《專項練習(xí)》2023學(xué)年八年級上冊（人教版）技巧方法課之等腰及等邊三角形綜合壓軸題專練（解析版）

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A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小可得△ABH和△ACE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAF＝∠CAD，然后求出∠EAF＝45°，判斷出①正確；根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BF＝CD，BE與CD不一定相等，判斷出②正確；根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF＝ED，然后利用勾股定理得到③正確；根據(jù)角的度數(shù)得到∠ADE＝∠BEA，然后利用“角角邊”證明△ABD和△ACE全等，根據(jù)三角形面積公式即可求得，判斷出④錯誤．【詳解】解：∵AB＝AC＝AG＝FG，∠BAC＝∠AGF＝90°，∴∠ABC＝∠C＝∠FAG＝45°，BC＝AB，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知△ABH≌△ACE，∴∠ABH＝∠ACE＝45°，BH＝CE，AH＝AE，∠BAH＝∠CAE，∠HBD＝∠ABH+∠ABC＝45°+45°＝90°，∴BH⊥BC，故①正確；∵∠BAH＝∠CAE，∴∠BAH+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠FAG＝45°，即∠DAH＝45°，∴∠DAH＝∠DAE，在△ADH和△ADE中，，∴△AHD≌△ADE（SAS），DH＝DE，∠ADH＝∠ADE，∴AD平分∠HDE，故②正確；在Rt△BDH中，BD2+BH2＝DH2，BH＝CE，DH=DE，∴BD2+BH2＝DH2，當(dāng)BD＝3，CE＝4時，32+42＝DE2，DE＝5，BC=BD+DE+CE＝12，∵BC＝AB＝12，∴AB＝6，故③正確；BA＝BE，∠ABC＝45°，∠BAE＝∠BEA＝＝67.5°，∵∠DAE＝45°，∴∠ADE＝180°﹣∠DAE﹣∠BEA＝67.5°，∴∠ADE＝∠BEA，∠ADB＝180°﹣∠ADE，∠AEC＝180°﹣∠BEA，∴∠ADB＝∠AEC，在△ABD和△ACE中，，△ABD≌△ACE（AAS），∴BD＝CE，BD2+CE2＝DE2，∴DE＝BD，設(shè)A到BC邊距離為h，∵，，∴，∴，故④錯誤；綜上①②③正確，故選：C．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在等腰直角中，，，延長至點，使得，連接，的中線與交于點，連接，過點作交于點，連接，．則下列說法正確的個數(shù)為（）①；②點為中點；③；④；⑤．A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及等角的余角對①做出判斷；利用ASA得出，從而對③④做出判斷；根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)對②做出判斷；再根據(jù)同底等高的三角形的面積相等對⑤做出判斷；【詳解】∵，是的中線，∴，，∴，AE垂直平分CD，∴，CF=DF，∵，∴，∵，∴，∴，故①正確；∵，，∴，，∵，∴，∴，，∵是的中線，∴，故③正確；∵CB=BF+CF，CF=DF，BF=BD，∴，故④正確；∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴點為中點，故②正確；∵，∴與同底等高，∴S△GBF=S△GBD∴，故⑤正確；故選：D【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．3．如圖：四個形狀大小相同的等腰三角形△ABE，△ADF，△CDG，△BCH按如圖擺放在正方形ABCD的內(nèi)部，順次連接E、F、G、H得到四邊形EFGH．若∠AEB＝∠AFD＝∠CGD＝∠BHC＝120°，且EH＝﹣，則BC的長為（）A． B．4﹣4 C．2 D．2【答案】C【分析】由題意易證，即得出，再利用三角形內(nèi)角和定理結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可求出，從而求出，進(jìn)而求出，即說明四邊形EFGH是正方形．設(shè)，連接EG并延長交CD于點N，延長GE交AB于點M，利用正方形的性質(zhì)可求出，即說明EM⊥AB，且點M是AB的中點．即可得出，由含角的直角三角形的性質(zhì)可求出，最后由，及可列出關(guān)于x的等式，解出x即可．【詳解】解：由題意可得：，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴四邊形EFGH是正方形，設(shè)，連接EG并延長交CD于點N，延長GE交AB于點M，∴由正方形的性質(zhì)可得，∴，∴EM⊥AB，且點M是AB的中點，∴，∴，∵，又∵，∴，解得：，∴．故選：C．【點睛】本題考查正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)以及含角的直角三角形的性質(zhì)等知識．正確的作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．4．如圖，是邊長為1的等邊三角形，D、E為線段AC上兩動點，且，過點D、E分別作AB、BC的平行線相交于點F，分別交BC、AB于點H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②當(dāng)點D與點C重合時，；③；④當(dāng)時，四邊形BHFG為菱形，其中正確結(jié)論為（）A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④【答案】B【分析】過A作AI⊥BC垂足為I，然后計算△ABC的面積即可判定①；先畫出圖形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)即可判定②；如圖將△BCD繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABN，求證NE=DE；再延長EA到P使AP=CD=AN，證得∠P=60°，NP=AP=CD，然后討論即可判定③；如圖1，當(dāng)AE=CD時，根據(jù)題意求得CH=CD、AG=CH，再證明四邊形BHFG為平行四邊形，最后再說明是否為菱形．【詳解】解：如圖1,過A作AI⊥BC垂足為I∵是邊長為1的等邊三角形∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°，CI=∴AI=∴S△ABC=,故①正確；如圖2，當(dāng)D與C重合時∵∠DBE=30°，是等邊三角形∴∠DBE=∠ABE=30°∴DE=AE=∵GE//BD∴∴BG=∵GF//BD,BG//DF∴HF=BG=,故②正確；如圖3，將△BCD繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABN∴∠1=∠2，∠5=∠6=60°，AN=CD,BD=BN∵∠3=30°∴∠2+∠4=∠1+∠4=30°∴∠NBE=∠3=30°又∵BD=BN，BE=BE∴△NBE≌△DBE（SAS）∴NE=DE延長EA到P使AP=CD=AN∵∠NAP=180°-60°-60°=60°∴△ANP為等邊三角形∴∠P=60°，NP=AP=CD如果AE+CD=DE成立，則PE=NE,需∠NEP=90°，但∠NEP不一定為90°，故③不成立；如圖1，當(dāng)AE=CD時，∵GE//BC∴∠AGE=∠ABC=60°，∠GEA=∠C=60°∴∠AGE=∠AEG=60°，∴AG=AE同理：CH=CD∴AG=CH∵BG//FH,GF//BH∴四邊形BHFG是平行四邊形∵BG=BH∴四邊形BHFG為菱形，故④正確．故選B．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定等知識點，靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．5．在平面直角坐標(biāo)系中，等邊如圖放置，點的坐標(biāo)為，每一次將繞著點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，同時每邊擴(kuò)大為原來的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到，第二次旋轉(zhuǎn)后得到，…，依次類推，則點的坐標(biāo)為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意，點A每6次繞原點循環(huán)一周，利用每邊擴(kuò)大為原來的2倍即可解決問題．