北京市石景山中學2021年高三數(shù)學文期末試題含解析

北京市石景山中學2021年高三數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，則（

）A．

B．C．

D．參考答案：D2.將4名學生分配到甲、乙、丙3個實驗室準備實驗，每個實驗室至少分配1名學生的不同分配方案共有A.種

B種

C.種

D.種參考答案：C3.已知函數(shù)(ω＞0)的最小正周期為4π，則（）A．函數(shù)f（x）的圖象關于原點對稱B．函數(shù)f（x）的圖象關于直線對稱C．函數(shù)f（x）圖象上的所有點向右平移個單位長度后，所得的圖象關于原點對稱D．函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上單調遞增參考答案：C【考點】正弦函數(shù)的圖象．【分析】函數(shù)的最小正周期為4π，求出ω，可得f（x）解析式，對各選項進行判斷即可【解答】解：函數(shù)的最小正周期為4π，∴，可得ω=．那么f（x）=sin（）．由對稱中心橫坐標方程：，k∈Z，可得：x=2kπ∴A不對；由對稱軸方程：=，k∈Z，可得：x=2k，k∈Z，∴B不對；函數(shù)f（x）圖象上的所有點向右平移個單位，可得：sin[（x﹣）]=sin2x，圖象關于原點對稱．∴C對．令≤，k∈Z，可得：≤x≤∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上不是單調遞增．∴D不對；故選C4.的展開式中的系數(shù)為(

)A. B. C. D.參考答案：A【分析】在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于，求出r的值，即可求得展開式中的系數(shù)．【詳解】二項式的展開式的通項公式為Tr+1?（﹣2）r?，令3，求得r＝1，可得展開式中的系數(shù)為﹣12，故選：A．【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質，屬于基礎題．求二項展開式的特定項問題，實質是考查通項的特點,一般需要建立方程求,再將的值代回通項求解,注意的取值范圍()①第m項：此時,直接代入通項；②常數(shù)項：即該項中不含“變元”,令通項中“變元”的冪指數(shù)為0建立方程；③有理項：令通項中“變元”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程.特定項的系數(shù)問題及相關參數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解.5.設，則函數(shù)

A.有極值 B.有零點 C.是奇函數(shù) D.是增函數(shù)參考答案：D6.已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x}，若M∪N＝{0，1，2，3}，則x的值為(

)A．3

B．2

C．1

D．0參考答案：A7.給出如圖所示的程序框圖，那么輸出的數(shù)是（

）A、2550B、2450C、5050D、4900否

參考答案：B略8.某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示,下列說法中錯誤的是A.收入最高值與收入最低值的比是3:1B.結余最高的月份是7月

C.1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D.前6個月的平均收入為40萬元（注：結余=收入-支出）參考答案：D讀圖可知A、B、C均正確，對于D，前6個月的平均收入＝45萬元．9.已知為虛數(shù)單位，為實數(shù)，復數(shù)在復平面內對應的點為，則“”是“點在第四象限”的

(

)A．充要條件

B．必要而不充分條件C．充分而不必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C略10.已知球O的半徑是R，A、B、C是球面上三點，且A與B、A與C、B與C的球面距離分別為，則四面體OABC的體積為（

）

A、

B、

C、

D、參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x﹣4）=﹣f（x），且x∈[0，2]時，f（x）=log2（x+1），甲、乙、丙、丁四位同學有下列結論：甲：f（3）=1；乙：函數(shù)f（x）在[﹣6，﹣2]上是減函數(shù)；丙：函數(shù)f（x）關于直線x=4對稱；?。喝鬽∈（0，1），則關于x的方程f（x）﹣m=0在[0，6]上所有根之和為4，其中結論正確的同學是

