2023學年完整公開課版聚焦中考14講

人教數(shù)學第三章函數(shù)及其圖象第14講函數(shù)的應用要點梳理

1．函數(shù)的應用主要涉及到經(jīng)濟決策、市場經(jīng)濟等方面的應用．2．利用函數(shù)知識解應用題的一般步驟：(1)設定實際問題中的變量；(2)建立變量與變量之間的函數(shù)關系，如：一次函數(shù)，二次函數(shù)或其他復合而成的函數(shù)式；(3)確定自變量的取值范圍，保證自變量具有實際意義；(4)利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題；(5)寫出答案．要點梳理

3．利用函數(shù)并與方程(組)、不等式(組)聯(lián)系在一起解決實際生活中的利率、利潤、租金、生產(chǎn)方案的設計問題．

一種模型函數(shù)的圖象與性質(zhì)是研究現(xiàn)實世界的一個重要手段，對于函數(shù)的實際問題要認真分析，構(gòu)建函數(shù)模型，從而解決實際問題．函數(shù)的圖象與性質(zhì)也是中考重點考查的一個方面．兩種技巧(1)實際問題中函數(shù)解析式的求法：設x為自變量，y為x的函數(shù)，在求解析式時，一般與列方程解應用題一樣先列出關于x，y的二元方程，再用含x的代數(shù)式表示y.(2)利用題中的不等關系，或結(jié)合實際求出自變量x的取值范圍．三種題型(1)選擇題——關鍵：讀懂函數(shù)圖象，學會聯(lián)系實際；(2)綜合題——關鍵：運用數(shù)形結(jié)合思想；(3)求運動過程中的函數(shù)解析式——關鍵：以靜制動．1．(2014·河北)某種正方形合金板材的成本y(元)與它的面積成正比，設邊長為x厘米．當x＝3時，y＝18，那么當成本為72元時，邊長為()A．6厘米B．12厘米C．24厘米D．36厘米A2．(2014·赤峰)如圖，一根長5米的竹桿AB斜立于墻AC的右側(cè)，底端B與墻角C的距離為3米，當竹桿頂端A下滑x米時，底端B便隨著向右滑行y米，反映y與x變化關系的大致圖象是()A3．(2014·漳州)世界文化遺產(chǎn)“華安二宜樓”是一座圓形的土樓，如圖，小王從南門點A沿AO勻速直達土樓中心古井點O處，停留拍照后，從點O沿OB也勻速走到點B，緊接著沿BCA︵回到南門，下面可以近似地刻畫小王與土樓中心O的距離s隨時間t變化的圖象是(

)

C4．(2014·蘭州)如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OBCD是邊長為4的正方形，平行于對角線BD的直線l從O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，運動到直線l與正方形沒有交點為止．設直線l掃過正方形OBCD的面積為S，直線l運動的時間為t(秒)，下列能反映S與t之間函數(shù)關系的圖象是()D5．(2014·咸寧)科學家為了推測最適合某種珍奇植物生長的溫度，將這種植物分別放在不同溫度的環(huán)境中，經(jīng)過一定時間后，測試出這種植物高度的增長情況，部分數(shù)據(jù)如表：

溫度t/℃

－4

－2

0

1

4

植物高度增長量l/mm

41

49

49

46

25

科學家經(jīng)過猜想、推測出l與t之間是二次函數(shù)關系．由此可以推測最適合這種植物生長的溫度為____℃.

－1

一次函數(shù)相關應用題【例1】

(2014·綿陽)綿州大劇院舉行專場音樂會，成人票每張20元，學生票每張5元，暑假期間，為了豐富廣大師生的業(yè)余文化生活，影劇院制定了兩種優(yōu)惠方案，方案①：購買一張成人票贈送一張學生票；方案②：按總價的90%付款，某校有4名老師與若干名(不少于4人)學生聽音樂會．(1)設學生人數(shù)為x(人)，付款總金額為y(元)，分別建立兩種優(yōu)惠方案中y與x的函數(shù)關系式；(2)請計算并確定出最節(jié)省費用的購票方案．

解：(1)按優(yōu)惠方案①可得y1＝20×4＋(x－4)×5＝5x＋60(x≥4)，按優(yōu)惠方案②可得y2＝(5x＋20×4)×90%＝4.5x＋72(x≥4)

