2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點(新高考專用)專題5.3平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用【八大題型】特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題5.3平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平面向量數(shù)量積的運算】 4【題型2平面向量的夾角問題】 5【題型3平面向量的模長】 5【題型4平面向量的垂直問題】 5【題型5平面向量的投影】 6【題型6坐標(biāo)法解決向量問題】 6【題型7平面向量的實際應(yīng)用】 7【題型8向量數(shù)量積與解三角形綜合】 81、平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義

(2)了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關(guān)系

(3)掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算(4)能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系(5)會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題2022年新高考全國Ⅱ卷：第4題，5分2023年新高考I卷：第3題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第13題，5分2023年北京卷：第3題，5分2024年新高考I卷：第3題，5分2024年新高考Ⅱ卷：第3題，5分平面向量的數(shù)量積是高考的熱點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，試題往往以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，主要考查向量的數(shù)量積、夾角、模與垂直條件等知識，難度中等，有時會與三角函數(shù)、平面幾何等相結(jié)合命題.學(xué)生在高考一輪復(fù)習(xí)中應(yīng)注意加強訓(xùn)練，要能靈活運用定義法、坐標(biāo)法和基底法解決常見的數(shù)量積有關(guān)問題.【知識點1向量數(shù)量積的性質(zhì)和常用結(jié)論】1．向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律(1)向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則

①==.

②=0.

③當(dāng)與同向時，=；當(dāng)與反向時，=-.

特別地，==或=.

④|a|，當(dāng)且僅當(dāng)向量，共線，即∥時，等號成立.

⑤=.(2)向量數(shù)量積的運算律由向量數(shù)量積的定義，可以發(fā)現(xiàn)下列運算律成立：

對于向量，，和實數(shù)，有

①交換律：=；

②數(shù)乘結(jié)合律：()=()=()；

③分配律：(+)=+.2．向量數(shù)量積的常用結(jié)論(1)=；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)，當(dāng)且僅當(dāng)與同向共線時右邊等號成立，與反向共線時左邊等號成立.

以上結(jié)論可作為公式使用.【知識點2平面向量數(shù)量積的解題方法】1．平面向量數(shù)量積的兩種運算方法(1)基底法：當(dāng)已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計算問題；(2)坐標(biāo)法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解.【知識點3數(shù)量積的兩大應(yīng)用】1．夾角與垂直根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：若，為非零向量，則(夾角公式)，等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度、垂直問題.2．向量的模的求解思路：(1)坐標(biāo)法：當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時，可用模的計算公式；(2)公式法：利用及，把向量的模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算；(3)幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【知識點4向量數(shù)量積綜合應(yīng)用的方法和思想】1．向量數(shù)量積綜合應(yīng)用的三大解題方法(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決.(2)基向量法：適當(dāng)選取一組基底，寫出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來進(jìn)行求解.(3)利用向量運算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)的問題或三角恒等變換問題是常規(guī)的解題思路和方法，以向量為載體考查三角形問題時，要注意正弦定理、余弦定理等知識的應(yīng)用.【知識點5極化恒等式】1．極化恒等式的證明過程與幾何意義(1)平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：.證明：不妨設(shè)，則，，①，②，①②兩式相加得：.(2)極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式平行四邊形模式：.(3)幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的．【方法技巧與總結(jié)】1．平面向量數(shù)量積運算的常用公式(1)；(2).2．有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論(1)若與的夾角為銳角，則>0；若>0，則與的夾角為銳角或0.(2)若與的夾角為鈍角，則<0；若<0，則與的夾角為鈍角或π.3．向量在向量上的投影向量為.【題型1平面向量數(shù)量積的運算】【例1】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）在△ABC中，已知AB=AC=2，BD=2DC，若AD?BC=2，則AB?AC=（

