2023年教師招聘考試《學科專業(yè)知識·小學數(shù)學》復習全書【核心講義＋歷年真題詳解】

第一部分核心講義模塊一學科專業(yè)基礎(chǔ)第1章集合與簡易邏輯1.1考點梳理1．掌握集合的基本概念及集合間的基本關(guān)系；2．重點掌握集合的運算；3．理解邏輯連接詞和命題的基本知識；4．理解命題的條件與結(jié)論間的屬性。1.2核心講義一、集合（一）集合的基本概念1．集合的定義某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象稱為元素。2．集合中的元素的三個特性（1）元素的確定性：某一元素是否屬于某個集合是確定的，即任何對象都能明確它是或不是這個集合的元素，二者必居其一。如：平面直角坐標系第三象限內(nèi)的點；（2）元素的互異性：同一個集合中的元素是互不相同的。如：由字母APPLE組成的集合{A，P，L，E}；（3）元素的無序性：任意改變集合中元素的排列次序，它們?nèi)匀槐硎就粋€集合。如：{1，2，3}和{1，3，2}是表示同一個集合。3．集合的表示用拉丁字母表示集合：A={我校的全體學生}，B={1，3，5，7，9}。集合的表示方法：列舉法、描述法與圖示法。（1）列舉法：把集合中的所有元素一一列舉出來﹐寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。例如：{1，2，3}；（2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。例如{x∈R|x-2>3}；（3）語言描述法：例如{小于5的自然數(shù)}；（4）Venn圖，也叫文氏圖，它既可以表示一個獨立的集合，也可以表示集合與集合之間的相互關(guān)系。如圖1-1所示。圖1-1 文氏圖（5）常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作N，正整數(shù)集記作N+或N*，整數(shù)集記作Z，有理數(shù)集記作Q，實數(shù)集記作R。4．集合的分類（1）有限集：含有有限個元素的集合；（2）無限集：含有無限個元素的集合；（3）空集：不含任何元素的集合記為φ。例如{x|=-1，x∈R}。（二）集合間的基本關(guān)系1．基本關(guān)系（1）全集：一般地，如果一個集合包含研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U。（2）子集：一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，就稱這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作AB（或BA），讀作“A包含于B”（或B包含A）。（3）反之：集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A，記作AB或BA。（4）真子集：如果AB，且A≠B，那就說集合A是集合B的真子集，記作AÜB（或BÝA），讀作“A真包含于B”（或B真包含A）。2．結(jié)論由上述集合間的基本關(guān)系，可以得到以下結(jié)論：（1）任何一個集合是它本身的子集即AA。（2）如果AB且BA，那么A=B。（3）對于集合A、B、C，如果AB，且BC，那么AC。（4）有n個元素的集合，含有個子集，-1個真子集。（5）空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。（三）集合的運算集合的運算如表1-1所示。表1-1 集合的運算運算類型交集并集補集   定義  由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，稱作集合A、B的交集。記作AB（讀作“A交B”），即AB={x|x∈A且x∈B}。 由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱作集合A、B的并集。記作：AUB（讀作“A并B”），即AUB={x|x∈A或x∈B}。設(shè)S是一個集合,A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，稱作S中子集A的補集（或余集），記作SA，即SA={x|x∈S且xA}。  韋恩圖示        性質(zhì)      AA=A Aφ=φ AB=BA ABA ABB  AA=A Aφ=A AB=BUA ABA ABB  （UA）（UB）=U（AUB） （UA）（UB）=U（AB） A（UA）=U A（UA）=φ二、簡易邏輯（一）邏輯聯(lián)結(jié)詞1．