2023年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（全國(guó)通用）：等腰三角形與直角三角形（共26道）（解析版）

專題16等腰三角形與直角三角形（共26道）一、單選題1．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的中點(diǎn)．若點(diǎn)在邊上，且，則的長(zhǎng)為（

）

A．1 B．2 C．1或 D．1或2【答案】D【分析】根據(jù)題意易得，然后根據(jù)題意可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，∴，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，①當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，如圖，

∴，②當(dāng)點(diǎn)E為的四等分點(diǎn)時(shí)，如圖所示：

∴，綜上所述：或2；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線，熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線是解題的關(guān)鍵．2．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，以B為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓弧過與的交點(diǎn)G，連接．若，，則（

）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】C【分析】利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得，在中，利用勾股定理即可求解.【詳解】解：∵矩形中，∴，∵F為的中點(diǎn)，，∴，在中，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，掌握“直角三角形斜邊中線的長(zhǎng)等于斜邊的一半”是解題的關(guān)鍵.3．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C在同一條線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間，點(diǎn)D，E在直線AC同側(cè)，，，，連接DE，設(shè)，，，給出下面三個(gè)結(jié)論：①；②；③；

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】如圖，過作于，則四邊形是矩形，則，由，可得，進(jìn)而可判斷①的正誤；由，可得，，，，則，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，進(jìn)而可判斷②的正誤；由勾股定理得，即，則，進(jìn)而可判斷③的正誤．【詳解】解：如圖，過作于，則四邊形是矩形，

∴，∵，∴，①正確，故符合要求；∵，∴，，，，∵，∴，，∴是等腰直角三角形，由勾股定理得，，∵，∴，②正確，故符合要求；由勾股定理得，即，∴，③正確，故符合要求；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．4．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖中，，為中點(diǎn)，若點(diǎn)為直線下方一點(diǎn)，且與相似，則下列結(jié)論：①若，與相交于，則點(diǎn)不一定是的重心；②若，則的最大值為；③若，則的長(zhǎng)為；④若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值．其中正確的為（

）

A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】①有3種情況，分別畫出圖形，得出的重心，即可求解；當(dāng)，時(shí)，取得最大值，進(jìn)而根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合勾股定理，求得的長(zhǎng)，即可求解；③如圖5，若，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，，，進(jìn)而求得，即可求解；④如圖6，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，在中，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求取得最大值時(shí)，．【詳解】①有3種情況，如圖，和都是中線，點(diǎn)是重心；如圖，四邊形是平行四邊形，是中點(diǎn)，點(diǎn)是重心；如圖，點(diǎn)不是中點(diǎn)，所以點(diǎn)不是重心；①正確

②當(dāng)，如圖時(shí)最大，，，，，，，②錯(cuò)誤；

③如圖5，若，，∴，，，，，，，∴，，，∴，，∴，∴③錯(cuò)誤；④如圖6，，∴，即，在中，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，最大為5，∴④正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的定義，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，畫出圖形是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，以為腰作等腰直角三角形，頂點(diǎn)恰好落在邊上，若，則的長(zhǎng)是（

）

A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，，再判斷出點(diǎn)四點(diǎn)共圓，在以為直徑的圓上，連接，根據(jù)圓周角定理可得，，然后根據(jù)相似三角形的判定可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：是以為腰的等腰直角三角形，，，，，，，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，在以為直徑的圓上，如圖，連接，

由圓周角定理得：，，，，，在和中，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確判斷出點(diǎn)四點(diǎn)共圓，在以為直徑的圓上是解題關(guān)鍵．6．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連結(jié)，交于點(diǎn)K，過點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，連結(jié)．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可由定理證，即可判定是等腰直角三角形，進(jìn)而可得，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得；由此即可判斷①正確；再根據(jù)，可判斷③正確，進(jìn)而證明，可得，結(jié)合，即可得出結(jié)論④正確，由隨著長(zhǎng)度變化而變化，不固定，可判斷②不一定成立．【詳解】解：∵正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，，∵，∴，∵，∴，∴，故①正確；