）A．?1 B．1 C．2 D．?2【變式1-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知向量a=(m,2),b=(n,?1)(n>0)，a,c=2π3，aA．32?262 B．?62【變式1-2】（2023·山東日照·一模）已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，P是正六邊形ABCDEF邊上任意一點，則PA?PB的最大值為（A．13 B．12 C．8 D．2【變式1-3】（2024·北京·三模）已知點N在邊長為2的正八邊形A1,A2,?,A8的邊上，點MA．?4?22,22C．?22,4+22【題型2平面向量的夾角問題】【例2】（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知單位向量a，b滿足b?2a+b=2，則A．30° B．60° C．120° D．150°【變式2-1】（2024·江西新余·二模）已知a=3,23，b=?3,λ，若a+A．-1 B．1 C．±1 D．±2【變式2-2】（2024·湖北·二模）已知平面向量a=1?x,?x?3，b=1+x,2，a?b=?4A．π3 B．π4 C．2π3【變式2-3】（2024·河北·模擬預(yù)測）平面四邊形ABCD中，點E?F分別為AD,BC的中點，CD=2AB=8,A．516 B．5564 C．?55【題型3平面向量的模長】【例3】（2024·河北·三模）已知非零向量a，b的夾角為π3，a=?32,1A．1 B．32 C．2 D．【變式3-1】（2024·山東煙臺·三模）已知向量a，b滿足a=4，b在a方向上的投影向量為12a，且b⊥2A．4 B．43 C．16 【變式3-2】（2024·湖南長沙·三模）在平行四邊形ABCD中，AC=2BD=4，點P為該平行四邊形所在平面內(nèi)的任意一點，則|PA|2A．6 B．8 C．10 D．12【變式3-3】（2024·湖南永州·三模）在△ABC中，∠ACB=120°，AC=3，BC=4，DC?A．63?2 B．219?4 C．【題型4平面向量的垂直問題】【例4】（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）已知向量a=(x,3),b=(2,x+5)，若a⊥(aA．2或3 B．?2或?3 C．1或?6 D．?1或6【變式4-1】（2024·遼寧沈陽·二模）已知向量a=(2,4),b=(3,?1)，則“k=2”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式4-2】（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知兩個向量a=(2,?1),b=(3,m)，且(A．±1 B．±2 C．±2 D．【變式4-3】（2023·全國·高考真題）已知向量a=1,1,b=A．λ+μ=1 B．λ+μ=?1C．λμ=1 D．λμ=?1【題型5平面向量的投影】【例5】（2024·浙江紹興·三模）若非零向量a，b滿足a=b=a+b，則A．2b B．32b C．b【變式5-1】（2024·山東青島·二模）已知向量a=?1,2，b=(?3,1)，則a在bA．(?32,12) B．(?【變式5-2】（2024·江蘇·模擬預(yù)測）已知兩個非零向量a、b滿足a+b=a?A．b B．?b C．12b 【變式5-3】（2024·湖北武漢·二模）已知x∈R，向量a=x,2,b=2,?1，且aA．5 B．5 C．1,2 D．2,?1【題型6坐標(biāo)法解決向量問題】【例6】（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知菱形ABCD的邊長為2,∠ABC=60°，動點P在BC邊上（包括端點），則AD?A．0,1 B．?1,2 C．?2,2 D．?1,1【變式6-1】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）如下圖所示，三個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，邊B3C3上有10個不同的點P1，P2，…，P10，記A．18 B．180 C．?18 D．?180【變式6-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖，已知AB是圓O的直徑，C是圓O上一點，AC=CB，點P是線段BC上的動點，且△PAB的面積記為S1，圓O的面積記為S2，當(dāng)PA?A．1π B．2π C．3π【變式6-3】（2024·貴州貴陽·一模）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中．以C為圓心，1為半徑的圓分別交CD,BC于點E,F．當(dāng)點P在劣弧EF上運動時，BP?DP的取值范圍為（A．1?22,?1C．?1,1?2 D．【題型7平面向量的實際應(yīng)用】【例7】（2024·吉林長春·一模）長江流域內(nèi)某地南北兩岸平行，如圖所示已知游船在靜水中的航行速度v1的大小|v1|=10km/h，水流的速度v2的大小|v2|=4km/h，設(shè)v1和vA．?215 B．?25 C．【變式7-1】（2024·浙江溫州·二模）物理學(xué)中，如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段位移，我們就說這個力對物體做了功，功的計算公式：W=F?S（其中W是功，F(xiàn)是力，S是位移）一物體在力F1=2,4和F2A．25 B．5 C．?5 D．?25【變式7-2】（2024·山東濰坊·二模）如圖所示，一個物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住，且處于平衡狀態(tài).已知兩條繩上的拉力分別是F1,F2，且F1,F2【變式7-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，某物體作用于同一點O的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3使物體處于平衡狀態(tài)，已知F1=1N，F(xiàn)2=2N【題型8向量數(shù)量積與解三角形綜合】【例8】（2024·江西·三模）已知鈍角△ABC的面積為3,AB=4,AC=2，則AB·AC的值是（A．?6 B．?27 C．27或?27 【變式8-1】（2024·貴州畢節(jié)·三模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A=2π3，若點D滿足AD?AB=0，且A．12 B．2 C．14【變式8-2】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知AB(1)若λ=1，判斷△ABC的形狀；(2)若λ=12，求【變式8-3】（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，兩射線l1、l2均與直線l垂直，垂足分別為D、E且DE=1.點A在直線l上，點B、(1)若F為線段BC的中點（未畫出），求AF?(2)若△ABC為等邊三角形，求△ABC面積的范圍.一、單選題1．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知向量|a|=3,|a?bA．3 B．2 C．5 D．32．（2024·江西吉安·模擬預(yù)測）若a=1,x,b=2,?2A．2 B．?2 C．?223．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）若a，b是夾角為60°的兩個單位向量，λa+b與2aA．0 B．2 C．?1 D．?24．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知向量a,b滿足a=2,b=3,0,A．16,0 B．13,0 C．5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若平面向量a,b滿足a=2,A．22 B．?22 C．16．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知向量a=(?3,1),A．|b?a|=5C．向量b在向量a上的投影為102 D．若c=7．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）某公園設(shè)計的一個圓形健身區(qū)域如圖所示，其中心部分為一個等邊三角形廣場，分別以等邊三角形的三條邊作為正方形的一條邊構(gòu)造三個正方形區(qū)域用于放置健身器材，其中每個正方形有兩個頂點恰好在圓上．若AB=2a，則BD?CE=A．?4(2+3)a2 B．?2(2+3)8．（2024·四川成都·三模）在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，點E滿足2AE=3EB，在平面ABCD中，動點P滿足PE?PBA．41+4 B．41?6 C．213二、多選題9．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知向量a=1,3，bA．a(chǎn)?b=2 B．a(chǎn)與C．a(chǎn)⊥a+2b D．a(chǎn)10．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測）已知非零向量a≠e，e→=1，對任意t∈R，恒有A．a(chǎn)在e上的投影的數(shù)量為1 B．a(chǎn)C．a(chǎn)⊥a?11．（2024·河北保定·一模）已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列正確的是（