【詳解】解：由題意，點A每6次繞原點循環(huán)一周，，點在第四象限，，，點的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，，故選：C．【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)，規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．6．如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D、E分別在線段AB、AC上，AD＝AE，BE和CD交于點N，AF⊥BE交BC于點F，F(xiàn)G⊥CD交AC于點M，交BE的延長線于點G．下列說法：①∠ABE＝∠FAC；②GE＝GM；③BG＝AF+FG；④C△AFM＝BE+CM；⑤S△BDN﹕S△AFC＝CE﹕AC．其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用等角的余角可得∠ABE=∠FAC，可判斷①正確；由等腰Rt△ABC，可得AB=AC，可證△AEB≌△ADC（SAS）可得∠AEB=∠ADC，利用等角的余角∠ADC=∠FMC=∠AEB，根據(jù)對頂角可得∠GEM=∠AEB，∠GME=∠FMC，可得∠GEM=∠GME可判斷②GE＝ME正確；過C作CH∥AB，交AF延長線于H，可得∠ACH=∠BAE，先證△ABE≌△CAH（ASA），再證△FMC≌△FHC（AAS），可判斷③BG＝AF+FG正確；利用等量代換C△AFM=BE+AM≠BE+CM，可判斷④C△AFM＝BE+CM不正確；由AB=AC，AD=AE，可得BD=CE，由△AEB≌△ADC（SAS），可得∠DBN=∠ECN，先證△DNB≌△ENC（AAS），可得ND=NE，S△BDN=S△NEC，，連結(jié)AN，過N作NQ⊥AE于Q，F(xiàn)R⊥CM于R，再證△AND≌△ANE（SSS），三證△ANE≌△CFM（ASA），可得全等三角形對應(yīng)高NQ=FR，可判斷⑤S△BDN﹕S△AFC＝CE﹕AC正確．【詳解】解：∵∠BAC＝90°，AF⊥BE，∴∠BAF+∠FAC=90°，∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠FAC，故①∠ABE＝∠FAC正確；∵等腰Rt△ABC，∴AB=AC，在△AEB和△ADC中，∴△AEB≌△ADC（SAS）∴∠AEB=∠ADC，∵FG⊥CD，∴∠FMC+∠MCD=90°∵∠DAC=90°，∴∠ADC+∠MCD=90°∴∠ADC=∠FMC=∠AEB∵∠GEM=∠AEB，∠GME=∠FMC，∴∠GEM=∠GME，∴GE=GM，故②GE＝GM正確；過C作CH∥AB，交AF延長線于H，∴∠BAC+∠ACH=180°，∴∠ACH=180°-∠BAC=90°=∠BAE，∵∠ABE=∠FAC，在△ABE和△CAH中，，∴△ABE≌△CAH（ASA），∴BE=AH，∠AEB=∠H=∠GEM=∠GME=∠FMC，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠HCF=∠ABC=∠MCF=45°，在△FMC和△FHC中，，∴△FMC≌△FHC（AAS），∴FM=FH，MC=HC，∴BG=BE+EG=AH+GM=AF+FM+MG=AF+FG，故③BG＝AF+FG正確；C△AFM=AF+FM+AM=AF+FH+AM=BE+AM≠BE+CM，故④C△AFM＝BE+CM不正確；∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∵△AEB≌△ADC（SAS），∴∠ABE=∠ACD即∠DBN=∠ECN，在△DNB和△ENC中，∴△DNB≌△ENC（AAS），∴ND=NE，S△BDN=S△NEC，，連結(jié)AN，過N作NQ⊥AE于Q，F(xiàn)R⊥CM于R，在△AND和△ANE中，，∴△AND≌△ANE（SSS），∴∠DAN=∠FAN=45°，∴∠NAE=∠FCM=45°，在△ANE和△CFM中，，∴△ANE≌△CFM（ASA），∴NQ=FR，（對應(yīng)高相等）S△CNE=，S△AFC=，∴S△BDN﹕S△AFC=S△CNE：S△AFC＝：=CE﹕AC，故⑤S△BDN﹕S△AFC＝CE﹕AC正確；∴正確的個數(shù)有4個，分別為①②③⑤．故選擇D．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，線段和差，三角形面積等高，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，線段和差，三角形面積等高是解題關(guān)鍵．二、填空題7．已知正△ABC的邊長為1，點P，點Q同時從點A出發(fā)，點P以每秒1個單位速度沿邊AB向點B運(yùn)動，點Q以每秒4個單位速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運(yùn)動，當(dāng)點Q停止運(yùn)動時，點P也同時停止運(yùn)動．在整個運(yùn)動過程中，若以點A，B，C中的兩點和點Q為頂點構(gòu)成的三角形與△PAC全等，運(yùn)動時間為t秒，則t的值為__．【答案】或或或或【分析】分三種情形：當(dāng)點Q在AC上時，當(dāng)點Q在BC上時，有兩種情形，CQ＝AP或BQ＝PA滿足條件，當(dāng)點Q在BA上時，Q與P重合或AP＝QB滿足條件，分別構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：當(dāng)點Q在AC上時，CQ＝PA時，△BCQ≌△CAP，AP=t，AQ=4t，CQ=1-4t；此時t＝1﹣4t，解得t＝．當(dāng)點Q在BC上時，有兩種情形，CQ＝AP時，△ACQ≌△CAP，AP=t，CQ=4t-1，BQ=2-4t；∴4t﹣1＝t，解得t＝；BQ＝PA時，△ABQ≌△CAP，∴2﹣4t＝t，解得t＝，當(dāng)點Q在BA上時，有兩種情形，Q與P重合，△ACQ≌△ACP，AP=t，AQ=3-4t，BQ=4t-2；∴t＝3-4t，解得t＝；AP＝QB時，△ACP≌△BCQ，t＝4t﹣2，解得t＝，綜上所述，滿足條件的t的值為或或或或，故答案為：或或或或．【點睛】本題考查全等三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．8．已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點．如果是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足．（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）．若，P為的費馬點，則_________；若，P為的費馬點，則_________．【答案】5【分析】①作出圖形，過分別作,勾股定理解直角三角形即可②作出圖形，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60，P為的費馬點則四點共線，即，再用勾股定理求得即可【詳解】①如圖,過作，垂足為,過分別作,則,P為的費馬點5②如圖：.將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60由旋轉(zhuǎn)可得：是等邊三角形，P為的費馬點即四點共線時候，=故答案為：①5，②【點睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形性質(zhì)，作出旋轉(zhuǎn)的圖形是解題的關(guān)鍵．本題旋轉(zhuǎn)也可，但必須繞頂點旋轉(zhuǎn)．9．如圖，在銳角△ABC中，點D在線段CA的延長線上，BC邊的垂直平分線分別交AB邊于點E，交∠BAC的平分線于點M，交BAD的平分線于點N，過點C作AM的垂線分別交AM于點F，交MN于點O，過點O作OG⊥AB于點G，點G恰為AB邊的中點，過點A作AI⊥BC于點I，交OC于點H，連接OA、OB，則下列結(jié)論中，（1）∠MAN=90°；（2）∠AOB=2∠ACB；（3）OH=2OG；（4）△AFO≌△AFH；（5）AE+AC=2AG．正確的是________．（填序號）【答案】（1）（2）（4）（5）【分析】（1）使用角平分線的性質(zhì)即可；（2）根據(jù)AB和BC的垂直平分線OG和MN可以得到OA=OB=OC，進(jìn)而得到三組相等的角，再進(jìn)行等量代換即可；（4）在和中，易得和公共邊AH，再通過角度的計算和等量代換可以得到，即可證明；（5）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和（4）中的全等三角形可得BO=AH，通過角度的計算和等量代換可以證明和，進(jìn)而可通過證明得到BE=AC，再進(jìn)行等量代換即可；（3）易得OH=2OF，根據(jù)分析無法證明OF=OG，故可判斷該項不符合題意．