浙江省寧波市鄞縣正始中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

浙江省寧波市鄞縣正始中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.有六名同學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔賽，他們的編號(hào)分別是1～6號(hào)，得第一名者將參加全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽。今有甲、乙、丙、丁四位老師在猜誰(shuí)將得第一名，甲猜：不是1號(hào)就是2號(hào)；乙猜：3號(hào)不可能；丙猜：4號(hào)、5號(hào)、6號(hào)都不可能；丁猜：是4號(hào)、5號(hào)、6號(hào)中的某一個(gè)。以上只有一個(gè)人猜測(cè)對(duì)，則他應(yīng)該是（A）甲

（B）乙

（C）丙

（D）丁

參考答案：C2.空間中，、、是三條不同的直線，、、是三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A.若則

B.若則C.若，則

D.若則參考答案：D略3.已知向量=（1－，1），=（，1＋），且∥，則銳角等于

（

）

A．300

B．450

C．600

D．750

參考答案：答案：B4.一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，若球的體積是，則正方體的表面積是（）A．8B．6C．4D．3參考答案：A略5.將函數(shù)y=cos（x+）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（）A．（0，0） B．（） C．（） D．（π，0）參考答案：A【考點(diǎn)】余弦函數(shù)的圖象．

【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換求出函數(shù)的解析式即可得到結(jié)論．【解答】解：將函數(shù)y=cos（x+）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=cos（x+），再向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=cos[（x+）+]=cos（x+）=﹣sinx，由x=kπ，解得x=2kπ，即函數(shù)對(duì)稱中心為（2kπ，0），當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱中心為（0，0），故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)對(duì)稱中心的求解，根據(jù)函數(shù)圖象變換關(guān)系求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．6.設(shè)是定義在上的增函數(shù)，且對(duì)任意，都有恒成立，如果實(shí)數(shù)滿足不等式，那么的取值范圍是（9，49）

（13，49）

（9，25）

（3，7）參考答案：A7.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，則S11=（）A．66 B．55 C．44 D．33參考答案：D【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與性質(zhì)與求和公式即可得出．【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即a1+a11=6．則S11==11×3=33．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與性質(zhì)與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．8.設(shè)是的重心，且，則的大小為A．45°

B．60°

C．30°

D．15°參考答案：B解析：由重心滿足知，同時(shí)由正弦定理，，故可令三邊長(zhǎng)取，則，借助余弦定理求得．9.已知中，三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若的面積為，且，則等于（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：D略10.給出下列命題：①函數(shù)y=cos（﹣2x）是偶函數(shù)；②函數(shù)y=sin（x+）在閉區(qū)間上是增函數(shù)；③直線x=是函數(shù)y=sin（2x+）圖象的一條對(duì)稱軸；④將函數(shù)y=cos（2x﹣）的圖象向左平移單位，得到函數(shù)y=cos2x的圖象，其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)①，然后判斷奇偶性；求出函數(shù)y=sin（x+）的增區(qū)間，判斷②的正誤；直線x=代入函數(shù)y=sin（2x+）是否取得最值，判斷③的正誤；利用平移求出解析式判斷④的正誤即可．【解答】解：①函數(shù)y=sin（﹣2x）=sin2x，它是奇函數(shù)，不正確；②函數(shù)y=sin（x+）的單調(diào)增區(qū)間是，k∈Z，在閉區(qū)間上是增函數(shù)，正確；③直線x=代入函數(shù)y=sin（2x+）=﹣1，所以x=圖象的一條對(duì)稱軸，正確；④將函數(shù)y=cos（2x﹣）的圖象向左平移單位，得到函數(shù)y=cos（2x+）的圖象，所以④不正確．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一海豚在水池中（不考慮水的深度）自由游戲，已知水池的長(zhǎng)為30m，寬為20m，則海豚嘴尖離池邊超過(guò)4m的概率為

．參考答案：

【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】測(cè)度為面積，找出點(diǎn)離岸邊不超過(guò)4m的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圖形的面積，并將其和長(zhǎng)方形面積一齊代入幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解．【解答】解：如圖所示：長(zhǎng)方形面積為20×30，小長(zhǎng)方形面積為22×12，陰影部分的面積為20×30﹣22×12，∴海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2m的概率為P=1﹣=．故答案為．12.已知函數(shù)，若恒成立，則的最大值為

04f(x)1－11參考答案：略13.若實(shí)數(shù)x，y滿足，則z＝的最小值為_(kāi)_____________.參考答案：略14.考察正方體6個(gè)面的中心，甲從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，乙也從這6個(gè)點(diǎn)種任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互平行但不重合的概率等于

．參考答案：15.已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為

.參考答案：2416.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)Q在線段CC1上，則線段PQ長(zhǎng)的最小值為

▲

．參考答案：線段PQ長(zhǎng)的最小值為異面直線D1E，CC1之間距離，取B1C1中點(diǎn)M，則CC1//平面EMD1,所以異面直線D1E，CC1之間距離為點(diǎn)C1到平面EMD1距離，由得即線段PQ長(zhǎng)的最小值為.