）A．若PA+3PB+2PC=B．若PA+PB+PC=C．若AB?AC>0D．若AP=13AB+2三、填空題12．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知向量a=(?2,k?3)，b=(k,k?2)，且a⊥b13．（2024·上?！つM預(yù)測）已知向量a，b，c滿足a=b=1，c=．14．（2024·天津河西·二模）如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2CD=2AD=2，在等腰直角三角形CDE中，∠C=90°，則向量AE在向量CB上的投影向量的模為；若M，N分別為線段BC，CE上的動點，且AM?AN=52四、解答題15．（2024·天津河北·模擬預(yù)測）已知向量a=3,4，b=(1)若a⊥b，求(2)若c∥a?2b，求向量16．（23-24高一下·北京東城·期中）已知向量a,b的夾角為2π(1)a?(2)a?(3)a與a?17．（2024·湖南邵陽·一模）在△ABC中，內(nèi)角A滿足3sin(1)求角A的大小；(2)若DC=2BD，求18．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知向量m,n滿足m=2a,?6(1)求角A；(2)若△ABC是銳角三角形，且a=3，求△ABC周長的取值范圍．19．（23-24高一下·浙江寧波·期末）在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠DAB=90°，AB=2AD=2DC=4，點F是(1)若點E滿足DE=2EC，且EF=λ(2)若點P是線段AF上的動點（含端點），求AP?專題5.3平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平面向量數(shù)量積的運算】 4【題型2平面向量的夾角問題】 7【題型3平面向量的模長】 8【題型4平面向量的垂直問題】 11【題型5平面向量的投影】 12【題型6坐標(biāo)法解決向量問題】 13【題型7平面向量的實際應(yīng)用】 16【題型8向量數(shù)量積與解三角形綜合】 181、平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義

(2)了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關(guān)系

(3)掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算(4)能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系(5)會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題2022年新高考全國Ⅱ卷：第4題，5分2023年新高考I卷：第3題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第13題，5分2023年北京卷：第3題，5分2024年新高考I卷：第3題，5分2024年新高考Ⅱ卷：第3題，5分平面向量的數(shù)量積是高考的熱點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，試題往往以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，主要考查向量的數(shù)量積、夾角、模與垂直條件等知識，難度中等，有時會與三角函數(shù)、平面幾何等相結(jié)合命題.學(xué)生在高考一輪復(fù)習(xí)中應(yīng)注意加強訓(xùn)練，要能靈活運用定義法、坐標(biāo)法和基底法解決常見的數(shù)量積有關(guān)問題.【知識點1向量數(shù)量積的性質(zhì)和常用結(jié)論】1．向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律(1)向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則

①==.

