2023年教師招聘考試《學科專業(yè)知識·中學數(shù)學》復習全書【核心講義＋歷年真題詳解】

第一部分核心講義模塊一學科知識第1章數(shù)學學科基礎知識（上）1.1考綱解讀1．準確掌握基本概念，熟練進行運算，并能夠利用這些知識去解決中學數(shù)學的問題。2．理解高中數(shù)學中的重要概念，掌握高中數(shù)學中的重要公式、定理、法則等知識。3．掌握中學數(shù)學中常見的思想方法，具有空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力以及綜合運用能力。1.2核心講義一、函數(shù)概念及其性質（一）中小學數(shù)學課程中函數(shù)概念形成的基本脈絡1．量、數(shù)量與數(shù)（1）數(shù)、量、圖、數(shù)據(jù)（一批數(shù)）是引導兒童進入數(shù)學的源泉。（2）映射f是集合A到集合B的單值對應關系，即對于集合A中的每一個元素a，根據(jù)對應關系f，在集合B中有惟一元素f（a）與之對應，這樣的對應f稱為映射。（3）函數(shù)是實數(shù)集合到實數(shù)集合的映射。對函數(shù)與映射的認識與理解是相輔相成的。2．量與單位（1）“量”指一般意義的量，不僅包括前面討論的離散的量，也包括如長度、時間、質量、溫度、電阻等，同種量可相互比較大小。（2）“單位”是度量“量”大小的出發(fā)點，對于一個量確定了一種單位，就建立了這種量與實數(shù)（整數(shù)、自然數(shù)）的一個映射——一種對應關系。3．建立量與量的關系—小學數(shù)學中的兩個基本模型（1）兩個基本模型：總價=單價×數(shù)量、路程=速度×時間。（2）這兩個模型一個是離散的經濟模型，一個是連續(xù)的物理模型，在大學數(shù)學學習中，它們仍然是基本的模型。4．正、反比例關系——關系概念的形成從具體到抽象是數(shù)學發(fā)展規(guī)律，通過對實際的模型，抽象反映出一般的量與量的反比例關系，初步形成量與量之間關系概念，對于學生認識和理解函數(shù)起著十分重要的作用。5．常量與變量（1）常量在具體的情境中，有些量是不變的，例如，在勻速運動中，速度是不變的，通常把這種量稱為常量。（2）變量有些量可以取不同的數(shù)值，是變化的，通常稱為變量。6．變量之間的依賴關系——函數(shù)概念及圖像（1）在一些情境中，可以有很多變量，有些變量之間存在著依賴關系。（2）一個變量的變化引起另一個變量的變化，把這種具有相互依賴的變量關系稱為函數(shù)關系。（3）變量與變量之間的依賴關系，揭示了函數(shù)的本質，即反映函數(shù)是描述變化的。7．函數(shù)模型初步——幾類重要的函數(shù)（1）正比例函數(shù)；（2）一次函數(shù)（線性函數(shù)）；（3）反比例函數(shù)；（4）一元二次函數(shù)；（5）簡單分段函數(shù)。8．函數(shù)概念的再認識——三個維度（1）變化角度——變量關系；（2）整體角度——函數(shù)圖像；（3）映射角度——建立兩類事物間的對應關系。9．函數(shù)模型的再認識——基本初等函數(shù)簡單冪函數(shù)（特別是整數(shù)冪函數(shù)）、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)是基本函數(shù)，又稱為基本初等函數(shù)。10．函數(shù)應用（1）應用領域①在研究數(shù)學問題方面的應用。②用函數(shù)思想解決其他學科問題，如物理、化學、生物中的問題。