線性代數(shù)總結(jié)匯總+經(jīng)典例題

線性代數(shù)總結(jié)匯總+經(jīng)典例題矩陣A的逆矩陣是指存在一個(gè)矩陣B，使得AB=BA=I，其中I是單位矩陣。4、求逆的方法：（1）初等變換法：將A通過(guò)初等行變換或初等列變換化為單位矩陣，此時(shí)A的逆矩陣就是進(jìn)行相同變換的單位矩陣；（2）伴隨矩陣法：求出A的伴隨矩陣Adj(A)，然后用A的行列式|A|除以Adj(A)即可得到A的逆矩陣；（3）高斯-約旦消元法：將A和單位矩陣拼接成一個(gè)增廣矩陣，然后進(jìn)行高斯-約旦消元，最終得到的左半部分就是A的逆矩陣。（三）特殊矩陣5、對(duì)稱矩陣：A的轉(zhuǎn)置等于A；6、反對(duì)稱矩陣：A的轉(zhuǎn)置等于-A；7、正交矩陣：A的轉(zhuǎn)置等于A的逆矩陣；8、單位矩陣：主對(duì)角線上元素為1，其余元素為0的矩陣，用I表示。（四）矩陣的秩9、矩陣的秩：矩陣A的秩是指A的行（列）向量組的秩，用r(A)表示；10、求矩陣的秩：（1）初等行變換法：將A通過(guò)初等行變換化為行最簡(jiǎn)階梯型矩陣，此時(shí)A的秩就是非零行的個(gè)數(shù)；（2）轉(zhuǎn)置法：r(A)=r(AT)；（3）行列式法：r(A)=A的最高階非零子式的階數(shù)；（4）特殊矩陣法：對(duì)稱矩陣的秩等于其非零特征值的個(gè)數(shù)，反對(duì)稱矩陣的秩一定是偶數(shù)，正交矩陣的秩為1或-1，單位矩陣的秩為n。19、Schmidt正交化給定線性無(wú)關(guān)的向量組α1，α2，α3，需要將其正交化為向量組β1，β2，β3。（1）正交化：令β1=α1，β2=α2-projβ1α2，β3=α3-projβ1α3-projβ2α3，其中projβiαj表示向量αj在向量βi上的投影。（2）單位化：將β1，β2，β3分別除以它們的模長(zhǎng)，得到單位向量組e1，e2，e3。18、坐標(biāo)變換公式給定向量γ在基α1，α2，…，αn和基β1，β2，…，βn下的坐標(biāo)分別為x和y，即γ=x1α1+x2α2+…+xnαn=y1β1+y2β2+…+ynβn。則坐標(biāo)變換公式為x=Cy或y=C-1x，其中C是從基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的過(guò)渡矩陣，C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）。（六）Schmidt正交化給定線性無(wú)關(guān)的向量組α1，α2，α3，需要將其正交化為向量組β1，β2，β3。（1）正交化：令β1=α1，β2=α2-projβ1α2，β3=α3-projβ1α3-projβ2α3，其中projβiαj表示向量αj在向量βi上的投影。（2）單位化：將β1，β2，β3分別除以它們的模長(zhǎng)，得到單位向量組e1，e2，e3。對(duì)于n階矩陣A，如果存在可逆矩陣P和對(duì)角矩陣D，使得A=PDP-1，其中D的主對(duì)角線元素為A的n個(gè)特征值，P的列向量為A的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則稱A可相似對(duì)角化。10、相似對(duì)角化的條件：矩陣A可相似對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。11、相似對(duì)角化的步驟：（1）求出A的n個(gè)特征值λ1，λ2，…，λn，并求出每個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量α1，α2，…，αn。（2）將n個(gè)特征向量組成可逆矩陣P=[α1，α2，…，αn]，則P-1存在。（3）構(gòu)造對(duì)角矩陣DD=diag（λ1，λ2，…，λn），則D=P-1AP。12、特殊情況：（1）若A有n個(gè)互不相同的特征值，則A可相似對(duì)角化。（2）若A有重特征值，但每個(gè)特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量數(shù)與其重?cái)?shù)相等，則A可相似對(duì)角化。（3）若A有重特征值，但每個(gè)特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量數(shù)小于其重?cái)?shù)，則A不可相似對(duì)角化。兩個(gè)矩陣A和B稱為合同矩陣，如果存在可逆矩陣P，使得P^TAP=B。7、性質(zhì)：（1）合同矩陣具有相同的秩、正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)。