②=0.

③當(dāng)與同向時，=；當(dāng)與反向時，=-.

特別地，==或=.

④|a|，當(dāng)且僅當(dāng)向量，共線，即∥時，等號成立.

⑤=.(2)向量數(shù)量積的運算律由向量數(shù)量積的定義，可以發(fā)現(xiàn)下列運算律成立：

對于向量，，和實數(shù)，有

①交換律：=；

②數(shù)乘結(jié)合律：()=()=()；

③分配律：(+)=+.2．向量數(shù)量積的常用結(jié)論(1)=；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)，當(dāng)且僅當(dāng)與同向共線時右邊等號成立，與反向共線時左邊等號成立.

以上結(jié)論可作為公式使用.【知識點2平面向量數(shù)量積的解題方法】1．平面向量數(shù)量積的兩種運算方法(1)基底法：當(dāng)已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計算問題；(2)坐標(biāo)法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解.【知識點3數(shù)量積的兩大應(yīng)用】1．夾角與垂直根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：若，為非零向量，則(夾角公式)，等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度、垂直問題.2．向量的模的求解思路：(1)坐標(biāo)法：當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時，可用模的計算公式；(2)公式法：利用及，把向量的模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算；(3)幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【知識點4向量數(shù)量積綜合應(yīng)用的方法和思想】1．向量數(shù)量積綜合應(yīng)用的三大解題方法(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決.(2)基向量法：適當(dāng)選取一組基底，寫出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來進(jìn)行求解.(3)利用向量運算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)的問題或三角恒等變換問題是常規(guī)的解題思路和方法，以向量為載體考查三角形問題時，要注意正弦定理、余弦定理等知識的應(yīng)用.【知識點5極化恒等式】1．極化恒等式的證明過程與幾何意義(1)平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：.證明：不妨設(shè)，則，，①，②，①②兩式相加得：.(2)極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式平行四邊形模式：.(3)幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的．【方法技巧與總結(jié)】1．平面向量數(shù)量積運算的常用公式(1)；(2).2．有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論(1)若與的夾角為銳角，則>0；若>0，則與的夾角為銳角或0.(2)若與的夾角為鈍角，則<0；若<0，則與的夾角為鈍角或π.3．向量在向量上的投影向量為.【題型1平面向量數(shù)量積的運算】【例1】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）在△ABC中，已知AB=AC=2，BD=2DC，若AD?BC=2A．?1 B．1 C．2 D．?2【解題思路】將AD和BC轉(zhuǎn)化成AB和AC來表示，再結(jié)合AD?BC=2【解答過程】由題意D為BC邊靠近C點的三等分點，所以AD=所以AD=4