17.若向量滿足∥，且⊥，則＝

．參考答案：0略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（10分。幾何證明選講）

D、E分別為△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，且不與△ABC的頂點(diǎn)重合。已知AE的長(zhǎng)為，AC的長(zhǎng)為,AD、AB的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根。（1）證明：C、B、D、E四點(diǎn)共圓；（2）若∠A=90°，且，求C、B、D、E所在圓的半徑。參考答案：解析：（I）連接DE，根據(jù)題意在△ADE和△ACB中，

即.又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB

因此∠ADE=∠ACB

所以C,B,D,E四點(diǎn)共圓。（Ⅱ）m=4,n=6時(shí)，方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2,x2=12.故

AD=2，AB=12.取CE的中點(diǎn)G,DB的中點(diǎn)F，分別過(guò)G,F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連接DH.因?yàn)镃，B，D，E四點(diǎn)共圓，所以C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的圓心為H，半徑為DH.由于∠A=900，故GH∥AB,HF∥AC.HF=AG=5，DF=（12-2）=5.故C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的半徑為5

19.已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）+，g（x）=lnx．（1）已知f（x）在[e，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；（2）已知m，n，ξ滿足n＞ξ＞m＞0，且g'（ξ）=，試比較ξ與的大??；（3）已知a=2，是否存在正數(shù)k，使得關(guān)于x的方程f（x）=kg（x）在[e，+∞）上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？如果存在，求k滿足的條件；如果不存在，說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；不等式比較大?。緦ｎ}】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)f（x）在[e，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，得到f′（x）≥0或f′（x）≤0，即可求出a的范圍；（2）由題意得到，構(gòu)造函數(shù)h（x）=2lnx﹣x+，（x＞1），利用導(dǎo)數(shù)求得h（x）的最大值，繼而得到2lnx＜x﹣，令，化簡(jiǎn)整理即可得到ξ與的大小關(guān)系；（3）假設(shè)方程f（x）=kg（x）存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，且x2＞x1≥e，利用做商法得到，根據(jù)條件左邊大于1，右邊小于1，得到上式矛盾，問(wèn)題得以證明．【解答】解：（1）∵，∴，∵f（x）在[e，+∞）上單調(diào)，∴或，∴或，∵當(dāng)x≥e時(shí)，，∴…（2）∵，∴設(shè)，則，∴h（x）＜h（1）=0，∴當(dāng)x＞1時(shí)，令，得，∴?，∴，即…（3）假設(shè)方程f（x）=kg（x）存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，且x2＞x1≥e，則，即???，∵x2＞x1≥e，∴，而，∴，∴方程不存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．…【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系，以及反證法，培養(yǎng)了學(xué)生的分類(lèi)討論的能力，轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力，屬于難題．20.某校為了解2015屆高三畢業(yè)班準(zhǔn)備考飛行員學(xué)生的身體素質(zhì)，對(duì)他們的體重進(jìn)行了測(cè)量，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右前3個(gè)小組的頻率之比為1：2：4，其中第二小組的頻數(shù)為11．（Ⅰ）求該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)；（Ⅱ）若經(jīng)該學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)全省的總體數(shù)據(jù)，若從全省報(bào)考飛行員的學(xué)生中（人數(shù)很多）任選3人，設(shè)X表示體重超過(guò)60kg的學(xué)生人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望與方差．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）設(shè)該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)為n，前三個(gè)小組的頻率為p1，p2，p3，由已知求出，由此能求出n．（Ⅱ）一個(gè)報(bào)考學(xué)生的體重超過(guò)60公斤的概率為：p=，由題意知X服從二項(xiàng)分布，即：X～B（3，），能求出EX和DX．【解答】（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）設(shè)該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)為n，前三個(gè)小組的頻率為p1，p2，p3，則，解得，，，…由于，故n=55．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一個(gè)報(bào)考學(xué)生的體重超過(guò)60公斤的概率為：p=，由題意知X服從二項(xiàng)分布，即：X～B（3，），…∴P（X=k）=，k=0，1，2，3，∴EX==，DX==．…【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件概率、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．21.（本小題滿分12分）生產(chǎn)甲乙兩種元件，其質(zhì)量按檢測(cè)指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或者等于82為正品，小于82為次品，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種元件各100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：測(cè)試指標(biāo)元件甲81240328元件乙71840296（1）試分別估計(jì)元件甲、乙為正品的概率；（2）生產(chǎn)一件元件甲，若是正品可盈利40元，若是次品則虧損5元；生產(chǎn)一件元件乙，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元。在（1）的前提下；①記為生產(chǎn)1件甲和1件乙所得的總利潤(rùn)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；②求生產(chǎn)5件元件乙所獲得的利潤(rùn)不少于140元的概率.參考答案：（1）；（2）（i）66；（ii）試題解析：（1）元件甲為正品的概率約為：，元件乙為正品的概率約為：.（2）①隨機(jī)變量的所有取值為90，45，30，，而且；；；；所以隨機(jī)變量的分布列為：904530

所以：.②設(shè)生產(chǎn)的5件元件乙中正品有件，則次品有件，依題意，，解得：，所以或，設(shè)“生產(chǎn)5件元件乙所獲得的利潤(rùn)不少于140元”為事件，則：.考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【方法點(diǎn)睛】1．求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是分析清楚隨機(jī)變量的取值有多少，并且正確求出隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率．2．在求解隨機(jī)變量概率值時(shí)，注意結(jié)合計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識(shí)求解．22.(本小題滿分12分)已知點(diǎn)，圓：，過(guò)的動(dòng)直線與⊙交兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)。（1）求點(diǎn)的軌跡方