（2）如果A和B是合同矩陣，則A和B的特征值相同，但特征向量不一定相同。（3）如果A和B是合同矩陣，則A和B的行列式相同。8、判定方法：（1）行列式法：A和B是合同矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)它們的行列式相等。（2）矩陣秩法：A和B是合同矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)它們的秩相等。9、應(yīng)用：合同矩陣在二次型的研究中有重要應(yīng)用，可以通過(guò)合同變換將二次型化為規(guī)范形，便于研究其性質(zhì)。同時(shí)，合同矩陣還可以用于矩陣的相似對(duì)角化和正交相似對(duì)角化的研究。A、B均為n階實(shí)對(duì)稱矩陣。如果存在可逆矩陣C，使得B=CTAC，則稱A與B合同?？偨Y(jié)：n階實(shí)對(duì)稱矩陣A、B的關(guān)系如下：（1）A、B相似（B=P-1AP）當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的特征值。（2）A、B合同（B=CTAC）當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù)和相同的正負(fù)特征值的個(gè)數(shù)。（3）A、B等價(jià)（B=PAQ）當(dāng)且僅當(dāng)它們的秩相等。注：實(shí)對(duì)稱矩陣相似必合同，合同必等價(jià)。正定二次型與正定矩陣：正定的定義：對(duì)于二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx>0，則稱二次型正定，并稱實(shí)對(duì)稱矩陣A是正定矩陣。n元二次型xTAx正定充要條件：（1）A的正慣性指數(shù)為n。（2）A與E合同，即存在可逆矩陣C，使得A=CTC或CTAC=E。（3）A的特征值均大于0。（4）A的順序主子式均大于0（k階順序主子式為前k行前k列的行列式）。n元二次型xTAx正定必要條件：（1）A的對(duì)角線元素都大于0。（2）A的行列式大于0?？偨Y(jié)：二次型xTAx正定判定（大題）：（1）A為數(shù)字：順序主子式均大于0。（2）A為抽象：①證A為實(shí)對(duì)稱矩陣：AT=A；②再由定義或特征值判定。重要結(jié)論：（1）若A是正定矩陣，則kA（k>0），Ak，AT，A-1，A*正定。（2）若A、B均為正定矩陣，則A+B正定。線性代數(shù)行列式經(jīng)典例題：例1：計(jì)算元素為aij=|i－j|的n階行列式。解法1：由題設(shè)知，a11=0，a12=1，a1n=n-1。故Dn=1(1-n+1)(n-2)!∑(-1)^(n-1+i+j)(i-j+1)!(n-i-j)!i=2,3,...,nj=1,2,...,n-1其中第一步用的是從最后一行起，逐行減前一行。第二步用的每列加第n列。解法2：Dn=1(1-n+1)(n-2)!∑(-1)^(i+j)(i-j+1)!(n-i-j)!i=1,2,...,n-1j=2,3,...,n例2：設(shè)a，b，c是互異的實(shí)數(shù)，證明：det\begin{bmatrix}1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{bmatrix}=(b-a)(c-b)(c-a).證明：考察范德蒙行列式：det\begin{bmatrix}1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{bmatrix}=(b-a)(c-b)(c-a)det\begin{bmatrix}1&a&a^2\\0&b-a&b^2-a^2\\0&c-a&c^2-a^2\end{bmatrix}行列式即為y2前的系數(shù)。于是det\begin{bmatrix}1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{bmatrix}=(b-a)(c-b)(c-a)所以，det\begin{bmatrix}1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{bmatrix}=(b-a)(c-b)(c-a)。例3：計(jì)算Dn=det\begin{bmatrix}x&a&0&\cdots&0\\a&x&a&\cdots&0\\0&a&x&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&x\end{bmatrix}。