故cos∠BAC=?12所以∠BAC=2π所以AB?故選：D.【變式1-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知向量a=(m,2),b=(n,?1)(n>0)，a,c=2π3，aA．32?262 B．?62【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到mn=2，再確定b,c，由b?c=【解答過程】因為a?b=0，所以a,b又b?c=32所以b?c=又n>0，所以n=1，則m=2，所以a=2,2，則所以a=22故選：A.【變式1-2】（2023·山東日照·一模）已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，P是正六邊形ABCDEF邊上任意一點，則PA?PB的最大值為（A．13 B．12 C．8 D．2【解題思路】以正六邊形ABCDEF中心O為原點建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示研究最值.【解答過程】以正六邊形ABCDEF中心O為原點建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，AB、DE交y軸于G、H，則C2,0設(shè)Px,y，PA=?1?x,?（1）當(dāng)P在EH上時，則x∈?1,0，y=3，則（2）當(dāng)P在AG上時，則x∈?1,0，y=?3，則（3）當(dāng)P在EF上時，則lEF：y=3x+2，x∈（4）當(dāng)P在AF上時，則lAF：y=?3x+2，x∈綜上，所求最大值為12.故選：B.【變式1-3】（2024·北京·三模）已知點N在邊長為2的正八邊形A1,A2,?,A8的邊上，點MA．?4?22,22C．?22,4+22【解題思路】以A1為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點M、N的坐標(biāo)，計算A【解答過程】以A1為原點，A1A2為x軸，設(shè)Nx1,所以A1由于正八邊形的每個外角都為π4則x2所以A1故選：C.【題型2平面向量的夾角問題】【例2】（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知單位向量a，b滿足b?2a+b=2，則A．30° B．60° C．120° D．150°【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的運算律求出a?【解答過程】因為b?2a+b設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ=a?ba即a與b的夾角等于60°.故選：B.【變式2-1】（2024·江西新余·二模）已知a=3,23，b=?3,λ，若a+A．-1 B．1 C．±1 D．±2【解題思路】利用向量積的運算律計算a+b?b，再利用向量數(shù)量積的定義計算【解答過程】因為a=3,2所以a?a+a+因為a+又a+所以λ2解得λ=1或λ=?1，因為23+λ≠0，所以解得?23所以λ=?1.故選：A.【變式2-2】（2024·湖北·二模）已知平面向量a=1?x,?x?3，b=1+x,2，a?b=?4A．π3 B．π4 C．2π3【解題思路】根據(jù)題意，由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得x=【解答過程】a?b=∴cos∵?a+2b故選：B.【變式2-3】（2024·河北·模擬預(yù)測）平面四邊形ABCD中，點E?F分別為AD,BC的中點，CD=2AB=8,A．516 B．5564 C．?55【解題思路】由向量的加法法則可得2FE=CD【解答過程】因為平面四邊形ABCD中，點E?F分別為所以FE=所以2FE由CD=2AB=8兩邊同時平方可得：4FE所以4×25=CD解得：DC?AB=10故選：A.【題型3平面向量的模長】【例3】（2024·河北·三模）已知非零向量a，b的夾角為π3，a=?32,1A．1 B．32 C．2 D．【解題思路】分析可知a=1，向量a，a?b的夾角為π【解答過程】因為a=?3且非零向量a，b的夾角為π3，a?b=1，可知向量a，則a?所以a+故選：D.【變式3-1】（2024·山東煙臺·三模）已知向量a，b滿足a=4，b在a方向上的投影向量為12a，且b⊥2A．4 B．43 C．16 【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合投影向量可得a?b=8【解答過程】由題意可知：a=4，即a因為b在a方向上的投影向量為a?ba又因為b⊥2a?b則a+b2故選：B.【變式3-2】（2024·湖南長沙·三模）在平行四邊形ABCD中，AC=2BD=4，點P為該平行四邊形所在平面內(nèi)的任意一點，則|PA|2A．6 B．8 C．10 D．12【解題思路】設(shè)AC與BD的交點為O，由PA=PO+OA，兩邊平方可表示出【解答過程】設(shè)AC與BD的交點為O，由PA=得|PA同理可得|PB|PC|PD所以|4|=4|PO|2+10≥10，當(dāng)點故選：C.【變式3-3】（2024·湖南永州·三模）在△ABC中，∠ACB=120°，AC=3，BC=4，DC?A．63?2 B．219?4 C．【解題思路】以C為坐標(biāo)原點，CB所在直線為x軸，過C垂直BC的直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求得點D的軌跡方程，取BD的中點為M，求得M的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合可求|AB【解答過程】由題意，以C為坐標(biāo)原點，CB所在直線為x軸，過C垂直CB的直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(?32,332)，B(4,0)所以D的軌跡方程為(x?2)2取BD的中點為M，設(shè)M(x,y),D(x可得x=x0+42y=所以點M的軌跡方程為(x?3)2+y2=1由AB+AD=2AM，所以所以|AM所以|AB故選：A.【題型4平面向量的垂直問題】【例4】（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）已知向量a=(x,3),b=(2,x+5)，若a⊥(aA．2或3 B．?2或?3 C．1或?6 D．?1或6【解題思路】計算出a?【解答過程】由題意，向量a=(x,3),b=(2,x+5)因為a⊥(a?b)，則x(x?2)+3(?2?x)=0故選：D.【變式4-1】（2024·遼寧沈陽·二模）已知向量a=(2,4),b=(3,?1)，則“k=2”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】先計算a?+k【解答過程】因為a=(2,4)，b所以a?+kb當(dāng)a?a?+解得k=±所以“k=2”是a故選：A.【變式4-2】（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知兩個向量a=(2,?1),b=(3,m)，且(A．±1 B．±2 C．±2 D．【解題思路】利用垂直關(guān)系的向量表示，結(jié)合模的坐標(biāo)表示求解即得.【解答過程】由(a+b)⊥(a?b因此22+(?1)故選：B.【變式4-3】（2023·全國·高考真題）已知向量a=1,1,b=A．λ+μ=1 B．λ+μ=?1C．λμ=1 D．