天津咸第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

天津咸第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知a=cos17°cos23°﹣sin17°sin23°，b=2cos225°﹣1，c=，則a，b，c的大小關(guān)系（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a(chǎn)＞c＞b參考答案：C【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦函數(shù)．【分析】利用兩角差的余弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值及余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解．【解答】解：∵a=cos17°cos23°﹣sin17°sin23°=cos（17°+23°）=cos40°，b=2cos225°﹣1=cos50°．c==cos30°，由于cosx在（0°，90°）單調(diào)遞減，可得cos30°＞cos40°＞cos50°．∴b＜a＜c．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角差的余弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值及余弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．2.若集合，，則（

）A．0

B．

C．

D．參考答案：C試題分析：由，，所以，故3.函數(shù)的值域?yàn)?/p>

（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A4.某同學(xué)在期末復(fù)習(xí)時(shí)得到了下面4個(gè)結(jié)論：①對(duì)于平面向量，，，若⊥，⊥，則⊥；②若函數(shù)f（x）=x2﹣2（1﹣a）x+3在區(qū)間[3，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[﹣2，+∞）；③若集合A={α|α=+，k∈Z}，B={β|β=kπ+，k∈Z}，則A=B．④函數(shù)y=2x的圖象與函數(shù)y=x2的圖象有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：A【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；平面向量及應(yīng)用．【分析】對(duì)于①，運(yùn)用向量共線，即可判斷；對(duì)于②，由二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，解不等式即可判斷；對(duì)于③，對(duì)集合A討論n為奇數(shù)或偶數(shù)，即可判斷；對(duì)于④，由y=2x和y=x2的圖象的交點(diǎn)為（2，4），（4，16），由f（x）=2x﹣x2，運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，即可判斷．【解答】解：對(duì)于①，平面向量，，，若⊥，⊥，則，可能共線，故①不對(duì)；對(duì)于②，若函數(shù)f（x）=x2﹣2（1﹣a）x+3在區(qū)間[3，+∞）上單調(diào)遞增，即有1﹣a≤3，即為a≥﹣2，故②對(duì)；對(duì)于③，集合A={α|α=+，k∈Z}={α|α=nπ+或nπ+，n∈Z}，則B?A，故③不對(duì)；對(duì)于④，函數(shù)y=2x的圖象與函數(shù)y=x2的圖象的交點(diǎn)為（2，4），（4，16），當(dāng)x＜0時(shí)，由f（x）=2x﹣x2，f（﹣1）=﹣＜0，f（0）=1＞0，且f（x）在x＜0時(shí)遞增，則f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上可得兩函數(shù)的圖象共有3個(gè)交點(diǎn)，故④不對(duì)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量共線或垂直的條件，以及兩集合的關(guān)系的判斷，考查函數(shù)的圖象的交點(diǎn)和二次函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．5.已知A是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，且,則△ABC是A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.直角三角形

D.形狀不能確定參考答案：B若A為銳角，由單位圓知：。由條件，知A為鈍角，故選B6.與集合表示同一集合的是（）A.

B.

C.

D.參考答案：D

7.sin30°cos15°＋cos30°sin15°的值是()A.

B.

C.

D.參考答案：C8.若函數(shù)則的值是A.3 B.5 C.7 D.9參考答案：B【分析】令，可得，將代入表達(dá)式可求得函數(shù)值【詳解】令，得，則答案選B9.對(duì)于函數(shù)f（x），若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）為某一三角形的三邊長(zhǎng)，則稱f（x）為“可構(gòu)造三角形函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A．[，2] B．[0，1] C．[1，2] D．[0，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)綜合題．【分析】因?qū)θ我鈱?shí)數(shù)a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）為三邊長(zhǎng)的三角形，則f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，將f（x）解析式用分離常數(shù)法變形，由均值不等式可得分母的取值范圍，整個(gè)式子的取值范圍由t﹣1的符號(hào)決定，故分為三類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，然后討論k轉(zhuǎn)化為f（a）+f（b）的最小值與f（c）的最大值的不等式，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．【解答】解：由題意可得f（a）+f（b）＞f（c）對(duì)于?a，b，c∈R都恒成立，由于f（x）==1+，①當(dāng)t﹣1=0，f（x）=1，此時(shí)，f（a），f（b），f（c）都為1，構(gòu)成一個(gè)等邊三角形的三邊長(zhǎng)，滿足條件．②當(dāng)t﹣1＞0，f（x）在R上是減函數(shù)，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，故f（a）+f（b）＞2．再由f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可得2≥t，結(jié)合大前提t(yī)﹣1＞0，解得1＜t≤2．③當(dāng)t﹣1＜0，f（x）在R上是增函數(shù)，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．綜上可得，≤t≤2，故選：A．10.不等式x2＋x－12≥0的解集是（