（2）用函數(shù)解決問題時的三個基本層次①能用學過的函數(shù)知識描述問題；②用學過的函數(shù)模型直接解決問題；③經歷使用函數(shù)進行數(shù)學建模的過程，體會數(shù)學建模的思想和基本過程。（二）認識函數(shù)概念的三個維度1．變化角度——變量關系這種變量之間的依賴關系具有一個突出的特征，即當一個變量取定一個值時，依賴于這個變量的另一個變量有惟一確定的值。2．整體角度——函數(shù)圖像（1）函數(shù)關系是平面上點的集合，又可以看作平面上的一個“圖形”。研究函數(shù)就是研究曲線的性質，研究曲線的變化。（2）在討論函數(shù)問題時，幫助學生養(yǎng)成畫函數(shù)圖像習慣，并且用函數(shù)圖像思考問題。3．映射角度——對應關系（1）函數(shù)是聯(lián)結兩類對象的橋梁，即通常說的映射關系。（2）這是用映射的觀點理解函數(shù)，它反映兩個數(shù)集之間的關系，在兩個數(shù)集之間架起了一座橋梁。（三）函數(shù)的基本性質1．單調性單調性是中學最重要的函數(shù)性質。（1）第一階段依函數(shù)圖像直觀地感受單調性，理解單調性的定義及在研究函數(shù)中的作用。（2）第二階段①理解導數(shù)與單調性的聯(lián)系；②用單調性判斷導數(shù)的符號。2．周期性周期性反映了函數(shù)變化周而復始的規(guī)律。在高中數(shù)學課程中，只討論基本的具體三角函數(shù)的周期性，例如，正弦、余弦、正切函數(shù)的周期性。3．對稱性（奇偶性）（1）對稱性是反映函數(shù)特點的基本性質。（2）偶函數(shù)的圖像是關于y軸對稱的。（3）奇函數(shù)的圖像是關于原點對稱的。4．函數(shù)性質的綜合認識（1）函數(shù)的學習一定要在頭腦中建立起幾個重要的模型。（2）函數(shù)的教學一定要突出函數(shù)圖形的地位。（3）函數(shù)是刻畫客觀世界的一個基本數(shù)學模型。（4）在學習與函數(shù)知識有關的內容時，理解函數(shù)思想。二、基本初等函數(shù)及函數(shù)的分類（一）基本初等函數(shù)1．冪函數(shù)和整數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)是基本初等函數(shù)，在冪函數(shù)中，最重要的是整數(shù)冪函數(shù)，以及由它們拓展的多項式函數(shù)，即。（1）微分在微積分的學習中，微分是最重要的概念之一。①微分是一個可導函數(shù)在一點的線性主部，線性主部就是一個一次函數(shù)（線性函數(shù)），即，一方面，函數(shù)的微分dy與自變量的改變量（也稱為自變量微分）成正比例，其中比例系數(shù)k是這一點函數(shù)的導數(shù)。②函數(shù)的微分dy與函數(shù)的改變量之差是自變量微分dx的高階無窮小，即函數(shù)的微分dy可以近似表示函數(shù)的變化，稱之為“以直代曲”。（2）“好函數(shù)”①在微積分學習中，研究的主要函數(shù)類是具有任意階導數(shù)的函數(shù)，稱之為“好函數(shù)”。②冪函數(shù)以及所有基本初等函數(shù)都是“好函數(shù)”，并且，初等函數(shù)拓展的所有初等函數(shù)也都是“好函數(shù)”，整數(shù)冪函數(shù)對研究“好函數(shù)”有重要作用。2．指數(shù)爆炸——指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)（1）指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)本身都是重要的函數(shù)，在刻畫自然規(guī)律時，它們是用得最多的函數(shù)，也是最基本的函數(shù)；同時，它們是“好函數(shù)”，它們具有任意階導數(shù)。