解角動(dòng)量守恒課件

課程指導(dǎo)課三§5.剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.1剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)5.2轉(zhuǎn)動(dòng)定理轉(zhuǎn)動(dòng)慣量5.3剛體的動(dòng)能與勢能5.4角動(dòng)量定理及角動(dòng)量守恒定律教師：鄭采星大學(xué)物理1課程指導(dǎo)課三教師：鄭采星大學(xué)物理1第2章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)基本要求教學(xué)基本內(nèi)容、基本公式理解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，掌握剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理，理解力矩的功和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。理解動(dòng)量矩和動(dòng)量矩守恒定律，能用其分析和計(jì)算有關(guān)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力學(xué)問題。(1)力矩(2)轉(zhuǎn)動(dòng)慣性（I）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度，跟剛體的總質(zhì)量、質(zhì)量的分布及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。質(zhì)量連續(xù)分布的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平行軸定理剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I等于通過質(zhì)心而平行該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ic加上剛體的質(zhì)量乘以兩軸之間的距離的平方。2第2章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)基本要求教學(xué)基本內(nèi)容、基本公式理(3)轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體所受的對(duì)某一定軸的合外力矩M等于剛體對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I與剛體在合外力矩作用下所獲得的角加速度

的乘積。(4)剛體的動(dòng)能與勢能剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量等于合外力矩所作的功對(duì)于包含有剛體在內(nèi)的系統(tǒng)，若運(yùn)動(dòng)過程中只有保守力作功（或A外力+A非保守內(nèi)力=0），則系統(tǒng)的總體械能守恒。3(3)轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體所受的對(duì)某一定軸的合外力矩M等于剛體對(duì)同(5)剛體的角動(dòng)量及角動(dòng)量守恒定律剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量角動(dòng)量定理剛體在某時(shí)間間隔內(nèi)所受合外力矩的沖量矩等于剛體在這段時(shí)間內(nèi)的角動(dòng)量的增量。角動(dòng)量守恒定律當(dāng)剛體所受的合外力矩等于零時(shí)剛體的角動(dòng)量保持不變。

4(5)剛體的角動(dòng)量及角動(dòng)量守恒定律剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量角動(dòng)對(duì)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的公式及計(jì)算要采用對(duì)應(yīng)的方法來幫助理解和記憶，即剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量跟平動(dòng)的物理量相對(duì)應(yīng)：5對(duì)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的公式及計(jì)算要采用對(duì)應(yīng)的方法來幫助理解和記憶，1.半徑為20cm的主動(dòng)輪，通過皮帶拖動(dòng)半徑為50cm的被動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)，皮帶與輪之間無相對(duì)滑動(dòng)，主動(dòng)輪從靜止開始作勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)，在4s內(nèi)被動(dòng)輪的角速度達(dá)到8rad·s-1，則主動(dòng)輪在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過了————圈。R1，主R2，被因?yàn)檩喿鲃蚪羌铀俎D(zhuǎn)動(dòng)，有61.半徑為20cm的主動(dòng)輪，通過皮帶拖動(dòng)半徑為50c2.一輕繩跨過一具有水平光滑軸、質(zhì)量為M的定滑輪，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體(m1＜m2)，如圖所示．繩與輪之間無相對(duì)滑動(dòng)．若某時(shí)刻滑輪沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，則繩中的張力(A)處處相等．(B)左邊大于右邊．(C)右邊大于左邊．(D)哪邊大無法判斷．[]C繼續(xù)分析滑輪，設(shè)角加速度

方向如圖，則設(shè)加速度a方向如圖

聯(lián)立解出：與原假設(shè)方向相反應(yīng)該是：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理：M=I

合外力矩的方向應(yīng)該也是，72.一輕繩跨過一具有水平光滑軸、質(zhì)量為M的定滑輪，繩的兩3.如圖所示，A、B為兩個(gè)相同的繞著輕繩的定滑輪．A滑輪掛一質(zhì)量為M的物體，B滑輪受拉力F，而且F＝Mg．設(shè)A、B兩滑輪的角加速度分別為bA和bB，不計(jì)滑輪軸的摩擦，則有(A)bA＝bB．(B)bA＞bB．(C)bA＜bB．(D)開始時(shí)bA＝bB，以后bA＜bB．

[]C83.如圖所示，A、B為兩個(gè)相同的繞著輕繩的定滑輪．A滑輪4.一質(zhì)量均勻分布的圓盤，質(zhì)量為M，半徑為R，放在一粗糙水平面上(圓盤與水平面之間的摩擦系數(shù)為

)，圓盤可繞通過其中心O的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)．則盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受的摩擦力矩的大小為————。

RO解：設(shè)