λμ=?1【解題思路】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求出a+λb，【解答過程】因為a=1,1,b=由a+λb⊥即1+λ1+μ+1?λ故選：D．【題型5平面向量的投影】【例5】（2024·浙江紹興·三模）若非零向量a，b滿足a=b=a+b，則A．2b B．32b C．b【解題思路】利用向量的模長關(guān)系可得a?【解答過程】根據(jù)題意a=b=所以，則所以a?則a+2b在b方向上的投影向量為故選：B.【變式5-1】（2024·山東青島·二模）已知向量a=?1,2，b=(?3,1)，則a在bA．(?32,12) B．(?【解題思路】利用投影向量的定義直接求解即可.【解答過程】依題意，a?所以a在b上的投影向量為a?故選：A.【變式5-2】（2024·江蘇·模擬預(yù)測）已知兩個非零向量a、b滿足a+b=a?A．b B．?b C．12b 【解題思路】由a+b=【解答過程】由a+b=即a2+2a所以a?b在b方向上的投影向量為故選：B.【變式5-3】（2024·湖北武漢·二模）已知x∈R，向量a=x,2,b=2,?1，且aA．5 B．5 C．1,2 D．2,?1【解題思路】借助向量垂直可得x=1，結(jié)合投影向量定義計算即可得解.【解答過程】由a⊥b，則有a?則a+b=故選：C.【題型6坐標(biāo)法解決向量問題】【例6】（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知菱形ABCD的邊長為2,∠ABC=60°，動點P在BC邊上（包括端點），則AD?A．0,1 B．?1,2 C．?2,2 D．?1,1【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量積的坐標(biāo)計算將目標(biāo)式化簡，求出取值范圍即可.【解答過程】如圖，作Cy⊥CB，以C為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，易知C(0,0)，A(1,3)，設(shè)P(x,0)，且x∈0,2，故AD=(?2,0)，故AD??AP?=?2故選：C.【變式6-1】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）如下圖所示，三個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，邊B3C3上有10個不同的點P1，P2，…，P10，記A．18 B．180 C．?18 D．?180【解題思路】建立坐標(biāo)系，求出直線B3【解答過程】以A為坐標(biāo)原點，AC1所在直線為則B1(1,3)，B2(3,3)，設(shè)Pi(xi,yi)，則Mi所以M1故選：B.【變式6-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖，已知AB是圓O的直徑，C是圓O上一點，AC=CB，點P是線段BC上的動點，且△PAB的面積記為S1，圓O的面積記為S2，當(dāng)PA?A．1π B．2π C．3π【解題思路】以O(shè)為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算分析可知點P與點C重合時，PA?【解答過程】由題意可知：OC⊥AB，以O(shè)為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)OC=2，則A?2,0可知直線BC對應(yīng)的一次函數(shù)解析式為y=2?x，可設(shè)Pa,2?a可得PA=則PA?PB=因為y=2a?12?2且0≤a<2，可知當(dāng)a=0時，即點P與點C重合時，PA?此時S1=12×2×4=4故選：A.【變式6-3】（2024·貴州貴陽·一模）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中．以C為圓心，1為半徑的圓分別交CD,BC于點E,F．當(dāng)點P在劣弧EF上運動時，BP?DP的取值范圍為（A．1?22,?1C．?1,1?2 D．【解題思路】根據(jù)給定條件，建立坐標(biāo)系，設(shè)出點P的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示建立函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)的值域即可.【解答過程】依題意，以點C為原點，直線DC,BC分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)點P(cosθ,sin則BP=(因此BP?由?π≤θ≤?π2，得因此1?22所以BP?DP的取值范圍為故選：B.【題型7平面向量的實際應(yīng)用】【例7】（2024·吉林長春·一模）長江流域內(nèi)某地南北兩岸平行，如圖所示已知游船在靜水中的航行速度v1的大小|v1|=10km/h，水流的速度v2的大小|v2|=4km/h，設(shè)v1和vA．?215 B．?25 C．【解題思路】由題意知v1【解答過程】由題意知v1+v2?v2故選：B．【變式7-1】（2024·浙江溫州·二模）物理學(xué)中，如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段位移，我們就說這個力對物體做了功，功的計算公式：W=F?S（其中W是功，F(xiàn)是力，S是位移）一物體在力F1=2,4和F2A．25 B．5 C．?5 D．?25【解題思路】利用條件，先求出兩個力的合力F1+F【解答過程】因為F1=2,4，F(xiàn)2=?5,3，所以F1+F故選：A.【變式7-2】（2024·山東濰坊·二模）如圖所示，一個物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住，且處于平衡狀態(tài).已知兩條繩上的拉力分別是F1,F2，且F1,F2與水平夾角均為45°【解題思路】根據(jù)力的平衡有|G|=|F【解答過程】由題意知|G|=|F1+所以|G所以|G所以|G故答案為:20.【變式7-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，某物體作用于同一點O的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3使物體處于平衡狀態(tài)，已知F1=1N，F(xiàn)2=2N，F(xiàn)【解題思路】根據(jù)三力平衡得到F1→+【解答過程】由題意知三力平衡得F1→+兩邊同平方得F1→2即12+2×1×2×?故答案為：3N【題型8向量數(shù)量積與解三角形綜合】【例8】（2024·江西·三模）已知鈍角△ABC的面積為3,AB=4,AC=2，則AB·AC的值是（A．?6 B．?27 C．27或?27 【解題思路】根據(jù)題設(shè)求得sinA=34，依題分角A【解答過程】依題意，12×2×4sin若角A為鈍角，則cosA=?由余弦定理，BC此時，AB·若角C為鈍角，則cosA=由余弦定理，BC此時BC2+A此時AB·故選：C.【變式8-1】（2024·貴州畢節(jié)·三模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A=2π3，若點D滿足AD?AB=0，且A．12 B．2 C．14【解題思路】由AD=45AC+【解答過程】由AD=45故4(AD?AC)=AB設(shè)S△ACD,SABD的高為