【詳解】解：（1）∵AM平分，AN平分，∴，．∴．又∵根據(jù)圖示可得，∴．故（1）符合題意．（2）∵G為AB中點，且，MN垂直平分BC，∴OA=OB=OC，．∴，，，．∴，．又∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．故（2）符合題意．（4）如圖所示，延長CO交AB于點J．∵OB=OC，MN垂直平分BC，∴，．又∵，，，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．又∵，，∴．∴．∴．∵AM平分，，∴，．又∵，，∴．∴．又∵，∴．∴．∴．在和中，∵∴．故（4）符合題意．（5）∵，，∴．又∵，，∴，．∴，．∴．∵，∴OA=HA．又∵OA=OB，∴BO=AH．∵，，，∴．又∵，∴．∴．在和中，∵∴．∴BE=AC．∴AE+AC=AE+BE=AB．∵G為AB中點，∴AB=2AG．∴AE+AC=2AG．故（5）符合題意．（3）∵，∴FO=FH．∴OH=2OF．∵，，∴．∵無法證明AF=AG和和，∴無法證明．∴OF和OG可能相等，也可能不相等．∴OH與2OG不一定相等．故（3）不符合題意．故答案為：（1）（2）（4）（5）．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和以及全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握以上知識點是解題關(guān)鍵，特別注意等量代換的使用．三、解答題10．（1）已知如圖1：△ABC．求作：⊙O，使它經(jīng)過點B和點C，并且圓心O在∠A的平分線上（保留作圖痕跡）．（2）如圖2，點F在線段AB上，AD∥BC，AC交DF于點E，∠BAC＝∠ADF，AE＝BC．求證：△ACD是等腰三角形．

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析【分析】（1）分別作出∠A的角平分線和線段BC的垂直平分線，它們的交點即為圓心O，再以O(shè)C為半徑畫圓即可；（2）利用“AAS”證明△ADE≌△CAB，即可得到AD=CA，即可求證．【詳解】解：（1）如圖所示：⊙O即為所求．

（2）證明：∵AD∥BC，∴∠CAD=∠BCA，即∠EAD=∠BCA.又∵∠ADF=∠CAB，AE=BC，∴△ADE≌△CAB（AAS），∴AD=AC；∴△ACD是等腰三角形．?！军c睛】本題考查了尺規(guī)作圖和全等三角形的判定與性質(zhì)，涉及到作一個角的平分線和線段的垂直平分線、平行線的性質(zhì)、證明三角形全等以及利用全等三角形的性質(zhì)證明線段相等等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是牢記尺規(guī)作圖的原理和方法、牢記相關(guān)概念等．11．如圖，直線交x軸于A點，交y軸于B點，，點B坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點A交y軸于點C，且．（1）求直線的解析式；（2）點D為線段中垂線l上一點，且位于第一象限，將沿翻折得到，若點恰好落在直線l上，求點D和點的坐標(biāo)．（3）設(shè)P是直線上一點，點Q在l上，當(dāng)為等邊三角形時，直接寫出的邊長．【答案】（1）y＝x?6；（2）D（4，2），（6，4）；（3）2或【分析】（1）先由B點坐標(biāo)，得到OB的長度，在直角△ABO中，由∠BAO＝30°，得到AB＝2OB，利用勾股定理，得到OA的長度，從而得到A點坐標(biāo)，因為OA＝OC，求得OC的長度，得到C點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，求得直線AC的解析式；（2）因為l垂直平分AB，所以B＝A，又因為△ABD沿BD翻折得到△BD，所以B＝AB，所以A＝B＝AB，得到△AB為等邊三角形，且∠BD＝∠ABD＝30°，又∠BAO＝30°，利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行，得到BD∥AO，從而得到D的縱坐標(biāo)為2，再由AD＝BD，可以算出∠DAO＝60°，過D作DM⊥OA于M，從而可以求得OM長度，得到D的坐標(biāo)，再通過計算得到∠AO＝90°，得到A⊥OA，從而求得坐標(biāo)；（3）因為P是直線AC上一點，所以P可以在CA的延長線上，或者在射線AC上，利用共頂點的兩個等邊三角形形成一對旋轉(zhuǎn)全等三角形的模型來解決問題．【詳解】解：（1）∵B（0，2），∴OB＝2，在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，∴AB＝2OB＝4，∴AO＝＝6，∴A（6，0），∴OA＝6，∵OA＝OC，∴OC＝6，∴C（0，?6），設(shè)直線AC為y＝kx?6，代入點A，得k＝1，∴直線AC解析式為y＝x?6；（2）如圖1，連接A，∵將△ABD沿BD翻折得到△BD，∴AB＝B，且BD垂直平分A，∠ABD＝∠BD，又∵l是AB的垂直平分線，且為直線l上一點，∴B＝A，∴B＝AB＝A，∴△AB為正三角形，∴∠ABD＝∠OAB＝30°，∴BD∥OA，∴D的縱坐標(biāo)為2，∵l是AB的垂直平分線，且D為直線l上一點，∴DB＝DA＝D，∴∠DBA＝∠DAB＝30°，∴∠DAO＝60°，過D作DM⊥OA于M，∴∠ADM＝90°?∠DAO＝30°，設(shè)AM＝a，則AD＝2a，∵AD2?AM2＝DM2，∴3a2＝12，∴a＝2，∴AM＝2，∴OM＝6?AM＝4，∴D（4，2），∵∠AB＝60°，∴∠AO＝∠AB＋∠BAO＝90°，∴A⊥OA，又A＝AB＝4，∴（6，4），即D（4，2），（6，4）；（3）①如圖2，當(dāng)P在線段CA延長線上時，連接P，A和BQ，∵△APQ為等邊三角形，∴AP＝AQ＝PQ，∠BA＝∠PAQ＝60°，∴∠BAQ＝∠AP，在△ABQ與△AP中，，∴△ABQ≌△AP（SAS），∴BQ＝P，又∵Q為AB中垂線上一點，∴BQ＝AQ，∴AQ＝P，又∵AP＝AQ，∴AP＝P，∴P在A的中垂線上，∵A⊥OA，且A＝4，∴P的縱坐標(biāo)為2，令y＝2，則x?6＝2，∴x＝6＋2，∴P（6＋2，2），∴AP=，②如圖3，當(dāng)P在射線AC上時，連接BP，同理可得△ABP≌AQ，∴PB＝Q，∠PBA＝∠QA，∵∠BA＝60°，且Q垂直平分AB，∴∠QA＝30°，∴∠PBA＝30°，又∠ABO＝90°?∠BAO＝60°，∴∠PBO＝∠ABO?∠PBA＝30°，過P作PG⊥y軸于G點，設(shè)P（m，m?6），在Rt△PBG中，∠PBO＝30°，∴PB＝2PG＝2m，∴BG＝m，∴m＝2?(m?6)，∴m＝2，∴P(2，2?6)，∴AP＝綜上所述：△APQ的邊長為2或．【點睛】本題考查了一次函數(shù)綜合題，第二問要充分利用軸對稱的性質(zhì)，充分挖掘條件，發(fā)現(xiàn)特殊的三角形和角度來解決問題，第三問要注意分類討論，畫出草圖是突破口，同時，對共頂點的等邊三角形模型要非常熟悉．12．如圖，在中，點D在邊上，．將沿對折得到，交于點F．（1）如圖①，若，，求的度數(shù)；（2）如圖②，若，請說明；（3）若，將繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度，記旋轉(zhuǎn)中的為．在旋轉(zhuǎn)過程中，直線分別與直線、直線交于點M、點N，是否存在這樣的點M、點N，使與相等？若存在，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）∠AFB=70°；（2）見解析；（3）存在，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為60°或150°．