為圓盤單位面積的質(zhì)量，取所圖所示圓環(huán)，求該圓環(huán)所受水平面的摩擦力矩的大小。若該圓盤繞通過其中心且垂直板面的固定軸以角速度

0開始旋轉(zhuǎn)，它將在旋轉(zhuǎn)幾圈后停止？

根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理，得角加速度因?yàn)楸P作勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)，有94.一質(zhì)量均勻分布的圓盤，質(zhì)量為M，半徑為R，放在一粗糙水5.一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I的圓盤繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，起初角速度為w0．設(shè)它所受阻力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度成正比，即M＝－kw(k為正的常數(shù))，求圓盤的角速度從w0變?yōu)閣0/2時(shí)所需的時(shí)間．解：6.光滑的水平桌面上有長為2l、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞通過其中點(diǎn)O且垂直于桌面的豎直固定軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為ml2/3，起初桿靜止。有一質(zhì)量為m的小球在桌面上正對(duì)著桿的一端，在垂直于桿長的方向上，以速率v運(yùn)動(dòng)，如圖所示．當(dāng)小球與桿端發(fā)生碰撞后，就與桿粘在一起隨桿轉(zhuǎn)動(dòng)．則這一系統(tǒng)碰撞后的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度是_______.

解：角動(dòng)量守恒105.一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I的圓盤繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，起初角速度為w0．7.空心圓環(huán)可繞光滑的豎直固定軸AC自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I0，環(huán)的半徑為R，初始時(shí)環(huán)的角速度為w0．質(zhì)量為m的小球靜止在環(huán)內(nèi)最高處A點(diǎn)，由于某種微小干擾，小球沿環(huán)向下滑動(dòng)，問小球滑到與環(huán)心O在同一高度的B點(diǎn)和環(huán)的最低處的C點(diǎn)時(shí)，環(huán)的角速度及小球相對(duì)于環(huán)的速度各為多大?(設(shè)環(huán)的內(nèi)壁和小球都是光滑的，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，環(huán)截面半徑r<<R.)

解：選小球和環(huán)為系統(tǒng)．運(yùn)動(dòng)過程中所受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒．對(duì)地球、小球和環(huán)組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒．取過環(huán)心的水平面為勢能零點(diǎn)．

小球到B點(diǎn)時(shí)：

式中vB表示小球在B點(diǎn)時(shí)相對(duì)于地面的豎直分速度，也等于它相對(duì)于環(huán)的速度．由式（1）得：

代入式（2）得

當(dāng)小球滑到C點(diǎn)時(shí)，由角動(dòng)量守恒定律，系統(tǒng)的角速度又回復(fù)至w0，又由機(jī)械能守恒定律知，小球在C的動(dòng)能完全由重力勢能轉(zhuǎn)換而來．即：

117.空心圓環(huán)可繞光滑的豎直固定軸AC自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I8.一質(zhì)量為M、長為l

的均勻細(xì)棒，懸在通過其上端O且與棒垂直的水平光滑固定軸上，開始時(shí)自由下垂，如圖所示．現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小泥團(tuán)以與水平方向夾角為a的速度擊在棒長為3/4處,并粘在其上．求：(1)細(xì)棒被擊中后的瞬時(shí)角速度；(2)細(xì)棒擺到最高點(diǎn)時(shí)，細(xì)棒與豎直方向間的夾角q．解：(1)選細(xì)棒、泥團(tuán)為系統(tǒng)．泥團(tuán)擊中后其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

在泥團(tuán)與細(xì)棒碰撞過程中對(duì)軸O的角動(dòng)量守恒

泥團(tuán)碰擊前對(duì)軸O的角動(dòng)量為：128.一質(zhì)量為M、長為l的均勻細(xì)棒，懸在通過其上端O且與棒8.一質(zhì)量為M、長為l

的均勻細(xì)棒，懸在通過其上端O且與棒垂直的水平光滑固定軸上，開始時(shí)自由下垂，如圖所示．現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小泥團(tuán)以與水平方向夾角為a的速度擊在棒長為3/4處,并粘在其上．求：(1)細(xì)棒被擊中后的瞬時(shí)角速度；(2)細(xì)棒擺到最高點(diǎn)時(shí)，細(xì)棒與豎直方向間的夾角q．解：(2)選泥團(tuán)、細(xì)棒和地球?yàn)橄到y(tǒng)，在擺起過程中，機(jī)械能守恒．

138.一質(zhì)量為M、長為l的均勻細(xì)棒，懸在通過其上端O且與棒9.長為l的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞過桿的一端O點(diǎn)的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)靜止于豎直位置．緊挨O點(diǎn)懸一單擺，輕質(zhì)擺線的長度也是l，擺球質(zhì)量為m．若單擺從水平位置由靜止開始自由擺下，且擺球與細(xì)桿作完全彈性碰撞，碰撞后擺球正好靜止．求：(1)細(xì)桿的質(zhì)量．(2)細(xì)桿擺起的最大角度

