高考總復(fù)習(xí)之正態(tài)分布( 教師版)匯總

高考總復(fù)習(xí)之正態(tài)分布(教師版)匯總專題：正態(tài)分布通過實(shí)際問題的直方圖，可以了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及其所表示的意義。掌握正態(tài)密度曲線的特點(diǎn)，特別是其中的參數(shù)μ和σ的含義，可以利用其對(duì)稱性求解隨機(jī)變量在特定區(qū)間上的概率?；A(chǔ)梳理1.正態(tài)曲線及其性質(zhì)(1)正態(tài)曲線的定義函數(shù)f(x)=(1/2πσ^2)*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中實(shí)數(shù)μ和σ(σ>0)為參數(shù)，我們稱φμ，σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線。(2)正態(tài)曲線的解析式①指數(shù)的自變量是x，定義域是R，即x∈(－∞，＋∞)。②解析式中含有兩個(gè)常數(shù)：π和e，這是兩個(gè)無(wú)理數(shù)。③解析式中含有兩個(gè)參數(shù)：μ和σ，其中μ可取任意實(shí)數(shù)，σ＞0，這是正態(tài)分布的兩個(gè)特征數(shù)。④解析式前面有一個(gè)系數(shù)為(1/2πσ^2)，后面是一個(gè)以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪指數(shù)為-(x-μ)^2/(2σ^2)。2.正態(tài)分布(1)正態(tài)分布的表示2X為正態(tài)分布，記作N(μ，σ)。(2)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值六條性質(zhì)正態(tài)曲線的性質(zhì)：φμ，σ(x)=(1/2πσ^2)*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，x∈R，有以下性質(zhì)：(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，關(guān)于直線x=μ對(duì)稱；(3)曲線在x=μ處達(dá)到峰值1/(σ√(2π))；(4)曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；(5)當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(6)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散。三個(gè)鄰域可以利用正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線求隨機(jī)變量的概率。落在三個(gè)鄰域之外是小概率事件，這也是對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)的理論依據(jù)。雙基自測(cè)1.設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)=e^(-(x-10)^2/8)/(8π)，則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是()。解析：由e^(-(x-10)^2/8)=e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，可知σ=2，μ=10。因此，答案為B。已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2)，且P(ξ＜4)=0.8，則求P(0＜ξ＜2)。根據(jù)P(ξ＜4)=0.8可得P(ξ＞4)=P(ξ＜0)=0.2，因此P(0＜ξ＜2)=0.3，選C。已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)=0.6826，則求P(X＞4)。由正態(tài)曲線的性質(zhì)可知，其圖像關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，因此P(X＞4)=0.5－(0.6826/2)=0.1587，選B。已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,σ2)，若P(X>2)=0.023，則求P(－2≤X≤2)。根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可得P(－2≤X≤2)=1－2P(X>2)=0.954，選C。設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(X>c＋1)=P(X<c－1)，則求c。由正態(tài)分布的定義可知其函數(shù)圖像關(guān)于x＝2對(duì)稱，因此P(X>c+1)=P(X<2-(c+1))，即P(X<3-c)=P(X>3+c)，根據(jù)對(duì)稱性可得3-c=2+c，解得c=2。已知一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為1.42/π，求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式和正態(tài)總體在(－4,4]的概率。由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，即μ=0。設(shè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為φ(x)，則φ(0)=1.42/π，解得σ=2。因此，該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式為φ(x)=e^(-x^2/8)/(2π)^(1/2)，正態(tài)總體在(－4,4]的概率為P(μ-σ<X≤μ+σ)=P(-2<X≤2)=0.6826。根據(jù)正態(tài)分布N(μ，σ2)函數(shù)的性質(zhì)，正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線。當(dāng)σ越大時(shí)，曲線的最高點(diǎn)越低且較平緩；反之，σ越小時(shí)，曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭。因此，根據(jù)密度函數(shù)圖象，可以得出以下結(jié)論：μ1＜μ2，σ1＜σ2，選項(xiàng)A為正確答案。以隨機(jī)變量X～N(1,22)為例，求解其取值概率的問題。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可以將所求概率轉(zhuǎn)化到(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]或[μ－3σ，μ＋3σ]上的概率，并利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性求解。例如，對(duì)于P(－1<X≤3)，可以轉(zhuǎn)化為P(1－2<X≤1＋2)，然后利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性得出概率為0.6826。在求解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間取值的概率時(shí)，只需借助正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個(gè)區(qū)間上。例如，對(duì)于隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，已知P(ξ＜0)＝0.3，可以利用正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的性質(zhì)，得出P(ξ＞2)＝P(ξ＜0)＝0.3，因此P(ξ＜2)＝1－0.3＝0.7。正態(tài)分布在實(shí)際應(yīng)用中具有廣泛的應(yīng)用，例如在統(tǒng)計(jì)學(xué)、金融學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域。熟練掌握正態(tài)分布的概念和性質(zhì)，對(duì)于解決實(shí)際問題具有重要的意義。2011年中國(guó)汽車銷售量達(dá)到了1700萬(wàn)輛，而汽車的耗油量對(duì)汽車銷售有著非常重要的影響。各個(gè)汽車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量。為了調(diào)查某種型號(hào)汽車的耗油情況，某汽車制造公司抽查了1200名車主。根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，該型號(hào)汽車的平均耗油量為每百公里8.0升，而且汽車的耗油量服從正態(tài)分布N(8，σ2)。已知耗油量ξ∈[7,9]的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車大約有多少輛？解題思路：由題意可知，ξ～N(8，σ2)。因此，正態(tài)分布曲線以μ=8為對(duì)稱軸。而且，P(7≤ξ≤9)=0.7，因此P(8≤ξ≤9)=0.35。由于P(ξ≥8)=0.5，所以P(ξ＞9)=0.15。因此，耗油量大于9升的汽車大約有1200×0.15=180輛。正態(tài)分布中的隨機(jī)變量在一個(gè)區(qū)間上的概率，就是這個(gè)區(qū)間上，正態(tài)密度曲線和x軸之間的曲邊梯形的面積。根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性，當(dāng)P(ξ＞x1+x2x1)=P(ξ＜x2)時(shí)，必然有x2-μ=μ-x1，這是解決正態(tài)分布類試題的一個(gè)重要結(jié)論。訓(xùn)練題：工廠制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布N(4，9)。在一次正常的試驗(yàn)中，取1000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間(3,5]這個(gè)尺寸范圍的零件大約有多少個(gè)？解題思路：由題意可知，X～N(4，9)。因此，μ=4，σ=3。不屬于區(qū)間(3,5]的概率為P(X≤3)+P(X＞5)=1-P(3＜X≤5)=1-P(4-1＜X≤4+1)=1-P(μ-3σ＜X≤μ+3σ)=1-0.9974=0.0026≈0.003。因此，不屬于區(qū)間(3,5]這個(gè)尺寸范圍的零件大約有3個(gè)。已知某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布N(116，64)，則成績(jī)?cè)?40分以上的考生所占的百分比為多少？正解：根據(jù)題意，可以得出該正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)μ=116，σ=8。因此，μ-3σ=92，μ+3σ=140。根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，隨機(jī)變量在(μ-3σ，μ+3σ)內(nèi)取值的概率約為0.997。因此，成績(jī)?cè)趨^(qū)間(92,140)內(nèi)的考生所占百分比約為99.7%，從而成績(jī)?cè)?40分以上的考生所占的百分比為1-99.