【分析】（1）利用直角三角形的性質(zhì)求得∠ADB=50°，再利用三角形的外角性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)求得∠EBD=∠CBD=20°，最后利用三角形的外角性質(zhì)即可求解；（2）利用三角形的外角性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)求得∠2+∠3=90°，∠2=2∠3+∠C，再在△FED中利用三角形內(nèi)角和定理即可計算證明∠4=4∠3；（3）分當(dāng)∠AMN=∠ANM=20°和∠AMN=∠ANM=70°時兩種情況討論，分別畫出圖形，利用折疊和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】（1）∵∠ABD=90°，∠A=40°，∴∠ADB=50°，由折疊的性質(zhì)得∠EBD=∠CBD，∵∠ADB=∠CBD+∠C，∠C=30°，∴∠CBD=50°-30°=20°，∴∠AFB=∠FBC+∠C=2∠CBD+∠C=70°；（2）∵∠ABD=90°，∠1=∠2，∠EBD=∠CBD=∠3，∴∠1+∠EBD=90°，即∠2+∠3=90°，∵∠2=∠FBC+∠C=2∠3+∠C，∴90°-∠3=2∠3+∠C，即∠C=90°-3∠3，由折疊的性質(zhì)得∠E=∠C，在△FED中，∠EFD=∠2=2∠3+∠C=2∠3+90°-3∠3=90°-∠3，∴∠4=180°-∠EFD-∠E=180°-(90°-∠3+90°-3∠3)=4∠3；（3）存在，如圖，當(dāng)∠AMN=∠ANM時，∵∠BAC=40°，則∠AMN=∠ANM=20°，∵∠ABD=90°，∠BAC=40°，∴∠ADB=50°，由折疊和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠EBD=∠CBD=∠E1BD1，∠C=∠E=∠BE1D1，∵∠ADB=∠CBD+∠C=50°，則∠BD1N=∠E1BD1+∠BE1D1=50°，∴∠BFD=∠BD1N+∠ANM=70°，∴∠D1BD=180°-70°-50°=60°，即旋轉(zhuǎn)角度為60°；如圖，當(dāng)∠AMN=∠ANM時，∵∠BAC=40°，則∠AMN=∠ANM=70°，同理，∠BD1N=50°，∴∠D1MB=∠AMN=70°，∴∠D1BM=180°-70°-50°=60°，∴∠D1BD=60°+90°=150°，即旋轉(zhuǎn)角度為150°；綜上，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為60°或150°．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的識別圖形、靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．13．在中，點M為AB的中點．（1）如圖1，若，連接DM且，試探究AB與BC的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若為銳角，過點C作于點E，連接EM，，①求證：②若，求的值．【答案】（1），理由見解答過程；（2）①見解析；②【分析】（1）由，可得，，從而是等腰直角三角形，，根據(jù)四邊形是平行四邊形，是中點，即得；（2）①過點M作MN∥AD，分別交DC，CE于點N，F(xiàn)，可得四邊形AMND與MBCN是平行四邊形，根據(jù)等邊對等角證明∠EMF=∠CMF，根據(jù)∠BME=3∠AEM推出∠NMC=∠NCM，得到MN=NC，可得結(jié)論；②設(shè)，，則，，，中，，有，解得或，即可得．【詳解】解：（1），理由如下：，，，，，是等腰直角三角形，，四邊形是平行四邊形，是中點，，，；（2）①過點M作MN∥AD，分別交DC，CE于點N，F(xiàn)，則四邊形AMND與MBCN是平行四邊形，且AM=BM=CN=DN，∴EF=FC，∵AE⊥CE，∴MF⊥CE，∴EM=CM，∴∠EMF=∠CMF，∵∠BME=3∠AEM，∠EMF=∠AEM，即∠BMN=2∠EMF，∴∠CMN=∠CMB，∴∠NMC=∠NCM，即MN=NC，∴AB=2BC；②如圖：由①知：，設(shè)，，則，，，中，，，化簡整理得：，解得或，，，，即．【點睛】本題考查平行四邊形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及矩形、等腰直角三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造等腰三角形及CE的垂直平分線．14．如圖1，已知等腰直角ΔABC，∠ACB＝90°，在直角邊BC上取一點D，使∠DAC＝15°，以AD為一邊作等邊ΔADE，且AB與DE相交．（1）求證：AB垂直平分DE；（2）連接BE，判斷EB與AC的位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖2，若F為線段AE上一點，且FC＝AC，求的值．【答案】（1）見解析；（2）互相平行；見解析；（3）1【分析】（1）根據(jù)∠DAC＝15°及等腰直角三角形的性質(zhì)，可得∠DAB=30°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠EAB=30°，由等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論易得BD=BE，∠EBA=∠CBA=45°，即BE⊥BC，從而可得BE與AC的位置關(guān)系；（3）延長CF，與BE的延長線交于點G．易得CF=BF；其次由（2）的結(jié)論易得∠G=30°，從而CG=2BC=2FC，即CF=GF，然后可證明△CAF≌△GEF，從而得AF=EF，即可得結(jié)果．【詳解】（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°∴AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°∵∠DAC=15°∴∠DAB=∠CAB-∠DAC=30°∵△ADE是等邊三角形∴∠DAE=60°∴∠EAB=∠DAE-∠DAB=30°∴∠DAB=∠EAB∵△ADE是等邊三角形∴AB垂直平分DE（2）互相平行理由如下：∵AB垂直平分DE∴BD=BE∴∠EBA=∠CBA=45°∴∠EBC=∠EBA+∠CBA=90°即∠EBC+∠ACB=180°∴BE∥AC（3）延長CF，與BE的延長線交于點G，如圖所示∵∠FAC=∠DAE+∠DAC=75°，F(xiàn)C=AC∴∠CFA=∠FAC=75°∴∠FCA=180°－2×75°=30°∵AC=BC，AC=FC∴BC=FC由（2）知：BE∥AC∴∠G=∠FCA=30°∵∠EBC=90°∴CG=2BC=2FC∴CF=GF在△CAF和△GEF中∴△CAF≌△GEF(ASA)∴AF=EF∴【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，第（3）問的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形全等．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在y軸的正半軸上，點B在x軸的正半軸上，OA＝OB＝10．（1）求直線AB的解析式；（2）若點P是直線AB上的動點，當(dāng)S△OBP＝S△OAP時，求點P的坐標(biāo)；（3）將直線AB向下平移10個單位長度得到直線l，點M，N是直線l上的動點（M，N的橫坐標(biāo)分別是xM，xN，且xM＜xN），MN＝4，求四邊形ABNM的周長的最小值，并說明理由．【答案】（1）；（2）P或；（3）四邊形ABNM的周長的最小值為．【分析】（1）由題意易得，然后代入求解即可；（2）由題意可得△OBP若以O(shè)B為底，則點P的縱坐標(biāo)的絕對值就是它的高，△OAP若以O(shè)A為底，則點P的橫坐標(biāo)的絕對值就是它的高，然后根據(jù)三角形面積計算公式可進(jìn)行求解；（3）由題意可得如圖所示，作點A關(guān)于MN的對稱點C，作MD∥BN，進(jìn)而可得MA=MC，MD=BN，要使四邊形ABNM的周長的最小值，則需滿足為最小即可，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：（1）∵點A在y軸的正半軸上，點B在x軸的正半軸上，OA＝OB＝10，∴，設(shè)直線AB的解析式為，∴，解得：，∴直線AB的解析式為；（2）由（1）及題意可設(shè)，則有△OBP若以O(shè)B為底，則點P的縱坐標(biāo)的絕對值就是它的高，△OAP若以O(shè)A為底，則點P的橫坐標(biāo)的絕對值就是它的高，∵S△OBP＝S△OAP，∴，∵OA＝OB＝10，∴，解得：或，∴點P的坐標(biāo)為或；（3）由題意可得如圖所示：作點A關(guān)于MN的對稱點C，作MD∥BN，連接MC、CD，∴，，∵M(jìn)N∥AB，∴四邊形是平行四邊形，，∴，∵M(jìn)N＝4，∴，∵，∴△AOB是等腰直角三角形，∴，直線l與AB的距離為，∴根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，∴四邊形的周長為，要使四邊形ABNM的周長的最小值，則需滿足為最小即可，即需滿足點C、M、D三點共線時即可，此時，∴在Rt△ADC中，，由勾股定理可得：，∴，∴四邊形ABNM的周長的最小值為．