機(jī)械振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)

機(jī)械振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)第1頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.8系統(tǒng)對任意激勵(lì)的響應(yīng)·卷積積分上節(jié)討論了周期激勵(lì)作用下的振動(dòng)響應(yīng)，在不考慮初始階段的瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，它是穩(wěn)態(tài)的周期振動(dòng)。但在現(xiàn)實(shí)中激勵(lì)并非是周期的，而是任意的周期函數(shù)，或者是在極短時(shí)間內(nèi)的沖擊作用。在這種激勵(lì)情況下，系統(tǒng)通常沒有穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，而只有瞬態(tài)振動(dòng)。激勵(lì)停止后，系統(tǒng)按固有頻率作自由振動(dòng)。若激勵(lì)持續(xù)，即使存在阻尼，由激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)也會(huì)持續(xù)下去。對任意激勵(lì)的響應(yīng)，求解方法有多種：第2頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.8.1脈沖響應(yīng)對于脈沖激勵(lì)情形，系統(tǒng)只有暫態(tài)響應(yīng)而不存在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)單位脈沖力可利用狄拉克（Dirac）分布函數(shù)δ(t)

表示δ函數(shù)也稱為單位脈沖函數(shù)，定義為：對于τ時(shí)刻的單位脈沖函數(shù)，表示為：

O-ε

ε

（3.1.1）第3頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月δ函數(shù)的性質(zhì):特別地，當(dāng)時(shí)刻τ=0

時(shí)，有：實(shí)際應(yīng)用時(shí)，通常

f(t)在時(shí)才有意義沖量為的脈沖力可借助δ函數(shù)表示為：

當(dāng)I=1時(shí)，為單位脈沖力。因而有：

第4頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)求處于零初始條件下的系統(tǒng)對單位脈沖力的響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)記：-ε、ε為單位脈沖力的前后時(shí)刻運(yùn)動(dòng)微分方程與初始條件可合寫為：或脈沖響應(yīng)乘dt：在脈沖力作用的瞬間，位移來不及變化，但速度可產(chǎn)生突變令：0-εε第5頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月兩邊在區(qū)間內(nèi)對時(shí)間積分：

在單位脈沖力的作用下，系統(tǒng)的速度發(fā)生了突變，但在這一瞬間，位移則來不及有改變，也習(xí)慣表示為：x(0+)=x(0-)

當(dāng)

t>ε時(shí)，脈沖力作用已經(jīng)結(jié)束，此時(shí)物體得到了速度增量1/m。由于ε無限小，所以記為：質(zhì)量越大，越小質(zhì)量越小，越大若系統(tǒng)受到?jīng)_量為I脈沖作用，結(jié)束時(shí)物體得到了速度增量I/m。第6頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)受脈沖I

作用，因脈沖結(jié)束后無后續(xù)激勵(lì)，因此響應(yīng)為自由振動(dòng)。其初始條件為：初位移為零，而初速度為I/m

。對無阻尼系統(tǒng)：因此解為：對單位脈沖，其響應(yīng)為脈沖響應(yīng)，記為h(t)

：第7頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.8.2卷積積分當(dāng)處于零初始條件的系統(tǒng)受到任意激勵(lì)時(shí)，可以將激勵(lì)F(t)

看作一系列脈沖力的疊加對于時(shí)刻t=τ的脈沖力，系統(tǒng)受脈沖作用后產(chǎn)生速度增量：

并引起t>τ各個(gè)時(shí)刻的響應(yīng)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)：其沖量為：由線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)對任意激振力的響應(yīng)應(yīng)等于系統(tǒng)在時(shí)間區(qū)間內(nèi)各個(gè)脈沖響應(yīng)的總和

得：杜哈梅(Duhamel)積分第8頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月利用卷積性質(zhì)：若初始條件非零，則：第9頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月若阻尼為零，則非零初值條件下的響應(yīng)：對于周期激勵(lì)的無阻尼系統(tǒng)：與零初值條件的受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一致。

第10頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.8.3階躍函數(shù)響應(yīng)在t1時(shí)刻開始受到突加的常值力作用，強(qiáng)度為F0試用杜哈梅積分計(jì)算系統(tǒng)在t≥t1時(shí)段內(nèi)的響應(yīng)。解：由于在t<t1時(shí)段內(nèi)沒有受到激勵(lì)，故杜哈梅積分的下限改為t1：（F0=1時(shí)，為單位階躍函數(shù)）第11頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月若激勵(lì)開始的時(shí)間無滯后，即t1=0，得到無阻尼系統(tǒng)，即ζ