解法：利用行列式的性質(zhì)，把第1列加到第2列上，再把第2列加到第3列上，以此類推，最后得到對(duì)角線為x+(n-1)a，x+(n-2)a，...，x的矩陣，因此Dn=(x+(n-1)a)(x+(n-2)a)...(x+a)x=x^n+a(1+2+...+n-1)x^(n-1)+a^2(1^2+2^2+...+(n-1)^2)x^(n-2)+...+a^(n-1)x。注意：本文中的“△”應(yīng)為“?”。解題思路：本題給出了四種方法來(lái)計(jì)算行列式，需要逐一進(jìn)行分析，找出正確的方法。解題步驟：1.遞推法展開，得到Dn的表達(dá)式；2.利用性質(zhì)將行列式化為上三角行列式，得到Dn的表達(dá)式；3.按列展開，得到Dn的表達(dá)式；4.按行展開，得到Dn的表達(dá)式。解題過(guò)程：首先，需要對(duì)原文進(jìn)行格式調(diào)整和錯(cuò)誤修正，同時(shí)刪除明顯有問(wèn)題的段落，得到如下文章：解題思路：本題給出了四種方法來(lái)計(jì)算行列式，需要逐一進(jìn)行分析，找出正確的方法。解題步驟：1.遞推法展開，得到Dn的表達(dá)式；2.利用性質(zhì)將行列式化為上三角行列式，得到Dn的表達(dá)式；3.按列展開，得到Dn的表達(dá)式；4.按行展開，得到Dn的表達(dá)式。1.遞推法展開，得到Dn的表達(dá)式。按照第1列展開，得到Dn=x*Dn-1+(-1)^(n+1)*an*x^(n-1)。由于D1=x+a1，D2=x^2-a1*x+a2，所以Dn=x*Dn-2+(a1+a2*x+...+an*x^(n-1))。因此，Dn=x^n+a1*x^(n-1)+a2*x^(n-2)+...+an。2.利用性質(zhì)將行列式化為上三角行列式，得到Dn的表達(dá)式。將第1行乘以a2/a1，第2行乘以a3/a2，...，第n-1行乘以an/an-1，得到一個(gè)上三角行列式。根據(jù)行列式的性質(zhì)，該行列式的值等于對(duì)角線上所有元素的積，即Dn=a1*a2*...*an。3.按列展開，得到Dn的表達(dá)式。將第1列展開，得到Dn=x*Dn-1+(-1)^(n+1)*an*x^(n-1)。將第2列展開，得到Dn=a1*Dn-2+(-1)^n*a2*x^(n-2)+(-1)^(n+1)*an*x^(n-2)。將第3列展開，得到Dn=-a1*a2*Dn-3+(-1)^(n+1)*a2*an*x^(n-3)+...+(-1)^(n+1)*an*x。以此類推，得到Dn的表達(dá)式。4.按行展開，得到Dn的表達(dá)式。將第1行展開，得到Dn=a1*Dn-1+(-1)^2*a2*Dn-2+...+(-1)^(n+1)*an*Dn-n。將第2行展開，得到Dn=(-1)*a2*Dn-2+(-1)^3*a3*Dn-3+...+(-1)^n*a1*a2*...*an。根據(jù)行列式的性質(zhì)，Dn的值等于對(duì)角線上所有元素的積，即Dn=a1*a2*...*an。綜上所述，第2種方法是正確的。題目：計(jì)算n階“三對(duì)角”行列式對(duì)于一個(gè)n階行列式D，如果它的每個(gè)元素都可以表示成a_i或b_i（其中a_i和b_i都是常數(shù)），且保證b₁、b₂、……、b_n不全為0，則可以采用升階（或加邊）法來(lái)求解。具體來(lái)說(shuō)，可以增加一行一列，選擇適當(dāng)?shù)脑?，使得下一步化?jiǎn)后出現(xiàn)大量的零元素。對(duì)于“三對(duì)角”行列式，我們可以采用遞推法或拆分法來(lái)求解。方法1：遞推法對(duì)于“三對(duì)角”行列式，我們可以按照第一列展開，得到：D_n=(α+β)D_n-1-αβD_n-2其中，α和β是常數(shù)。可以得到遞推關(guān)系式：D_n-αD_n-1=β(D_n-1-αD_n-2)D_n-1-αD_n-2=β(D_n-2-αD_n-3)……D₂-αD₁=β(D₁-αD₀)其中，D₀和D₁都是常數(shù)，可以直接求解。將上述等式相加，得到：D_n-αD_n-1=β(D₁-αD₀)+βα(D₂-D₁)+……+βα^n-2(D_n-1-D_n-2)將D_n-1代入上式，得到：D_n-αD_n-1=β(D₁-αD₀)+βα(D₂-D₁)+……+βα^n-2[β(D₁-αD₀)+βα(D₂-D₁)+……+βα^n-3(D_n-2-D_n-3)]化簡(jiǎn)后得到：D_n=αD_n-1+βn(α+β)方法2：拆分法將D_n按照第一列拆成兩個(gè)n階行列式，得到：D_n=αD_n-1+βD_n-2+βD_n-1其中，第一個(gè)n階行列式是由a₁和b₁組成的，第二個(gè)n階行列式是由a₂、b₂和b₁組成的。將第二個(gè)行列式按照第一列展開，得到：D_n=