“或”“且”“非”（1）“或”“且”“非”這些詞稱作邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡單命題；由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”構(gòu)成的命題是復合命題。（2）構(gòu)成復合命題的形式：p或q（記作pq）；p且q（記作pq）；非P（記作¬p）。（3）邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”可以與集合中的“并”相聯(lián)系，AB={x|x∈A，或x∈B}。邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”可以與集合中的“交”相聯(lián)系，AB={x|x∈A，且x∈B}。邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”可以與集合中的“補”相聯(lián)系，UA={x|x∈U，且xA}。2．含“或”“且”“非”復合命題的真假判斷（1）“p或q”形式復合命題，當p與q同為假時為假，其他情況時為真；（2）“p且q”形式復合命題，當p與q同為真時為真，其他情況時為假；（3）“非p”形式復合命題的真假與p的真假相反。（二）命題1．定義可以判斷真假的語句稱作命題。若一個命題是正確的，該命題稱為真命題；若一個命題不正確，該命題稱為假命題。由命題的概念可知，一個命題不是真命題就是假命題。2．命題的四種形式與相互關(guān)系（1）四種形式①原命題：若p則q；②逆命題：若q則p；③否命題：若¬p則¬q；④逆否命題：若¬q則¬p。（2）相互關(guān)系①原命題與逆否命題互為逆否命題，同真假；②逆命題與否命題互為逆否命題，同真假。（三）命題的條件與結(jié)論間的屬性1．具體內(nèi)容（1）若pq，p是q的充分條件，q是p的必要條件，即“前者為后者的充分，后者為前者的必要”；（2）若pq，則p是q的充分必要條件，簡稱p是q的充要條件；（3）若pq，且qp，那么稱p是q的充分不必要條件；（4）若pq，且qp，那么稱p是q的必要不充分條件；（5）若pq，且qp，那么稱p是q的既不充分也不必要條件。2．注意事項當從命題條件的正面不易證明時，可以從命題結(jié)論的反面考慮采用反證法，即從命題結(jié)論的反面出發(fā)（假設(shè)），引出（與公理、定理、已知…）矛盾，從而否定假設(shè)，證明原命題成立，這樣的證明方法稱作反證法。1.3真題及典型題詳解一、單項選擇題1．已知集合，，則A∩B等于（）。[2013年福建省真題]A．｛x｜﹣2<x<﹣1}B．{x｜﹣1<x<2}C．{x｜2<x<3}D．{ｘ|﹣2<x<3}【答案】C查看答案【解析】由題意可知，，，那么A∩B={x｜2<x<3}。2．“棱柱的一個側(cè)面是矩形”是“棱柱為直棱柱”的（）。A．充要條件B．充分但不必要條件C．必要但不充分條件D．既不充分也不必要條件【答案】C查看答案【解析】“棱柱為直棱柱”可以推出“棱柱的一個側(cè)面是矩形”；但由“棱柱的一個側(cè)面是矩形”不能推出“棱柱為直棱柱”。所以，“棱柱的一個側(cè)面是矩形”是“棱柱為直棱柱”的必要但不充分條件。3．定義集合運算：A*B={z｜z＝xy，xA，yB}，設(shè)A={1，2}，B={0，2}，則集合A*B的所有元素之和為( )。A．0B．2C．3D．6【答案】D查看答案【解析】由定義的集合運算所知，。4．若命題甲是命題乙的充分不必要條件，命題丙是命題乙的必要不充分條件，命題丁是命題丙的充要條件，則命題丁是命題甲的（）。[2013年廣東省真題]A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B查看答案【解析】由題意可知，命題甲可以推出命題乙，命題乙推出命題丙，命題丙推出命題丁，那么命題甲推出命題丁，但反之則不行，所以命題丁是命題甲的必要不充分條件。5．設(shè)集合M={直線}，P={圓}，則集合M∩P中的元素個數(shù)為（ ）。A．0B．1C．2D．0或1或2【答案】A查看答案【解析】因為不存在既是直線又是圓的圖形，所以M∩P是空集。6．若命題甲：A∪BA為假命題，命題乙：A∩BA也為假命題，U為全集，則下列四個用韋恩圖形反映集合A與B的關(guān)系中可能正確的是（）。A．B．C．D．【答案】D查看答案【解析】由命題甲可知A∪B=A，由命題乙可知A∩B=A。二、簡答題1．已知集合，若AB=B，求實數(shù)m的值。解：由題意可知，，又AB=B，即，，，（1）若，即時，滿足條件；（2）若，即時，，，故，即，，即，故。故由（1）（2）知：m的取值范圍是。2．已知p：方程有兩個不相等的負實根。q：方程無實根。若p或q為真，p且q為假時，求實數(shù)m的取值范圍。解：因為p或q為真，p且q為假，則必然p與q中有一真一假。分兩種情況：p為真，q為假；q為真，p為假。（1）若p為真，則q為假。①p為真，方程