．參考答案：甲、乙、丁【考點】函數(shù)奇偶性的性質．【專題】函數(shù)的性質及應用．【分析】本題利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的解析式的關系，得到函數(shù)的對稱關系，從而得到函數(shù)的中心對稱和軸對稱的性質，得到本題的相關結論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴函數(shù)f（x）的圖象關于原點對稱，f（﹣x）=﹣f（x）．∵函數(shù)f（x）滿足f（x﹣4）=﹣f（x），∴f（x﹣8）=﹣f（x﹣4），∴f（x﹣8）=f（x），∴函數(shù)f（x）的周期為8．（1）命題甲∵f（x﹣4）=﹣f（x），∴f（3）=﹣f（﹣1）=f（1）．∵x∈[0，2]時，f（x）=log2（x+1），∴f（1）=log2（1+1）=1，∴f（3）=1．∴命題甲正確；（2）命題乙∵當x∈[0，2]時，f（x）=log2（x+1），∴函數(shù)f（x）在[0，2]上單調遞增．∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴函數(shù)f（x）在[﹣2，0]上單調遞增．∴函數(shù)f（x）在[﹣2，2]上單調遞增．∵f（﹣2+x）=﹣f（2﹣x）=f[（2﹣x）﹣4]=f（﹣2﹣x），∴函數(shù)f（x）關于直線x=﹣2對稱，∴函數(shù)f（x）在[﹣6，﹣2]上是減函數(shù)．∴命題乙正確．（3）命題丙∵f（4﹣x）=﹣f（x﹣4）=﹣f（x﹣4+8）=﹣f（4+x）∴由點（4﹣x，f（4﹣x））與點（4+x，f（4+x））關于（4，0）對稱，知：函數(shù)f（x）關于點（4，0）中心對稱．假設函數(shù)f（x）關于直線x=4對稱，則函數(shù)f（x）=0，與題意不符，∴命題丙不正確．（4）命題丁∵當x∈[0，2]時，f（x）=log2（x+1），∴函數(shù)f（x）在[0，2]上單調遞增，0≤f（x）≤log23．∵f（2﹣x）=﹣f（x﹣2）=f（x﹣2﹣4）=f（x﹣6）=f（2+x），∴函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=2對稱．∴函數(shù)f（x）在[2，4]上單調遞減，0≤f（x）≤log23．∵函數(shù)f（x）關于點（4，0）中心對稱，∴當x∈[4，8]時，﹣log23≤f（x）≤0．∴當m∈（0，1）時，則關于x的方程f（x）﹣m=0在[0，6]上所有根有兩個，且關于2對稱，故x1+x2=4．∴命題丁正確．故答案為：甲、乙、?。军c評】本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調性、對稱性與函數(shù)圖象的關系，本題綜合性強，難度較大，屬于中檔題．12.已知x，y滿足約束條件，則的取值范圍為_________．參考答案：【分析】先畫出可行域，求的范圍，再求的取值范圍?！驹斀狻坑深}得，可行域為圖中陰影部分所示，則，，作直線，結合圖像可知，所以有?！军c睛】本題考查線性規(guī)劃的有關知識和數(shù)形結合的思想。13.設，其中.若對一切恒成立，則①；②；③既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；④的單調遞增區(qū)間是；⑤存在經過點的直線與函數(shù)的圖象不相交．以上結論正確的是__________________（寫出所有正確結論的編號）．參考答案：①②③略14.有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各參加其中一個小組，且他們參加各個興趣小組是等可能的，則甲、乙兩位同學參加同一個興趣小組的概率為

▲

．參考答案：15.點P是棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點，則的取值范圍是．參考答案：[﹣，0]【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】建立空間直角坐標系，設出點P的坐標為（x，y，z），則由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z=1，計算?=x2﹣x，利用二次函數(shù)的性質求得它的值域即可．【解答】解：以點D為原點，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示；則點A（1，0，0），C1（0，1，1），設點P的坐標為（x，y，z），由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z=1；∴=（1﹣x，﹣y，﹣1），=（﹣x，1﹣y，0），∴?=﹣x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0=x2﹣x+y2﹣y=+﹣，由二次函數(shù)的性質可得，當x=y=時，?取得最小值為﹣；當x=0或1，且y=0或1時，?取得最大值為0，則?的取值范圍是[﹣，0]．故答案為：[﹣，0]．16.函數(shù)

為偶函數(shù)，則實數(shù)