（2）指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)在描述變化快慢發(fā)揮著基本作用。3．周期變化——三角函數(shù)（1）三角函數(shù)也是最基本的周期函數(shù)，可以幫助學生更好地理解周期函數(shù)；（2）三角函數(shù)也都是好的函數(shù)，具有任意階導數(shù)；（3）三角函數(shù)的代數(shù)和可以用來表示更多的函數(shù)。（二）運算與初等函數(shù)1．四則運算與初等函數(shù)根據(jù)函數(shù)的定義，y=f（x）±g（x）、y=f（x）g（x）、y=（g（x）≠0）還是函數(shù)。2．函數(shù)復合與初等函數(shù)（1）設有兩個函數(shù)y=f（u），u=g（x），它們的定義域分別是D和E；它們的值域分別是f（D）和g（E），記D*=g（E）∩D，若D*≠，則記E*=g-1（D*）；（2）通過函數(shù)f可以在f（D）內找到y(tǒng)=f（u），將所有這樣的f（u）記為f（D*）。這就確定了一個定義在E*上的函數(shù)，記作y=（fg）（x），x∈E*，即y=（fg）（x）=f（g（x）），x∈E*，稱之為函數(shù)，和g的復合函數(shù)。（3）圖1-1-l表示兩個函數(shù)是如何構造一個新函數(shù)的。3．反函數(shù)與初等函數(shù)（1）反函數(shù)的定義①若y=f（x）是一個函數(shù)，其定義域為D，值域為，設E*為值域。②f（D）的一個子集，且對任意y∈E*，在D中有惟一的x滿足y=f（x），可以根據(jù)y=f（x）得到一個新的函數(shù)，記作，稱它為函數(shù)y=f（x）的一個反函數(shù)，它的定義域是E*，值域是。③如果，通常把稱作y=f（x）的反函數(shù)。（2）對于連續(xù)函數(shù)來說，有反函數(shù)的充分必要條件是：是嚴格單調的。4．有限次運算與初等函數(shù)四則運算、復合、求反函數(shù)是構造新的函數(shù)的手段，這些手段稱為構造新的函數(shù)運算，基本初等函數(shù)經過有限次四則運算與復合運算得到的新函數(shù)類稱之為初等函數(shù)。（三）極限與一般函數(shù)1．極限的各種形式（1）數(shù)列極限①數(shù)列與一個實數(shù)的關系：設為數(shù)列，為定數(shù)。②若對任給的定數(shù)，總存在正整數(shù)N，使得當n>N時有，則稱數(shù)列收斂于，定數(shù)稱為數(shù)列的極限，并記作，或（n+∞），讀作“當n趨于無窮大時，的極限等于或趨于”。③從數(shù)列極限的定義中可知，一個收斂的數(shù)列可以與一個實數(shù)對應，通過一個數(shù)列就可以找到一個實數(shù)，如果把數(shù)列中的數(shù)換成函數(shù)，就可以利用同樣的方法構造出一個函數(shù)。（2）導數(shù)——特殊的極限①對于函數(shù)y=f（x），是定義區(qū)間中的一點，存在一個數(shù)A，對于任意ε>0，存在>0，對定義區(qū)間I中的任意一點x，令，當0<<時，若有，則稱y=f（x）在處可導，并稱A為y=f（x）在處的導數(shù)，通常記作。②若函數(shù)y=f（x）在某一區(qū)間上的每一點都可導，則稱y=f（x）在該區(qū)間上可導。③對每一個x∈I，都有y=f（x）的一個導數(shù)（或單側導數(shù)）與之對應，這樣就定義了一個在上的函數(shù)，稱為y=f（x）在上的導函數(shù)，記作。