又∵,,∴,∴，∵，即：，∴，∴，故③正確，又∵，∴，∴，又∵，∴，故④正確，∵若，則，又∵，∴，而點(diǎn)E是上一動(dòng)點(diǎn)，隨著長(zhǎng)度變化而變化，不固定，而，則故不一定成立，故②錯(cuò)誤；綜上，正確的有①③④共3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合，涉及了正方形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形＂三線合一＂的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）七巧板是我國(guó)民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學(xué)用邊長(zhǎng)為的正方形紙板制作了一副七巧板（如圖），由5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為__________．

【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，以及七巧板的特點(diǎn)，求得的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，

依題意，，∴圖中陰影部分的面積為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，七巧板，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形的外側(cè)，作等腰三角形，．

（1）的面積為________；（2）若F為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與相交于點(diǎn)G，則的長(zhǎng)為________．【答案】3【分析】（1）過點(diǎn)E作，根據(jù)正方形和等腰三角形的性質(zhì)，得到的長(zhǎng)，再利用勾股定理，求出的長(zhǎng)，即可得到的面積；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，利用正方形和平行線的性質(zhì)，證明，得到的長(zhǎng)，進(jìn)而得到的長(zhǎng)，再證明，得到，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，最后利用勾股定理，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）過點(diǎn)E作，

正方形的邊長(zhǎng)為3，，是等腰三角形，，，，在中，，,故答案為：3；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，正方形的邊長(zhǎng)為3，，，，，，，，F(xiàn)為的中點(diǎn)，，在和中，，，，由（1）可知，，，，，，，，在中，，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題關(guān)鍵．9．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）矩形中，M為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊上，且．當(dāng)以點(diǎn)D，M，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為______．【答案】2或【分析】分兩種情況：當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，分別進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，

∵四邊形矩形，∴，則，由平行線分線段成比例可得：，又∵M(jìn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，∴，∴，即：，∴，當(dāng)時(shí)，

∵M(jìn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，∴為的垂直平分線，∴，∵四邊形矩形，∴，則，∴∴，綜上，的長(zhǎng)為2或，故答案為：2或．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，垂直平分線的判定及性質(zhì)等，畫出草圖進(jìn)行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．10．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)在內(nèi)，，連接交于點(diǎn)交于點(diǎn)，連接．給出下面四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________．【答案】①③④【分析】由題意易得，，，，則可證，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵和都是等腰直角三角形，∴，，，，∵，，∴，故①正確；∴，∴，，故③正確；∵，，，∴，；故②錯(cuò)誤；∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，故④正確；故答案為①③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．11．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)在邊上，若，，則_________．

【答案】【分析】過點(diǎn)A作于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再由，可得，再根據(jù)，可得，從而可得，利用銳角三角函數(shù)求得，再由，求得，即可求得結(jié)果．【詳解】解：過點(diǎn)A作于H，∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．12．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，，點(diǎn)P在對(duì)角線上，過點(diǎn)P作，交邊于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)E，連接．下列結(jié)論：①；②四邊形的面積不變；③當(dāng)時(shí)，；④的最小值是20．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．

【答案】②③④【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一可知，可以判斷①；利用相似和勾股定理可以得出，，，利用判斷②；根據(jù)相似可以得到，判斷③；利用將軍飲馬問題求出最小值判斷④．【詳解】解：∵，，∴，在點(diǎn)P移動(dòng)過程中，不一定，相矛盾，故①不正確；

延長(zhǎng)交于點(diǎn)P,則為矩形，∴∵，，∴∴，∴，∴，即，解得：，∴故②正確；∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故③正確，，即當(dāng)?shù)淖钚≈?，作B、D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),把圖中的向上平移到圖2位置，使得，連接，即為的最小值，則，,這時(shí)，即的最小值是20，故④正確；故答案為：②③④

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，以的邊、為腰分別向外作等腰直角、，連結(jié)、、，過點(diǎn)的直線分別交線段、于點(diǎn)、，以下說法：①當(dāng)時(shí)，；②；③若，，，則；④當(dāng)直線時(shí)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．正確的有_________．(填序號(hào))

