相似三角形經(jīng)典模型總結(jié)(修改版)

相似三角形經(jīng)典模型總結(jié)(修改版)相似三角形經(jīng)典模型總結(jié)相似三角形有多種類型，其中經(jīng)典模型包括平行型、旋轉(zhuǎn)180°型、翻折180°型、斜交型等。這些模型可以幫助我們在解決相似三角形問題時(shí)更加系統(tǒng)和有條理。其中，平行型是最基礎(chǔ)的模型之一。例如，在例1中，已知EE1∥FF1∥MM1，且AE=EF=FM=MB，需要求出S△AEE:S四邊形EEFF:S四邊形FFMM:S四邊形MMCB的比值。根據(jù)平行型模型，可以得出S△AEE:S四邊形EEFF=S△FFM:S四邊形FFMM=AE:EF=1:1。因此，S△AEE:S四邊形EEFF:S四邊形FFMM:S四邊形MMCB=1:1:1:2。在例2中，已知AD∥E∥FM∥N，BC且AD=9，BC=18，AE:EM:MB=2:3:4，需要求出EF和MN的值。根據(jù)平行型模型，可以得出EF=AD=9，MN=BC=18。除了平行型，其他模型也有其特點(diǎn)。例如，在例3中，需要證明PEPH=PFPG。這是一個(gè)斜交型問題，需要利用斜交型的特點(diǎn)來解決。同樣地，在例4、5、6中，也需要根據(jù)不同的模型來解決問題。最后，在例7、8、9、10中，也有一些比較特殊的問題，需要通過推導(dǎo)和證明來解決。例如，在例10中，需要證明AE·BF=BE·CF，可以利用中位線定理和相似三角形的性質(zhì)來推導(dǎo)證明。綜上所述，相似三角形問題需要根據(jù)不同的模型來解決，同時(shí)需要通過推導(dǎo)和證明來加深理解。【例11】在線段AB上取一點(diǎn)C，以AC，CB為底在AB同側(cè)作兩個(gè)頂角相等的等腰三角形ADC和CEB，AE交CD于點(diǎn)P，BD交CE于點(diǎn)Q，證明CP=CQ。解析：首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知AD=DC，BE=EC。由AE交CD于點(diǎn)P可得AP/PD=AE/EC，即AP/PD=AE/BE。同理，由BD交CE于點(diǎn)Q可得CQ/QB=AD/AF。將AD和BE用DC和EC表示，代入可得AP/PD=DC/EC，CQ/QB=DC/EC。因此，AP/PD=CQ/QB，即AP×QB=PD×CQ。由于ADC和CEB是等腰三角形，所以DP=PC，CQ=BQ，代入可得CP=CQ，證畢?！纠?2】在給定的銳角三角形ABC中，求作一個(gè)正方形DEFG，使D，E落在BC邊上，F(xiàn)，G分別落在AC,AB邊上。解析：根據(jù)題意，正方形DEFG的D、E分別在BC上，F(xiàn)、G分別在AC和AB上。因此，可以先畫一個(gè)正方形D'E'F'G'，使得D'、E'分別在BC上，F(xiàn)'、G'分別在AC和AB上。連接BF'并延長交AC于點(diǎn)F，過F點(diǎn)作FE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，過F點(diǎn)作FG∥BC交AB于點(diǎn)G，過G點(diǎn)作GD⊥BC，垂足為點(diǎn)D。此時(shí)，四邊形DEFG即為所求的正方形。要證明它是正方形，只需證明DE=EF=FG=GD即可。由于DE∥BC，所以∠ADE=∠ABC。又因?yàn)镈'E'F'G'是正方形，所以∠E'F'G'=90°，所以∠E'F'G'=∠ABC。因此，∠ADE=∠E'F'G'。同理，可以證明∠DAE=∠FGA，因此，∠ADE=∠FGA。又因?yàn)椤螦ED=∠AFG=90°，所以∠EDF=∠GDF，因此，DE=EF=FG=GD，證畢。【例13】已知梯形ABCD，AD∥BC，對角線AC、BD互相垂直，則AD+BC=AB+CD。解析：連接AB、CD，交于點(diǎn)O。由于AC、BD互相垂直，所以∠AOC=∠BOD=90°。又因?yàn)锳D∥BC，所以∠AOD=∠BOC。因此，∠AOC+∠AOD+∠COD=∠BOD+∠BOC+∠AOD，即∠AOC+∠COD=∠BOD+∠BOC。由于∠AOC=∠BOD=90°，所以∠COD=∠BOC。因此，∠AOC+∠COD=∠BOD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD。由于AO=BO，所以∠OAC=∠OBD。又因?yàn)椤螦CD=∠BDC=90°，所以△ACD∽△BDC，即CD/AD=BC/AB。因此，AD+BC=AB×CD/AD+BC=AB+CD，證畢。【例14】當(dāng)三角形AOD以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ度（0<θ<90），結(jié)論AD=AO×sinθ是否成立？解析：不成立。因?yàn)楫?dāng)AOD旋轉(zhuǎn)到AOD'時(shí)，∠D'OA=θ，AD'=AO×sinθ。此時(shí)，AD'=AD，AO'=AO。因此，AD'=AO×sinθ不成立?！纠?5】四邊形ABCD和BEFG均為正方形，求AG:DF:CE。解析：連接AC、BD，交于點(diǎn)O。由于ABCD和BEFG均為正方形，所以AB=BC=CD=DA，BE=EF=FG=GB。因此，AC=BD=2AB。又因?yàn)镃D=BE，所以△COD∽△EOB，即OD/EB=CD/BE=1。因此，OD=EB。同理，OC=FA。由于AC=BD，所以△AOC∽△DOB，即AO/OD=CO/OB=1。因此，AO=OD，CO=OB。因此，AG=AO+OG=2OD+OG=2EB+OG，DF=OD+OF=EB+OF，CE=OC+OE=2OB。因此，AG:DF:CE=2EB+OG:EB+OF:2OB。由于△AOG∽△BOF，所以O(shè)G/OF=AG/EB=2。因此，AG:DF:CE=4:3:4，答案為4:3:4?！纠?6】在△ABC中，D在AB上，且DE∥BC交AC于E，F(xiàn)在AD上，且AD=AF×AB，證明△AEF∽△ACD。解析：由題意可知，AD/AB=AF，即AD=AF×AB。因此，AD/AB=AF=AE/EC，即AD×EC=AE×AB。又因?yàn)镈E∥BC，所以△ADE∽△ACB，即AE/AC=DE/CB。因此，AE×CB=AC×DE。因此，AD×EC=AE×AB=AC×DE。因此，△AEF∽△ACD，證畢?！纠?7】在等邊三角形ABC中，D、E分別在BC、AB上，且CD=BE，AD、CE相交于M，證明△EAM∽△ECA。解析：連接AE、CM，交于點(diǎn)N。由于△ABC是等邊三角形，所以AB=BC=CA。又因?yàn)镃D=BE，所以△BCD∽△BCE，即BD/BC=BE/CD，即BD=BE。因此，BD=BE=BC/2。因此，∠EBC=∠BCE=∠BCM，即△BCM和△BCE有一組對應(yīng)角相等。因此，△BCM∽△BCE，即BM/BC=BE/CE，即BM/BC=CD/CE。同理，可以證明AN/AC=CD/CE。因此，BM/AN=BC/AC，即△BMC∽△ANC。因此，∠BMC=∠ANC，即∠AMN=∠CBE。因此，△EAM∽△ECA，證畢。【例18】四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，且∠BAC=∠CDB。證明：∠DAC=∠CBD?！纠?9】已知三角形ABBCCA，問是否有∠1=∠2？【例20】在銳角三角形ABC中，AD和CE分別為BC和AB邊上的高，且?ABC和?BDE的面積分別為18和2，DE=2。求AC邊上的高?！纠?1】在等邊三角形ABC的邊BC上取點(diǎn)D，使得BD1/CD2=k。作CH⊥AD，H為垂足，連結(jié)BH。證明：∠DBH=∠DAB?！纠?2】已知在正三角形ABC中，點(diǎn)D和E分別是AB和BC延長線上的點(diǎn)，且BD=CE，直線CD與AE相交于點(diǎn)F。證明：①DC=AE，②AD=DC·DF2。【例23】已知三角形ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F。證明：∠AEF=∠B?！纠?4】已知CE是直角三角形斜邊AB上的高，在EC的延長線上任取一點(diǎn)P，連結(jié)AP，BG⊥AP，垂足為G，交CE于D。證明：CE2=PE·DE?！纠?5】矩形ABCD中，E、G、F、H分別是四條邊上的點(diǎn)，且EF⊥GH。若AB=2，BC=3，則EF:GH等于（）?！纠?6】已知正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AB、BC上，且BM=BN，