由AD?AB=0得，AD⊥AB而A=2π3，故∠CAD=故S△ACDS△ABD故選：A.【變式8-2】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知AB(1)若λ=1，判斷△ABC的形狀；(2)若λ=12，求【解題思路】（1）利用平面向量數(shù)量積的定義和余弦定理化簡已知，可得解；（2）根據(jù)（1）可得b2?a【解答過程】（1）根據(jù)題意，AB?即AB?所以bcb化簡得b2當(dāng)λ=1時，得b2=c（2）當(dāng)λ=12時，根據(jù)（1），有根據(jù)正弦定理，有sin2即sinB?根據(jù)和差化積公式，得2sin即2sinB?A=所以3tan設(shè)tanA=t,則所以tanB?A當(dāng)且僅當(dāng)1t=3t，即即當(dāng)A=π6,B=π3【變式8-3】（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，兩射線l1、l2均與直線l垂直，垂足分別為D、E且DE=1.點A在直線l上，點B、(1)若F為線段BC的中點（未畫出），求AF?(2)若△ABC為等邊三角形，求△ABC面積的范圍.【解題思路】（1）建立坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)運算結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到所求最小值；（2）設(shè)正三角形ABC的邊長為a，設(shè)BA,DE=θ則DE,AC=2π3?θ,DE=1，利用向量的投影向量關(guān)系BA在DE上的投影向量為DA,AC在DE上的投影向量為AE,DE=【解答過程】（1）以D為坐標(biāo)原點建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy,