【答案】①②④【分析】①當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，根據(jù)等角對(duì)等邊，以及三角形的內(nèi)角和定理即可得出，進(jìn)而判斷①；證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷②；作直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，，，即可得是的中點(diǎn)，故④正確，證明，可得，在中，，在中，，得出，在中，勾股定理即可求解．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，∴∴∵等腰直角、，∴∴∴；故①正確；②∵等腰直角、，∴，∴∴∴；故②正確；④如圖所示，作直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，∴，又，∴又∵，∴同理得，，∴，，，∵，，，∴，∴，即是的中點(diǎn)，故④正確，∴，設(shè)，則在中，在中，∴∴解得：∴，∴，∴∴在中，∴,故③錯(cuò)誤故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．14．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、點(diǎn)A，直線與交于點(diǎn)D．與y軸交于點(diǎn)E．動(dòng)點(diǎn)M在線段上，動(dòng)點(diǎn)N在直線上，若是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為________

【答案】或【分析】如圖，由是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，可得在以為直徑的圓上，，可得是圓與直線的交點(diǎn)，當(dāng)重合時(shí)，符合題意，可得，當(dāng)N在的上方時(shí)，如圖，過作軸于，延長(zhǎng)交于，則，，證明，設(shè)，可得，，而，則，再解方程可得答案．【詳解】解：如圖，∵是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴在以為直徑的圓上，，∴是圓與直線的交點(diǎn)，

當(dāng)重合時(shí)，∵，則，∴，符合題意，∴，當(dāng)N在的上方時(shí)，如圖，過作軸于，延長(zhǎng)交于，則，，∴，

∵，，∴，∴，∴，設(shè)，∴，，而，∴，解得：，則，∴，∴；綜上：或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，本題屬于填空題里面的壓軸題，難度較大，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．15．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，．過點(diǎn)作，延長(zhǎng)到，使，連接．若，則________________．（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】/【分析】如圖，過作于，設(shè)，可得，證明，，為等腰直角三角形，，，由勾股定理可得：，再解方程組可得答案．【詳解】解：如圖，過作于，

設(shè)，∵，，∴，∵，∴，，為等腰直角三角形，∴，∴，由勾股定理可得：，整理得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意；∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．16．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，對(duì)角線相交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為__________．

【答案】/【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)E，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理求出，證明，得出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，證明，得出，求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)，得出，即，求出結(jié)果即可．【詳解】解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)E，如圖所示：

則，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∵，∴，即，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握平行線分線段成比例定理及相似三角形的判定與性質(zhì)．17．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）在某次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形硬紙片剪切成如圖所示的四塊（其中D，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，G，H分別為，的中點(diǎn)），小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四邊形中周長(zhǎng)的最小值為____________，最大值為___________________．

【答案】8【分析】根據(jù)題意，可固定四邊形，平移或旋轉(zhuǎn)其它圖形，組合成四邊形，求出周長(zhǎng)，判斷最小值，最大值．【詳解】

如圖1，，，∴四邊形周長(zhǎng)=；

如圖2，∴四邊形周長(zhǎng)為；故答案為：最小值為8，最大值.【點(diǎn)睛】本題考查圖形變換及勾股定理，通過平移、旋轉(zhuǎn)組成滿足要求的四邊形是解題的關(guān)鍵．三、解答題18．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在中、，于點(diǎn)M，D是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，求證：D是的中點(diǎn)；(2)如圖2，若在線段上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿足，連接，，直接寫出的大小，并證明．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，利用三角形外角的性質(zhì)求出，可得，等量代換得到即可；（2）延長(zhǎng)到H使，連接，，可得是的中位線，然后求出，設(shè)，，求出，證明，得到，再根據(jù)等腰三角形三線合一證明即可．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∵，∴，∴，∴，∴，即D是的中點(diǎn)；（2）；證明：如圖2，延長(zhǎng)到H使，連接，，∵，∴是的中位線，∴，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∴，∵，∴，是等腰三角形，∴，，設(shè)，，則，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．19．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖①，和是等邊三角形，連接，點(diǎn)F，G，H分別是和的中點(diǎn)，連接．易證：．若和都是等腰直角三角形，且，如圖②：若和都是等腰三角形，且，如圖③：其他條件不變，判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明．