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與幾何的綜合、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、軸對稱的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握一次函數(shù)與幾何的綜合、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、軸對稱的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．16．（1）如圖1，等邊△ABC中，點D為AC的中點，若∠EDF＝120°，點E與點B重合，DF與BC的延長線交于F點，則DE與DF的數(shù)量關(guān)系是；BE＋BF與的BC數(shù)量關(guān)系是；（寫出結(jié)論即可，不必證明）（2）將（1）中的點E移動一定距離（如圖2），DE交AB于E點，DF交BC的延長線于F點，其中“等邊△ABC中，D為AC的中點，若∠EDF＝120°”這一條件不變，則DE與DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？BE＋BF與BC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論并加以證明；（3）將（1）中的點E移動到AB延長線上，DE與AB的延長線交于E點，DF交BC的延長線于F點（如圖3），其中“等邊△ABC中，D為AC的中點，若∠EDF＝120°”這一條件仍然不變，則BE、BF、BC這三者之間的數(shù)量關(guān)系是．（直接寫出結(jié)論即可）【答案】（1）DE=DF，BE+BF=BC；（2）DE=DF，BE+BF=BC；（3）DE=DF，BF-BE=BC【分析】（1）點與點重合，即，因為，所以可得出三者之間的關(guān)系；（2）過作交于點，證明，DE=DF，ME=CF，即可得到結(jié)果；（3）取中點，連接，證明△END≌△FCD，得到DE=DF，從而判斷BE、BF、BC的關(guān)系．【詳解】解：（1）等邊中，點為的中點，，，，；（2）；．過作交于點，則，，是等邊三角形，則，，則，即：，在和中，，，，，∴；（3）取中點，連接，如圖所示，，，，，，，．．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；可圍繞結(jié)論尋找全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)判定線段相等，證得三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵．17．如圖1，若△DEF的三個頂點D，E，F(xiàn)分別在△ABC各邊上，則稱△DEF是△ABC的內(nèi)接三角形．（1）如圖2，點D，E，F(xiàn)分別是等邊三角形ABC各邊上的點，且AD＝BE＝CF，則△DEF是△ABC的內(nèi)接．A．等腰三角形B．等邊三角形C．等腰三角形或等邊三角形D．直角三角形（2）如圖3，已知等邊三角形ABC，請作出△ABC的邊長最小的內(nèi)接等邊三角形DEF．（保留作圖痕跡，不寫作法）（3）問題：如圖4，△ABC是不等邊三角形，點D在AB邊上，是否存在△ABC的內(nèi)接等邊三角形DEF？如果存在，如何作出這個等邊三角形？①探究1：如圖5，要使△DEF是等邊三角形，只需∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我們以點D為角的頂點任作∠EDF＝60°，且DE交BC于點E，DF交AC于點F．我們選定兩個特殊位置考慮：位置1（如圖6）中的點F與點C重合，位置2（如圖7）中的點E與點C重合．在點E由位置1中的位置運(yùn)動到位置2中點C的過程中，DE逐漸變大而DF逐漸變小后再變大，如果存在某個時刻正好DE＝DF，那么這個等邊三角形DEF就存在（如圖8）．理由：是等邊三角形．②探究2：在BC上任取點E，作等邊三角形DEF（如圖9），并分別作出點E與點B、點C重合時的等邊三角形DBF′和DCF″．連接FF'，F(xiàn)F″，證明：FF'+FF″＝BC．③探究3：請根據(jù)以上的探究解決問題：如圖10，△ABC是不等邊三角形，點D在AB邊上，請作出△ABC的內(nèi)接等邊三角形DEF．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】（1）B；（2）見解析；（3）①有一個角是60°的等腰三角形；②見解析；③見解析【分析】（1）通過已知條件判斷三角形全等即可；（2）過三點作對邊的垂線即可；（3）①運(yùn)用有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形這一定理即可；②通過證明三角形全等得到BE＝F′F和EC＝FF″，即可證明FF'+FF″＝BC；③運(yùn)用②的結(jié)論，確定等邊三角形一個點F，再通過截取確定點E，即可作出所求三角形．【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵AD＝BE＝CF，∴AB﹣AD＝BC﹣BE＝AC﹣CF，∴BD＝CE＝AF，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝ED，在△ADF和△CFE中，，∴△ADF≌△CFE（SAS），∴DF＝EF，∴DF＝DE＝EF，∴△DEF是等邊三角形，故答案為：B；（2）如圖所示，△ABC的邊長最小的內(nèi)接等邊△DEF即為所求；（3）①∵DE＝DF，∠EDF＝60°，∴△DEF是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形），故答案為：有一個角是60°的等腰三角形；②連接FF′和FF″，∵△DBF′、△DEF、△DCF″都是等邊三角形，∴DB＝DF′，DE＝DF，DC＝DF″，∠BDF′＝∠EDF＝∠CDF″＝60°，∴∠BDE＝∠F′DF，∠EDC＝∠FDF″，在△DBE和△DF′F中，，∴△DBE≌△DF′F（SAS），∴BE＝F′F，在△DEC和△DFF″中，，∴△DEC≌△DFF″（SAS），∴EC＝FF″，∴BC＝BE+EC＝F′F+FF″，即FF'+FF″＝BC；③以BD為邊作等邊△BDF′，以CD為邊作等邊△CDF″，連接F′F″交AC于點F，連接DF，在BC上截取BE＝F′F，連接DE，DF，△DEF即為所求．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及尺規(guī)作圖，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．18．如圖1，在等邊的邊和邊上分別取點、，使得，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到圖2所示的圖形．（1）求證：≌；（2）如圖3，若，，且旋轉(zhuǎn)角為45°時，求的度數(shù)；（3）如圖4，連接，并延長交于點，若旋轉(zhuǎn)至某一位置時，恰有，，求的值．【答案】（1）見解析；（2）30°；（3）【分析】（1）先證△ADE是等邊三角形，由“SAS”可證△ADB≌△AEC；（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)可求AF=EF=，在Rt△AEF中，由勾股定理可求EC的長，由直角三角形的性質(zhì)可求EF=EH=FH，可證△EFH是等邊三角形，即可求解；（3）由全等三角形的判定和性質(zhì)可得∠AEC=∠ADB=90°，EC=DB，由平行線的性質(zhì)可求∠ADB=∠DBE=90°，∠BEF=30°，由直角三角形的性質(zhì)可求EF=DF=2BF，即可求CE=3BF，CF=5BF，即可求解．【詳解】解：證明：（1）如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵AD=AE，∴△ADE是等邊三角形，如圖2，∵△ADE是等邊三角形，∴AD=AE，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）如圖3，過點E作EF⊥AC于F，取EC中點H，連接FH，∵∠CAE=45°，∴∠CAE=∠AEF=45°，∴AF=EF，AE=AF，∵AD==AE，∴AF=EF=，∵AB=+3=AC，∴CF=3，∴CE=，∵∠EFC=90°，點H是EC中點，∴EH=FH=HC=，∴EF=EH=FH，∴△EFH是等邊三角形，∴∠FEH=60°，∴∠ECA=30°；（3）由（1）可知：△BAD≌△CAE，∴∠AEC=∠ADB=90°，EC=DB，又∵∠AED=60°，∴∠DEF=30°，∵AD∥BE，∴∠ADB=∠DBE=90°，∠DAE+∠BEA=180°，∴∠BEA=120°，∴∠DEB=60°，∠FEB=30°，∴EF=2BF，∵∠BDE=90°-∠DEB=30°，∴∠BDE=∠DEF=30°，∴EF=DF=2BF，∴DB=3BF=CE，∴CF=CE+EF=5BF，∴．