié)合的思想。13.設(shè)，其中.若對一切恒成立，則①；②；③既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；④的單調(diào)遞增區(qū)間是；⑤存在經(jīng)過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象不相交．以上結(jié)論正確的是__________________（寫出所有正確結(jié)論的編號）．參考答案：①②③略14.有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各參加其中一個(gè)小組，且他們參加各個(gè)興趣小組是等可能的，則甲、乙兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為

▲

．參考答案：15.點(diǎn)P是棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點(diǎn)，則的取值范圍是．參考答案：[﹣，0]【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，z），則由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z=1，計(jì)算?=x2﹣x，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的值域即可．【解答】解：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；則點(diǎn)A（1，0，0），C1（0，1，1），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，z），由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z=1；∴=（1﹣x，﹣y，﹣1），=（﹣x，1﹣y，0），∴?=﹣x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0=x2﹣x+y2﹣y=+﹣，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)x=y=時(shí)，?取得最小值為﹣；當(dāng)x=0或1，且y=0或1時(shí)，?取得最大值為0，則?的取值范圍是[﹣，0]．故答案為：[﹣，0]．16.函數(shù)

為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)

參考答案：

因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，由，得，即。17.命題“x∈R,2x2-3ax+9<0”為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M為CE的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）求平面BEC與平面ADEF所成銳二面角的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．【專題】計(jì)算題；證明題．【分析】（I）取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN，由三角形中位線定理，結(jié)合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，再由線面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；（II）由已知中正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，易得ED⊥平面ABCD，進(jìn)而ED⊥BC，由勾股定理，我們易判斷出△BCD中，BC⊥BD，由線面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BDE⊥平面BEC；（III）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BEC與平面ADEF的法向量，代入向量夾角公式，即可求出平面BEC與平面ADEF所成銳二面角的余弦值．【解答】證明：（I）取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN在△EDC中，M、N分別為EC，ED的中點(diǎn)，所以MN∥CD，且MN=CD．由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB，且MN=AB．所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN又因?yàn)锳N?平面ADEF，且BM?平面ADEF，所以BM∥平面ADEF．（II）在正方形ADEF中，ED⊥AD，又因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2在△BCD中，BD=BC=2，CD=4，所以BC⊥BD．所以BC⊥平面BDE，又因?yàn)锽C?平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC．解：（III）由（2）知ED⊥平面ABCD，且AD⊥CD．以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2），平面ADEF的一個(gè)法向量為=（0，1，0）．設(shè)=（x，y，z）為平面BEC的一個(gè)法向量，因?yàn)椋嗔顇=1，得y=1，z=2所以=（1，1，2）為平面BEC的一個(gè)法向量設(shè)平面BEC與平面ADEF所成銳二面角為θ則cosθ==所以平面BEC與平面ADEF所成銳二面角為余弦值為【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面不同位置關(guān)系（平行和垂直）的判定定理、性質(zhì)定理、定義及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．19.每年5月17日為國際電信日，某市電信公司在電信日當(dāng)天對辦理應(yīng)用套餐的客戶進(jìn)行優(yōu)惠，優(yōu)惠方案如下：選擇套餐一的客戶可獲得優(yōu)惠200元，選擇套餐二的客戶可獲得優(yōu)惠500元，選擇套餐三的客戶可獲得優(yōu)惠300元.電信日當(dāng)天參與活動(dòng)的人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示，現(xiàn)將頻率視為概率.(1)求某人獲得優(yōu)惠金額不低于300元的概率；(2)若采用分層抽樣的方式從參加活動(dòng)的客戶中選出6人，再從該6人中隨機(jī)選出兩人，求這兩人獲得相等優(yōu)惠金額的概率.參考答案：解：(1)設(shè)事件=“某人獲得優(yōu)惠金額不低于300元”,則(2)設(shè)事件=“從這6人中選出兩人，他們獲得相等優(yōu)惠金額”，由題意按分層抽樣方式選出的6人中，獲得優(yōu)惠200元的1人，獲得優(yōu)惠500元的3人，獲得優(yōu)惠300元的2人，分別記為，從中選出兩人的所有基本事件如下：，，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè)，其中使得事件成立的為，，，，共4個(gè)，則.略20.已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)的圖像函數(shù)與函數(shù)的圖像在內(nèi)存在交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：(1)見解析；(2)【分析】對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）原題等價(jià)于方程，即在上有解，構(gòu)造函數(shù)，，求出其值域，再解不等式即得解.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)榍覄t當(dāng)時(shí)，在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得易得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)函數(shù)的圖像函數(shù)與函數(shù)的圖像在內(nèi)存在交點(diǎn)等價(jià)于方程，即在上有解，設(shè)，，則，令，解得，易得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，有，，因?yàn)樗院瘮?shù)在的值域?yàn)椋?，解?【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的有解問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.21.在中，已知，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值參考答案：（Ⅰ）解：在中，，…1由正弦定理，．所以．….5（Ⅱ）解：因?yàn)?，所以角為鈍角，從而角為銳角，于是，..，………..7．….9

…1422.為了迎接2019年全國文明城市評比，某市文明辦對市民進(jìn)行了一次文明創(chuàng)建知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查.每一位市民有且僅有一次參加機(jī)會，通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：組別頻數(shù)2515020025022510050

（1）由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布，近似為這1000人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表），請利用正態(tài)分布的知識求；（2）在（1）的條件下，文明辦為此次參加問卷