【答案】圖②中，圖③中，證明見解析【分析】圖②：如圖②所示，連接，先由三角形中位線定理得到，，再證明得到，則，進(jìn)一步證明，即可證明是等腰直角三角形，則；圖③：仿照?qǐng)D②證明是等邊三角形，則．【詳解】解：圖②中，圖③中，圖②證明如下：如圖②所示，連接，∵點(diǎn)F，G分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，同理可得，∵和都是等腰直角三角形，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴；

圖③證明如下：如圖③所示，連接，∵點(diǎn)F，G分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，同理可得，∵和都是等腰三角形，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．20．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則與的數(shù)量關(guān)系：______，______；(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說明理由；(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點(diǎn)，，在一條直線上，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：______；(4)實(shí)踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點(diǎn)滿足，，則______．【答案】(1)，(2)，，證明見解析(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)已知得出，即可證明，得出，，進(jìn)而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；（2）同（1）的方法即可得證；（3）同（1）的方法證明，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；（4）根據(jù)題意畫出圖形，連接，以為直徑,的中點(diǎn)為圓心作圓，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使得，證明，得出，勾股定理求得，進(jìn)而求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，，∴，∴，設(shè)交于點(diǎn)，

∵∴，故答案為：，．（2）結(jié)論：，；證明：∵，∴，即，又∵，，∴∴，∵，，∴，∴，（3），理由如下，∵，∴，即，又∵和均為等腰直角三角形∴，∴，∴，在中，，∴，∴；（4）解：如圖所示，

連接，以為直徑,的中點(diǎn)為圓心作圓，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使得，則是等腰直角三角形，

∵,∴，∵，∴∴，∴，∵，在中，，∴∴過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，在中，，在中，∴∴解得：，則，設(shè)交于點(diǎn)，則是等腰直角三角形，∴在中，∴∴又，∴∴∴，∴∴，在中，∴，綜上所述，或故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，熟練運(yùn)用已知模型是解題的關(guān)鍵．21．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在中，，D是邊上一點(diǎn)，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作的垂線交直線于點(diǎn)F．【初步感知】(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：，請(qǐng)寫出證明過程．【深入探究】(2)①如圖2，當(dāng)，且點(diǎn)F在線段上時(shí)，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出結(jié)論并證明；②請(qǐng)通過類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）【拓展運(yùn)用】(3)如圖3，連接，設(shè)的中點(diǎn)為M．若，求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見解析(2)①，證明過程略；②當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí)，(3)【分析】（1）連接，當(dāng)時(shí)，，即，證明，從而得到即可解答；（2）①過的中點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)，可得是等腰直角三角形，，根據(jù)（1）中結(jié)論可得，再根據(jù)，，即可得到；②分類討論，即當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí)，畫出圖形，根據(jù)①中的原理即可解答；（3）如圖，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，可得的軌跡長(zhǎng)度即為的長(zhǎng)度，可利用建系的方法表示出的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)公式求出，最后利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)度．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

當(dāng)時(shí)，，即，，，，,，，即，，，在與中，，，，；（2）①證明：如圖，過的中點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，即，是的中點(diǎn)，，，，，，，是等腰直角三角形，且，，根據(jù)（1）中的結(jié)論可得，；故線段之間的數(shù)量關(guān)系為；②解：當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)，如圖，在上取一點(diǎn)使得，過作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

同①，可得，，，，，同①可得，，即線段之間數(shù)量關(guān)系為；當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，在上取一點(diǎn)使得，過作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接

