一一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)力張量

一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)力張量主應(yīng)力與應(yīng)力不變量關(guān)于一樣空間問(wèn)題，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)能夠由九個(gè)應(yīng)力分量表示，如P點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)在直角坐標(biāo)系可表示為S=S=€ij€xxyxz€yxyyz€zxzyz如圖1-1所示。在固定受力情形下，應(yīng)力分量大小與坐標(biāo)軸方向有關(guān)，但由彈性力學(xué)可知，新舊坐標(biāo)的應(yīng)力分量具有必然變換關(guān)系。通常，咱們稱這種具有特定變換關(guān)系的一些量為張量。式（1-1）確實(shí)是應(yīng)力張量，它是二階張量。因?yàn)樗哂?=，，，=，，，=，。xzzxxyyxyzzy已知物體內(nèi)某點(diǎn)P的九個(gè)應(yīng)力分量，那么可求過(guò)該點(diǎn)的任意傾斜面上的應(yīng)力。在P點(diǎn)處掏出一無(wú)窮小四面體oabc（圖1-2）它的三個(gè)面別離與x,y,z三個(gè)軸相垂直。另一方面即任意斜面，它的法線N,其方向余弦為l,m,n。別離以dF、dF、dF、dF代表abc、obc、oac、oab三角形面積。xyzdF=IdFxdF=mdF< （）ydF=ndFz在三個(gè)垂直于坐標(biāo)的平面上有應(yīng)力分量，在傾斜面abc上有合應(yīng)力P，它可分解為正應(yīng)力N€及切向剪應(yīng)力，，即P2=€2+，2NNNNNP沿坐標(biāo)軸方向分量為X,y，z，由平穩(wěn)條件可得NNNNx=€l+,m+,nTOC\o"1-5"\h\zN xxy xzy=,l+€m+,n>Nyx y yzz=，l+,m+€nNzx zy z求出x，y，z在法線上的投影之和，即得正應(yīng)力€NNN N

€，xl+ym+zn，€12+€m2+€n2+2rIm+2tmn+2rnl1-5NNNNxy z xy yz zx而剪應(yīng)力那么由式1-5得T2=P2-€2NNN在空間應(yīng)力狀態(tài)下一點(diǎn)的應(yīng)力張量有三個(gè)主方向，三個(gè)主應(yīng)力。在垂直主方向的面上T，0,€即為主應(yīng)力，等于合應(yīng)力P，而主應(yīng)力在座標(biāo)軸上的分量為NNNTOC\o"1-5"\h\zx ，€ 1N N …y ，€ m > 1-7N N…z ，€ nNN將式1-7代入1-4整理后得（€—€）1+tm+tn，0xNyxzx…TOC\o"1-5"\h\zt1+（€—€）m+tn，0} （1-8）xyyNzy…t1+tm+（€—€）n，0xzyz zN另外，法線N的三個(gè)方向余弦應(yīng)知足12+m2+n2，1 （1-9）由上面四個(gè)方程可求得€及方向余弦l,m,n。若是將l,m,n看做未知量，那么由式1-9可見(jiàn),N1,不能同時(shí)為零。因此線性方程組式1-8非零解的充要條件為系數(shù)行列式等于零。TzxTzy€TzxTzy€—€

zNxN yxT €—€xy yNT Txz yz展開(kāi)行列式取得€2-I1€2-12€N—13=0 1-11I，€+€+€xyz …I式中I，—€€—€€—€€+T2+T2+T2 >1-12xy y zzx xyyz zxI，€€€ +2T T T—€ T2—€T2 —€T2xyz xyyzzxxyzyzxzyzI方程1-11有三個(gè)實(shí)根，即三個(gè)主應(yīng)力。按三個(gè)主應(yīng)力數(shù)值，別離由式1-8求出三個(gè)主方向。當(dāng)坐標(biāo)方向改變時(shí)，應(yīng)力分量均將改變，但主應(yīng)力的數(shù)值是不變的，因此該式的關(guān)系也不變。由于系數(shù)I,I,I與坐標(biāo)無(wú)關(guān)，故稱作應(yīng)力張量不變量，通常別離叫作應(yīng)力張量第一不123變量，第二不變量，第三不變量。設(shè)三個(gè)正應(yīng)力的平均值為平均應(yīng)力，用€表示m€，—（€+€+€）， （€+€+€）m3xyz3 1 2 3于是€，€+（€—€）xmxm