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，求出CF=5BF是解題的關(guān)鍵．19．如圖，在中，，，垂足為點D．（1）試說明點D為的中點；（2）如果，將線段繞著點D順時針旋轉(zhuǎn)60°后，點A落在點E處，聯(lián)結(jié)、，試說明//；（3）如果的度數(shù)為n，將線段繞著點D順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于180°），點A落在點F處，聯(lián)結(jié)線段，//，求直線與直線的夾角的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）直線與直線的夾角的度數(shù)是或．【分析】（1）本題主要考查等腰三角形的三線合一性質(zhì)，利用“等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高互相重合”即可解答．（2）根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，先推出（SAS），再根據(jù)全等三角形性質(zhì)和平行線的判定可求出解；（3）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得，結(jié)合題意，分3種情況分析：，，；根據(jù)題意畫出圖形，借助全等三角形的判定和性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：∵，∴△ABC是等腰三角形∵（已知），∴點D為的中點.（等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高互相重合）（2）解：∵，（已知），∴是等邊三角形（有一個內(nèi)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形），∴（等邊三角形的三內(nèi)角等于60°）.∵（已知），∴（等腰三角形底邊上的中線與頂角的平分線互相重合），∴（等式性質(zhì)）.∵，（旋轉(zhuǎn)的意義），∴是等邊三角形（有一個內(nèi)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形），∴（等邊三角形的三邊相等），（等邊三角形的三內(nèi)角等于60°）.∴（等式性質(zhì)），即，∴（等量代換）.在與中，∴（SAS）.∴（全等三角形的對應(yīng)邊相等），∴（等量代換），∴（等式性質(zhì)），即，∴（等式性質(zhì)），∴（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.（3）解：∵（已知），∴（等邊對等角），∵（已知），（三角形的內(nèi)角和等于180°），∴（等式性質(zhì)），∴（等式性質(zhì)）.∵（已知），∴（等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高互相重合），（等腰三角形底邊上的中線與頂角的平分線互相重合）.當(dāng)?shù)亩葦?shù)為n，n有三種可能情況：，，.（i）當(dāng)時：延長、交于點G.∵（已知），∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴（等式性質(zhì)），∴（等量代換）.在與中，∴（ASA），∴（全等三角形的對應(yīng)邊相等），（全等三角形的對應(yīng)角相等）.∵（旋轉(zhuǎn)的意義），∴（等量代換），∴（等邊對等角），∴（等量代換）.∵（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），∴（等式性質(zhì)），∴（等式性質(zhì)）.∵（對頂角相等），∴（等量代換），∴直線與直線的夾角的度數(shù)是.（ii）當(dāng)時：延長交于點G.∵（已知），∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.在與中，∴（ASA），∴（全等三角形的對應(yīng)邊相等），（全等三角形的對應(yīng)角相等）.∵（旋轉(zhuǎn)的意義），∴（等量代換），∴（等邊對等角），∴（等量代換）.∵（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），∴（等式性質(zhì)），∴（等式性質(zhì)）.∵（對頂角相等），∴（等量代換），∴直線與直線的夾角的度數(shù)是.（iii）當(dāng)時：∵（已知），∴，（等式性質(zhì)），∴（等量代換），∴（等邊對等角），∵（旋轉(zhuǎn)的意義），∴（等量代換），∴，∴∠ADF=180°∴不符合題意，舍去.綜合上述，直線與直線的夾角的度數(shù)是或.【點睛】本題主要考查平行線、等腰三角形與全等三角形的有關(guān)概念，輔助線的添加、方程思想，以及問題的多樣性，解題過程中要注意考慮完整，正確添加輔助線，解題過程如上．20．角平分線性質(zhì)定理描述了角平分線上的點到兩邊距離的關(guān)系，小明發(fā)現(xiàn)將角平分線放在三角形中，還可以得出一些線段比例的關(guān)系．請完成下列探索過程：（研究情景）如圖1，在△ABC中，∠ABC的角平分線交AC于點D．（初步思考）（1）若AB＝4，BC＝7，則＝；（深入探究）（2）請判斷和之間的數(shù)值關(guān)系，并證明；（應(yīng)用遷移）（3）如圖2，△ABC和△ECD都是等邊三角形，△ABC的頂點A在△ECD的邊ED上，CD交AB于點F，若AE＝4，AD＝2，求△CFB的面積．【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）【分析】（1）過點D作DM⊥AB于點M，作DN⊥BC于點N，運(yùn)用角平分線性質(zhì)可得DM=DN，再利用三角形面積公式即可求得答案；（2）過點D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，過點B作BE⊥AC于E，利用兩種不同的方法表示出△ABD和△BDC的面積，表示出，即可證明；（3）連接BD，過點A作AG⊥BC于G，過點C作CH⊥DE于H，證明△ACE≌△BCD，得到CD平分∠BDA，且BD=AE=4，根據(jù)所得結(jié)論可得和，再運(yùn)用勾股定理可求出CH，AC，最后根據(jù)S△BCF=S△ACB得到結(jié)果．【詳解】解：（1）過點作于點，作于點，平分，，，，；故答案為：；（2）．理由如下：如圖，過點D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，過點B作BE⊥AC于E，∵S△ABD=，S△BDC=，∴，又∵，∴；（3）連接BD，過點A作AG⊥BC于G，過點C作CH⊥DE于H，∵△ABC和△ECD是等邊三角形，∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=60°，∴∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，即∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠E=∠BDC=60°=∠CDE=60°，即CD平分∠BDA，且BD=AE=4，同理可得：，∴，∴，∵AE=4，AD=2，∴DE=AE+AD=4+2=6，∵△ECD是等邊三角形，CH⊥DE，∴EH=DH=3，CE=DE=6，∴CH=，∵AH=DH-AD=3-2=1，∴AC=，∴CG=BG=，∴AG=，∴S△BCF=S△ACB==．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了角平分線性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，知識點較多，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，得到角平分線，運(yùn)用所得結(jié)論進(jìn)行類比．21．綜合與實踐問題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們以等腰直角三角形為背景探究圖形變化中的數(shù)學(xué)問題．如圖1，將兩張等腰直角三角形紙片重疊擺放在桌面，其中，，，點，在的同側(cè)，點，在線段上，連接并延長交于點，已知．將從圖1中的位置開始，繞點順時針旋轉(zhuǎn)（保持不動），旋轉(zhuǎn)角為．?dāng)?shù)學(xué)思考：（1）“求索小組”的同學(xué)發(fā)現(xiàn)圖1中，請證明這個結(jié)論；操作探究：（2）如圖2，當(dāng)時，“篤行小組”的同學(xué)連接線段，．請從下面A，B兩題中任選一題作答．我選擇________題．A．①猜想，滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若，請直接寫出時，，兩點間的距離；B．①猜想，滿足的位置關(guān)系，并說明理由；②若，請直接寫出點落在延長線時，，兩點間的距離．