同（1）中原理，可證明，可得，，，，，同①可得，即線段之間數(shù)量關(guān)系為,綜上所述，當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí)，；（3）解：如圖，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，可得的軌跡長(zhǎng)度即為的長(zhǎng)度，

如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)作的垂線段，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線段，交于點(diǎn)，

，，，，，，，是的中點(diǎn)，，，，，根據(jù)（2）中的結(jié)論，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確地畫出圖形，作出輔助線，找對(duì)邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．22．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖①．在矩形．，點(diǎn)在邊上，且．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，作，交邊或邊于點(diǎn)，連續(xù)．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（）

(1)當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，線段的長(zhǎng)為__________；(2)當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，求；(3)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀始終是等腰直角三角形．如圖②．請(qǐng)說明理由；(4)作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，當(dāng)四邊形和矩形重疊部分圖形為軸對(duì)稱四邊形時(shí)，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)見解析(4)或或【分析】（1）證明四邊形是矩形，進(jìn)而在中，勾股定理即可求解．（2）證明，得出；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明得出，即可得出結(jié)論（4）分三種情況討論，①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，當(dāng)重合時(shí)符合題意，此時(shí)如圖，③當(dāng)點(diǎn)在上，當(dāng)重合時(shí)，此時(shí)與點(diǎn)重合，則是正方形，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，

∵四邊形是矩形∴∵，∴四邊形是矩形，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，∴，在中，，故答案為：．（2）如圖所示，

∵，，∴，∴∴，∴，∵，，∴；（3）如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，∴，則四邊形是矩形，∴又∵∴，∴∴∴是等腰直角三角形；（4）①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，

∵，在中，，則，∵，則，，在中，，∴解得：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在矩形內(nèi)部，符合題意，∴符合題意，②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，當(dāng)重合時(shí)符合題意，此時(shí)如圖，

則，，在中，，解得：，③當(dāng)點(diǎn)在上，當(dāng)重合時(shí)，此時(shí)與點(diǎn)重合，則是正方形，此時(shí)

綜上所述，或或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，求正切，軸對(duì)稱的性質(zhì)，分類討論，分別畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．23．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）【模型建立】（1）如圖1，和都是等邊三角形，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在邊上．①求證：；②用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，是直角三角形，，，垂足為，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在邊上．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【模型遷移】（3）在（2）的條件下，若，，求的值．

【答案】（1）①見解析；②，理由見解析；（2），理由見解析；（3）【分析】（1）①證明：，再證明即可；②由和關(guān)于對(duì)稱，可得．證明，從而可得結(jié)論；（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，得，證明，．可得，證明，，可得，則，可得，從而可得結(jié)論；（3）由，可得，結(jié)合，求解，，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．可得，，可得，再利用余弦的定義可得答案．【詳解】（1）①證明：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴．∴．

②．理由如下：∵和關(guān)于對(duì)稱，∴．∵，∴．∴．（2）．理由如下：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，得．

∵和關(guān)于對(duì)稱，∴，．∵，∴，∴．∴．∵是直角三角形，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．∴，即．（3）∵，∴，∵，∴，∴．如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

∵，∴，．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的靈活應(yīng)用，本題難度較高，屬于中考?jí)狠S題，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．24．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊中，于點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），連接，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接交于點(diǎn)，連接，，與所在直線交于點(diǎn)，求證：；(3)如圖3，連接交于點(diǎn)，連接，，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接，．若，直接寫出的最小值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明，即可得證；（2）過點(diǎn)作，交點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，證明四邊形四邊形是平行四邊形，即可得證；（3）如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由（2）可知是等邊三角形，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，進(jìn)而得出是等邊三角形，由（2）可得，得出四邊形是平行四邊形，則，進(jìn)而得出，則，當(dāng)取得最小值時(shí)，即時(shí)，取得最小值，即可求解．【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，∴，，∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∴∴即在和中，∴，∴；（2）證明：如圖所示，過點(diǎn)作，交點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，

∵是等邊三角形，∴，∵∴∴垂直平分，∴又∵，∴，∴,

∴在的垂直平分線上，∵∴在的垂直平分線上，