）A.{x|x<-4或x>3}

B.{x|-4<x<3}

C.{x|x≤-4或x≥3}

D.{x|-4≤x≤3}參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若f（x）=loga（2﹣ax）在[0，1]上是減函數(shù)，則a的取值范圍是

．參考答案：1＜a＜2【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．【分析】本題必須保證：①使loga（2﹣ax）有意義，即a＞0且a≠1，2﹣ax＞0．②使loga（2﹣ax）在[0，1]上是x的減函數(shù)．由于所給函數(shù)可分解為y=logau，u=2﹣ax，其中u=2﹣ax在a＞0時(shí)為減函數(shù)，所以必須a＞1；③[0，1]必須是y=loga（2﹣ax）定義域的子集．【解答】解：因?yàn)閒（x）在[0，1]上是x的減函數(shù)，所以f（0）＞f（1），即loga2＞loga（2﹣a）．∴?1＜a＜2故答案為：1＜a＜2．12.已知函數(shù)f（x）=log2（4x+1）+mx，當(dāng)m＞0時(shí)，關(guān)于x的不等式f（log3x）＜1的解集為

．

參考答案：（0,1）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可知f(x)單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得，那么不等式的解集，即，解得，故答案為.

13.函數(shù)f（x）=的值域是．參考答案：（﹣∞，2]【考點(diǎn)】函數(shù)的值域．【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)定義域的不同，求出對(duì)應(yīng)解析式的值域即可得到f（x）的值域．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=，當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=2x，根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，f（x）是增函數(shù)，其值域?yàn)椋?，2]；當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=﹣x2+2x+1，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸x=1，其值域?yàn)椋ī仭蓿?）；綜上得函數(shù)f（x）=的值域?yàn)椋ī仭蓿?]．故答案為（﹣∞，2]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)的值域問(wèn)題，注意定義域范圍和相應(yīng)的解析式．屬于基礎(chǔ)題．14.如圖，一棟建筑物AB高（30-10）m，在該建筑物的正東方向有一個(gè)通信塔CD．在它們之間的地面M點(diǎn)（B、M、D三點(diǎn)共線）測(cè)得對(duì)樓頂A、塔頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得對(duì)塔頂C的仰角為30°，則通信塔CD的高為_(kāi)_____m．參考答案：60【分析】由已知可以求出、、的大小，在中，利用銳角三角函數(shù)，可以求出.在中，運(yùn)用正弦定理，可以求出.在中，利用銳角三角函數(shù)，求出.【詳解】由題意可知：，，由三角形內(nèi)角和定理可知.在中，.在中，由正弦定理可知：，在中，.【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)、正弦定理，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.15.如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，P是上任一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連AP、BP，過(guò)點(diǎn)C作CM∥BP交PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．（1）填空：∠APC=

度，∠BPC=

度；(答案寫(xiě)在答卷上)（2）求證：△ACM≌△BCP；（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面積參考答案：解：（1）60,60；（2）∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC=60.∴∠M=180°－∠BPM=180－（∠APC+∠BPC）=180°－120°=60°.∴∠M=∠BPC=60°.∴BC=AC，∠BCA=60°.∴∠PCM－∠ACP=∠BCA－∠ACP即∠ACM=∠BCP在△ACM和△BCP中∠M＝∠BPC∠ACM＝∠BCPAC＝BC∴△ACM≌△BCP（3）∵△ACM≌△BCP，∴CM=CP，AM=BP.又∠M=60°，∴△PCM為等邊三角形.∴CM=CP=PM=1+2=3.16.對(duì)于兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}，有a1+b100=100，b1+a100=100，則數(shù)列{an+bn}的前100項(xiàng)之和S100為