由已知可得F點的坐標(biāo)為12，設(shè)A則AF=∴AF?當(dāng)且僅當(dāng)y=14時，AF?（2）設(shè)正三角形ABC的邊長為a，對于直線l上任意一點A，對于不同的情況如圖所示：

設(shè)BA,DE=θ，則θ∈0,2πBA在DE上的投影向量為DA,AC在DE上的投影向量為AE,DE=DA+AE=BA∴acosθ?π又∵θ?π3∈?π△ABC面積S=12a一、單選題1．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知向量|a|=3,|a?bA．3 B．2 C．5 D．3【解題思路】對|a?b|=|a【解答過程】由|a?b所以b2所以|a+b所以|a故選：D.2．（2024·江西吉安·模擬預(yù)測）若a=1,x,b=2,?2A．2 B．?2 C．?22【解題思路】由題設(shè)可得a?b=0【解答過程】a+b=a?b兩邊平方得故選:D.3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）若a，b是夾角為60°的兩個單位向量，λa+b與2aA．0 B．2 C．?1 D．?2【解題思路】由數(shù)量積的定義可求出a?【解答過程】解：a，b是夾角為60°則a=b=1因為λa+b則λa即2λ?1+2?λ×1故選：A.4．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知向量a,b滿足a=2,b=3,0,A．16,0 B．13,0 C．【解題思路】將a?b=【解答過程】因為a=2,b=3所以a?b2所以向量a在向量b方向上的投影向量為a?故選：C.5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若平面向量a,b滿足a=2,A．22 B．?22 C．1【解題思路】根據(jù)已知條件，將a+【解答過程】設(shè)向量a,b夾角為a+b=又a=即2+1+2×2×1×cos故選：A.6．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知向量a=(?3,1),A．|b?a|=5C．向量b在向量a上的投影為102 D．若c=【解題思路】由條件根據(jù)向量線性運算坐標(biāo)公式求b?a，再由向量的模的坐標(biāo)表示計算|b?a|，判斷A，根據(jù)定義單位向量定義和向量的線性運算坐標(biāo)公式求【解答過程】對于A：由a=(?3,1),b=(2,1)可得，b對于B：因為a=(?3,1)，所以a所以a方向上的單位向量為aa對于C,向量b在向量a上的投影為bcos對于D：b?c=(2,1)?故選：D.7．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）某公園設(shè)計的一個圓形健身區(qū)域如圖所示，其中心部分為一個等邊三角形廣場，分別以等邊三角形的三條邊作為正方形的一條邊構(gòu)造三個正方形區(qū)域用于放置健身器材，其中每個正方形有兩個頂點恰好在圓上．若AB=2a，則BD?CE=A．?4(2+3)a2 B．?2(2+3)【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法計算數(shù)量積.【解答過程】如圖，以B為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，則B0,0，E0,?2a，又∠BCD=60°+90°=150°，所以∠DCx=30°，則D2a+所以BD=2a+3所以BD?故選：C.8．（2024·四川成都·三模）在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，點E滿足2AE=3EB，在平面ABCD中，動點P滿足PE?PBA．41+4 B．41?6 C．213【解題思路】建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算即可結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【解答過程】以O(shè)為坐標(biāo)原點（O是BE中點），建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，因為在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，2AE=3EB所以動點P在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上運動，故設(shè)Pcos則A0,4DP?其中銳角φ滿足tanφ=54，故DP故選：A.二、多選題9．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知向量a=1,3，bA．a(chǎn)?b=2 B．a(chǎn)與C．a(chǎn)⊥a+2b D．a(chǎn)【解題思路】利用向量的坐標(biāo)運算即可，其中a+b在b上的投影向量公式為【解答過程】對于A，由向量a=1,3，b對于B，由向量的夾角公式得：，所以a與b的夾角為2π3對于C，由a+2b=1,3對于D，由a+b=1,3a+故選：CD.10．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測）已知非零向量a≠e，e→=1，對任意t∈R，恒有A．a(chǎn)在e上的投影的數(shù)量為1 B．a(chǎn)C．a(chǎn)⊥a?【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的運算律求得a?【解答過程】由|a?te又e=1，令a?e=m則上式等價于故Δ=4m2?42m?1≤0，解得對A：由a?e=a?ecosa?對B：a+e2∴a+e對C：a?a?對D：e?a?故選：ABD.11．（2024·河北保定·一模）已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列正確的是（

）A．若PA+3PB+2PC=B．若PA+PB+PC=C．若AB?AC>0D．若AP=13AB+2【解題思路】設(shè)AB中點為D，BC中點為E，由PA+3PB+2設(shè)AB中點為D，由PA+PB+由AB?AC>0知A根據(jù)平面向量基本定理可知BP=23【解答過程】對于A，設(shè)AB中點為D，BC中點為E，∵PA+3PB∴2PD=?4PE，即PD又DE為△ABC的中位線，∴點P在△ABC的中位線上，A正確；對于B，設(shè)AB中點為D，由PA+PB+又PA+PB=2PD，∴CP=2PD∴P為△ABC的重心，B正確；對于C，∵AB?AC>0，∴AB與AC夾角為銳角，即A對于D，∵AP=13AB+23AC∴S故選：ABD.三、填空題12．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知向量a=(?2,k?3)，b=(k,k?2)，且a⊥b，則k=1【解題思路】依題意a?【解答過程】因為a=(?2,k?3)，b=(k,k?2)，且所以a?b=?2k+k?3k?2故答案為：1或6.13．（2024·上海·模擬預(yù)測）已知向量a，b，c滿足a=b=1，c=45【解題思路】根據(jù)已知條件依次求出a·b=0、a·c=?1、