（3）定積分——特殊的極限設y=f（x）是定義在[a，b]上的有界函數(shù)，存在實數(shù)A，對于任意>0，存在>0，在[a，b]上任意取分點，作成一種劃分P：，并任意取點，區(qū)間的長度記作，并令，當時，有，則稱在[a，b]上黎曼可積的公式稱為黎曼和，其極限值A稱為f（x）在[a，b]上的定積分，記為。（4）級數(shù)①設，，…，，…是無窮可列個實數(shù)，稱它們的“和”++…++…為無窮數(shù)項級數(shù)（簡稱級數(shù)），記為，其中為級數(shù)的通項。②由于無法直接對無窮多個實數(shù)逐一地進行加法運算，所以必須對上述的級數(shù)求和給出合理的定義，為此作級數(shù)的“部分和數(shù)列”，。這樣當時，數(shù)項級數(shù)就決定了一個實數(shù)。2．從有限到無限認識極限的基本角度：（1）數(shù)列和級數(shù)本質上是等價的；（2）用極限來構造新的函數(shù)實際上是對函數(shù)進行無限次運算。3．用極限構造新函數(shù)（1）通過導數(shù)構造新的函數(shù)。（2）通過定積分運算構造新的函數(shù)。（3）通過求級數(shù)構造新的函數(shù)。綜上所述，求導、積分以及求級數(shù)都是構造新函數(shù)的方法，是拓展函數(shù)研究范圍的手段。三、數(shù)列（一）數(shù)列在數(shù)學與實際中的作用數(shù)列是解決日常經濟生活問題的基本模型，是特殊的函數(shù)—研究一般函數(shù)的工具，數(shù)列與遞推存在密切關系。（二）數(shù)列在高中數(shù)學中的定位在高中數(shù)學學習中，應該關注：用等差、等比數(shù)列討論日常生活中的經濟問題；用數(shù)列來提高學生的運算能力；初步了解數(shù)列是特殊的函數(shù)及作用。（三）數(shù)列與差分方程1．等差數(shù)列再認識（1）數(shù)列相鄰項的差，稱為數(shù)列的差分。一般地，對任何n有，把制造新數(shù)列稱為一個算子。（2）原來的數(shù)列為，構成的新數(shù)列用表示，稱為一階差分，記為=。（3）在一階差分的基礎上，用算子還可以得到新數(shù)列，記為，稱之為數(shù)列的二階差分；同理，還可以得到三階差分以及k階差分，分別記為和。（4）從差分的角度看，等差數(shù)列就是一階差分為常數(shù)，二階差分為0的數(shù)列。2．數(shù)列與差分（1）學習數(shù)列的益處數(shù)列是函數(shù)的離散形式，差分是微分的離散形式，有助于學生理解導數(shù)與微分，有助于學習微分方程等知識。（2）學習差分的益處學習差分有助于進一步學習數(shù)列，可以利用一階差分和二階差分的符號來判斷數(shù)列的增減、凹凸。3．差分方程——一階線性差分方程（1）含有未知數(shù)列和它的一階差分的等式，稱為一階差分方程。（2）如果這個方程里面只含有未知數(shù)列和未知數(shù)列的一階差分的一次項，稱作一階線性差分方程。記作。①=0時，稱為一階線性齊次差分方程；②≠0時，稱為一階線性非齊次差分方程。③當=0時，數(shù)列就是等差數(shù)列；=0時，數(shù)列就是等比數(shù)列。4．一階線性差分方程求解對于一階線性差分方程，滿足差分方程的數(shù)列稱為該差分方程的解。（1）一階線性齊次差分方程的通解①一階線性齊次差分方程的解就是一個滿足上述差分方程的數(shù)列。②數(shù)列稱作一階線性齊次差分方程的通解，其中可以取任何值。當不為0時這個數(shù)列是個等比數(shù)列。（2）一階線性非齊次差分方程的特解對一階差分方程，①=0時，方程變?yōu)椋?