=0，對于激勵(lì)時(shí)間有無滯后，響應(yīng)分別為第13頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月本例子的滯后t1的突加常值力其特例是單位階躍函數(shù)：單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于脈沖函數(shù)：第14頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.8.4：彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)在（0，t1）時(shí)間間隔內(nèi)受到突加的矩形脈沖力作用解：矩形脈沖力可利用單位階躍函數(shù)表達(dá)為：試用杜哈梅積分計(jì)算系統(tǒng)的響應(yīng)。在0≤t≤t1時(shí)段，其激勵(lì)尚未結(jié)束，響應(yīng)與常值力激勵(lì)相同：第15頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月在t>t1時(shí)段，其激勵(lì)相當(dāng)于2個(gè)常值力激勵(lì)的疊加，響應(yīng)也是兩個(gè)對應(yīng)的響應(yīng)疊加。因此利用上例的結(jié)果：第16頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月即得到解：對于無阻尼系統(tǒng)，即ζ

=0，矩形脈沖激勵(lì)的響應(yīng)為：第17頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月直接解法：（1）時(shí)第18頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）時(shí)第19頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月解法三：（僅對于無阻尼情形）當(dāng)t>t1

時(shí)激勵(lì)力已經(jīng)消失，此時(shí)系統(tǒng)將以時(shí)刻t=t1

時(shí)的位移和速度為初始條件做自由振動(dòng)，稱為殘余振動(dòng)先求t=t1

時(shí)刻的位移和速度，前面已解得：得t=t1

時(shí)刻的位移和速度：第20頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月即為t>t1

時(shí)的響應(yīng)。在t=t1

開始作自由振動(dòng)：第21頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.9系統(tǒng)對任意激勵(lì)的響應(yīng)·傅里葉積分上節(jié)講到用杜哈梅積分，可以計(jì)算任意非周期激勵(lì)的響應(yīng)。那是在時(shí)間域內(nèi)的變化關(guān)系，本節(jié)從另一角度出發(fā)，改在頻率域內(nèi)討論激勵(lì)和響應(yīng)的關(guān)系。第22頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月對于任意非周期函數(shù)F(t)，可看成為周期T趨于無限大的周期函數(shù)。頻譜圖中相鄰頻率Δω=2π/T視為無限小量，則可以認(rèn)為頻率在區(qū)間(-∞,∞)上接近于連續(xù)分布。

設(shè)周期力F(t)的頻率為ω，周期為T=2π/ω。將F(t)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，以復(fù)數(shù)形式表示為：

其中：

回顧，傅里葉展開級(jí)數(shù)：第23頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月將傅里葉展開式中的nω改用ωn表示，周期T以2π/Δω代替：當(dāng)Δω→0時(shí)，離散變量ωn轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)改變的頻率變量ω，上式轉(zhuǎn)化為：（3.9-5）將其中的TFn視為ω的連續(xù)函數(shù)，改用Φ(ω)表示：（3.9-7）第24頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月Φ(ω)稱為激勵(lì)的頻譜函數(shù)。積分式（3.9-8）稱為函數(shù)F(t)的傅里葉變換。（3.9-8）（3.9-7）積分式（3.9-7）稱為函數(shù)Φ(ω)的傅里葉逆變換，它將非周期函數(shù)F(t)表示為頻率為ω、強(qiáng)度為Φ(ω)dω的簡諧分量的無限和。函數(shù)Φ(ω)和F(t)共稱為傅里葉變換對。第25頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月回顧，受迫振動(dòng)：（b）其中Xn為系統(tǒng)的第n階復(fù)振幅。（a）（b）代入（a）：第26頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月（3.9-9）令X(ω)=H(ω)Φ(ω),求x(t)：F(t)傅里葉變換得Φ(ω)，乘H(ω)

，傅里葉逆變換。x(t)與X(ω)

組成傅里葉變換對。X(ω)

為系統(tǒng)響應(yīng)的頻率域表達(dá)式。第27頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.9.1質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)受矩形脈沖激勵(lì)，試對激勵(lì)作傅里葉變換，并作頻譜圖。討論脈沖寬度趨于零的單位脈沖的極限情形解：利用（3.9.8）式積分求頻譜函數(shù)第28頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月矩形脈沖的頻譜圖對于脈沖寬度趨于零的單位脈沖情形即單位脈沖的傅里葉變換等于1，其頻譜在區(qū)間（-∞,∞）內(nèi)均勻分布矩形脈沖的頻譜函數(shù)第29頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.10用拉普拉斯變換法求系統(tǒng)響應(yīng)·傳遞函數(shù)計(jì)算線性系統(tǒng)對任意非周期激勵(lì)的響應(yīng)也可以用拉普拉斯（Laplace,P.S.）變換。對于任意函數(shù)x(t)，定義拉普拉斯(Laplace,P.S.)變換式為其中s=σ