€=€,（€—€）ymym€=€+(€—€)zmzm€m€m00€00-€-€??mx mxyxz€=0€0+?€—€?ijmyxymyz00€??€—€mzxzyzm等式右端第一個(gè)張量稱為應(yīng)力球張量，第二個(gè)張量稱為應(yīng)力偏張量。=€<mij式中＜概念為ij<=11ij0當(dāng)(當(dāng)(=)主j<=11ij0當(dāng)(當(dāng)(=)主j令S=€-€,xxm=€-€ ,S=€-€ ,S=?,S=?,S=?xyyxyxyzyz，那么S=€-€<=ijijmijyymzzmxy…SSS-…S??xxyxzxxyxzSSS=?S?yxyyzxzyyzSSS??Szxzyzzxzyz應(yīng)力偏量S即為ij應(yīng)力空間若是咱們將€、€、€取為三個(gè)彼此垂直的直角坐標(biāo)軸而組成一空間直角坐標(biāo)系，那123么該空間中任一點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)值就相應(yīng)于物體某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的三個(gè)主應(yīng)力的數(shù)值，也確實(shí)是說(shuō)。該空間中的一點(diǎn)對(duì)應(yīng)于物體某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。咱們就把那個(gè)空間稱為應(yīng)力空間。如圖2-6所示，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(€€€j，那個(gè)應(yīng)力狀態(tài)可寫(xiě)為三個(gè)矢量123OP(€),OP(€),OP(€)的矢量和。112233四應(yīng)力圓和Lode參數(shù)