，即，這是一個等差數(shù)列，因此，它的通解為：。②當b≠0且≠0時，對于一階非齊次差分方程，如果初值為，可以用迭代的方法求解，數(shù)列：這個數(shù)列就是方程的一個特解。③給定不同的初始值，就可以得到方程的不同特解。（3）一階線性非齊次差分方程的通解它的通解可以表示為：對應齊次方程的通解與該方程的一個特解之和。5．迭代法（略）四、導數(shù)和積分（一）導數(shù)的意義在數(shù)學中，函數(shù)是刻畫客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，研究函數(shù)主要是研究函數(shù)的變化。導數(shù)能夠定量的體現(xiàn)函數(shù)的變化，為學生研究函數(shù)提供了一種新的工具。（二）積分的意義積分是用來刻畫“求和”的基本概念。它主要是為定義和計算長度、面積、體積等提供一套通用的方法：劃分→取點→求和→取極限。（三）牛頓一萊布尼茨公式1．定義牛頓一萊布尼茨公式又稱為微積分基本定理，設函數(shù)是閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，是它在閉區(qū)間[a，b]上的任意一個原函數(shù)，則有。牛頓一萊布尼茨公式建立了導數(shù)和積分兩者之間的聯(lián)系，使積分成為一門學科。2．貢獻牛頓和萊布尼茨的偉大就在于找到了一般函數(shù)的微分與導數(shù)的關系，將定積分的運算轉變?yōu)榍笤瘮?shù)的過程，也是微積分的本質所在。3．對牛頓—萊布尼茨公式的證明（略）五、研究函數(shù)變化的基本方法（一）研究函數(shù)變化的兩種方法1．代數(shù)單調性是函數(shù)重要的性質之一，反映了函數(shù)的變化。在中學教學中通過代數(shù)運算來討論函數(shù)單調性，進而研究函數(shù)的變化。2．微積分（導數(shù)）（1）研究導數(shù)是從研究函數(shù)的平均變化轉變?yōu)檠芯亢瘮?shù)的瞬時變化，即變化率。（2）導數(shù)作為刻畫函數(shù)變化的瞬時變化率，能夠清楚反映函數(shù)的變化情況。①從函數(shù)值上看：導數(shù)的符號可以反映函數(shù)的變化趨勢（增大或者減?。瑢?shù)絕對值的大小可以反映函數(shù)變化的快慢。②從函數(shù)圖像上看：導數(shù)的符號可以刻畫圖像的走勢（上升或是下降），導數(shù)絕對值的大小可以刻畫圖像走勢的“陡峭”程度。（二）兩者的差異單調性是從定性的角度刻畫函數(shù)的變化；導數(shù)是從定量的角度刻畫函數(shù)的變化。（三）兩者的聯(lián)系1．導數(shù)與單調性的聯(lián)系（1）在一個區(qū)間內，如果函數(shù)在每一點的導數(shù)都大于零，則函數(shù)是嚴格遞增的。（2）如果函數(shù)在每一點的導數(shù)都小于零，則函數(shù)是嚴格遞減的。（3）在一個區(qū)間內，遞增函數(shù)如果有導函數(shù)，那么每一點的導數(shù)大于或等于零。（4）在一個區(qū)間內，遞減函數(shù)如果有導函數(shù)，那么每一點的導數(shù)小于或等于零。2．單調性與導數(shù)在代數(shù)形式及圖形上的聯(lián)系由于函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)的，因此存在某一點它的導數(shù)（即其處的切線斜率）與割線的斜率相同。六、函數(shù)知識的應用（一）函數(shù)與方程1．由函數(shù)產生方程對n元函數(shù)，當時，就產生了n元方程。2．