(2)因為y1－y2＝0.5x－12(x≥4)，①當y1－y2＝0時，得0.5x－12＝0，解得x＝24，∴當購買24張學生票時，兩種優(yōu)惠方案付款一樣多．②當y1－y2＜0時，得0.5x－12＜0，解得

x＜24，∴4≤x＜24時，y1＜y2，優(yōu)惠方案①付款較少．③當y1－y2＞0時，得0.5x－12＞0，解得x＞24，當x＞24時，

y1＞y2，優(yōu)惠方案②付款較少

【點評】

解決本題的關鍵是根據(jù)題意正確列出兩種方案的解析式，進而計算出臨界點x的取值，再進一步討論．1．(2013·黔東南州)某校校園超市老板到批發(fā)中心選購甲、乙兩種品牌的文具盒，乙品牌的進貨單價是甲品牌進貨單價的2倍，考慮各種因素，預計購進乙品牌文具盒的數(shù)量y(個)與甲品牌文具盒的數(shù)量x(個)之間的函數(shù)關系如圖所示．當購進的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120個時，購進甲、乙品牌文具盒共需7200元．(1)根據(jù)圖象，求y與x之間的函數(shù)關系式；(2)求甲、乙兩種品牌的文具盒進貨單價；(3)若該超市每銷售1個甲種品牌的文具盒可獲利4元，每銷售1個乙種品牌的文具盒可獲利9元，根據(jù)學生需求，超市老板決定，準備用不超過6300元購進甲、乙兩種品牌的文具盒，且這兩種品牌的文具盒全部售出后獲利不低于1795元，問該超市有幾種進貨方案．哪種方案獲利最大？最大獲利為多少元？

反比例函數(shù)相關應用題【例2】

(2013·德州)某地計劃用120～180天(含120與180天)的時間建設一項水利工程，工程需要運送的土石方總量為360萬立方米．(1)寫出運輸公司完成任務所需的時間y(單位：天)與平均每天的工作量x(單位：萬立方米)之間的函數(shù)關系式，并給出自變量x的取值范圍；(2)由于工程進度的需要，實際平均每天運送土石方比原計劃多5000立方米，工期比原計劃減少了24天，原計劃和實際平均每天運送土石方各是多少萬立方米？解：(1)由題意得y＝360x，把y＝120代入y＝360x，得x＝3.把y＝180代入y＝360x，得x＝2，∴自變量的取值范圍為2≤x≤3，∴y＝360x(2≤x≤3)

(2)設原計劃平均每天運送土石方x萬立方米，則實際平均每天運送土石方(x＋0.5)萬立方米，根據(jù)題意得360x－360x＋0.5＝24，解得x＝2.5或x＝－3.經(jīng)檢驗x＝2.5或x＝－3均為原方程的根，但x＝－3不符合題意，故舍去．答：原計劃每天運送土石方2.5萬立方米，實際每天運送土石方3萬立方米

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的應用及分式方程的應用，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關系式．2．(2012·安徽)甲、乙兩家商場進行促銷活動，甲商場采用“滿200減100”的促銷方式，即購買商品的總金額滿200元但不足400元，少付100元；滿400元但不足600元，少付200元；……乙商場按顧客購買商品的總金額打6折促銷．(1)若顧客在甲商場購買了510元的商品，付款時應付多少元錢？解：(1)510－200＝310(元)

(2)若顧客在甲商場購買商品的總金額為x(400≤x＜600)元，優(yōu)惠后得到商家的優(yōu)惠率為p(p＝優(yōu)惠金額購買商品的總金額)，寫出p與x之間的函數(shù)關系式，并說明p隨x的變化情況；

(3)品牌、質(zhì)量、規(guī)格等都相同的某種商品，在甲、乙兩商場的標價都是x(200≤x＜400)元，你認為選擇哪家商場購買該商品花錢較少？請說明理由．

二次函數(shù)相關應用題

【例3】如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米．現(xiàn)以O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系．(1)直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標；(2)求這條拋物線的解析式；(3)若要搭建一個矩形“支撐架”AD—DC—CB，使C，D點在拋物線上，A，B點在地面OM上，則這個“支撐架”總長的最大值是多少米？解：(1)M點的坐標為(12，0)，頂點P的坐標為(6，6)

(2)設拋物線為y＝a(x－6)2＋6，∵拋物線y＝a(x－6)2＋6經(jīng)過點

(0，0)．∴0＝a(0－6)2＋6，36a＝－6，a＝－16.∴拋物線解析式為

y＝－16(x－6)2＋6＝－16x2＋2x

(3)設A(m，0)，則B(12－m，0)，C(12－m，－16m2＋2m)，D(m，－16m2＋2m)．∴“支撐架”總長AD＋DC＋CB＝(－16m2＋2m)＋(12－2m)＋(－16m2＋2m)＝－13m2＋2m＋12＝－13(m－3)2＋15.∵a＝－13＜0.∴當m＝3時，AD＋DC＋CB有最大值為15米

【點評】根據(jù)圖形特點，建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．建立平面直角坐標系時，要盡量將圖形放置于特殊位置，這樣便于解題．3．(2014·武漢)九(1)班數(shù)學興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查，整理出某種商品在第x(1≤x≤90)天的售價與銷量的相關信息如下表：

時間x(天)