在傳統(tǒng)塑性理論中，以為應(yīng)力張量不阻礙屈服，因此對(duì)應(yīng)力偏量專門感愛(ài)好，而洛德(Lode)參數(shù)或洛德角是應(yīng)力偏量的特點(diǎn)量。另外，采納洛德參數(shù)或洛德角研究塑性問(wèn)題十分方便，因此在巖土塑性理論中應(yīng)用極為普遍。設(shè)橫坐標(biāo)為正應(yīng)力€，縱坐標(biāo)為剪應(yīng)力T，設(shè)已知應(yīng)力€i，€2，€3,令OP，€，11OP，€，OP，€2 2 3 3OP，€，11OP，€，OP，€2 2 3 3其半徑為PP€-€4^，—1 2，T，2 2 3PP€-其半徑為PP€-€4^，—1 2，T，2 2 3PP€-€廠，Ti'PP€-€1，—1 3，T222T、P、T123稱為主剪應(yīng)力，半徑最大者為最大剪應(yīng)力T若是把圖2-8(a)中坐標(biāo)原點(diǎn)Omax移到新的位置O'，使OO'，€?€?€—1 2 3，€這時(shí)O'P，€-€，S11m1O'P，€-€，S22m2O'P，€-€，S3 3m3由此所得移軸后應(yīng)力圓即是描述應(yīng)力偏量的應(yīng)力圓圖2-8(b)原點(diǎn)任意平移一個(gè)距離，就相當(dāng)于在原有應(yīng)力狀態(tài)下疊加一個(gè)靜水壓力。在傳統(tǒng)塑性力學(xué)中，那個(gè)疊加并非阻礙屈服函數(shù)和塑性變形。因此，對(duì)塑性變形有決定性意義的是應(yīng)力圓本身。假設(shè)以M表示PP的中點(diǎn)，那么1311MP，T，(€-€) MP，—(2€-€-€)1max2 1 3 2 2 2 1 3假設(shè)考慮到中間應(yīng)力€對(duì)屈服函數(shù)的阻礙，可由MP與MP之比確信€的相對(duì)位置，其2212比值用洛德參數(shù)u表示。€假設(shè)主應(yīng)力順序?yàn)閫1…。2…。3,那么MP2€-€-€€-€u—2—2 1 3—2—2 3—1-2P—13-1a€MP€-€€-€11313或11€ ，—(€?€)?U(€-€)3-1b221 3 2€13€-€式中卩=— 3。P由P變到P，因此u和0的轉(zhuǎn)變范圍為€-€ 2 3 1 € €13-1<u<1，-300<0<30。€€由式3-1可見(jiàn)，u為主應(yīng)力值的函數(shù)，說(shuō)明是應(yīng)力差的比例關(guān)系，而與應(yīng)力大小無(wú)關(guān)。不€管坐標(biāo)縱軸原點(diǎn)位置移動(dòng)多少，其u不變，可見(jiàn)u是描述應(yīng)力偏量的特點(diǎn)值，它與應(yīng)力偏€€量不變量J、J有關(guān)，而與應(yīng)力球張量無(wú)關(guān)。23由上可見(jiàn)，洛德參數(shù)或洛德角都不能表示一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的特點(diǎn)值，因?yàn)樗槐硎緫?yīng)力球張量。但是它卻能反映受力狀態(tài)的形式，即主應(yīng)力分量之間的比例關(guān)系。因此不同的洛德參數(shù)與洛德角能夠反映材料的不同受力狀態(tài)。在彈性力學(xué)和傳統(tǒng)塑性力學(xué)中，符號(hào)一樣都是規(guī)定以拉為正，但在巖土力學(xué)都一樣規(guī)定以壓為正。五應(yīng)力途徑1應(yīng)力途徑的大體概念巖土的性質(zhì)與本構(gòu)關(guān)系，與應(yīng)力或應(yīng)變狀態(tài)的轉(zhuǎn)變進(jìn)程有關(guān)，因此需要描述一個(gè)單元在它加載進(jìn)程中的應(yīng)力或應(yīng)變的轉(zhuǎn)變進(jìn)程。通常稱描述一單元應(yīng)力狀態(tài)轉(zhuǎn)變的線路為應(yīng)力途徑，而稱描述應(yīng)變狀態(tài)轉(zhuǎn)變的線路為應(yīng)變途徑，目前進(jìn)程上應(yīng)用較多的是應(yīng)力途徑。對(duì)巖土來(lái)講，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)完全可由總主應(yīng)力及其方向和孔隙壓力所確信。有效主應(yīng)力可用計(jì)算算出。咱們令三個(gè)總主應(yīng)力或有效主應(yīng)力為坐標(biāo)軸，而成立應(yīng)力空間或有效應(yīng)力空間。如圖2-12所示，圖上€'、€'及€'為三個(gè)有效主應(yīng)力，將一單元的瞬時(shí)有效應(yīng)力狀態(tài)所有的點(diǎn)聯(lián)結(jié)123起來(lái)的線，并標(biāo)上箭頭指明進(jìn)展的趨向，就可取得有效應(yīng)力途徑，簡(jiǎn)稱ESP。一樣可在主應(yīng)力空間中給出總應(yīng)力途徑。簡(jiǎn)稱TSP。通常，咱們將總主應(yīng)力軸與有效應(yīng)力軸放在一路，在這張圖上不僅能表示有效應(yīng)力途徑和總主應(yīng)力途徑，而且還能表示間隙壓力的大小。當(dāng)略去其中間主應(yīng)力€和€'時(shí)，那么可在二向應(yīng)力平面上繪制有效應(yīng)力途徑和總主應(yīng)22力途徑。如圖2-13所示。圖中A'B'C'為有效應(yīng)力途徑，假設(shè)在B'的孔隙壓力位u值，那么B點(diǎn)代表瞬時(shí)總應(yīng)力，因?yàn)橛行?yīng)力與總應(yīng)力之間的水平距離與垂直距離均為孔隙壓力u的值。由目測(cè)可知，瞬時(shí)總應(yīng)力與有效應(yīng)力的點(diǎn)，必然沿坐標(biāo)軸傾斜成45。的線上，由f2u線段隔開(kāi)，如圖2-13所示。一點(diǎn)的應(yīng)變狀狀態(tài)，主應(yīng)變，應(yīng)變不變量在外力的作用下，物體內(nèi)各點(diǎn)的位置要發(fā)生轉(zhuǎn)變，即發(fā)生位移。若是物體各點(diǎn)發(fā)生位移后仍維持各點(diǎn)間初始應(yīng)力狀態(tài)的相對(duì)位置，那么物體事實(shí)上只產(chǎn)生了剛體移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，稱這種位移為剛體位移。若是物體各點(diǎn)發(fā)生位移后改變了各點(diǎn)間初始應(yīng)力狀態(tài)的相對(duì)位置，那么物體就同時(shí)產(chǎn)生了形狀轉(zhuǎn)變，統(tǒng)稱為該物體產(chǎn)生了變形。在外力的作用下，物體內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生相對(duì)位置的改變。設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x、y、z）,其臨近點(diǎn)的坐標(biāo)為（x+dx、y+dy、z+dz），變形后A點(diǎn)移到A',點(diǎn)B移到B'。A點(diǎn)