【答案】（1）見詳解；（2）A.①AD=BE，理由見詳解；②；B.①AD⊥BE，理由見詳解；②-1．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；（2）A.①利用手拉手模型，證明，即可得到結(jié)論；②過點E作EH⊥CB交CB的延長線于點H，連接CE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，即可求解；B.①延長DA交OE于點Q，交BE于點P，利用“8”字模型得∠EPQ=∠QOD=90°，進(jìn)而即可得到結(jié)論；②過點O作OQ⊥AC，可得QO=1，利用勾股定理得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）∵，，∴是等腰直角三角形，又∵，∴OB=OC，同理：OE=OF，∴OE-OB=OF-OC，∴；（2）A.①AD=BE，理由如下：∵，OD⊥EF，∴∠AOB=∠DOE=90°，∴∠EOB=∠DOA，∵和是等腰直角三角形，∴BO=AO，EO=DO，∴，∴AD=BE；②∵旋轉(zhuǎn)角，∴∠BOE=45°，∴∠COE=135°，∵，∴OC=OB=2÷=，過點E作EH⊥CB交CB的延長線于點H，連接CE，

∵在中，HE=HO=2÷=，∴在中，CE=；B.①AD⊥BE，理由如下：延長DA交OE于點Q，交BE于點P，

易證：，∴∠1=∠2，又∵∠3=∠4，∠1+∠EPQ+∠3=∠2+∠QOD+∠4=180°，∴∠EPQ=∠QOD=90°，∴AD⊥BE；②過點O作OQ⊥AC，

∵，∴，∵∠ACO=45°，∴是等腰直角三角形，∴QO=QC=，∴在中，，∴CF=-1．【點睛】本題主要考查勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵．22．閱讀下列材料，并解答其后的問題：定義：有一組鄰邊相等且有一組對角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．如圖1，若AB＝AD，∠A+∠C＝180°，則四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形．（1）理解：如圖2，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°．請用尺規(guī)作圖法作出點D，使得以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是等補(bǔ)四邊形；（只需作出一個滿足條件的點D即可．要求不用寫作法，但要保留作圖痕跡．）（2）探究：如圖3，等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD是對角線．求證：BD平分∠ADC；（3）運(yùn)用：將斜邊相等的兩塊三角板如圖4放置，其中含45°角的三角板ABC的斜邊與含30°角的三角板ADC的斜邊重合，B、D位于AC的兩側(cè)，AB＝BC＝4，連接BD．則BD的長為．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2+2．【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形，①在直線AB上方作∠BAM＝∠BAC，②在邊AM上截取AD＝AC，證明△BAD≌△BAC，繼而根據(jù)“等補(bǔ)四邊形”的定義證明即可；（2）過點B作BE⊥AD于E，作BF⊥CD，交DC的延長線于F，證明△AEB≌△CFB，繼而根據(jù)角平分線的判定定理證明即可；（3）作AP⊥BD于點P，先證明四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形，再由（2）的結(jié)論可知，DB平分∠ADC，再求得∠ABP＝30°，繼而勾股定理求得BP，根據(jù)BD＝BP+PD即可求解【詳解】（1）如圖2，作法：①在直線AB上方作∠BAM＝∠BAC，②在邊AM上截取AD＝AC，點D就是所求的點．證明：連接BD，∵AD＝AC，∠BAD＝∠BAC，AB＝AB，∴△BAD≌△BAC（SAS），∠ADB＝∠ACB＝90°，∠ADB+∠ACB＝180°，四邊形ACBD是等補(bǔ)四邊形，∴點D就是所求的點．（2）如圖3，過點B作BE⊥AD于E，作BF⊥CD，交DC的延長線于F，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，∵∠A+∠BCD＝180°，∠BCF+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠BCF，∵AB＝BC，∴△AEB≌△CFB（AAS），∴BE＝BF，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴點B在∠ADC的平分線上，∴BD平分∠ADC．（3）如圖4，作AP⊥BD于點P，則∠APB＝∠APD＝90°，由題意得，∠ADC＝∠ABC＝90°，∠DAC＝60°，∠BAC＝45°，∴∠BAD＝60°+45°＝105°；∵∠DAB+∠DCB＝360°﹣（∠ADC+∠ABC）＝360°﹣（90°+90°）＝180°，AB＝BC＝4，∴四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形；由（2）得，DB平分∠ADC，∴∠PDA＝∠ADC＝45°，∴∠PAD＝45°，∴∠PDA＝∠PAD，∴PD＝PA，∠PAB＝105°﹣45°＝60°，∴∠ABP＝30°，∴PD＝PA＝AB＝2，∴BP＝＝＝2，∴BD＝BP+PD＝2+2．故答案為：2+2【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)與判定，勾股定理，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．23．同學(xué)們學(xué)習(xí)了全等三角形，知道其重要應(yīng)用是通過全等三角形證明角相等或邊相等，進(jìn)而求角度或邊長．有些題目不能直接得全等三角形時，需要根據(jù)條件購造全等三角形，當(dāng)遇到等腰直角三角形時我們可以利用兩條相等的腰及頂角90°，來構(gòu)造全等的兩個直角三角形，從而解決問題．（1）發(fā)現(xiàn)，如圖1，已知等腰直角△ABC，點P是邊AB上一點，過點A作CP的垂線交CP延長線于點E，過點B作CP的垂線，垂足為點F，若BF＝7，AE＝3，則EF＝；（2）探索：如圖2，已知等腰直角△ABC，點E是內(nèi)部一點，且CE＝4，AE垂直CE，連接BE，求△BCE的面積；（3）應(yīng)用：如圖3，已知鈍角三角形ABC（∠ACB＞90°），∠A＝45°，以BC為邊在直線BC與點A同側(cè)的位置作等腰直角△BCD，過點D作DE垂直AB，垂足為點E，則線段AE與線段BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？并請說明由．【答案】（1）4；（2）8；（3）AE=BE，理由見解析【分析】（1）由“AAS”可證△ACE≌△CBF，可得AE=CF=3，CE=BF=7，即可求解；（2）由“AAS”可證△ACE≌△BCF，可得CE=BF=4，由三角形的面積公式可求解；（3）由“AAS”可證△BDE≌△DCF，可得DF=BE，CF=DE，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=EH，HF=CF=DE，由線段的和差關(guān)系可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°，∵AE⊥CE，BF⊥CE，∴∠E=∠BFC=90°，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCF，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴AE=CF=3，CE=BF=7，∴EF=CE-CF=4，故答案為：4；（2）如圖2，過點B作BF⊥CE，交CE的延長線于點F，∴∠BFC=∠AEC=∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°=∠ACE+∠CAE，∴∠CAE=∠BCF，又∵AC=BC，∴△ACE≌△BCF（AAS），∴CE=BF=4，∴S△BCE=×CE×BF=8；（3）AE=BE，理由如下：如圖3，延長DE，AC交于點H，過點C作CF⊥DH于點F，∵CF⊥DH，DE⊥AB，∴∠CFD=∠DEB=∠CDB=90°，∴∠CDF+∠BDE=90°=∠DBE+∠BDE，∴∠CDF=∠DBE，又∵CD=BD，∴△BDE≌△DCF（AAS），∴DF=BE，CF=DE，∵∠A=45°，DH⊥AB，∴∠A=∠H=45°，∴AE=EH，∠H=∠HCF=45°，∴HF=CF=DE，∴AE=EH=EF+CH=EF+CF=EF+DE=DF，∴AE=BE．