參考答案：

因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，由，得，即。17.命題“x∈R,2x2-3ax+9<0”為假命題,則實數(shù)a的取值范圍為參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M為CE的中點．（Ⅰ）求證：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）求平面BEC與平面ADEF所成銳二面角的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．【專題】計算題；證明題．【分析】（I）取DE中點N，連接MN，AN，由三角形中位線定理，結合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，再由線面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；（II）由已知中正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，易得ED⊥平面ABCD，進而ED⊥BC，由勾股定理，我們易判斷出△BCD中，BC⊥BD，由線面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BDE⊥平面BEC；（III）以D為原點，DA，DC，DE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面BEC與平面ADEF的法向量，代入向量夾角公式，即可求出平面BEC與平面ADEF所成銳二面角的余弦值．【解答】證明：（I）取DE中點N，連接MN，AN在△EDC中，M、N分別為EC，ED的中點，所以MN∥CD，且MN=CD．由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB，且MN=AB．所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN又因為AN?平面ADEF，且BM?平面ADEF，所以BM∥平面ADEF．（II）在正方形ADEF中，ED⊥AD，又因為平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2在△BCD中，BD=BC=2，CD=4，所以BC⊥BD．所以BC⊥平面BDE，又因為BC?平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC．解：（III）由（2）知ED⊥平面ABCD，且AD⊥CD．以D為原點，DA，DC，DE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2），平面ADEF的一個法向量為=（0，1，0）．設=（x，y，z）為平面BEC的一個法向量，因為，∴令x=1，得y=1，z=2所以=（1，1，2）為平面BEC的一個法向量設平面BEC與平面ADEF所成銳二面角為θ則cosθ==所以平面BEC與平面ADEF所成銳二面角為余弦值為【點評】本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面不同位置關系（平行和垂直）的判定定理、性質定理、定義及幾何特征是解答本題的關鍵．19.每年5月17日為國際電信日，某市電信公司在電信日當天對辦理應用套餐的客戶進行優(yōu)惠，優(yōu)惠方案如下：選擇套餐一的客戶可獲得優(yōu)惠200元，選擇套餐二的客戶可獲得優(yōu)惠500元，選擇套餐三的客戶可獲得優(yōu)惠300元.電信日當天參與活動的人數(shù)統(tǒng)計結果如圖所示，現(xiàn)將頻率視為概率.(1)求某人獲得優(yōu)惠金額不低于300元的概率；(2)若采用分層抽樣的方式從參加活動的客戶中選出6人，再從該6人中隨機選出兩人，求這兩人獲得相等優(yōu)惠金額的概率.參考答案：解：(1)設事件=“某人獲得優(yōu)惠金額不低于300元”,則(2)設事件=“從這6人中選出兩人，他們獲得相等優(yōu)惠金額”，由題意按分層抽樣方式選出的6人中，獲得優(yōu)惠200元的1人，獲得優(yōu)惠500元的3人，獲得優(yōu)惠300元的2人，分別記為，從中選出兩人的所有基本事件如下：，，，，，，，，，，，，，，，共15個，其中使得事件成立的為，，，，共4個，則.略20.已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)f(x)的單調性；(2)若函數(shù)f(x)的圖像函數(shù)與函數(shù)的圖像在內存在交點，求實數(shù)a的取值范圍.參考答案：(1)見解析；(2)【分析】對a分類討論，利用導數(shù)求函數(shù)f(x)的單調性；（2）原題等價于方程，即在上有解，構造函數(shù)，，求出其值域，再解不等式即得解.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為且則當時，在上恒成立，此時在上單調遞增；當時，令，解得易得當時，，當時，，此時函數(shù)上單調遞增，在上單調遞減.(2)函數(shù)的圖像函數(shù)與函數(shù)的圖像在內存在交點等價于方程，即在上有解，設，，則，令，解得，易得函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，即，有，，因為所以函數(shù)在的值域為，故，解得.【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的有解問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.21.在中，已知，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值參考答案：（Ⅰ）解：在中，，…1由正弦定理，．所以．….5（Ⅱ）解：因為，所以角為鈍角，從而角為銳角，于是，..，………..7．….9

…1422.為了迎接2019年全國文明城市評比，某市文明辦對市民進行了一次文明創(chuàng)建知識的網(wǎng)絡問卷調查.每一位市民有且僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參加問卷調查的1000人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結果如下表所示：組別頻數(shù)2515020025022510050

（1）由頻數(shù)分布表可以認為，此次問卷調查的得分Z服從正態(tài)分布，近似為這1000人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表），請利用正態(tài)分布的知識求；（2）在（1）的條件下，文明辦為此次參加問卷