．解：(1)設(shè)擺球與細(xì)桿碰撞時(shí)速度為v0，碰后細(xì)桿角速度為

，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，得：由于是彈性碰撞，所以單擺的動(dòng)能變?yōu)榧?xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能代入(2)由機(jī)械能守恒式并利用(1)中所求得的關(guān)系可得得對(duì)擺球?qū)?xì)桿149.長為l的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞過桿的一端O點(diǎn)的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)10.一勻質(zhì)細(xì)棒長為2L，質(zhì)量為m，以與棒長方向相垂直的速度v0在光滑水平面內(nèi)平動(dòng)時(shí)，與前方一固定的光滑支點(diǎn)O發(fā)生完全非彈性碰撞。碰撞點(diǎn)位于棒中心的一側(cè)L/2處，如圖所示．求棒在碰撞后的瞬時(shí)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度w．(細(xì)棒繞通過其端點(diǎn)且與其垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為ml

2/3，式中的m和l分別為棒的質(zhì)量和長度．)

解：碰撞前瞬時(shí)，桿對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為或者剛體平動(dòng)作為質(zhì)點(diǎn)，對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為碰撞后瞬時(shí)，桿對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為

因碰撞前后角動(dòng)量守恒，所以

方向：

式中

為桿的線密度．1510.一勻質(zhì)細(xì)棒長為2L，質(zhì)量為m，以與棒長方向相垂直的11.如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，設(shè)兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J＝10kg·m2和J＝20kg·m2．開始時(shí)，A輪轉(zhuǎn)速為600rev/min，B輪靜止．C為摩擦嚙合器，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可忽略不計(jì)．A、B分別與C的左、右兩個(gè)組件相連，當(dāng)C的左右組件嚙合時(shí)，B輪得到加速而A輪減速，直到兩輪的轉(zhuǎn)速相等為止．設(shè)軸光滑，求：(1)兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速n；(2)兩輪各自所受的沖量矩．

解：(1)選擇A、B兩輪為系統(tǒng)，嚙合過程中只有內(nèi)力矩作用，故系統(tǒng)角動(dòng)量守恒

轉(zhuǎn)速(2)A輪受的沖量矩

B輪受的沖量矩

負(fù)號(hào)表示與

A方向相反．方向與

A方向相反．1611.如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，設(shè)兩輪的轉(zhuǎn)12.地球?qū)ψ赞D(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是0.33mR2，其中m是地球的質(zhì)量（5.981024kg），R是地球的半徑（6370km）．求地球的自轉(zhuǎn)動(dòng)能．由于潮汐對(duì)海岸的摩擦作用，地球自轉(zhuǎn)的速度逐漸減小，每百萬年自轉(zhuǎn)周期增加16s．這樣，地球自轉(zhuǎn)動(dòng)能的減小相當(dāng)于摩擦消耗多大的功率？潮汐對(duì)地球的平均力矩多大？

解題：地球的自轉(zhuǎn)動(dòng)能為地球自轉(zhuǎn)動(dòng)能的變化率為即相當(dāng)于摩擦消耗的功率為2.6109kW，由此可以算出，一年內(nèi)潮汐消耗的能量相當(dāng)于我國1999年的發(fā)電量（41018J）的大約20倍．

1712.地球?qū)ψ赞D(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是0.33mR2，其中m是11.地球?qū)ψ赞D(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是0.33mR2，其中m是地球的質(zhì)量（5.981024kg），R是地球的半徑（6370km）．求地球的自轉(zhuǎn)動(dòng)能．由于潮汐對(duì)海岸的摩擦作用，地球自轉(zhuǎn)的速度逐漸減小，每百萬年自轉(zhuǎn)周期增加16s．這樣，地球自轉(zhuǎn)動(dòng)能的減小相當(dāng)于摩擦消耗多大的功率？潮汐對(duì)地球的平均力矩多大？

即相當(dāng)于摩擦消耗的功率為2.6109kW，由此可以算出，一年內(nèi)潮汐消耗的能量相當(dāng)于我國1999年的發(fā)電量（41018J）的大約20倍．

潮汐作用對(duì)地球的平均力矩為本題是把轉(zhuǎn)動(dòng)的知識(shí)用于分析潮汐對(duì)地球的摩擦的簡單應(yīng)用題．1811.地球?qū)ψ赞D(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是0.33mR2，其中m是地研討題2：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它的動(dòng)能的增量只決定于外力對(duì)它做的功而與內(nèi)力的作用無關(guān)。對(duì)于非剛體也是這樣嗎？為什么？參考解答：根據(jù)動(dòng)能定理可知，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能增量不僅決定于外力做的功，還決定于內(nèi)力做的功。由于剛體內(nèi)任意兩質(zhì)量元間的距離固定，或說在運(yùn)動(dòng)過程中兩質(zhì)量元的相對(duì)位移為零，所以每一對(duì)內(nèi)力做功之和都為零。故剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)能的增量就只決定于外力的功而與內(nèi)力的作用無關(guān)了。