+iω為復(fù)變量，稱為拉普拉斯變換的輔助變量。當(dāng)σ

=0時(shí)，這是x(t)的傅里葉變換。因此拉普拉斯變換可視為傅里葉變換向復(fù)數(shù)域的擴(kuò)展。（3.10-1）第30頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月可以證實(shí)，拉普拉斯變換為線性變換：對x(t)的一階導(dǎo)數(shù)做拉普拉斯變換：（3.10-2）對x(t)的二階導(dǎo)數(shù)做拉普拉斯變換：（3.10-3）第31頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月利用以上公式對線性系統(tǒng)受迫振動(dòng)方程做拉普拉斯變換：上式是將自變量t的線性常微分方程變換成自變量為s的代數(shù)方程，且包含了外激勵(lì)和初始擾動(dòng)在內(nèi)的全部激勵(lì)，是拉普拉斯變換的最大優(yōu)點(diǎn)。（3.10-4）令：（3.10-5）第32頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月如激勵(lì)力F(t)延遲在t=t1時(shí)刻發(fā)生，將F(t-t1)代入拉普拉斯變換式：作用時(shí)間滯后對拉普拉斯變換的影響由指數(shù)函數(shù)體現(xiàn)若初始擾動(dòng)為零，從方程（3.10-5）導(dǎo)出：若s=iω,上式就是第二章講到的位移阻抗（k-mω2+icω）。因此Z(s)稱為系統(tǒng)的廣義阻抗，其倒數(shù)稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或廣義導(dǎo)納。記作：第33頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月若s=iω,上式就是第二章講到的復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)1/(k-mω2+icω)。系統(tǒng)響應(yīng)x(t)的拉普拉斯變換X(s):。因此，傳遞函數(shù)H(s)可視為激勵(lì)力的拉普拉斯變換Φ(s)計(jì)算響應(yīng)的拉普拉斯變換X(s)的代數(shù)算子。導(dǎo)出X(s)以后，通過拉普拉斯逆變換，即可得到系統(tǒng)響應(yīng)。拉普拉斯逆變換是在復(fù)數(shù)域內(nèi)的積分，但不必具體做積分運(yùn)算，因?yàn)楦鞣N典型函數(shù)的拉普拉斯變換和逆變換均有現(xiàn)成表格可供查閱。第34頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月從以上分析過程可以看出，拉普拉斯變換將線性常微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，通過逆變換得到微分方程的解。下圖表示其計(jì)算流程。X(s)=H(s)Φ(s)H(s)F(t)Φ(s)x(t)P67表3.10-1有幾種常見激勵(lì)力所對應(yīng)的拉普拉斯變換對，更多的變換對可查閱數(shù)學(xué)手冊。第35頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.10.2無阻尼質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)在t1時(shí)刻開始受到突加的常值力作用，強(qiáng)度為F0試用拉普拉斯變換計(jì)算系統(tǒng)在t≥t1時(shí)段內(nèi)的響應(yīng)。解：對激勵(lì)力進(jìn)行拉普拉斯變換：其中：1/s為階躍函數(shù)對應(yīng)的拉普拉斯變換，第36頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月體現(xiàn)作用時(shí)間的滯后。無阻尼動(dòng)力學(xué)方程的拉普拉斯變換（c=0）：查X(s)各項(xiàng)的逆變換：第37頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月相當(dāng)于滯后t1時(shí)刻查表查表變換是線性的第38頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月與上節(jié)例子的解（考慮初始條件）一樣。杜哈梅積分部分對初始條件的響應(yīng)第39頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.10.3：無阻尼質(zhì)量——彈簧系統(tǒng)在（0，t1）時(shí)間間隔內(nèi)受到突加的矩形脈沖力作用解：矩形脈沖力可利用單位階躍函數(shù)表達(dá)為：試用拉普拉斯變換計(jì)算系統(tǒng)的響應(yīng)。第40頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月無阻尼動(dòng)力學(xué)方程的拉普拉斯變換（c=0）：第41頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月相當(dāng)于滯后t1時(shí)刻查表查表變換是線性的第42頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月第43頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月可以證明，脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)與復(fù)頻率響應(yīng)函數(shù)H(ω)

也恰好組成傅里葉變換對。設(shè)系統(tǒng)受單位脈沖激勵(lì)，令：脈沖響應(yīng)為：脈沖激勵(lì)的傅里葉變換：3.11復(fù)頻率響應(yīng)與