由方程產生函數(shù)（1）對n元方程，決定了之間存在某種關系，這種關系可能是函數(shù)關系，如果是則這時可以產生元函數(shù)。（2）在由方程構造函數(shù)的過程中，有時可以構造一個新的函數(shù)，有時不能，這就需要根據(jù)隱函數(shù)存在定理來判斷。（二）函數(shù)與不等式1．由函數(shù)產生不等式（1）對n元函數(shù)，當或時，就產生了n元不等式。（2）函數(shù)決定了不等式，因此也為不等式提供了研究方法。如函數(shù)及其相關性質，如單調性、導數(shù)、二階導數(shù)等，是證明不等式的有力工具。2．利用函數(shù)圖像解不等式（1）函數(shù)的圖像把坐標系的橫坐標軸分成若干部分區(qū)域，一部分區(qū)域是使函數(shù)值等于0，即；一部分區(qū)域是使函數(shù)值大于0，即；一部分區(qū)域是使函數(shù)值小于0，即。（2）用函數(shù)的觀點看，就是確定使函數(shù)圖像在軸上方或下方的的區(qū)域。這樣，就可以確定函數(shù)圖像與軸的交點（方程=0的解），再根據(jù)函數(shù)的圖像來求解不等式。（三）函數(shù)與線性規(guī)劃解線性規(guī)劃問題可歸結為以下步驟：（1）確定目標函數(shù)；（2）分析約束條件；（3）建立不等關系（不等式組）；（4）根據(jù)不等式組確定目標函數(shù)的可行域（目標函數(shù)的定義域）；（5）找出可行域邊界上的頂點（因為目標函數(shù)和可行域的邊界都是線性的）；（6）求出這些頂點的函數(shù)值；（7）根據(jù)要求，確定目標函數(shù)在可行域內的最值。（四）函數(shù)的實際應用函數(shù)應用包含有三個層次：（1）用函數(shù)關系描述實際問題。（2）用常見的函數(shù)模型直接解決簡單的實際問題。（3）利用函數(shù)建模。七、大學分析類數(shù)學課程（一）基礎課程基礎課程就是數(shù)學專業(yè)的其他課程都以其為基礎的數(shù)學課程，其中以數(shù)學分析，高等代數(shù)和解析幾何為最基本的課程。（二）選修課程選修課程根據(jù)專業(yè)取向而開設的專業(yè)性更強的課程，比如運籌學，矩陣論，數(shù)理邏輯等。八、微積分基礎知識（一）微積分的產生微積分也稱無窮小分析，是數(shù)學的一個重要分支，主要研究極限，導數(shù)，積分和無窮級數(shù)。它是人類經過長期積累和發(fā)展的結果，特別是17世紀，由于牛頓和萊布尼茨所做的關鍵性工作，從而宣布了微積分的最終誕生。（二）微積分的發(fā)展的四個階段1．1000年之前在這個階段數(shù)學的基本計算和符號系統(tǒng)逐漸完善，這對于微積分的成熟是必需的。2．1000年至1600年這是微積分的積累時期或準備時期。3．從1600年至1900年這是微積分的成熟期，形成了數(shù)學的基本學科：分析學。4．由1900年至今可以稱作微積分的深化期，在這個階段，微積分向著深化的方向發(fā)展。九、數(shù)系的擴充與運算（一）數(shù)系的擴展數(shù)系的擴展有兩個基本動力：實際的需要和運算的需要。邏輯上來說，數(shù)系的擴展主要經歷了從自然數(shù)→分數(shù)、負數(shù)→有理數(shù)→實數(shù)→復數(shù)等。（二）自然數(shù)的意義與運算（1）自然數(shù)具有基數(shù)作用，可以刻畫一個集合元素個數(shù)的多少。（2）由集合的交、并產生了減法和加法。（3）由集合的包含關系產生了除法，乘法是加法的簡便運算。（二）有理數(shù)的意義與運算1．有理數(shù)發(fā)展的動力（1）實際的需求。（2）運算的需求。2．