的位移向量分量為U、v、w,B點(diǎn)的位移分量為u'、v'、w'。u、v、w是坐標(biāo)點(diǎn)x、y、z的函數(shù)，當(dāng)dx、dy、dz很小時(shí)，能夠利用泰勒公式展開(kāi)，只需要保留一次項(xiàng)，得U'、v'、w'與u、v、w關(guān)系如下TOC\o"1-5"\h\z. du]du] du]\o"CurrentDocument"u，u+—dx+—dy+—dzdx dy dz\o"CurrentDocument". dv7 dv7 dv7\o"CurrentDocument"v，v+—dx+—dy+—dz…dx dy dz\o"CurrentDocument". dw7 dw7 dw7\o"CurrentDocument"w，w+——dx+——dy+——dzdx dy dz后面的九個(gè)量組成了位移梯度張量[u.]，—樣是不對(duì)稱的二階張量i,jad一axav-axad一axav-axnad-ayav-ayadayad一比av一比ad一比將矩陣u 能夠分解為兩部份i,j(dvdu、—+ 'dxdy丿(dw一+(dvdu、—+ 'dxdy丿(dw一+'dzdu、

dz“2'dxdy“(dv-—+'dx(dw'dydv、+—dz丿(dwdv、—+—'dy dz丿(dwdu)-一+一'dx dz丿2'dydz丿dw

dz1"dudw、1"dwdu、2'dzdx“2'dydz丿1(dv2'dxdu、dy“0前一項(xiàng)為哪一項(xiàng)一個(gè)對(duì)稱張量，確實(shí)是在小變形條件下的應(yīng)變張量，應(yīng)變量的矩陣形式是1”?x1”?x2xy1?”2yxy11-? -?2zx2zyxzyz”””xxxyxz”””yxyyyz”””zxzyzz左式是工程力學(xué)的適應(yīng)寫(xiě)法，右式適用于利用張量下標(biāo)記號(hào)。用張量下標(biāo)記號(hào)，以€表示ij應(yīng)變張量，令U二Ui,V二役，W二U3，那么TOC\o"1-5"\h\z,u ,u€=€ = = 1=Uxx11 ,x ,x 1,111,,v ,U、 1/ 、€=€ = ( + )= (U+U)xy 12 2 ,x ,y 2 2,1 1,2由此€= (u+u)ij2i,j j,i應(yīng)變張量的不變量是I'=€+€+€=€+€+€xxyyzz1 2 3 …I'=-(€ €+€€+€€)+(€2+€2+€2)xxyyyyzzzzxxxyyzzx…=-(€€+€€+€€)>\o"CurrentDocument"12 23 31I'=€€€+2€€€-€€2-€€2-€€2xxyyzzxyyzzxxxyzyyzxzzxy=€€€123 ?那個(gè)地址€(wěn)、€、€是三個(gè)主應(yīng)變。123平均正應(yīng)變表示為11€= (€+€+€)=I'm3xxyyzz3