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．24．已知：菱形中，過點作，垂足為點，．（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，連接、，點在上，于點，交于點，點在上，連接、，，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，分別連接、，、交于點，交于點，若，，求菱形的面積．【答案】（1）；（2）見解析；（3）菱形的面積為．【分析】（1）連接，根據(jù)三線合一性質(zhì)解得，再由菱形性質(zhì)解得，繼而解題；（2）由菱形性質(zhì)解得平分，解得，再由含30°角的直角三角形性質(zhì)解得，繼而證明（SAS），最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解題；（3）在上取點，使，連接，先證明（ASA），據(jù)此解得，即，再證明，解得，設(shè)，則，過點作于點，交于點，連接，，由勾股定理解得的值，繼而解得的值，在中，利用勾股定理解得的值，最后根據(jù)菱形的面積公式解題【詳解】解：（1）連接，∵四邊形為菱形，∴，，∵，，∴∴∴，；（2）∵四邊形為菱形，∴平分∴∵，∴在中，，∴又∵，∴∵為等邊三角形，，∴∴∴（SAS）∴；（3）在上取點，使，連接，∵四邊形為菱形，∴，∴又∵，∴∴，∵，∴∴∴∴（ASA）∴，∴，即∵，，∴∴，∴∴，∵，設(shè)，則過點作于點，交于點，連接，∴在中，.∴，∴在中，∴∵垂直平分，∴，又由（2）得，∴，又∵，∴∵，∴∴∴∴在中，∴在中，∴，易解得在中，解得：∴易求得∴菱形的面積為：.【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形、勾股定理、平行線的性質(zhì)等知識，是重要考點，有難度，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.25．如圖在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸，軸于、兩點，點的坐標(biāo)為，且點的坐標(biāo)為．（1）求點坐標(biāo)；（2）若點、關(guān)于直線對稱，在備用圖中畫出直線，再求直線的函數(shù)解析式；（3）點是直線與直線l的交點，點在第一象限內(nèi)，當(dāng)為等腰直角三角形時，直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】（1），（2）見解析，，（3）【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題；（2）如圖1中，設(shè)直線與軸的交點為，交BC軸于H．由H是BC中點可得到H的坐標(biāo)，利用勾股定理構(gòu)建方程求出點點坐標(biāo)即可用待定系數(shù)法求出解析式解決問題；（3）分三種情形討論求解：①當(dāng)為斜邊時；②當(dāng)為直角邊時；③當(dāng)為另一條直角邊時．【詳解】解：（1）把代入，得到，解得，直線的解析式為，令，得到，．（2）如圖1中，設(shè)直線與軸的交點為，交軸于．設(shè)，連接，則．在中，，，解得，，，H為BC與l的交點，則，設(shè)直線的解析式為，則有，解得，直線的解析式為．（3）由（1）知，聯(lián)立，解得：，即，，點在第一象限內(nèi)，當(dāng)為等腰直角三角形時，分如下幾種情況討論；①當(dāng)為斜邊時，如下圖；由圖可知，當(dāng)為等腰直角三角形時，，滿足：且，所以為等腰直角三角形；②當(dāng)為直角邊時，如下圖；根據(jù)對稱性可知，此時的點關(guān)于①中的點對稱，，與點在第一象限內(nèi)矛盾舍去，③當(dāng)為直角邊時，如下圖；根據(jù)對稱性可知，此時的點關(guān)于①中的點對稱，，滿足且，當(dāng)在左上側(cè)時，存在滿足條件的點，綜上所述：．【點睛】本題考查一次函數(shù)綜合題、線段的垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．26．同學(xué)們，等邊三角形、等腰直角三角形都是最常見的幾何圖形．（1）如圖1，以等邊的邊為腰作等腰直角，其中，，點、點都是在的同側(cè)，延長、交于點，連接，求的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）的條件下，作平分交于點，求證：；（3）如圖3，將圖（1）的沿著翻折得到，連接，為中點，連接并延長交于點，請猜測、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【答案】（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）為等邊三角形，為等腰直角三角形可求；（2）作交延長線于，再證明即可求出；（3）在上截取連，得到，知道中點，可得，知道，得到為垂直平分線，再用角之間的關(guān)系可以推出三者關(guān)系．【詳解】解：（1）如圖，∵為等邊三角形∴∵為等腰直角三角形∴，∴∴（2）如圖，作交延長線于∵∴∴∵平分∴∴∴∴∴∴（3）如圖，在上截取連∵∴∵為中點∴∵∴∴∵∴為垂直平分線∴∴∵∴∴,即∴∴【點睛】此題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、垂直平分線的性質(zhì)，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形全等的性質(zhì)和判定，靈活作輔助線是解題的關(guān)鍵．27．如圖，在中，為中點，為射線上一動點，在右側(cè)作等邊直線與直線交于點．（1）如圖1，當(dāng)點與點重合時，求證：；（2）如圖2，當(dāng)點在線段上（不包括端點），是否仍然成立，請說明理由；（3）點在射線運(yùn)動過程中，當(dāng)為等腰三角形時，請直接寫出的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論不變，證明見解析；（3）50°或70°或110°【分析】（1）想辦法證明DF⊥BC，CF=BF，可得結(jié)論．（2）結(jié)論不變，證明ME垂直平分線段BC即可．（3）分三種情形：如圖3-1中，當(dāng)BE=BF時，設(shè)∠EBC=∠ECB=x，如圖3-2中，當(dāng)FE=FB時，設(shè)∠EBC=∠ECB=∠FEB=m，如圖3-3中，當(dāng)BE=BF時，設(shè)∠EBC=∠ECB=n，分別構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：（1）證明：如圖1中，∵∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=AD=BD，∵∠A=60°，∴△ADC是等邊三角形，∴∠ADC=60°，∵△CDE是等邊三角形，∴∠CDE=60°，∴∠EDB=180°-60°-60°=60°，∴∠CDF=∠BDF，∵DC=DB，∴DF⊥BC，CF=FB，∴EC=EB．（2）結(jié)論仍然成立．理由：連接CM，EM．∵AM=BM，∠ACB=90°，∴CM=AM=BM，∵∠A=60°，∴△ACM是等邊三角形，∴∠AMC=∠ACM=60°，CA=CM，∵△CDE是等邊三角形，∴∠ACM=∠DCE=60°，CD=CE，∴∠ACD=∠MCE，在△ACD和△MCE中，，∴△ACD≌△MCE（SAS），∴∠A=∠CME=60°，∴∠CME=∠BME=60°，∵M(jìn)C=MB，∴ME垂直平分線段BC，∴EC=EB．（3）解：如圖3-1中，當(dāng)BE=BF時，設(shè)∠EBC=∠ECB=x，則∠BFE=60°+x=（180°-x），∴x=20°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE