河南省洛陽(yáng)市第三十八中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

河南省洛陽(yáng)市第三十八中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.過(guò)點(diǎn)（3，1）作圓（x﹣1）2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0參考答案：A【考點(diǎn)】圓的切線方程；直線的一般式方程．【分析】由題意判斷出切點(diǎn)（1，1）代入選項(xiàng)排除B、D，推出令一個(gè)切點(diǎn)判斷切線斜率，得到選項(xiàng)即可．【解答】解：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)（3，1）作圓（x﹣1）2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，所以圓的一條切線方程為y=1，切點(diǎn)之一為（1，1），顯然B、D選項(xiàng)不過(guò)（1，1），B、D不滿足題意；另一個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)在（1，﹣1）的右側(cè)，所以切線的斜率為負(fù)，選項(xiàng)C不滿足，A滿足．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的切線方程求法，可以直接解答，本題的解答是間接法，值得同學(xué)學(xué)習(xí)．2.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）

A．

B．

C．D．參考答案：B略3.公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若是與的等比中項(xiàng),,則等于（）A．18 B．24 C．60 D．90參考答案：C4.已知函數(shù)，的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（

）A．f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)f(x)的圖象D．若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是參考答案：D5.下列各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是(

)A．與y=x B．與y=x C．y=x0與y=1 D．與y=x參考答案：D【考點(diǎn)】判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)．【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】分別判斷兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否一致，否則不是同一函數(shù)．【解答】解：A.=x，函數(shù)的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞），兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)．B.=|x|，兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則不相同，不是同一函數(shù)．C．y=x0=1，函數(shù)的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞），兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)．D.=x，兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同是同一函數(shù)，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，判斷的標(biāo)準(zhǔn)就是判斷兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否一致，否則不是同一函數(shù)．6.在如圖的正方體中，M、N分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AC和MN所成的角為(

)A.30° B.45° C.60° D.90°參考答案：C【分析】將平移到一起，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)判斷出兩條異面直線所成角的大小.【詳解】連接如下圖所示，由于分別是棱和棱的中點(diǎn)，故，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，所以是異面直線所成的角，而三角形為等邊三角形，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間異面直線所成角的大小的求法，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.7.已知lg2=n，lg3=m，則=（）A．n+m B．n﹣m C．2n+m D．2n﹣m參考答案：B【考點(diǎn)】指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化．【分析】利用對(duì)數(shù)性質(zhì)、運(yùn)算法則求解．【解答】解：∵lg2=n，lg3=m，∴=lg2﹣lg3=n﹣m．故選：B．8.如圖，在中，，為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA⊥面ABC，則四面體P-ABC中共有直角三角形個(gè)數(shù)為

A．4

B.3

C.2

D.1參考答案：A9.函數(shù)的圖像可能是（）。參考答案：D10.下列不等式中，正確的是

①

②

③A．①③ B．①② C．②③ D．①②③參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.用數(shù)學(xué)歸納法證明，第一步即證不等式

成立．參考答案：12.過(guò)點(diǎn)M（0，4）被圓截得的線段長(zhǎng)為的直線方程為

.參考答案：略13.函數(shù)y=log2（x2﹣3x﹣4）的單調(diào)增區(qū)間是

．參考答案：（4，+∞）【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】令t=x2﹣3x﹣4＞0，求得函數(shù)的定義域，根據(jù)y=log2t，本題即求二次函數(shù)t的增區(qū)間，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)t的增區(qū)間．【解答】解：令t=x2﹣3x﹣4＞0，求得x＜﹣1，或x＞4，故函數(shù)的定義域?yàn)椋ī仭?，?）∪（4，+∞），且y=log2t，故本題即求二次函數(shù)t的增區(qū)間．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)t的增區(qū)間為（4，+∞），故答案為：（4，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．14.在△ABC中，CB=2，AC=，A=30°，則AB邊上的中線長(zhǎng)為_______________．參考答案：或2略15.某種病毒每經(jīng)30分鐘由1個(gè)病毒可分裂成2個(gè)病毒，經(jīng)過(guò)x小時(shí)后，病毒個(gè)數(shù)y與時(shí)間x（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式為，經(jīng)過(guò)5小時(shí)，1個(gè)病毒能分裂成個(gè)．參考答案：y=4x，1024．【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)的值．【專題】計(jì)算題；應(yīng)用題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】可以通過(guò)歸納的方法得出病毒個(gè)數(shù)y與x（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式：分別求經(jīng)過(guò)1個(gè)30分鐘，2個(gè)30分鐘，3個(gè)30分鐘病毒所分裂成的個(gè)數(shù)，從而得出x小時(shí)后所分裂的個(gè)數(shù)y，即得出y，x的函數(shù)關(guān)系式，而令關(guān)系式中的x=5便可得出經(jīng)過(guò)5小時(shí)，一個(gè)病毒所分裂成的個(gè)數(shù)．【解答】解：設(shè)原有1個(gè)病毒；經(jīng)過(guò)1個(gè)30分鐘變成2=21個(gè)；經(jīng)過(guò)2個(gè)30分鐘變成2×2=4=22個(gè)；經(jīng)過(guò)3個(gè)30分鐘變成4×2=8=23個(gè)；…經(jīng)過(guò)個(gè)30分鐘變成22x=4x個(gè)；∴病毒個(gè)數(shù)y與時(shí)間x（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式為y=4x；∴經(jīng)過(guò)5小時(shí)，1個(gè)病毒能分裂成45=1024個(gè)．故答案為：y=4x，1024．【點(diǎn)評(píng)】考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)關(guān)系式的方法，以及歸納的方法得出函數(shù)關(guān)系式，已知函數(shù)求值的方法．16.已知遞增的等比數(shù)列滿足，且的等差中項(xiàng)，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和=

.參考答案：17.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若存在，使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=an﹣1．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列{an}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列；（3）設(shè)bn=，Tn為{bn}的前n項(xiàng)和，求證：Tn＜3．參考答案：【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式．【分析】（1）運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求；（2）運(yùn)用反證法，假設(shè)數(shù)列{an}中的任意三項(xiàng)成等差數(shù)列，由（1）的結(jié)論，推出矛盾，即可得證；（3）把數(shù)列的通項(xiàng)公式放大，然后利用等比數(shù)列的求和公式求和后再放大得答案．【解答】（1）解：n=1時(shí)，S1=a1﹣1=a1，可得a1=2，n＞1時(shí)，Sn﹣1=an﹣1﹣1，與Sn=an﹣1，相減可得，an=an﹣an﹣1，即為an=2an﹣1，即有數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且an=2n；（2）證明：假設(shè)數(shù)列{an}中的任意三項(xiàng)成等差數(shù)列，由它們構(gòu)成等比數(shù)列，則它們?yōu)楣葹?的常數(shù)列，這與公比為2的等比數(shù)列矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，則數(shù)列{an}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列；（3）證明：bn===＜（n≥2），∴Tn=b1+b2+…+bn＜b1+=2+1﹣=3﹣＜3．19.（本題滿分12分）已知函數(shù)．（1）若，求不等式的解集；（2）若為偶函數(shù)，求的值．參考答案：解：（1），，,即不等式的解集為．

…………6分(2)由于為偶函數(shù)，∴即，對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立,所以

…………12分20.（12分）如圖，△ABC是等邊三角形，PA⊥平面ABC，DC∥PA，且DC=AC=2PA=2，E是BD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AE⊥BC；（Ⅱ）求點(diǎn)D到平面PBC的距離．參考答案：（Ⅰ）證明：取BC的中點(diǎn)F，連接EF，AF，則EF∥DC，………2分∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥BC，則EF⊥BC；由△ABC是等邊三角形知，AF⊥BC，∴BC⊥平面AEF，……4分∵AE平面AEF，∴AE⊥BC．

……6分（Ⅱ）取AC的中點(diǎn)H，連接BH，∴BH⊥AC，又∵平面PACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面PACD，且BH＝；又PA⊥平面ABC，PA∥DC，DC⊥平面ABC，則，PA⊥AC，

…………8分21.已知函數(shù)的定義域是,函數(shù)