分數(shù)和負數(shù)的產生除法運算和減法運算分別是產生分數(shù)和負數(shù)的來源之一。分數(shù)可以表示除法的結果、表示新的單位，表示比值或兩個量的比。（三）實數(shù)的意義和運算（1）無理數(shù)的建立使得原來密密麻麻的直線，變成了光滑的直線，填滿了數(shù)軸上缺少的數(shù)。這樣實數(shù)體系逐步建立和完善起來；（2）實數(shù)的建立極大地推動了數(shù)學形式化的發(fā)展，使數(shù)學變得更加嚴格，基礎更加牢固。（四）復數(shù)的意義和運算運算是分數(shù)、負數(shù)、無理數(shù)產生的動力之一，直到建立起完備的實數(shù)理論之后，盡管曾遭人反對，但是有了復數(shù)確實使得自然界的很多現(xiàn)象能夠得到很好的解釋。十、字母運算與常見公式（一）從算術到代數(shù)看這樣一個問題：一個籠子里有雞和兔子共16只，共有52條腿，那么雞和兔子分別有多少只？1．算術方法這里有三種解決該問題的算術方法：試逼近法；窮舉法；分析法。2．代數(shù)方法（雞兔同籠型解體模型）（二）多項式乘法與二項式定理1．基本公式；；；。2．多項式乘法法則（1）若干個多項式相乘，它的展開式可以由多項式乘法法則確定。（2）展開式的一項是由每一個多項式中的某個單項式為因子組成的單項式。3．計算二項式的展開式求的展開式：（1）展開式中的每個單項式都由若干個與若干個相乘得到，和的個數(shù)的總和為n，形如：（k=0，1，2，3，…，n）；（2）展開式中單項式是通過以下方法得到的：①先從n個多項式中選出k個，在這k個多項式中只取a不取b，在余下的n-k個多項式中只取b不取a，這樣就得到了；②因為從n個多項式）中選出k個的方法總數(shù)就是的同類項的個數(shù)，記作。（3）展開式中有n+1個不同類型的單項式；（4）根據(jù)上面的討論，可以得到二項式的展開式，如下：（k=0，1，2，…，n）。（5）為了簡化二項式的展開式，可以引入新的符號∑來表示若干項相加，即：（k=0，1，2，…，n）。（三）多項式除法與余數(shù)定理1．代數(shù)式當時，由上式可以得到以下3個結果：（1）可以被整除；（2）是的一個因式；（3）是的一個根。2．余數(shù)定理由以上3個結果分別可以得到，因此，這3個結果是等價的，即互為充分必要，這就是余數(shù)定理，它是高等代數(shù)中最重要的基本定理。十一、向量（一）向量代數(shù)向量是代數(shù)的研究對象，向量運算是向量的重點內容。向量的代數(shù)運算大大拓展了運算的對象和結果。（二）向量幾何1．點、線、面、超平面向量可以描述、刻畫和替代幾何中的基本研究對象：（1）點在空間直角坐標系中，以原點為向量的起點，空間中的點就與向量建立起一一對應關系，給出一點的坐標，就可以用向量=來刻畫。（2）直線一點和一個非零向量（作為直線的方向向量）可以惟一確定一條直線，直線通過這個點且與給定向量平行。（3）平面一個點和一個非零向量，可以惟一確定一個平面，平面過這個點且與給定向量（平面的法向量）垂直。（4）超平面給出n維空間一點M的坐標和法向量那么超平面內任一點M：還滿足：。坐標表示為·=0。2．位置關系和度量關系（1）關注幾何中的度量關系和位置關系①向量可以刻畫空間中點、線、面之間的基本位置關系：判斷線線、線面、面面的平行與垂直。②向量也可以刻畫基本的度量關系：計算長度、角度、面積、體積等。（2）用向量解決距離問題在高中階段空間幾何中主要的距離問題包括六類：①點到直線的距離；②平行直線間的距離；③點到平面的距離；④平行于平面的直線到平面的距離；⑤平行平面的距離；⑥異面直線的距離。（三）向量的物理意義向量具有豐富的物理背景，物理學研究的基本量之一是矢量，物理中的矢量問題都可以通過向量運算來解決。