1≤x＜50

50≤x≤90

售價(元/件)

x＋40

90

每天銷量(件)

200－2x

已知該商品的進價為每件30元，設銷售該商品的每天利潤為y元．

(1)求出y與x的函數(shù)關系式；

(2)問銷售該商品第幾天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是多少元？

(3)該商品在銷售過程中，共有多少天每天銷售利潤不低于4800元？請直接寫出結(jié)果．

解：(1)當1≤x＜50時，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000，當50≤x≤90時，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000，綜上所述：y＝??í?ì－2x2＋180x＋2000（1≤x＜50）－120x＋12000（50≤x≤90）

(2)當1≤x＜50時，二次函數(shù)開口向下，二次函數(shù)對稱軸為x＝45，當x＝45時，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050，當50≤x≤90時，y隨x的增大而減小，當x＝50時，y最大＝6000，綜上所述，該商品第45天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是6050元

(3)當20≤x≤60時，每天銷售利潤不低于4800元．即60－20＋1＝41(天)

函數(shù)的綜合應用

【例4】

(2014·嘉興)實驗數(shù)據(jù)顯示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小時內(nèi)其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)與時間x(時)的關系可近似地用二次函數(shù)y＝－200x2＋400x刻畫；1.5小時后(包括1.5小時)y與x可近似地用反比例函數(shù)y＝kx(k＞0)刻畫(如圖所示)．

(1)根據(jù)上述數(shù)學模型計算：①喝酒后幾時血液中的酒精含量達到最大值？最大值為多少？②當x＝5時，y＝45，求k的值．(2)按國家規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路．參照上述數(shù)學模型，假設某駕駛員晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否駕車去上班？請說明理由．解：(1)①y＝－200x2＋400x＝－200(x－1)2＋200，∴喝酒后1時血液中的酒精含量達到最大值，最大值為200毫克/百毫升

②∵當x＝5時，y＝45，y＝kx(k＞0)，

∴k＝xy＝45×5＝225

(2)不能駕車上班．理由：∵晚上20：00到第二天早上

7：00，一共有11小時，∴將x＝11代入y＝225x，則

y＝22511＞20，∴第二天早上7：00不能駕車去上班

【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)與二次函數(shù)綜合應用，根據(jù)圖象得出正確信息是解題關鍵．4．(2014·泰州)某研究所將某種材料加熱到1000

℃時停止加熱，并立即將材料分為A，B兩組，采用不同工藝做降溫對比實驗，設降溫開始后經(jīng)過x

min時，A，B兩組材料的溫度分別為yA

℃，yB

℃，yA，yB與x的函數(shù)關系式分別為yA＝kx＋b，yB＝14(x－60)2＋m(部分圖象如圖所示)，當x＝40時，兩組材料的溫度相同．

(1)分別求yA，yB關于x的函數(shù)關系式；

(2)當A組材料的溫度降至120

℃時，B組材料的溫度是多少？

(3)在0＜x＜40的什么時刻，兩組材料溫差最大？

解：(1)由題意可得出：yB＝14(x－60)2＋m經(jīng)過(0，1000)，則

1000＝14(0－60)2＋m，解得m＝100，∴yB＝14(x－60)2＋100，當

x＝40時，yB＝14×(40－60)2＋100，解得yB＝200，yA＝kx＋b，

經(jīng)過(0，1000)，(40，200)，則??í?ìb＝1000，40k＋b＝200，解得??í?ìb＝1000，k＝－20，

∴yA＝－20x＋1000

(2)當A組材料的溫度降至120

℃時，120＝－20x＋1000，解得x＝44，當x＝44，yB＝14(44－60)2＋100＝164(℃)，∴B組材料的溫度是164

℃

(3)當0＜x＜40時，yA－yB＝－20x＋1000－14(x－60)2－100＝－14x2＋10x＝－14(x－20)2＋100，∴當x＝20時，兩組材料溫差最大為100

℃

試題杭州體博會期間，嘉年華游樂場投資150萬元引進一項大型游樂設施．若不計維修保養(yǎng)費用，預計開放后每月可創(chuàng)收33萬元．而該游樂場開放后，從第1個月到第x個月的維修保養(yǎng)費用累計為y(萬元)，且y＝ax2＋bx.若將創(chuàng)收扣除投資和維修保養(yǎng)費用稱為游樂場的純收益g(萬元)，g也是關于x的二次函數(shù)．(1)若維修保養(yǎng)費用第1個月為2萬元，第2個月為4萬元，求y關于x的解析式；(2)求純收益g關于x的解析式；(3)問設施開放幾個月后，游樂場的純收益達到最大？幾個月后，能收回投資？錯解

解：(1)由題意，得x＝1，y＝2；x＝2，y＝4，代入y＝ax2＋bx中，有?íìa＋b＝2，4a＋2b＝4，解得?íìa＝0，b＝2，故y＝