．參考答案：10000【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得{an+bn}的前100項(xiàng)之和：S100==50（a1+b100+b1+a100），由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}，有a1+b100=100，b1+a100=100，則數(shù)列{an+bn}的前100項(xiàng)之和：S100==50（a1+b100+b1+a100）=50（100+100）=10000．故答案為：10000．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的前100項(xiàng)和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．17.設(shè)數(shù)集，，且都是集合的子集，如果把叫做集合的“長(zhǎng)度”，那么集合的長(zhǎng)度的最小值是

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題13分)

在中，已知（1）求證：（2）若求A的值．參考答案：解：（1）∵，∴，即。

由正弦定理，得，∴。

又∵，∴?！嗉?。

（2）∵，∴?！?。

∴，即?！?。

由（1），得，解得。

∵，∴?！唷Ｂ?9.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2+2x．（1）寫(xiě)出函數(shù)f（x）在x∈R的解析式；（2）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣2ax+2（x∈[1，2]），求函數(shù)g（x）的最小值．參考答案：解：（1）當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故f（﹣x）=f（x），且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2+2x…所以f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x，…所以f（x）=，（2）∵g（x）=f（x）﹣2ax+2=x2+2（1﹣a）x+2的圖象開(kāi)口朝上且以直線x=a﹣1為對(duì)稱，又∵x∈[1，2]，當(dāng)a﹣1≤1時(shí)，g（x）在[1，2]上為增函數(shù)，故當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取最小值5﹣2a，當(dāng)1＜a﹣1≤2時(shí)，g（x）在[1，a﹣1]上為減函數(shù)，在[a﹣1，2]上為增函數(shù)，故當(dāng)x=a﹣1時(shí)，g（x）取最小值﹣a2+2a+1，當(dāng)a﹣1＞2時(shí)，g（x）在[1，2]上為減函數(shù)，故當(dāng)x=2時(shí)，g（x）取最小值10﹣4a，綜上：函數(shù)g（x）的最小值為考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)解析式的求解及常用方法．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（﹣x）=f（x），且當(dāng)x≥0時(shí)f（x）=x2+2x．可求出x＜0時(shí)函數(shù)f（x）的解析式，綜合可得函數(shù)f（x）的解析式（2）根據(jù)（1）可得函數(shù)g（x）的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)a進(jìn)行分類討論，進(jìn)而可得函數(shù)g（x）的最小值的表達(dá)式．解答：解：（1）當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故f（﹣x）=f（x），且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2+2x…所以f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x，…所以f（x）=，（2）∵g（x）=f（x）﹣2ax+2=x2+2（1﹣a）x+2的圖象開(kāi)口朝上且以直線x=a﹣1為對(duì)稱，又∵x∈[1，2]，當(dāng)a﹣1≤1時(shí)，g（x）在[1，2]上為增函數(shù)，故當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取最小值5﹣2a，當(dāng)1＜a﹣1≤2時(shí)，g（x）在[1，a﹣1]上為減函數(shù)，在[a﹣1，2]上為增函數(shù)，故當(dāng)x=a﹣1時(shí)，g（x）取最小值﹣a2+2a+1，當(dāng)a﹣1＞2時(shí)，g（x）在[1，2]上為減函數(shù)，故當(dāng)x=2時(shí)，g（x）取最小值10﹣4a，綜上：函數(shù)g（x）的最小值為點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問(wèn)題，是二次函數(shù)圖象與性質(zhì)與奇偶性的綜合考查，難度不大，屬于基礎(chǔ)題20.（13分）函數(shù)的圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M（，求此函數(shù)的解析式。參考答案：20．解：由題意知，，且

函數(shù)

把，代入上式得，

，，解得：，，又

函數(shù)解析式是，。略21.(本小題12分）設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的最大值和最小正周期；設(shè)A,B