（四）向量是搭建幾何、代數(shù)和物理的天然橋梁對向量的認識要從三個基點出發(fā)：把它看作代數(shù)的；把它看作幾何的；考慮它的物理背景。（五）向量與代數(shù)結構1．向量（1）二維向量與向量的加法構成一個交換群（R2，+）交換群應該滿足以下條件：設G是一個非空集合，*是它的一個（二元）代數(shù)運算：①封閉性：群內任意兩個元素或兩個以上的元素（相同的或不同的）的結合（積）都是該集合的一個元素。即若n和是G中的元素，則它們的乘積*也是G中的元素。②結合律：雖然群元素不一定要求滿足交換律，但必須滿足結合律，即對G中任意元素，，都有（*）*=*（*）；③單位元素：集合G內存在一個單位元素，它和集合中任何一個元素的積都等于該元素本身，即對于G中每個元素都有*=；④逆元素：對G中每個元素在G中都有元素-1，稱作的左逆元，使-1*=，元素的集合如果滿足上述四個條件就稱為群。⑤在此基礎上若還滿足交換律，即對G中任意元素，，都有*=*，非空集合G和其上代數(shù)運算*構成交換群。（2）向量作為線性空間的實例①設是一個非空集合，是一個數(shù)域。在集合的元素之間定義了一種代數(shù)運算，稱作加法；也就是說，給出了一個法則，對于V中任意兩個元素和，在V中都有惟一的一個元素與它們對應，稱為與的和，記為=+；②在數(shù)域與集合的元素之間還定義了一種運算，稱作數(shù)量乘法，即對于數(shù)域中任一數(shù)k與中任一元素，在V中都有惟一的一個元素與它們對應，稱為k與的數(shù)量乘積，記為=k。③如果加法與數(shù)量乘法滿足下述法則，那么V稱為數(shù)域上的線性空間。a．加法滿足的四條規(guī)則第一，+=+；第二，（+）十=+（β+）；第三，在V中有一個元素0，對于V中任一元素都有+0=0。具有這個性質的元素0稱為V的零元素；第四，對于V中每一個元素，都有V中的元素，使得+=0。稱為的負元素。b．數(shù)量乘法滿足的兩條法則第一，1·=；第二，。c．數(shù)量乘法與加法滿足的兩條法則第一，；第二，。所有的二維向量與向量加法構成一個交換群。若再加上實數(shù)域R中的實數(shù)與向量的數(shù)乘運算；可以構成一個線性空間，記作（R2，R，+，·）。（3）向量也是一個線性賦范空間的實例。十二、矩陣與變換（一）矩陣與變換1．幾何變換圖形變換從本質上來講，這些變換都是點（圖形）的移動。由于可以用過原點的向量來刻畫平面上的點，因此，平面上點的變換也是平面上向量的變換。2．用矩陣刻畫幾何變換（1）二階矩陣作用在一個向量上可以得到一個新的向量。（2）二階矩陣把平面上的每一個點都變成惟一的點。它是平面到平面的映射。等價地，它是平面向量到平面向量的映射。@@@（3）用矩陣來刻畫人們熟悉的幾何變換：反射、壓伸、切變、旋轉、投影等。3．矩陣的積（1）連續(xù)實施兩個線性變換相當于一個新的線性變換，這就是變換的復合（合成）。（2）當連續(xù)實施一系列變換時，改變變換的次序將改變變換的結果，矩陣乘法不滿足交換律。4．逆矩陣函數(shù)是特殊的映射，如果一個函數(shù)是——映射（從幾何的角度也可以說是一一對應），那么這個函數(shù)有反函數(shù)。在矩陣與變換內容中也有類似的概念——逆矩陣。（1）如果變換是一一對應的，變換就有逆變換，這種逆變換就對應矩陣的逆矩陣。（2）但像投影變換就沒有逆變換。例如， =的逆變換就是再作一次關于Y軸的反射。用矩陣表示即為 =。（3）變換的逆和矩陣的逆本質上體現(xiàn)了一一對應的思想。5．矩陣的應用一般地，給定矩陣M，若存在一個非零向量α和實數(shù)A，滿足Mα=λα，則稱λ為矩陣M的特征值，α為矩陣M的屬于特征值λ的特征向量。即特征